Încărcăm partea curentă…

Paralelipipedul dreptunghic de la zero · pe desen

O cutie, nu neapărat un cub

O cutie de pantofi închisă este un model de paralelipiped dreptunghic. Este un corp cu șase fețe dreptunghiulare. Are 8 vârfuri și 12 muchii, la fel ca un cub, dar muchiile nu trebuie să aibă toate aceeași lungime.

Cubul este cazul special în care lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale. La o cutie de 6 cm, 3 cm și 2 cm nu putem folosi formulele cubului. Unele fețe ale unui paralelipiped dreptunghic pot fi pătrate: pătratul este și el un dreptunghi.

ABCDEFGHL=6l=3h=2
ABCD este baza; E, F, G, H sunt deasupra lui A, B, C, D, în această ordine. L = AB, l = BC, h = BF. Punctat: muchii ascunse. Schiță în perspectivă, nu la scară. Dimensiuni în cm: L = 6, l = 3, h = 2. Sunt colorate fețele vizibile; în calcul includem și părțile ascunse.

De ținut minte

6 fețe · 12 muchii · 8 vârfuri
cub: toate cele trei dimensiuni egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

O cutie are lungimea 9 cm, lățimea 5 cm și înălțimea 4 cm. Este cub?

ABCDEFGHL=9l=5h=4
ABCD este baza; E, F, G, H sunt deasupra lui A, B, C, D, în această ordine. L = AB, l = BC, h = BF. Punctat: muchii ascunse. Schiță în perspectivă, nu la scară. Dimensiuni în cm: L = 9, l = 5, h = 4.
  1. 1Un cub are muchii egale.
  2. 29, 5 și 4 sunt lungimi diferite.
  3. 3Cutia este paralelipiped dreptunghic, dar nu este cub.

Greșeală frecventă

Greșit: Orice corp cu șase fețe este cub.

De ce: Cubul cere șase fețe pătrate egale; numărul fețelor nu este suficient.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Paralelipipedul dreptunghic de la zero · pe desen: teorie, exemple și exerciții rezolvate

După cub învățăm să lucrăm cu o cutie cu lungime, lățime și înălțime diferite. Fiecare idee are desen, exemplu cu alte date și trei exerciții.

O cutie, nu neapărat un cub

O cutie de pantofi închisă este un model de paralelipiped dreptunghic. Este un corp cu șase fețe dreptunghiulare. Are 8 vârfuri și 12 muchii, la fel ca un cub, dar muchiile nu trebuie să aibă toate aceeași lungime.

Cubul este cazul special în care lungimea, lățimea și înălțimea sunt egale. La o cutie de 6 cm, 3 cm și 2 cm nu putem folosi formulele cubului. Unele fețe ale unui paralelipiped dreptunghic pot fi pătrate: pătratul este și el un dreptunghi.

  • 6 fețe · 12 muchii · 8 vârfuri
  • cub: toate cele trei dimensiuni egale

Exemplu rezolvat, cu alte date

O cutie are lungimea 9 cm, lățimea 5 cm și înălțimea 4 cm. Este cub?

  1. Un cub are muchii egale.
  2. 9, 5 și 4 sunt lungimi diferite.
  3. Cutia este paralelipiped dreptunghic, dar nu este cub.

Greșeală frecventă: Orice corp cu șase fețe este cub. Cubul cere șase fețe pătrate egale; numărul fețelor nu este suficient.

L, l și h: citim cele trei dimensiuni

L mare înseamnă lungime: AB. l mic înseamnă lățime: BC. h înseamnă înălțime: BF. E este deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D. În desen scriem numerele în centimetri, chiar dacă o latură pare mai scurtă în perspectivă.

Există patru muchii de fiecare tip: AB, CD, EF, GH au lungimea L; BC, AD, FG, EH au lățimea l; AE, BF, CG, DH au înălțimea h. Fețele opuse sunt egale. Muchiile vecine ale unei fețe formează 90°, chiar dacă pe ecran unghiul pare oblic.

  • AB = CD = EF = GH = L
  • BC = AD = FG = EH = l
  • AE = BF = CG = DH = h

Exemplu rezolvat, cu alte date

L = 9 cm, l = 5 cm, h = 4 cm. Cât măsoară muchia EH?

  1. EH merge din față spre spate, la fel ca BC.
  2. Este o muchie de tip l.
  3. EH = l = 5 cm.

Greșeală frecventă: Toate muchiile au lungimea L. Doar patru au lungimea L. Celelalte aparțin grupelor l și h.

Scheletul: patru muchii de fiecare tip

Pentru un schelet din sârmă urmărim numai muchiile cutiei. Nu calculăm suprafețe și nici spațiul din interior. Sunt 12 muchii, dar nu înmulțim automat o singură dimensiune cu 12.

Adunăm L + l + h pentru o grupă, apoi înmulțim cu 4. Obținem S = 4 · (L + l + h). S este aici lungimea totală a scheletului. Rezultatul rămâne o lungime, în centimetri, nu în cm2 sau cm3.

  • S = 4L + 4l + 4h = 4 · (L + l + h)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Scheletul cutiei are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Câți centimetri de sârmă folosim pentru toate cele 12 muchii, fără pierderi?

  1. S = 4 · (L + l + h). S înseamnă lungimea totală a scheletului. Nu toate cele 12 muchii au lungimea L: sunt patru de tip L, patru de tip l și patru de tip h.
  2. L + l + h = 18 cm. 9 + 5 + 4 = 18 cm. Această grupă se repetă de patru ori.
  3. S = 72 cm. S = 4 · (9 + 5 + 4) = 4 · 18 = 72 cm.

Greșeală frecventă: S = 12 · L. Formula ar fi valabilă numai dacă L = l = h, adică la cub.

Aria bazei: lungimea ori lățimea

Baza ABCD este fundul cutiei. Are forma unui dreptunghi cu laturile L și l. Pentru a-l acoperi cu hârtie calculăm aria: câte pătrățele de 1 cm2 acoperă fundul fără goluri.

Înmulțim lungimea cu lățimea: A bazei = L · l. Înălțimea h nu intră aici: nu acoperim pereții. Nu folosim L2 decât dacă baza are laturile egale. Aria se scrie în centimetri pătrați, cm2.

  • A bazei = L · l

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Calculează aria bazei ABCD, nu aria întregii cutii.

  1. A bazei = L · l
  2. Fața cerută este un dreptunghi. Ce produs folosește cele două laturi ale ei?
  3. A = L · l. Pentru aria bazei ABCD folosim laturile 9 cm și 5 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
  4. Înlocuim laturile: A = 9 · 5. Ce arie obținem?
  5. A = 45 cm2. A = 9 · 5 = 45 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

Greșeală frecventă: A bazei = L · h. Acest produs descrie fața din față, nu fundul cutiei.

Pereții: alegem cele două laturi ale feței

Fața din față ABFE are lungimea L și înălțimea h, deci aria L · h. Fața din dreapta BCGF are lățimea l și înălțimea h, deci aria l · h. Privește mai întâi fața cerută, nu alege o formulă la întâmplare.

Fiecare față are o copie egală pe partea opusă a cutiei. În total sunt trei perechi de dreptunghiuri: două L × l, două L × h și două l × h. La cub toate se egalau; aici pot avea arii diferite.

  • fața ABFE: L · h
  • fața BCGF: l · h

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Calculează aria feței ABFE, nu aria întregii cutii.

  1. fața ABFE: L · h
  2. Fața cerută este un dreptunghi. Ce produs folosește cele două laturi ale ei?
  3. A = L · h. Pentru aria feței ABFE folosim laturile 9 cm și 4 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
  4. Înlocuim laturile: A = 9 · 4. Ce arie obținem?
  5. A = 36 cm2. A = 9 · 4 = 36 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

Greșeală frecventă: Orice față are aria L · l. L · l este aria bazei. Pentru un perete trebuie folosită și înălțimea h.

Aria laterală: patru pereți, două perechi

Aria laterală, notată Al, înseamnă suprafața celor patru pereți. Fundul și capacul nu intră. În față și în spate avem câte o față de arie L · h; în stânga și în dreapta, câte una de arie l · h.

Întâi calculăm cele două arii diferite, apoi le luăm de două ori: Al = 2Lh + 2lh. O altă scriere este Al = 2 · (L + l) · h: perimetrul bazei ori înălțimea. Este același calcul, nu alt tip de arie.

  • Al = 2 · L · h + 2 · l · h
  • Al = 2 · (L + l) · h

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Calculează aria celor patru pereți, fără fund și capac (aria laterală).

  1. Aria feței ABFE = 36 cm2. ABFE are aria 9 · 4 = 36 cm2; fața opusă are aceeași arie.
  2. Aria feței BCGF = 20 cm2. BCGF are aria 5 · 4 = 20 cm2; și ea are o față opusă egală.
  3. Al = 112 cm2. Al = 2 · 36 + 2 · 20 = 72 + 40 = 112 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.

Greșeală frecventă: Al = 4 · L · h. Cele patru fețe laterale nu sunt obligatoriu egale; două au lățimea l în loc de L.

Aria totală: adăugăm fundul și capacul

Aria totală At acoperă toate cele șase fețe. La cei patru pereți adăugăm două baze egale: fundul și capacul. Fiecare bază are aria L · l.

Putem calcula At = Al + 2L · l sau putem aduna cele trei perechi de fețe: At = 2Ll + 2Lh + 2lh. Nu înmulțim o singură arie cu 6, pentru că fețele nu sunt toate egale.

  • At = Al + 2 · L · l
  • At = 2 · (L · l + L · h + l · h)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Calculează aria tuturor celor șase fețe (aria totală).

  1. Aria feței ABFE = 36 cm2. ABFE are aria 9 · 4 = 36 cm2; fața opusă are aceeași arie.
  2. Aria feței BCGF = 20 cm2. BCGF are aria 5 · 4 = 20 cm2; și ea are o față opusă egală.
  3. Al = 112 cm2. Al = 2 · 36 + 2 · 20 = 72 + 40 = 112 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
  4. A bazei = 45 cm2. A bazei = 9 · 5 = 45 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
  5. At = 202 cm2. At = 112 + 45 + 45 = 202 cm2. Sunt șase fețe, în trei perechi, nu șase copii ale aceleiași fețe.

Greșeală frecventă: At = 6 · L · l. Șase copii ale bazei apar numai la cub; aici avem trei perechi de dreptunghiuri.

Desfășurarea și cutia fără capac

Desfășurarea arată fețele cutiei întinse pe masă, înainte să le îndoim. Nu sunt șase dreptunghiuri puse oricum: laturile care se unesc trebuie să aibă aceeași lungime. Două fețe sunt L × l, două L × h și două l × h.

Fără capac rămân patru pereți și un fund. Calculăm aria laterală, apoi adăugăm o singură bază: A carton = Al + L · l. Nu înmulțim o față cu 5. În aceste probleme ignorăm clapetele, grosimea cartonului și pierderile, așa cum spune cerința.

  • fără capac: A carton = Al + L · l

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 4 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cei patru pereți, fără clapete, suprapuneri sau pierderi?

  1. Aria feței ABFE = 36 cm2. ABFE are aria 9 · 4 = 36 cm2; fața opusă are aceeași arie.
  2. Aria feței BCGF = 20 cm2. BCGF are aria 5 · 4 = 20 cm2; și ea are o față opusă egală.
  3. Al = 112 cm2. Al = 2 · 36 + 2 · 20 = 72 + 40 = 112 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
  4. A bazei = 45 cm2. A bazei = 9 · 5 = 45 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
  5. Aria cartonului = 157 cm2. Aria cartonului = 112 + 45 = 157 cm2. Numărăm cinci fețe, dar nu sunt toate egale.

Greșeală frecventă: Fără capac înseamnă numai aria laterală. Trebuie inclus fundul; altfel cutia ar fi deschisă și jos.

Volumul: cubulețe pe rânduri și straturi

Volumul V măsoară spațiul din interior, nu învelișul cutiei. Un cubuleț cu muchia 1 cm are volumul 1 cm3, citit «un centimetru cub». Pentru dimensiuni întregi putem imagina cutia umplută cu asemenea cubulețe.

La fund avem l rânduri cu L cubulețe, adică L · l pe strat. Avem h straturi: V = L · l · h. De exemplu, 4 pe lungime și 3 pe lățime dau 12 pe strat; dacă sunt 5 straturi, avem 60 cubulețe în total.

  • V = A bazei · h = L · l · h

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 4 cm, l = 3 cm și h = 5 cm. Câți cm3 ocupă? O umplem fără goluri cu cubulețe de muchie 1 cm.

  1. V = A bazei · h = L · l · h
  2. La fund sunt 3 rânduri a câte 4 cubulețe. Câte sunt într-un strat: 4 · 3?
  3. Cubulețe într-un strat = 12. 4 · 3 = 12. Nu ne oprim la fund: cutia are mai multe straturi.
  4. Păstrăm 12 cubulețe pe strat. Avem 5 straturi: cât este V = 12 · 5?
  5. V = 60 cm3. V = L · l · h = 4 · 3 · 5 = 60 cm3. Un cm3 este volumul unui cubuleț de muchie 1 cm.

Greșeală frecventă: V = L + l + h. Volumul numără grupe în trei direcții; dimensiunile se înmulțesc, nu se adună.

Câtă apă încape? Din cm3 în litri

Capacitatea unui recipient spune cât lichid încape în el. Folosim dimensiunile interioare: spațiul dintre pereți. Dacă măsurăm doar exteriorul, nu putem ignora grosimea pereților fără să ni se spună.

Calculăm întâi volumul în cm3. Un litru înseamnă 1000 cm3, deci împărțim la 1000. Litera L poate însemna lungime în formule, dar la răspuns scriem cuvântul «litri» ca să nu le confundăm. Presupunem că umplem recipientul până la margine.

  • 1 litru = 1000 cm3
  • capacitatea în litri = volumul în cm3 : 1000

Exemplu rezolvat, cu alte date

Un recipient are dimensiunile INTERIOARE L = 40 cm, l = 30 cm și h = 20 cm. Câți litri încap până la margine? Folosim 1 litru = 1000 cm3.

  1. A bazei = 1200 cm2. A bazei = 40 · 30 = 1200 cm2. Dimensiunile sunt interioare, deci nu scădem grosimea pereților.
  2. V = 24000 cm3. V = 1200 · 20 = 24000 cm3. Deocamdată rezultatul este în centimetri cubi.
  3. Capacitatea = 24 litri. 24000 cm3 : 1000 = 24 litri. Împărțim la 1000, nu înmulțim.

Greșeală frecventă: Din cm3 în litri înmulțim cu 1000. Un litru este o grupă de 1000 cm3; numărul de grupe se află prin împărțire.

Problema inversă: aflăm înălțimea

Dacă știm volumul, lungimea și lățimea, înălțimea poate fi necunoscută. Aflăm întâi aria bazei L · l. Apoi întrebăm de câte ori se repetă acest strat pentru a obține volumul dat.

Din V = L · l · h obținem h = V : (L · l). Paranteza contează: împărțim la aria bazei, nu la L + l și nici la 3. La final verificăm dacă lungimea, lățimea și înălțimea găsită dau volumul inițial.

  • h = V : (L · l)

Exemplu rezolvat, cu alte date

Volumul cutiei este 180 cm3. Baza are L = 9 cm și l = 5 cm. Află înălțimea h.

  1. A bazei = 45 cm2. A bazei = 9 · 5 = 45 cm2. Această bază se repetă pe înălțime.
  2. h = 180 : 45. Împărțim volumul la aria unui strat: 180 : 45. Nu împărțim la numărul de dimensiuni.
  3. h = 4 cm. h = 180 : 45 = 4 cm. Verificăm: 9 · 5 · 4 = 180 cm3, volumul dat.

Greșeală frecventă: h = V : 3. Trei este numărul dimensiunilor, nu aria unui strat. Trebuie să împărțim la L · l.

Diagonala bazei: Pitagora în dreptunghi

AC unește două colțuri opuse ale bazei ABCD. Triunghiul ABC este dreptunghic în B. Catetele sunt AB = L și BC = l; ipotenuza este AC. Înălțimea h nu intră în acest triunghi.

Pitagora spune AC2 = L2 + l2. Întâi ridicăm cele două lungimi la pătrat și le adunăm. Abia apoi luăm rădăcina pătrată pozitivă. La un dreptunghi nu folosim automat formula a√2 a cubului, deoarece L și l pot fi diferite.

  • AC2 = L2 + l2
  • AC = L2 + l2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 12 cm și h = 4 cm. Află diagonala AC a bazei ABCD. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

  1. AC2 = AB2 + BC2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AC este opusă unghiului de 90°.
  2. AC2 = 225 cm2. AC2 = 81 + 144 = 225 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
  3. AC = 15 cm. AC = √225 = 15 cm, deoarece 15 · 15 = 225. Lungimea este pozitivă.

Greșeală frecventă: AC = L + l. Suma urmărește două muchii. Diagonala este segmentul direct și se află cu Pitagora.

Diagonala unui perete: alegem alt triunghi

AF este diagonala feței ABFE din față. Nu o confundăm cu AC, diagonala fundului. În triunghiul ABF, drept în B, catetele sunt AB = L și BF = h. De această dată lățimea l nu este folosită.

Scriem AF2 = L2 + h2, adunăm pătratele și luăm rădăcina pozitivă. Aceeași metodă se folosește pe fața laterală BCGF: acolo diagonala BG are BG2 = l2 + h2. Înaintea formulei identificăm fața și cele două laturi ale ei.

  • AF2 = L2 + h2
  • pe fața BCGF: BG2 = l2 + h2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 9 cm, l = 5 cm și h = 12 cm. Află diagonala AF a feței din față ABFE. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

  1. AF2 = AB2 + BF2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AF este opusă unghiului de 90°.
  2. AF2 = 225 cm2. AF2 = 81 + 144 = 225 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
  3. AF = 15 cm. AF = √225 = 15 cm, deoarece 15 · 15 = 225. Lungimea este pozitivă.

Greșeală frecventă: Toate diagonalele fețelor au aceeași lungime. Fețele pot avea dimensiuni diferite, deci și diagonalele lor pot fi diferite.

Diagonala interioară: folosim toate cele trei dimensiuni

AG unește două vârfuri opuse și trece prin interiorul cutiei. Alegem triunghiul ACG. CG = h este perpendiculară pe baza ABCD, deci și pe AC; triunghiul ACG este dreptunghic în C, cu ipotenuza AG.

Aflăm întâi AC2 = L2 + l2. Păstrăm acest rezultat și adăugăm CG2 = h2: AG2 = L2 + l2 + h2. Luăm radicalul pozitiv. Dacă suma nu este pătrat perfect, păstrăm un radical: de exemplu √50 = 25 · 2 = 5√2. Nu rotunjim decât dacă se cere.

  • AG2 = AC2 + CG2
  • AG = L2 + l2 + h2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cutia are L = 4 cm, l = 6 cm și h = 12 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

  1. AG2 = AC2 + CG2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AG este opusă unghiului de 90°.
  2. AC2 = 52 cm2. AC2 = 16 + 36 = 52 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG.
  3. AG2 = 196 cm2. AG2 = AC2 + CG2 = 52 + 144 = 196 cm2. Nu am aflat încă lungimea AG.
  4. AG = 14 cm. AG = √196 = 14 cm, deoarece 14 · 14 = 196. Lungimea este pozitivă.

Greșeală frecventă: AG2 = L2 + l2. Aceasta ar calcula AC2. Pentru diagonala interioară mai trebuie adăugat h2.

Exerciții rezolvate din lecție (42)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Cutia are dimensiunile 6 cm, 3 cm și 2 cm. Ce putem spune despre ea?

    Vezi rezolvarea
    1. Este un corp, nu un dreptunghi pe hârtie.
    2. Cele trei dimensiuni sunt diferite.
    3. Nu este cub.

    Răspuns: Este paralelipiped dreptunghic, dar nu cub

  2. Exercițiul 2

    Toate cele trei dimensiuni ale unei cutii sunt de 4 cm. Ce caz special obținem?

    Vezi rezolvarea
    1. L = l = h = 4 cm.
    2. Toate fețele devin pătrate egale.
    3. Acest paralelipiped dreptunghic este cub.

    Răspuns: Un cub

  3. Exercițiul 3

    Ce formă au fețele unui paralelipiped dreptunghic?

    Vezi rezolvarea
    1. Fiecare față are patru unghiuri drepte.
    2. Un pătrat este un dreptunghi cu laturi egale.
    3. Fețele nu trebuie să fie toate pătrate.

    Răspuns: Dreptunghiuri; unele pot fi pătrate

  4. Exercițiul 4

    L = 6 cm, l = 3 cm, h = 2 cm. Cât este EF?

    Vezi rezolvarea
    1. EF este deasupra lui AB.
    2. EF și AB sunt muchii de tip L.
    3. EF = 6 cm.

    Răspuns: 6 cm

  5. Exercițiul 5

    L = 8 cm, l = 4 cm, h = 3 cm. Cât este AD?

    Vezi rezolvarea
    1. AD are același tip ca BC.
    2. Ambele reprezintă lățimea l.
    3. AD = 4 cm.

    Răspuns: 4 cm

  6. Exercițiul 6

    L = 10 cm, l = 6 cm, h = 4 cm. Cât este CG?

    Vezi rezolvarea
    1. CG unește baza cu partea de sus.
    2. Este o muchie verticală, de tip h.
    3. CG = 4 cm.

    Răspuns: 4 cm

  7. Exercițiul 7

    Scheletul cutiei are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Câți centimetri de sârmă folosim pentru toate cele 12 muchii, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. S = 4 · (L + l + h). S înseamnă lungimea totală a scheletului. Nu toate cele 12 muchii au lungimea L: sunt patru de tip L, patru de tip l și patru de tip h.
    2. L + l + h = 10 cm. 5 + 3 + 2 = 10 cm. Această grupă se repetă de patru ori.
    3. S = 40 cm. S = 4 · (5 + 3 + 2) = 4 · 10 = 40 cm.

    Răspuns: S = 40 cm

  8. Exercițiul 8

    Scheletul cutiei are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Câți centimetri de sârmă folosim pentru toate cele 12 muchii, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. S = 4 · (L + l + h). S înseamnă lungimea totală a scheletului. Nu toate cele 12 muchii au lungimea L: sunt patru de tip L, patru de tip l și patru de tip h.
    2. L + l + h = 15 cm. 8 + 4 + 3 = 15 cm. Această grupă se repetă de patru ori.
    3. S = 60 cm. S = 4 · (8 + 4 + 3) = 4 · 15 = 60 cm.

    Răspuns: S = 60 cm

  9. Exercițiul 9

    Scheletul cutiei are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Câți centimetri de sârmă folosim pentru toate cele 12 muchii, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. S = 4 · (L + l + h). S înseamnă lungimea totală a scheletului. Nu toate cele 12 muchii au lungimea L: sunt patru de tip L, patru de tip l și patru de tip h.
    2. L + l + h = 20 cm. 10 + 6 + 4 = 20 cm. Această grupă se repetă de patru ori.
    3. S = 80 cm. S = 4 · (10 + 6 + 4) = 4 · 20 = 80 cm.

    Răspuns: S = 80 cm

  10. Exercițiul 10

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Calculează aria bazei ABCD, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = L · l. Pentru aria bazei ABCD folosim laturile 5 cm și 3 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 15 cm2. A = 5 · 3 = 15 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 15 cm2

  11. Exercițiul 11

    Cutia are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Calculează aria bazei ABCD, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = L · l. Pentru aria bazei ABCD folosim laturile 8 cm și 4 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 32 cm2. A = 8 · 4 = 32 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 32 cm2

  12. Exercițiul 12

    Cutia are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Calculează aria bazei ABCD, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = L · l. Pentru aria bazei ABCD folosim laturile 10 cm și 6 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 60 cm2. A = 10 · 6 = 60 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 60 cm2

  13. Exercițiul 13

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Calculează aria feței ABFE, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = L · h. Pentru aria feței ABFE folosim laturile 5 cm și 2 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 10 cm2. A = 5 · 2 = 10 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 10 cm2

  14. Exercițiul 14

    Cutia are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Calculează aria feței ABFE, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = L · h. Pentru aria feței ABFE folosim laturile 8 cm și 3 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 24 cm2. A = 8 · 3 = 24 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 24 cm2

  15. Exercițiul 15

    Cutia are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Calculează aria feței BCGF, nu aria întregii cutii.

    Vezi rezolvarea
    1. A = l · h. Pentru aria feței BCGF folosim laturile 6 cm și 4 cm. Adunarea laturilor ar calcula altceva, nu suprafața dreptunghiului.
    2. A = 24 cm2. A = 6 · 4 = 24 cm2. Un cm2 este aria unui pătrățel cu latura de 1 cm.

    Răspuns: A = 24 cm2

  16. Exercițiul 16

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Calculează aria celor patru pereți, fără fund și capac (aria laterală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 10 cm2. ABFE are aria 5 · 2 = 10 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 6 cm2. BCGF are aria 3 · 2 = 6 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 32 cm2. Al = 2 · 10 + 2 · 6 = 20 + 12 = 32 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.

    Răspuns: Al = 32 cm2

  17. Exercițiul 17

    Cutia are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Calculează aria celor patru pereți, fără fund și capac (aria laterală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 24 cm2. ABFE are aria 8 · 3 = 24 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 12 cm2. BCGF are aria 4 · 3 = 12 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 72 cm2. Al = 2 · 24 + 2 · 12 = 48 + 24 = 72 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.

    Răspuns: Al = 72 cm2

  18. Exercițiul 18

    Cutia are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Calculează aria celor patru pereți, fără fund și capac (aria laterală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 40 cm2. ABFE are aria 10 · 4 = 40 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 24 cm2. BCGF are aria 6 · 4 = 24 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 128 cm2. Al = 2 · 40 + 2 · 24 = 80 + 48 = 128 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.

    Răspuns: Al = 128 cm2

  19. Exercițiul 19

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Calculează aria tuturor celor șase fețe (aria totală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 10 cm2. ABFE are aria 5 · 2 = 10 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 6 cm2. BCGF are aria 3 · 2 = 6 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 32 cm2. Al = 2 · 10 + 2 · 6 = 20 + 12 = 32 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 15 cm2. A bazei = 5 · 3 = 15 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. At = 62 cm2. At = 32 + 15 + 15 = 62 cm2. Sunt șase fețe, în trei perechi, nu șase copii ale aceleiași fețe.

    Răspuns: At = 62 cm2

  20. Exercițiul 20

    Cutia are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Calculează aria tuturor celor șase fețe (aria totală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 24 cm2. ABFE are aria 8 · 3 = 24 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 12 cm2. BCGF are aria 4 · 3 = 12 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 72 cm2. Al = 2 · 24 + 2 · 12 = 48 + 24 = 72 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 32 cm2. A bazei = 8 · 4 = 32 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. At = 136 cm2. At = 72 + 32 + 32 = 136 cm2. Sunt șase fețe, în trei perechi, nu șase copii ale aceleiași fețe.

    Răspuns: At = 136 cm2

  21. Exercițiul 21

    Cutia are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Calculează aria tuturor celor șase fețe (aria totală).

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 40 cm2. ABFE are aria 10 · 4 = 40 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 24 cm2. BCGF are aria 6 · 4 = 24 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 128 cm2. Al = 2 · 40 + 2 · 24 = 80 + 48 = 128 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 60 cm2. A bazei = 10 · 6 = 60 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. At = 248 cm2. At = 128 + 60 + 60 = 248 cm2. Sunt șase fețe, în trei perechi, nu șase copii ale aceleiași fețe.

    Răspuns: At = 248 cm2

  22. Exercițiul 22

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cei patru pereți, fără clapete, suprapuneri sau pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 10 cm2. ABFE are aria 5 · 2 = 10 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 6 cm2. BCGF are aria 3 · 2 = 6 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 32 cm2. Al = 2 · 10 + 2 · 6 = 20 + 12 = 32 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 15 cm2. A bazei = 5 · 3 = 15 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. Aria cartonului = 47 cm2. Aria cartonului = 32 + 15 = 47 cm2. Numărăm cinci fețe, dar nu sunt toate egale.

    Răspuns: Aria cartonului = 47 cm2

  23. Exercițiul 23

    Cutia are L = 8 cm, l = 4 cm și h = 3 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cei patru pereți, fără clapete, suprapuneri sau pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 24 cm2. ABFE are aria 8 · 3 = 24 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 12 cm2. BCGF are aria 4 · 3 = 12 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 72 cm2. Al = 2 · 24 + 2 · 12 = 48 + 24 = 72 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 32 cm2. A bazei = 8 · 4 = 32 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. Aria cartonului = 104 cm2. Aria cartonului = 72 + 32 = 104 cm2. Numărăm cinci fețe, dar nu sunt toate egale.

    Răspuns: Aria cartonului = 104 cm2

  24. Exercițiul 24

    Cutia are L = 10 cm, l = 6 cm și h = 4 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cei patru pereți, fără clapete, suprapuneri sau pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria feței ABFE = 40 cm2. ABFE are aria 10 · 4 = 40 cm2; fața opusă are aceeași arie.
    2. Aria feței BCGF = 24 cm2. BCGF are aria 6 · 4 = 24 cm2; și ea are o față opusă egală.
    3. Al = 128 cm2. Al = 2 · 40 + 2 · 24 = 80 + 48 = 128 cm2. Acesta este numai învelișul lateral.
    4. A bazei = 60 cm2. A bazei = 10 · 6 = 60 cm2. Fundul și capacul sunt dreptunghiuri egale.
    5. Aria cartonului = 188 cm2. Aria cartonului = 128 + 60 = 188 cm2. Numărăm cinci fețe, dar nu sunt toate egale.

    Răspuns: Aria cartonului = 188 cm2

  25. Exercițiul 25

    Cutia are L = 3 cm, l = 2 cm și h = 2 cm. Câți cm3 ocupă? O umplem fără goluri cu cubulețe de muchie 1 cm.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 6. 3 · 2 = 6. Nu ne oprim la fund: cutia are mai multe straturi.
    2. V = 12 cm3. V = L · l · h = 3 · 2 · 2 = 12 cm3. Un cm3 este volumul unui cubuleț de muchie 1 cm.

    Răspuns: V = 12 cm3

  26. Exercițiul 26

    Cutia are L = 4 cm, l = 3 cm și h = 2 cm. Câți cm3 ocupă? O umplem fără goluri cu cubulețe de muchie 1 cm.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 12. 4 · 3 = 12. Nu ne oprim la fund: cutia are mai multe straturi.
    2. V = 24 cm3. V = L · l · h = 4 · 3 · 2 = 24 cm3. Un cm3 este volumul unui cubuleț de muchie 1 cm.

    Răspuns: V = 24 cm3

  27. Exercițiul 27

    Cutia are L = 5 cm, l = 3 cm și h = 4 cm. Câți cm3 ocupă? O umplem fără goluri cu cubulețe de muchie 1 cm.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 15. 5 · 3 = 15. Nu ne oprim la fund: cutia are mai multe straturi.
    2. V = 60 cm3. V = L · l · h = 5 · 3 · 4 = 60 cm3. Un cm3 este volumul unui cubuleț de muchie 1 cm.

    Răspuns: V = 60 cm3

  28. Exercițiul 28

    Un recipient are dimensiunile INTERIOARE L = 20 cm, l = 10 cm și h = 10 cm. Câți litri încap până la margine? Folosim 1 litru = 1000 cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 200 cm2. A bazei = 20 · 10 = 200 cm2. Dimensiunile sunt interioare, deci nu scădem grosimea pereților.
    2. V = 2000 cm3. V = 200 · 10 = 2000 cm3. Deocamdată rezultatul este în centimetri cubi.
    3. Capacitatea = 2 litri. 2000 cm3 : 1000 = 2 litri. Împărțim la 1000, nu înmulțim.

    Răspuns: Capacitatea = 2 litri

  29. Exercițiul 29

    Un recipient are dimensiunile INTERIOARE L = 30 cm, l = 20 cm și h = 10 cm. Câți litri încap până la margine? Folosim 1 litru = 1000 cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 600 cm2. A bazei = 30 · 20 = 600 cm2. Dimensiunile sunt interioare, deci nu scădem grosimea pereților.
    2. V = 6000 cm3. V = 600 · 10 = 6000 cm3. Deocamdată rezultatul este în centimetri cubi.
    3. Capacitatea = 6 litri. 6000 cm3 : 1000 = 6 litri. Împărțim la 1000, nu înmulțim.

    Răspuns: Capacitatea = 6 litri

  30. Exercițiul 30

    Un recipient are dimensiunile INTERIOARE L = 50 cm, l = 40 cm și h = 30 cm. Câți litri încap până la margine? Folosim 1 litru = 1000 cm3.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 2000 cm2. A bazei = 50 · 40 = 2000 cm2. Dimensiunile sunt interioare, deci nu scădem grosimea pereților.
    2. V = 60000 cm3. V = 2000 · 30 = 60000 cm3. Deocamdată rezultatul este în centimetri cubi.
    3. Capacitatea = 60 litri. 60000 cm3 : 1000 = 60 litri. Împărțim la 1000, nu înmulțim.

    Răspuns: Capacitatea = 60 litri

  31. Exercițiul 31

    Volumul cutiei este 30 cm3. Baza are L = 5 cm și l = 3 cm. Află înălțimea h.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 15 cm2. A bazei = 5 · 3 = 15 cm2. Această bază se repetă pe înălțime.
    2. h = 30 : 15. Împărțim volumul la aria unui strat: 30 : 15. Nu împărțim la numărul de dimensiuni.
    3. h = 2 cm. h = 30 : 15 = 2 cm. Verificăm: 5 · 3 · 2 = 30 cm3, volumul dat.

    Răspuns: h = 2 cm

  32. Exercițiul 32

    Volumul cutiei este 96 cm3. Baza are L = 8 cm și l = 4 cm. Află înălțimea h.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 32 cm2. A bazei = 8 · 4 = 32 cm2. Această bază se repetă pe înălțime.
    2. h = 96 : 32. Împărțim volumul la aria unui strat: 96 : 32. Nu împărțim la numărul de dimensiuni.
    3. h = 3 cm. h = 96 : 32 = 3 cm. Verificăm: 8 · 4 · 3 = 96 cm3, volumul dat.

    Răspuns: h = 3 cm

  33. Exercițiul 33

    Volumul cutiei este 240 cm3. Baza are L = 10 cm și l = 6 cm. Află înălțimea h.

    Vezi rezolvarea
    1. A bazei = 60 cm2. A bazei = 10 · 6 = 60 cm2. Această bază se repetă pe înălțime.
    2. h = 240 : 60. Împărțim volumul la aria unui strat: 240 : 60. Nu împărțim la numărul de dimensiuni.
    3. h = 4 cm. h = 240 : 60 = 4 cm. Verificăm: 10 · 6 · 4 = 240 cm3, volumul dat.

    Răspuns: h = 4 cm

  34. Exercițiul 34

    Cutia are L = 3 cm, l = 4 cm și h = 2 cm. Află diagonala AC a bazei ABCD. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AC este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 25 cm2. AC2 = 9 + 16 = 25 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AC = 5 cm. AC = √25 = 5 cm, deoarece 5 · 5 = 25. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AC = 5 cm

  35. Exercițiul 35

    Cutia are L = 6 cm, l = 8 cm și h = 3 cm. Află diagonala AC a bazei ABCD. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AC este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 100 cm2. AC2 = 36 + 64 = 100 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AC = 10 cm. AC = √100 = 10 cm, deoarece 10 · 10 = 100. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AC = 10 cm

  36. Exercițiul 36

    Cutia are L = 5 cm, l = 12 cm și h = 4 cm. Află diagonala AC a bazei ABCD. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AC este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 169 cm2. AC2 = 25 + 144 = 169 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AC = 13 cm. AC = √169 = 13 cm, deoarece 13 · 13 = 169. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AC = 13 cm

  37. Exercițiul 37

    Cutia are L = 3 cm, l = 2 cm și h = 4 cm. Află diagonala AF a feței din față ABFE. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AF2 = AB2 + BF2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AF este opusă unghiului de 90°.
    2. AF2 = 25 cm2. AF2 = 9 + 16 = 25 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AF = 5 cm. AF = √25 = 5 cm, deoarece 5 · 5 = 25. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AF = 5 cm

  38. Exercițiul 38

    Cutia are L = 6 cm, l = 3 cm și h = 8 cm. Află diagonala AF a feței din față ABFE. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AF2 = AB2 + BF2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AF este opusă unghiului de 90°.
    2. AF2 = 100 cm2. AF2 = 36 + 64 = 100 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AF = 10 cm. AF = √100 = 10 cm, deoarece 10 · 10 = 100. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AF = 10 cm

  39. Exercițiul 39

    Cutia are L = 5 cm, l = 4 cm și h = 12 cm. Află diagonala AF a feței din față ABFE. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AF2 = AB2 + BF2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AF este opusă unghiului de 90°.
    2. AF2 = 169 cm2. AF2 = 25 + 144 = 169 cm2. Acesta este pătratul diagonalei, nu lungimea ei.
    3. AF = 13 cm. AF = √169 = 13 cm, deoarece 13 · 13 = 169. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AF = 13 cm

  40. Exercițiul 40

    Cutia are L = 2 cm, l = 3 cm și h = 6 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AG este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 13 cm2. AC2 = 4 + 9 = 13 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG.
    3. AG2 = 49 cm2. AG2 = AC2 + CG2 = 13 + 36 = 49 cm2. Nu am aflat încă lungimea AG.
    4. AG = 7 cm. AG = √49 = 7 cm, deoarece 7 · 7 = 49. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AG = 7 cm

  41. Exercițiul 41

    Cutia are L = 3 cm, l = 4 cm și h = 12 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AG este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 25 cm2. AC2 = 9 + 16 = 25 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG.
    3. AG2 = 169 cm2. AG2 = AC2 + CG2 = 25 + 144 = 169 cm2. Nu am aflat încă lungimea AG.
    4. AG = 13 cm. AG = √169 = 13 cm, deoarece 13 · 13 = 169. Lungimea este pozitivă.

    Răspuns: AG = 13 cm

  42. Exercițiul 42

    Cutia are L = 3 cm, l = 4 cm și h = 5 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă lungimea exactă, fără aproximare zecimală.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. Pitagora: adunăm pătratele catetelor, nu lungimile lor. AG este opusă unghiului de 90°.
    2. AC2 = 25 cm2. AC2 = 9 + 16 = 25 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG.
    3. AG2 = 50 cm2. AG2 = AC2 + CG2 = 25 + 25 = 50 cm2. Nu am aflat încă lungimea AG.
    4. AG = 5√2 cm. AG = √50 = 25 · 2 = 5√2 cm. Scoatem √25 = 5 și păstrăm √2.

    Răspuns: AG = 5√2 cm

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.