Drepte paralele

O secantă care intersectează două drepte paralele formează perechi de unghiuri egale. Și reciproca este utilă: egalitatea unei perechi potrivite poate demonstra paralelismul.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Dreptele d și e sunt paralele. Secanta t formează unghiuri corespondente egale, marcate 60°. Perpendiculara p formează câte un unghi drept cu ambele paralele.

Secanta și unghiurile formate

O secantă este o dreaptă care intersectează alte două drepte. La fiecare dintre cele două intersecții se formează câte 4 unghiuri, deci în total 8.

În fiecare punct de intersecție se regăsesc regulile știute: unghiurile alăturate sunt suplementare, iar cele opuse la vârf sunt egale. Așa afli toate cele patru unghiuri dintr-o intersecție, dacă știi unul singur.

Când problema dă raportul dintre două unghiuri adiacente, scrii că suma lor este 180° și împarți în părți egale.

8 unghiuri la două intersecții

unghiuri adiacente: α + β = 180°

opuse la vârf: egale

Dintr-un singur unghi cunoscut le poți deduce pe toate celelalte șapte, dacă dreptele sunt paralele.
„De 3 ori mai mare” înseamnă că cele 180° se împart în 4 părți.

Exemplu rezolvat

La o intersecție, un unghi este de 3 ori mai mare decât unghiul adiacent lui. Cât măsoară unghiul mai mare?

1.Unghiurile adiacente formează împreună 180°, deci avem 1 + 3 = 4 părți egale.
2.O parte măsoară 180° : 4 = 45°.
3.Unghiul mai mare are 3 părți: 3 × 45° = 135°.

Unghiuri alterne interne și alterne externe

Unghiurile alterne interne se află între cele două drepte, de o parte și de alta a secantei. Dacă dreptele sunt paralele, ele au măsuri egale.

Unghiurile alterne externe se află în afara celor două drepte, tot de o parte și de alta a secantei, și sunt și ele egale atunci când dreptele sunt paralele.

Cuvântul „alterne” arată că unghiurile stau de părți opuse ale secantei, iar „interne” sau „externe” spune dacă sunt între drepte sau în afara lor.

a ∥ b ⇒ alterne interne egale

a ∥ b ⇒ alterne externe egale

Egalitatea funcționează doar dacă dreptele sunt paralele.
Când unghiurile sunt date prin expresii, scrii ecuația de egalitate și afli necunoscuta.

Exemplu rezolvat

a ∥ b, iar două unghiuri alterne interne au măsurile 3x + 10° și 70°. Cât este x?

1.Dreptele fiind paralele, unghiurile alterne interne sunt egale: 3x + 10 = 70.
2.Scădem 10: 3x = 60.
3.Împărțim la 3: x = 20°.

Unghiuri corespondente și unghiuri interne de aceeași parte

Unghiurile corespondente ocupă aceeași poziție la cele două intersecții — de exemplu amândouă „sus-stânga”. Dacă dreptele sunt paralele, ele sunt egale.

Unghiurile interne situate de aceeași parte a secantei nu sunt egale, ci suplementare: suma lor este 180°. De aceea, dacă unul are 64°, celălalt are 116°.

a ∥ b ⇒ corespondente egale

interne de aceeași parte: α + β = 180°

Corespondente = egale; interne de aceeași parte = suplementare.
Verifică poziția unghiurilor pe desen înainte să alegi regula.

Exemplu rezolvat

a ∥ b sunt tăiate de o secantă. Un unghi intern de aceeași parte a secantei are 64°. Cât are celălalt?

1.Unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.
2.Scădem din 180°: 180 − 64.
3.Celălalt unghi are 116°.

Cum demonstrezi că două drepte sunt paralele

Toate proprietățile de mai sus funcționează și invers. Dacă o secantă formează cu două drepte unghiuri alterne interne egale — sau alterne externe egale, sau corespondente egale — atunci dreptele sunt paralele.

Această reciprocă este singura cale practică de a dovedi paralelismul: nu poți prelungi dreptele la infinit ca să verifici că nu se întâlnesc, dar poți măsura două unghiuri.

Atenție la sensul implicației: dacă unghiurile nu sunt egale, dreptele sigur nu sunt paralele.

alterne interne egale ⇒ a ∥ b

corespondente egale ⇒ a ∥ b

Egalitatea unghiurilor este dovada paralelismului, nu invers.
Două unghiuri alterne interne diferite arată că dreptele se vor intersecta undeva.

Exemplu rezolvat

Două unghiuri alterne interne au 55° și 60°. Sunt dreptele paralele?

1.Dacă dreptele ar fi paralele, unghiurile alterne interne ar fi egale.
2.Aici măsurile sunt diferite: 55° ≠ 60°.
3.Deci dreptele nu sunt paralele.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Desenează două drepte paralele, m și n, intersectate de o secantă p, și marchează cele 8 unghiuri formate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două drepte paralele, tăiate de p în două puncte; la fiecare punct se formează 4 unghiuri, deci 8 în total (le poți numerota de la 1 la 4 și de la 5 la 8).
Ex. 2Dificultate redusă
Ce proprietate au unghiurile corespondente formate de o secantă cu două drepte paralele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt congruente (au aceeași măsură).
Ex. 3Dificultate redusă
Două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, formând un unghi de 62°. Care este măsura unghiului alternă internă corespunzător?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
62° (unghiurile alterne interne sunt congruente)
Ex. 4Dificultate redusă
Ce proprietate au unghiurile alterne externe formate de o secantă cu două drepte paralele?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt congruente.
Ex. 5Dificultate redusă
Un unghi format la intersecția unei secante cu una dintre două drepte paralele are 105°. Calculează măsura unghiului adiacent lui, la aceeași intersecție.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 105° = 75°
Ex. 6Dificultate medie
Două drepte paralele sunt intersectate de o secantă, formând un unghi de 78°. Calculează măsurile unghiului alternă internă, alternă externă și corespondent, corespunzătoare acestuia.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate au 78°: pe drepte paralele, unghiurile alterne interne, alterne externe și corespondente sunt congruente.
Ex. 7Dificultate medie
O secantă formează, cu două drepte, unghiuri alterne interne de 55° și 55°. Sunt cele două drepte paralele? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: dacă unghiurile alterne interne sunt congruente, dreptele sunt paralele.
Ex. 8Dificultate medie
O secantă formează, cu două drepte, unghiuri corespondente de 68° și 74°. Sunt cele două drepte paralele? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: pe drepte paralele unghiurile corespondente ar fi egale, dar 68° ≠ 74°.
Ex. 9Dificultate medie
Două drepte paralele sunt intersectate de o secantă. Unul dintre unghiuri este de 4 ori mai mare decât unghiul adiacent lui. Află măsurile celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 4x = 180°, deci 36° și 144°.
Ex. 10Dificultate medie
Se dau două drepte paralele, intersectate de o secantă, iar unul dintre unghiurile formate este exprimat ca 3x + 5, iar unghiul lui alternă internă este 2x + 25. Află valoarea lui x și măsura celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 5 = 2x + 25, deci x = 20; ambele unghiuri au 65°.
Ex. 11Dificultate ridicată
Două drepte paralele sunt intersectate de o secantă. Suma dintre un unghi și unghiul lui alternă externă este 170°. Este posibilă această situație, având în vedere proprietatea unghiurilor alterne externe? Explică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: unghiurile alterne externe sunt egale, deci fiecare are 170° : 2 = 85°.
Ex. 12Dificultate ridicată
O secantă intersectează două drepte, formând unghiuri corespondente exprimate ca 5x + 3 și 4x + 13. Află valoarea lui x pentru care cele două drepte ar fi paralele, apoi calculează măsura comună a celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5x + 3 = 4x + 13, deci x = 10; măsura comună este 53°.
Ex. 13Dificultate ridicată
Trei drepte paralele, m, n, p, sunt intersectate de aceeași secantă. Dacă unghiul format de secantă cu dreapta m este 65°, calculează unghiurile corespondente formate cu dreptele n și p.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
65° la fiecare (unghiurile corespondente sunt congruente).
Ex. 14Dificultate ridicată
Două drepte paralele sunt intersectate de o secantă. Unul dintre unghiurile alterne interne este cu 50° mai mic decât unghiul adiacent lui, de la aceeași intersecție. Află măsurile tuturor celor 4 unghiuri formate la acea intersecție.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + (x + 50°) = 180°, deci x = 65°: la acea intersecție unghiurile au 65°, 115°, 65°, 115°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau două drepte, a și b, intersectate de o secantă c. Unghiurile alterne interne formate sunt exprimate ca 4x − 5 și 2x + 25. Determină pentru ce valoare a lui x dreptele a și b sunt paralele, apoi calculează măsura comună a celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x − 5 = 2x + 25, deci x = 15; măsura comună este 55°.
Ex. 16Excelență
Două drepte paralele sunt intersectate de două secante diferite, formând un patrulater în interiorul zonei cuprinse între cele două paralele. Dacă un unghi interior al acestui patrulater, situat la o intersecție, este 70°, iar cel corespunzător lui, de la cealaltă secantă, este 3x + 10, și cele două unghiuri sunt egale (fiind corespondente pe secante paralele), află valoarea lui x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 10 = 70, deci x = 20.
Ex. 18Excelență
Se dau două drepte paralele intersectate de o secantă. Bisectoarele a două unghiuri alterne interne formează, cu secanta, două unghiuri. Explică, folosind proprietățile bisectoarei și ale unghiurilor alterne interne, de ce aceste două unghiuri formate cu secanta au aceeași măsură.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiurile alterne interne au aceeași măsură, α. Bisectoarea împarte fiecare unghi în două jumătăți de α2, deci ambele unghiuri formate cu secanta au α2.
Ex. 19Excelență
O secantă intersectează două drepte, iar suma dintre un unghi și unghiul lui corespondent (de la cealaltă intersecție) este 150°, deși cele două unghiuri ar trebui să fie egale dacă dreptele ar fi paralele. Explică ce se poate deduce despre relația dintre cele două drepte.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Doar din sumă nu putem decide. Dreptele sunt paralele numai dacă cele două unghiuri sunt egale (câte 75°); dacă au măsuri diferite, dreptele nu sunt paralele.
Ex. 20Excelență
Patru drepte paralele sunt intersectate de aceeași secantă. Măsurile celor 4 unghiuri corespondente (câte unul la fiecare intersecție) sunt exprimate ca x, x + 5, x + 10 și x + 15. Explică de ce această situație este imposibilă, având în vedere proprietatea unghiurilor corespondente pe drepte paralele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pe drepte paralele toate unghiurile corespondente sunt egale, dar x, x + 5, x + 10 și x + 15 sunt patru valori diferite. Deci situația este imposibilă.