Încărcăm partea curentă…

Cubul de la zero · desene, arii, volum și diagonale

Colț, muchie sau față?

Un zar obișnuit are forma unui cub. Cubul este un corp, nu doar un pătrat desenat: are lungime, lățime și înălțime. Toate suprafețele care îl mărginesc sunt pătrate egale.

Un colț se numește vârf. Un segment de pe contur, între două vârfuri vecine, se numește muchie. O suprafață pătrată se numește față. În desen, muchiile punctate sunt în spate: există, chiar dacă nu le-am vedea printr-o cutie reală.

ABCDEFGH
Cubul ABCDEFGH: E este deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D. Liniile punctate sunt muchii ascunse. Este o perspectivă: lungimile și unghiurile nu se măsoară pe ecran. Mov: suprafața ABFE, delimitată de patru muchii.

De ținut minte

vârf = colț
muchie = segment de pe contur
față = suprafață pătrată

Exemplu rezolvat, cu alte date

Suprafața ABCD este baza de jos. Ce fel de element al cubului este?

ABCDEFGH
Cubul ABCDEFGH: E este deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D. Liniile punctate sunt muchii ascunse. Este o perspectivă: lungimile și unghiurile nu se măsoară pe ecran. Am ales ABCD și EFGH ca baze opuse; celelalte fețe sunt laterale.
  1. 1Nu avem un punct și nici un singur segment.
  2. 2Avem o suprafață mărginită de patru muchii.
  3. 3Suprafața este o față a cubului.

Greșeală frecventă

Greșit: Cubul este un pătrat.

De ce: Pătratul este o figură plană. Cubul este un corp cu fețe pătrate.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Cubul de la zero · desene, arii, volum și diagonale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pornim de la un zar și învățăm să citim desenul unui cub. Lucrezi câte o idee, vezi un exemplu cu alte date, apoi exersezi.

Colț, muchie sau față?

Un zar obișnuit are forma unui cub. Cubul este un corp, nu doar un pătrat desenat: are lungime, lățime și înălțime. Toate suprafețele care îl mărginesc sunt pătrate egale.

Un colț se numește vârf. Un segment de pe contur, între două vârfuri vecine, se numește muchie. O suprafață pătrată se numește față. În desen, muchiile punctate sunt în spate: există, chiar dacă nu le-am vedea printr-o cutie reală.

  • vârf = colț
  • muchie = segment de pe contur
  • față = suprafață pătrată

Exemplu rezolvat, cu alte date

Suprafața ABCD este baza de jos. Ce fel de element al cubului este?

  1. Nu avem un punct și nici un singur segment.
  2. Avem o suprafață mărginită de patru muchii.
  3. Suprafața este o față a cubului.

Greșeală frecventă: Cubul este un pătrat. Pătratul este o figură plană. Cubul este un corp cu fețe pătrate.

Numărăm și ce nu se vede

Jos sunt patru vârfuri A, B, C, D; sus sunt E, F, G, H. E se află deasupra lui A, F deasupra lui B, G deasupra lui C și H deasupra lui D. Literele sunt nume de puncte, nu numere.

Numărăm 4 + 4 = 8 vârfuri. Muchiile sunt grupate în 4 jos, 4 sus și 4 între baze: 12. Fețele sunt 2 baze opuse și 4 fețe laterale: 6. Nu numărăm doar cele trei fețe vizibile în perspectivă.

  • 8 vârfuri
  • 12 muchii
  • 6 fețe

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul a fost rotit și acum vedem doar trei fețe. Câte fețe are corpul întreg?

  1. Rotirea nu schimbă corpul.
  2. Există două baze și patru fețe laterale.
  3. În total sunt 6 fețe, chiar dacă unele sunt ascunse.

Greșeală frecventă: Număr numai muchiile continue. Și muchiile punctate aparțin corpului. Punctarea arată doar perspectiva.

Citim numele și poziția muchiilor

AB numește segmentul dintre A și B. ABFE numește fața din față, parcurgând colțurile ei în ordine. Două litere pot numi și o diagonală: nu orice segment dintre vârfuri este muchie.

Pe o față pătrată, laturile opuse sunt paralele: nu se întâlnesc, oricât le-am prelungi. Laturile vecine formează 90°, deci sunt perpendiculare. Semnul ∥ înseamnă paralel; ⊥ înseamnă perpendicular. În perspectivă unghiul de 90° poate părea oblic.

  • AB ∥ EF
  • AB ⊥ BF

Exemplu rezolvat, cu alte date

Pe fața BCGF, ce muchie este paralelă cu BC?

  1. BCGF este o față pătrată.
  2. Latura opusă lui BC este FG.
  3. BC ∥ FG. BG este diagonală, nu latură a feței.

Greșeală frecventă: AB și AC sunt amândouă muchii. AC unește colțuri opuse ale bazei: este diagonală, nu muchie.

Scheletul cubului: adunăm cele 12 muchii

Notăm cu a lungimea unei muchii. Litera a nu este o muchie în plus: este numărul de centimetri al oricărei muchii. Toate cele 12 muchii ale cubului au aceeași lungime.

Pentru un schelet din sârmă adunăm 12 lungimi egale: 12 · a. Numărul 6 ar număra fețele, iar 8 ar număra vârfurile. L înseamnă lungimea totală a muchiilor, nu o arie.

  • L = 12 · a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Construim scheletul unui cub din sârmă. Fiecare muchie are 8 cm. Câți centimetri de sârmă sunt necesari pentru toate muchiile, fără pierderi?

  1. L = 12 · a
  2. Toate muchiile au lungimea a. Ce formulă adună cele 12 muchii?
  3. L = 12 · a. L este lungimea totală a muchiilor. Folosim 12 segmente egale, nu numărul fețelor sau al vârfurilor.
  4. Înlocuim a cu 8: L = 12 · 8. Cât obținem?
  5. L = 96 cm. L = 96 cm. Lungimile se exprimă în cm, nu cm2.

Greșeală frecventă: L = 6 · a. Cubul are șase fețe, dar douăsprezece muchii. Sârma urmează muchiile.

Aria unei fețe: câte pătrățele acoperă un pătrat?

Aria măsoară suprafața, ca atunci când acoperim o față cu autocolant. Un pătrățel cu latura de 1 cm are aria 1 cm2; citim «un centimetru pătrat».

O față a cubului este un pătrat de latură a. Aria ei este a · a = a2. De exemplu, la o latură de 8 cm, avem 8 rânduri a câte 8 pătrățele. Nu adunăm laturile: aceea ar fi lungimea conturului, numită perimetru.

  • Aria unei fețe = a2 = a · a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia a = 8 cm. Calculează aria unei singure fețe.

  1. Aria unei fețe = a2 = a · a
  2. O față este un pătrat de latură 8 cm. Cât este aria ei: 8 · 8?
  3. Aria unei fețe = 64 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 8 · 8 = 64. Nu calculăm perimetrul.

Greșeală frecventă: Aria unei fețe este 4 · a. 4 · a este perimetrul pătratului; aria este a · a și se exprimă în cm2.

Aria laterală: învelim doar pereții

Alegem ABCD ca baza de jos și EFGH ca baza de sus. Celelalte patru fețe sunt laterale: ABFE, BCGF, CDHG și DAEH. Imaginează-ți o bandă care învelește cutia pe lateral, fără fund și fără capac.

Fiecare față laterală are aria a2. Patru asemenea fețe dau Al = 4 · a2. Al se citește «aria laterală». Întâi calculăm a2, apoi înmulțim cu 4; nu ridicăm tot produsul 4a la pătrat.

  • Al = 4 · a2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia a = 8 cm. Calculăm doar cele patru fețe laterale, fără cele două baze. Cât este aria laterală?

  1. Aria unei fețe = 64 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 8 · 8 = 64. Nu calculăm perimetrul.
  2. 4 fețe. Lateralele sunt cele patru suprafețe din jurul bazelor.
  3. Aria laterală = 256 cm2. Aria laterală = 4 · 64 = 256 cm2.

Greșeală frecventă: Aria laterală are șase fețe. Cele două baze nu intră în aria laterală. Rămân patru fețe.

Aria totală: acoperim și fundul, și capacul

Aria totală înseamnă suprafața tuturor fețelor cubului: cele patru laterale și cele două baze. At se citește «aria totală». În desen colorăm fețele vizibile, dar în calcul le includem și pe cele ascunse.

Toate cele șase fețe sunt pătrate egale, deci At = 6 · a2. Putem verifica și altfel: aria laterală + două arii de bază = 4a2 + 2a2 = 6a2. Vorbim despre suprafață, nu despre ce încape în interior.

  • At = 6 · a2
  • At = Al + 2 · aria bazei

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia a = 8 cm. Calculăm suprafața tuturor celor șase fețe, inclusiv cele ascunse. Cât este aria totală?

  1. Aria unei fețe = 64 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 8 · 8 = 64. Nu calculăm perimetrul.
  2. 6 fețe. Aria totală cuprinde toate cele șase fețe.
  3. Aria totală = 384 cm2. Aria totală = 6 · 64 = 384 cm2.

Greșeală frecventă: Aria totală = 6 · a. Trebuie înmulțită aria unei fețe, a2, nu doar lungimea unei muchii.

Desfășurarea și cutia fără capac

Putem tăia unele muchii și desface cubul pe masă. Obținem o desfășurare formată din șase pătrate egale, lipite pe laturi. Forma de cruce de mai jos este validă: la pliere fețele nu se suprapun. Nu orice aranjament de șase pătrate se închide într-un cub.

O cutie cubică fără capac păstrează fundul și cei patru pereți: cinci pătrate, deci 5 · a2. Aceasta nu este nici aria laterală (4 fețe), nici aria totală a cubului închis (6 fețe). Ignorăm grosimea cartonului, clapetele și pierderile, numai dacă enunțul spune asta.

  • cub închis: 6 pătrate
  • fără capac: 5 · a2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia a = 8 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cele patru fețe laterale, fără pierderi și fără îmbinări?

  1. Aria unei fețe = 64 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 8 · 8 = 64. Nu calculăm perimetrul.
  2. 5 fețe. Un cub închis are șase fețe. Fără capac rămân cinci, nu doar cele patru laterale.
  3. Aria cartonului = 320 cm2. Aria cartonului = 5 · 64 = 320 cm2.

Greșeală frecventă: O cutie fără capac are numai patru fețe. Patru sunt pereții; trebuie adăugat și fundul cutiei.

Volumul: numărăm cubulețele din interior

Volumul măsoară spațiul ocupat sau cât încape în cutie. Un cubuleț cu muchia de 1 cm are volumul 1 cm3; citim «un centimetru cub». Unitatea cm2 acoperă o suprafață; cm3 umple un spațiu.

Dacă muchia este a centimetri întregi, într-un strat sunt a · a cubulețe și avem a straturi. În total: a · a · a = a3. V înseamnă volum. Pe desen vedem grila de pe fețe, dar numărăm și cubulețele ascunse în interior.

  • V = a3 = a · a · a

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia 5 cm. Îl umplem cu cubulețe de muchie 1 cm, fără goluri. Calculează volumul cubului.

  1. V = a3 = a · a · a
  2. Într-un strat avem 5 rânduri a câte 5 cubulețe. Câte cubulețe sunt în strat?
  3. Cubulețe într-un strat = 25. 5 · 5 = 25. Acesta este doar un strat, nu întregul cub.
  4. Avem 5 straturi, fiecare cu 25 cubulețe. Câte cubulețe de 1 cm3 sunt în total?
  5. V = 125 cm3. 25 · 5 = 125. Volumul numără cubulețele din interior.

Greșeală frecventă: V = 6 · a2. 6 · a2 măsoară învelișul cubului. Volumul măsoară interiorul și este a3.

Diagonala unei fețe: întâi un pătrat

AC unește colțuri opuse ale feței ABCD. Nu este muchie: taie pătratul în două triunghiuri. În triunghiul ABC, AB și BC sunt catete egale, iar AC este ipotenuza, latura opusă unghiului de 90° din B.

Pitagora spune că pătratul ipotenuzei este suma pătratelor catetelor: AC2 = AB2 + BC2 = a2 + a2 = 2a2. Luăm rădăcina pătrată pozitivă: AC = a√2. Notația a√2 înseamnă a · √2, nu a + √2. Dacă radicalii nu sunt încă familiari, poți exersa întâi lecțiile lor de bază.

  • AC2 = a2 + a2 = 2a2
  • AC = a√2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia 8 cm. Află diagonala AC a feței ABCD. Dă rezultatul exact, cu radical.

  1. AC2 = AB2 + BC2. AB și BC sunt catetele, iar AC este ipotenuza. Folosim teorema lui Pitagora.
  2. AB2 = BC2 = 64 cm2. AB2 = 8 · 8 = 64 cm2. BC are aceeași lungime, deci și BC2 = 64 cm2.
  3. AC2 = 128 cm2. Înlocuim în Pitagora: AC2 = AB2 + BC2 = 64 + 64 = 128 cm2. Încă nu avem lungimea AC.
  4. AC = 8√2 cm. √64 = 8, deci AC = 8√2 cm. Păstrăm √2; nu îl înlocuim cu 2.

Greșeală frecventă: Diagonala feței este 2a. 2a ar fi suma a două muchii. Diagonala este ipotenuză și se află cu Pitagora.

Diagonala cubului: încă un triunghi dreptunghic

AG unește două vârfuri opuse și trece prin interiorul cubului, nu pe o singură față. O numim diagonală a cubului. Nu o confundăm cu AC, diagonala bazei. Segmentul CG este perpendicular pe baza ABCD, deci formează 90° și cu AC din acea bază.

În triunghiul ACG, drept în C, catetele sunt AC și CG, iar ipotenuza este AG. Știm deja AC2 = 2a2 și CG2 = a2. Atunci AG2 = 2a2 + a2 = 3a2, deci AG = a√3. Folosim pătratele exacte, fără să aproximăm √2 la un număr zecimal.

  • AG2 = AC2 + CG2 = 3a2
  • AG = a√3

Exemplu rezolvat, cu alte date

Cubul are muchia 8 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă rezultatul exact, cu radical.

  1. AG2 = AC2 + CG2. AG este ipotenuza. Pentru pătratul ipotenuzei adunăm pătratele catetelor, AC2 și CG2. Nu adunăm lungimile și nu le înmulțim.
  2. AC2 = 128 cm2. AC2 = 82 + 82 = 64 + 64 = 128 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG; nu trebuie să aproximăm radicalul.
  3. AG2 = 192 cm2. Avem AC2 = 128 cm2 și CG2 = 64 cm2. Le adunăm: AG2 = 128 + 64 = 192 cm2.
  4. AG = 8√3 cm. AG = √192 = 64 · 3 = √64 · √3 = 8√3 cm. Luăm lungimea pozitivă. Este mai mare decât diagonala feței, 8√2 cm.

Greșeală frecventă: AG = a√2. a√2 este diagonala unei fețe; diagonala care traversează interiorul este a√3.

Mergem invers: aflăm muchia, apoi rezolvăm cerința

Dacă avem aria totală, împărțim la 6 ca să aflăm a2. Dacă avem aria laterală, împărțim la 4. Apoi căutăm lungimea pozitivă a muchiei: de exemplu, din a2 = 64 obținem a = 8 cm, fiindcă 8 · 8 = 64. O lungime nu poate fi negativă.

Dacă știm volumul, căutăm numărul care, înmulțit de trei ori cu el însuși, dă acel volum: pentru 512 cm3, 8 · 8 · 8 = 512. Nu împărțim volumul la 3. După ce aflăm muchia, citim din nou cerința: uneori mai avem de calculat volumul, aria sau lungimea sârmei.

  • din At: a2 = At : 6
  • din Al: a2 = Al : 4

Exemplu rezolvat, cu alte date

Aria totală este 384 cm2. Află muchia și volumul cubului.

  1. a2 = 64 cm2. O singură față are 64 cm2.
  2. a = 8 cm. 8 · 8 = 64; alegem lungimea pozitivă.
  3. V = 512 cm3. Mai întâi 8 · 8 = 64, apoi 64 · 8 = 512.

Greșeală frecventă: Muchia = volumul : 3. a3 înseamnă a · a · a, nu 3 · a. Căutăm un număr al cărui cub este volumul.

Exerciții rezolvate din lecție (36)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce element al cubului este încercuit în colțul A?

    Vezi rezolvarea
    1. Cercul mic marchează colțul A.
    2. Un colț al corpului se numește vârf.
    3. A este un vârf, nu întreaga suprafață.

    Răspuns: Un vârf

  2. Exercițiul 2

    Segmentul AB este portocaliu. Ce element al cubului reprezintă?

    Vezi rezolvarea
    1. AB unește două vârfuri vecine de pe contur.
    2. Segmentul se află la întâlnirea a două fețe.
    3. AB este o muchie.

    Răspuns: O muchie

  3. Exercițiul 3

    Ce reprezintă suprafața mov ABFE?

    Vezi rezolvarea
    1. ABFE numește patru vârfuri, parcurse în jurul aceleiași suprafețe.
    2. Această suprafață este un pătrat, chiar dacă perspectiva o deformează.
    3. Este o față a cubului.

    Răspuns: O față pătrată

  4. Exercițiul 4

    Câte vârfuri are cubul, inclusiv cele ascunse în desen?

    Vezi rezolvarea
    1. 4 jos + 4 sus. ABCD are patru vârfuri; EFGH mai are patru. Nu apar colțuri noi la intersecțiile aparente din desen.
    2. Vârfuri = 8. 4 + 4 = 8.

    Răspuns: Vârfuri = 8

  5. Exercițiul 5

    Câte muchii are cubul, inclusiv cele ascunse în desen?

    Vezi rezolvarea
    1. 4 jos + 4 sus + 4 verticale. Fiecare bază pătrată are patru muchii, iar patru muchii unesc bazele.
    2. Muchii = 12. 4 + 4 + 4 = 12, inclusiv cele ascunse.

    Răspuns: Muchii = 12

  6. Exercițiul 6

    Câte fețe are cubul, inclusiv cele ascunse în desen?

    Vezi rezolvarea
    1. Fețe = 6. 2 + 4 = 6. Numărăm și suprafețele ascunse.

    Răspuns: Fețe = 6

  7. Exercițiul 7

    Ce nume descrie fața colorată din fața cubului?

    Vezi rezolvarea
    1. Pornim din A și mergem pe conturul suprafeței: A → B → F → E.
    2. Ne întoarcem apoi în A.
    3. Fața se numește ABFE.

    Răspuns: ABFE

  8. Exercițiul 8

    Care dintre segmentele de mai jos este paralel cu AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB și EF sunt laturi opuse ale feței ABFE.
    2. Laturile opuse ale unui pătrat sunt paralele.
    3. AB ∥ EF.

    Răspuns: EF

  9. Exercițiul 9

    Pe fața ABFE, care muchie este perpendiculară pe AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB și BF sunt laturi vecine ale aceluiași pătrat.
    2. Unghiul lor este 90°.
    3. AB ⊥ BF; celelalte variante sunt paralele cu AB.

    Răspuns: BF

  10. Exercițiul 10

    Construim scheletul unui cub din sârmă. Fiecare muchie are 2 cm. Câți centimetri de sârmă sunt necesari pentru toate muchiile, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. L = 12 · a. L este lungimea totală a muchiilor. Folosim 12 segmente egale, nu numărul fețelor sau al vârfurilor.
    2. L = 24 cm. L = 24 cm. Lungimile se exprimă în cm, nu cm2.

    Răspuns: L = 24 cm

  11. Exercițiul 11

    Construim scheletul unui cub din sârmă. Fiecare muchie are 4 cm. Câți centimetri de sârmă sunt necesari pentru toate muchiile, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. L = 12 · a. L este lungimea totală a muchiilor. Folosim 12 segmente egale, nu numărul fețelor sau al vârfurilor.
    2. L = 48 cm. L = 48 cm. Lungimile se exprimă în cm, nu cm2.

    Răspuns: L = 48 cm

  12. Exercițiul 12

    Construim scheletul unui cub din sârmă. Fiecare muchie are 6 cm. Câți centimetri de sârmă sunt necesari pentru toate muchiile, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. L = 12 · a. L este lungimea totală a muchiilor. Folosim 12 segmente egale, nu numărul fețelor sau al vârfurilor.
    2. L = 72 cm. L = 72 cm. Lungimile se exprimă în cm, nu cm2.

    Răspuns: L = 72 cm

  13. Exercițiul 13

    Cubul are muchia a = 3 cm. Calculează aria unei singure fețe.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 9 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 3 · 3 = 9. Nu calculăm perimetrul.

    Răspuns: Aria unei fețe = 9 cm2

  14. Exercițiul 14

    Cubul are muchia a = 5 cm. Calculează aria unei singure fețe.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 25 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 5 · 5 = 25. Nu calculăm perimetrul.

    Răspuns: Aria unei fețe = 25 cm2

  15. Exercițiul 15

    Cubul are muchia a = 7 cm. Calculează aria unei singure fețe.

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 49 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 7 · 7 = 49. Nu calculăm perimetrul.

    Răspuns: Aria unei fețe = 49 cm2

  16. Exercițiul 16

    Cubul are muchia a = 2 cm. Calculăm doar cele patru fețe laterale, fără cele două baze. Cât este aria laterală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 4 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 2 · 2 = 4. Nu calculăm perimetrul.
    2. 4 fețe. Lateralele sunt cele patru suprafețe din jurul bazelor.
    3. Aria laterală = 16 cm2. Aria laterală = 4 · 4 = 16 cm2.

    Răspuns: Aria laterală = 16 cm2

  17. Exercițiul 17

    Cubul are muchia a = 3 cm. Calculăm doar cele patru fețe laterale, fără cele două baze. Cât este aria laterală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 9 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 3 · 3 = 9. Nu calculăm perimetrul.
    2. 4 fețe. Lateralele sunt cele patru suprafețe din jurul bazelor.
    3. Aria laterală = 36 cm2. Aria laterală = 4 · 9 = 36 cm2.

    Răspuns: Aria laterală = 36 cm2

  18. Exercițiul 18

    Cubul are muchia a = 5 cm. Calculăm doar cele patru fețe laterale, fără cele două baze. Cât este aria laterală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 25 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 5 · 5 = 25. Nu calculăm perimetrul.
    2. 4 fețe. Lateralele sunt cele patru suprafețe din jurul bazelor.
    3. Aria laterală = 100 cm2. Aria laterală = 4 · 25 = 100 cm2.

    Răspuns: Aria laterală = 100 cm2

  19. Exercițiul 19

    Cubul are muchia a = 2 cm. Calculăm suprafața tuturor celor șase fețe, inclusiv cele ascunse. Cât este aria totală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 4 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 2 · 2 = 4. Nu calculăm perimetrul.
    2. 6 fețe. Aria totală cuprinde toate cele șase fețe.
    3. Aria totală = 24 cm2. Aria totală = 6 · 4 = 24 cm2.

    Răspuns: Aria totală = 24 cm2

  20. Exercițiul 20

    Cubul are muchia a = 4 cm. Calculăm suprafața tuturor celor șase fețe, inclusiv cele ascunse. Cât este aria totală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 16 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 4 · 4 = 16. Nu calculăm perimetrul.
    2. 6 fețe. Aria totală cuprinde toate cele șase fețe.
    3. Aria totală = 96 cm2. Aria totală = 6 · 16 = 96 cm2.

    Răspuns: Aria totală = 96 cm2

  21. Exercițiul 21

    Cubul are muchia a = 6 cm. Calculăm suprafața tuturor celor șase fețe, inclusiv cele ascunse. Cât este aria totală?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 36 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 6 · 6 = 36. Nu calculăm perimetrul.
    2. 6 fețe. Aria totală cuprinde toate cele șase fețe.
    3. Aria totală = 216 cm2. Aria totală = 6 · 36 = 216 cm2.

    Răspuns: Aria totală = 216 cm2

  22. Exercițiul 22

    Cubul are muchia a = 3 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cele patru fețe laterale, fără pierderi și fără îmbinări?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 9 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 3 · 3 = 9. Nu calculăm perimetrul.
    2. 5 fețe. Un cub închis are șase fețe. Fără capac rămân cinci, nu doar cele patru laterale.
    3. Aria cartonului = 45 cm2. Aria cartonului = 5 · 9 = 45 cm2.

    Răspuns: Aria cartonului = 45 cm2

  23. Exercițiul 23

    Cubul are muchia a = 4 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cele patru fețe laterale, fără pierderi și fără îmbinări?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 16 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 4 · 4 = 16. Nu calculăm perimetrul.
    2. 5 fețe. Un cub închis are șase fețe. Fără capac rămân cinci, nu doar cele patru laterale.
    3. Aria cartonului = 80 cm2. Aria cartonului = 5 · 16 = 80 cm2.

    Răspuns: Aria cartonului = 80 cm2

  24. Exercițiul 24

    Cubul are muchia a = 5 cm. Cutia nu are capac. Cât carton acoperă fundul și cele patru fețe laterale, fără pierderi și fără îmbinări?

    Vezi rezolvarea
    1. Aria unei fețe = 25 cm2. Înmulțim latura cu ea însăși: 5 · 5 = 25. Nu calculăm perimetrul.
    2. 5 fețe. Un cub închis are șase fețe. Fără capac rămân cinci, nu doar cele patru laterale.
    3. Aria cartonului = 125 cm2. Aria cartonului = 5 · 25 = 125 cm2.

    Răspuns: Aria cartonului = 125 cm2

  25. Exercițiul 25

    Cubul are muchia 2 cm. Îl umplem cu cubulețe de muchie 1 cm, fără goluri. Calculează volumul cubului.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 4. 2 · 2 = 4. Acesta este doar un strat, nu întregul cub.
    2. V = 8 cm3. 4 · 2 = 8. Volumul numără cubulețele din interior.

    Răspuns: V = 8 cm3

  26. Exercițiul 26

    Cubul are muchia 3 cm. Îl umplem cu cubulețe de muchie 1 cm, fără goluri. Calculează volumul cubului.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 9. 3 · 3 = 9. Acesta este doar un strat, nu întregul cub.
    2. V = 27 cm3. 9 · 3 = 27. Volumul numără cubulețele din interior.

    Răspuns: V = 27 cm3

  27. Exercițiul 27

    Cubul are muchia 4 cm. Îl umplem cu cubulețe de muchie 1 cm, fără goluri. Calculează volumul cubului.

    Vezi rezolvarea
    1. Cubulețe într-un strat = 16. 4 · 4 = 16. Acesta este doar un strat, nu întregul cub.
    2. V = 64 cm3. 16 · 4 = 64. Volumul numără cubulețele din interior.

    Răspuns: V = 64 cm3

  28. Exercițiul 28

    Cubul are muchia 2 cm. Află diagonala AC a feței ABCD. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. AB și BC sunt catetele, iar AC este ipotenuza. Folosim teorema lui Pitagora.
    2. AB2 = BC2 = 4 cm2. AB2 = 2 · 2 = 4 cm2. BC are aceeași lungime, deci și BC2 = 4 cm2.
    3. AC2 = 8 cm2. Înlocuim în Pitagora: AC2 = AB2 + BC2 = 4 + 4 = 8 cm2. Încă nu avem lungimea AC.
    4. AC = 2√2 cm. √4 = 2, deci AC = 2√2 cm. Păstrăm √2; nu îl înlocuim cu 2.

    Răspuns: AC = 2√2 cm

  29. Exercițiul 29

    Cubul are muchia 3 cm. Află diagonala AC a feței ABCD. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. AB și BC sunt catetele, iar AC este ipotenuza. Folosim teorema lui Pitagora.
    2. AB2 = BC2 = 9 cm2. AB2 = 3 · 3 = 9 cm2. BC are aceeași lungime, deci și BC2 = 9 cm2.
    3. AC2 = 18 cm2. Înlocuim în Pitagora: AC2 = AB2 + BC2 = 9 + 9 = 18 cm2. Încă nu avem lungimea AC.
    4. AC = 3√2 cm. √9 = 3, deci AC = 3√2 cm. Păstrăm √2; nu îl înlocuim cu 2.

    Răspuns: AC = 3√2 cm

  30. Exercițiul 30

    Cubul are muchia 5 cm. Află diagonala AC a feței ABCD. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = AB2 + BC2. AB și BC sunt catetele, iar AC este ipotenuza. Folosim teorema lui Pitagora.
    2. AB2 = BC2 = 25 cm2. AB2 = 5 · 5 = 25 cm2. BC are aceeași lungime, deci și BC2 = 25 cm2.
    3. AC2 = 50 cm2. Înlocuim în Pitagora: AC2 = AB2 + BC2 = 25 + 25 = 50 cm2. Încă nu avem lungimea AC.
    4. AC = 5√2 cm. √25 = 5, deci AC = 5√2 cm. Păstrăm √2; nu îl înlocuim cu 2.

    Răspuns: AC = 5√2 cm

  31. Exercițiul 31

    Cubul are muchia 2 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. AG este ipotenuza. Pentru pătratul ipotenuzei adunăm pătratele catetelor, AC2 și CG2. Nu adunăm lungimile și nu le înmulțim.
    2. AC2 = 8 cm2. AC2 = 22 + 22 = 4 + 4 = 8 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG; nu trebuie să aproximăm radicalul.
    3. AG2 = 12 cm2. Avem AC2 = 8 cm2 și CG2 = 4 cm2. Le adunăm: AG2 = 8 + 4 = 12 cm2.
    4. AG = 2√3 cm. AG = √12 = 4 · 3 = √4 · √3 = 2√3 cm. Luăm lungimea pozitivă. Este mai mare decât diagonala feței, 2√2 cm.

    Răspuns: AG = 2√3 cm

  32. Exercițiul 32

    Cubul are muchia 4 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. AG este ipotenuza. Pentru pătratul ipotenuzei adunăm pătratele catetelor, AC2 și CG2. Nu adunăm lungimile și nu le înmulțim.
    2. AC2 = 32 cm2. AC2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG; nu trebuie să aproximăm radicalul.
    3. AG2 = 48 cm2. Avem AC2 = 32 cm2 și CG2 = 16 cm2. Le adunăm: AG2 = 32 + 16 = 48 cm2.
    4. AG = 4√3 cm. AG = √48 = 16 · 3 = √16 · √3 = 4√3 cm. Luăm lungimea pozitivă. Este mai mare decât diagonala feței, 4√2 cm.

    Răspuns: AG = 4√3 cm

  33. Exercițiul 33

    Cubul are muchia 6 cm. Află diagonala AG care trece prin interior. Dă rezultatul exact, cu radical.

    Vezi rezolvarea
    1. AG2 = AC2 + CG2. AG este ipotenuza. Pentru pătratul ipotenuzei adunăm pătratele catetelor, AC2 și CG2. Nu adunăm lungimile și nu le înmulțim.
    2. AC2 = 72 cm2. AC2 = 62 + 62 = 36 + 36 = 72 cm2. Păstrăm acest rezultat pentru triunghiul ACG; nu trebuie să aproximăm radicalul.
    3. AG2 = 108 cm2. Avem AC2 = 72 cm2 și CG2 = 36 cm2. Le adunăm: AG2 = 72 + 36 = 108 cm2.
    4. AG = 6√3 cm. AG = √108 = 36 · 3 = √36 · √3 = 6√3 cm. Luăm lungimea pozitivă. Este mai mare decât diagonala feței, 6√2 cm.

    Răspuns: AG = 6√3 cm

  34. Exercițiul 34

    Aria totală a cubului este 54 cm2. Află muchia, apoi volumul.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 9 cm2. Fiecare față are 9 cm2.
    2. a = 3 cm. 3 · 3 = 9.
    3. V = 27 cm3. 9 · 3 = 27.

    Răspuns: V = 27 cm3

  35. Exercițiul 35

    Aria laterală este 100 cm2. Află muchia, apoi aria totală a cubului.

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 25 cm2. O față are 25 cm2.
    2. a = 5 cm. 5 · 5 = 25.
    3. At = 150 cm2. Aria totală are șase fețe, nu doar cele patru laterale.

    Răspuns: At = 150 cm2

  36. Exercițiul 36

    Volumul cubului este 64 cm3. Câți centimetri de sârmă sunt necesari pentru scheletul său, fără pierderi?

    Vezi rezolvarea
    1. a = 4 cm. 4 · 4 · 4 = 64.
    2. L = 48 cm. Scheletul are lungimea totală 48 cm.

    Răspuns: L = 48 cm

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.