Gimnaziu V–VIIIEvaluare Națională⏱ 25–35 min, în ritmul tău

∠

Încărcăm partea curentă…

Paralele și secantă · alterne, corespondente și x

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Alterne interne: întâi poziția, apoi regula

a ∥ b se citește «a este paralelă cu b»: cele două drepte nu se întâlnesc. Secanta este dreapta portocalie care le taie pe amândouă. «Interne» înseamnă între cele două drepte, iar «externe» înseamnă în afara lor.

Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii. Pentru drepte paralele, aceste unghiuri sunt egale. Cuvântul «congruente» folosit în manual înseamnă aici că au aceeași măsură.

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.

De ținut minte

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate sunt egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este alterne interne; un unghi are 72°. Află x.

a ∥ b. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.

1Recunoaștem poziția: Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2Paralelele dau unghiuri egale: x = 72°.
3Verificare: ambele unghiuri au 72°.

Greșeală frecventă

Greșit: Scădem mereu din 180°.

De ce: La această pereche, măsurile sunt egale; nu le confundăm cu unghiurile de aceeași parte.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Paralele și secantă · alterne, corespondente și x: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți să localizezi unghiurile pe desen, apoi să alegi între egalitate și suma de 180°.

Alterne interne: întâi poziția, apoi regula

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate sunt egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este alterne interne; un unghi are 72°. Află x.

Recunoaștem poziția: Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
Paralelele dau unghiuri egale: x = 72°.
Verificare: ambele unghiuri au 72°.

Greșeală frecventă: Scădem mereu din 180°. La această pereche, măsurile sunt egale; nu le confundăm cu unghiurile de aceeași parte.

Alterne externe: întâi poziția, apoi regula

În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii. Pentru drepte paralele, aceste unghiuri sunt egale. Cuvântul «congruente» folosit în manual înseamnă aici că au aceeași măsură.

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate sunt egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este alterne externe; un unghi are 72°. Află x.

Recunoaștem poziția: În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
Paralelele dau unghiuri egale: x = 72°.
Verificare: ambele unghiuri au 72°.

Greșeală frecventă: Scădem mereu din 180°. La această pereche, măsurile sunt egale; nu le confundăm cu unghiurile de aceeași parte.

Corespondente: întâi poziția, apoi regula

În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern. Pentru drepte paralele, aceste unghiuri sunt egale. Cuvântul «congruente» folosit în manual înseamnă aici că au aceeași măsură.

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate sunt egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este corespondente; un unghi are 72°. Află x.

Recunoaștem poziția: În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern.
Paralelele dau unghiuri egale: x = 72°.
Verificare: ambele unghiuri au 72°.

Greșeală frecventă: Scădem mereu din 180°. La această pereche, măsurile sunt egale; nu le confundăm cu unghiurile de aceeași parte.

Interne de aceeași parte: întâi poziția, apoi regula

Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii. Pentru drepte paralele, aceste unghiuri au suma 180°; spunem că sunt suplementare. Nu sunt obligatoriu egale.

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate au suma 180°

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este interne de aceeași parte; un unghi are 72°. Află x.

Recunoaștem poziția: Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
Scriem x + 72° = 180°, deci x = 180° − 72° = 108°.
Verificare: 108° + 72° = 180°.

Greșeală frecventă: Unghiurile sunt mereu egale. Aceeași parte a secantei înseamnă aici sumă de 180°, nu egalitate.

Externe de aceeași parte: întâi poziția, apoi regula

În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii. Pentru drepte paralele, aceste unghiuri au suma 180°; spunem că sunt suplementare. Nu sunt obligatoriu egale.

Poziția dă numele perechii. Marcajul a ∥ b ne permite să aplicăm regula despre egalitate sau sumă. Nu presupunem paralelismul doar fiindcă liniile par paralele pe ecran.

a ∥ b ⇒ unghiurile marcate au suma 180°

Exemplu rezolvat, cu alte date

a ∥ b. Perechea este externe de aceeași parte; un unghi are 72°. Află x.

Recunoaștem poziția: În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
Scriem x + 72° = 180°, deci x = 180° − 72° = 108°.
Verificare: 108° + 72° = 180°.

Greșeală frecventă: Unghiurile sunt mereu egale. Aceeași parte a secantei înseamnă aici sumă de 180°, nu egalitate.

Mai greu: unghiul este scris cu x

Uneori lângă arc scrie 2x + 10°, nu doar x. Aceasta este măsura întregului unghi. 2x înseamnă 2 × x. Aflăm întâi ce relație au unghiurile, apoi înlocuim măsurile în acea relație.

Pentru alterne interne la paralele scriem egalitate. Din 2x + 10 = 72 scădem 10 în ambele părți, apoi împărțim la 2. La final verificăm măsura unghiului, nu o confundăm cu valoarea lui x.

alterne interne la paralele: 2x + 10 = 72

Exemplu rezolvat, cu alte date

Unghiurile alterne interne au 72° și (2x + 10)°. Află x.

2x + 10 = 72.
Scădem 10: 2x = 62.
Împărțim la 2: x = 31. Verificare: 2 · 31 + 10 = 72.

Greșeală frecventă: x = 72°. 72° este măsura unghiului întreg 2x + 10, nu valoarea lui x.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
În desenul cu unghiul de 45°, cum se numește perechea marcată?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. Identificăm poziția, înainte să calculăm măsuri.
3. Perechea este: alterne interne.
Răspuns: Alterne interne
Exercițiul 2
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 55°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 55°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 55°
Exercițiul 3
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 65°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 65°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 65°
Exercițiul 4
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 80°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 80°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 80°
Exercițiul 5
În desenul cu unghiul de 46°, cum se numește perechea marcată?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. Identificăm poziția, înainte să calculăm măsuri.
3. Perechea este: alterne externe.
Răspuns: Alterne externe
Exercițiul 6
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 56°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 56°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 56°
Exercițiul 7
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 66°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 66°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 66°
Exercițiul 8
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 81°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe părți opuse ale secantei portocalii.
2. x = 81°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 81°
Exercițiul 9
În desenul cu unghiul de 47°, cum se numește perechea marcată?
Vezi rezolvarea
1. În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern.
2. Identificăm poziția, înainte să calculăm măsuri.
3. Perechea este: corespondente.
Răspuns: Corespondente
Exercițiul 10
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 57°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern.
2. x = 57°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 57°
Exercițiul 11
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 67°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern.
2. x = 67°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 67°
Exercițiul 12
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 82°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În aceeași poziție la fiecare intersecție: aici, sus-dreapta. Unul este extern, celălalt intern.
2. x = 82°.
3. Măsurile coincid, conform regulii pentru paralele.
Răspuns: 82°
Exercițiul 13
În desenul cu unghiul de 48°, cum se numește perechea marcată?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. Identificăm poziția, înainte să calculăm măsuri.
3. Perechea este: interne de aceeași parte.
Răspuns: Interne de aceeași parte
Exercițiul 14
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 58°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 58° = 180°, deci x = 122°.
3. Verificare: 122° + 58° = 180°.
Răspuns: 122°
Exercițiul 15
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 68°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 68° = 180°, deci x = 112°.
3. Verificare: 112° + 68° = 180°.
Răspuns: 112°
Exercițiul 16
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 83°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. Între dreptele a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 83° = 180°, deci x = 97°.
3. Verificare: 97° + 83° = 180°.
Răspuns: 97°
Exercițiul 17
În desenul cu unghiul de 49°, cum se numește perechea marcată?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. Identificăm poziția, înainte să calculăm măsuri.
3. Perechea este: externe de aceeași parte.
Răspuns: Externe de aceeași parte
Exercițiul 18
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 59°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 59° = 180°, deci x = 121°.
3. Verificare: 121° + 59° = 180°.
Răspuns: 121°
Exercițiul 19
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 69°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 69° = 180°, deci x = 111°.
3. Verificare: 111° + 69° = 180°.
Răspuns: 111°
Exercițiul 20
a ∥ b. Unghiul marcat de sus are 84°. Cât are unghiul x de jos?
Vezi rezolvarea
1. În afara fâșiei dintre a și b, pe aceeași parte a secantei portocalii.
2. x + 84° = 180°, deci x = 96°.
3. Verificare: 96° + 84° = 180°.
Răspuns: 96°
Exercițiul 21
a ∥ b. Unghiurile alterne interne au 60° și (2x + 10)°. Află x.
Vezi rezolvarea
1. 2x + 10 = 60.
2. 2x = 50.
3. x = 25. Verificare: 2 · 25 + 10 = 60.
Răspuns: x = 25
Exercițiul 22
a ∥ b. Unghiurile alterne interne au 70° și (3x + 10)°. Află x.
Vezi rezolvarea
1. 3x + 10 = 70.
2. 3x = 60.
3. x = 20. Verificare: 3 · 20 + 10 = 70.
Răspuns: x = 20
Exercițiul 23
a ∥ b. Unghiurile alterne interne au 65° și (2x + 15)°. Află x.
Vezi rezolvarea
1. 2x + 15 = 65.
2. 2x = 50.
3. x = 25. Verificare: 2 · 25 + 15 = 65.
Răspuns: x = 25
Exercițiul 24
a ∥ b. Unghiurile alterne interne au 75° și (5x + 10)°. Află x.
Vezi rezolvarea
1. 5x + 10 = 75.
2. 5x = 65.
3. x = 13. Verificare: 5 · 13 + 10 = 75.
Răspuns: x = 13