Poliedre

Un poliedru este un corp mărginit de poligoane. Pentru orice poliedru convex, numărul vârfurilor, muchiilor și fețelor respectă relația lui Euler.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cubul ABCDA′B′C′D′ are 8 vârfuri, 12 muchii și 6 fețe. AB ∥ CD, iar AB și CC′ sunt necoplanare: nu sunt paralele și nu se întâlnesc. Muchiile punctate sunt ascunse în această perspectivă.

Ce este un poliedru

Un poliedru este un corp geometric mărginit numai de fețe plane, care sunt poligoane. Elementele lui sunt fețele, muchiile — segmentele în care se întâlnesc două fețe — și vârfurile.

Corpurile rotunde, cum sunt cilindrul, conul și sfera, nu sunt poliedre, fiindcă au suprafețe curbe.

Prisma și piramida sunt cele mai cunoscute poliedre: prisma are două baze identice, iar piramida una singură și un vârf.

poliedru = corp cu fețe poligonale

cilindrul, conul și sfera nu sunt poliedre

O singură suprafață curbă e de ajuns ca un corp să nu mai fie poliedru.
Cubul este poliedrul cu 6 fețe pătrate egale.

Exemplu rezolvat

Care corp nu este poliedru: cubul, prisma, piramida sau cilindrul?

1.Cubul, prisma și piramida au toate fețele poligoane plane.
2.Cilindrul are două baze circulare și o suprafață laterală curbă.
3.Deci cilindrul nu este poliedru.

Relația lui Euler

Pentru orice poliedru convex există o legătură fixă între numărul de vârfuri V, de muchii M și de fețe F: V − M + F = 2. Se numește relația lui Euler.

Ea permite aflarea unui număr necunoscut, când le știi pe celelalte două. Pentru V = 6 și M = 12 rezultă F = 2 − 6 + 12 = 8.

Verificarea pe cub este imediată: 8 − 12 + 6 = 2.

V − M + F = 2

cub: 8 − 12 + 6 = 2

Relația este valabilă doar pentru poliedre convexe.
Verific-o mereu pe un corp cunoscut, ca să fii sigur că ai scris-o corect.

Exemplu rezolvat

Un poliedru convex are 12 vârfuri și 30 de muchii. Câte fețe are?

1.Scriem relația lui Euler: 12 − 30 + F = 2.
2.Calculăm: −18 + F = 2.
3.Rezultă F = 20 de fețe.

Numărul de elemente la prismă și piramidă

O piramidă cu baza un poligon cu n laturi are n + 1 vârfuri (cele ale bazei plus vârful), 2n muchii (n la bază și n laterale) și n + 1 fețe.

O prismă cu baza un poligon cu n laturi are 2n vârfuri, 3n muchii și n + 2 fețe: cele n laterale plus cele două baze.

Formulele merg și invers: dacă o piramidă are 10 muchii, atunci 2n = 10, deci baza are 5 laturi.

piramidă: V = n + 1, M = 2n, F = n + 1

prismă: V = 2n, M = 3n, F = n + 2

Numărul de fețe laterale este egal cu numărul laturilor bazei.
Verifică rezultatele cu relația lui Euler.

Exemplu rezolvat

Câte fețe are o prismă cu baza hexagon?

1.Baza are 6 laturi, deci prisma are 6 fețe laterale.
2.La ele se adaugă cele două baze.
3.În total, prisma are 8 fețe.

Poliedrele regulate

Un poliedru este regulat dacă toate fețele lui sunt poligoane regulate identice și în fiecare vârf se întâlnesc tot atâtea muchii.

Există exact cinci astfel de corpuri, numite corpuri platonice: tetraedrul cu 4 fețe triunghiulare, cubul cu 6 fețe pătrate, octaedrul cu 8 fețe triunghiulare, dodecaedrul cu 12 fețe pentagonale și icosaedrul cu 20 de fețe triunghiulare.

Faptul că sunt doar cinci se demonstrează chiar cu relația lui Euler.

5 poliedre regulate

tetraedru: V = 4, M = 6, F = 4

Fețele unui poliedru regulat sunt identice între ele.
Cubul este singurul poliedru regulat cu fețe pătrate.

Exemplu rezolvat

Un tetraedru are 4 vârfuri și 4 fețe. Câte muchii are?

1.Aplicăm relația lui Euler: 4 − M + 4 = 2.
2.Calculăm: 8 − M = 2.
3.Rezultă M = 6 muchii.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce sunt vârfurile unui poliedru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Punctele în care se întâlnesc muchiile (colțurile poliedrului).
Ex. 2Dificultate redusă
Ce este un poliedru convex?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un poliedru „fără scobituri”: segmentul dintre oricare două puncte ale lui rămâne în interior.
Ex. 3Dificultate redusă
Scrie relația lui Euler pentru poliedre convexe.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V − M + F = 2
Ex. 4Dificultate redusă
Câte fețe are un octaedru regulat? Dar un dodecaedru regulat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Octaedrul regulat are 8 fețe, dodecaedrul regulat 12.
Ex. 5Dificultate redusă
Un poliedru are V=5, M=8. Calculează F, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F = 2 − V + M = 2 − 5 + 8 = 5
Ex. 6Dificultate medie
Un poliedru are V=5, F=5. Calculează M, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M = V + F − 2 = 8
Ex. 7Dificultate medie
Enumeră cele 5 poliedre regulate, cu numărul de fețe al fiecăruia.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Tetraedrul (4 fețe), cubul sau hexaedrul (6), octaedrul (8), dodecaedrul (12), icosaedrul (20).
Ex. 8Dificultate medie
Un icosaedru regulat are 20 fețe și 12 vârfuri. Calculează numărul de muchii, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M = V + F − 2 = 12 + 20 − 2 = 30
Ex. 9Dificultate medie
Un poliedru are M=10, F=6. Calculează V, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 2 + M − F = 2 + 10 − 6 = 6
Ex. 10Dificultate medie
Explică ce înseamnă că, pentru orice 2 puncte din interiorul unui poliedru convex, segmentul care le unește rămâne în interior.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Poliedrul nu are nicio „scobitură”: oricum ai alege două puncte din el, segmentul care le unește nu iese în afara lui.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un dodecaedru regulat are 12 fețe și 30 muchii. Calculează numărul de vârfuri, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 2 + 30 − 12 = 20
Ex. 12Dificultate ridicată
Un tetraedru regulat are 4 fețe și 4 vârfuri. Calculează numărul de muchii, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M = 4 + 4 − 2 = 6
Ex. 13Dificultate ridicată
O piramidă cu baza pentagonală (5 laturi) are un vârf comun tuturor fețelor laterale. Calculează numărul de vârfuri, numărul de fețe, apoi calculează numărul de muchii, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 5 + 1 = 6, F = 5 + 1 = 6, deci M = 6 + 6 − 2 = 10.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un poliedru are toate fețele pătrate, cu V=8 și F=6 (acesta este un cub). Verifică relația lui Euler, calculând M.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M = 8 + 6 − 2 = 12, exact numărul de muchii al cubului: relația se verifică.
Ex. 15Dificultate ridicată
O prismă cu baza pătrată are 2 baze pătrate și 4 fețe laterale dreptunghiulare. Calculează numărul de vârfuri, apoi calculează numărul de muchii, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
V = 8, F = 6, deci M = 8 + 6 − 2 = 12.
Ex. 16Excelență
O prismă are baza un poligon cu n laturi (n necunoscut). Știind că prisma are, în total, 3n muchii (n pe fiecare bază, plus n muchii laterale), și că are 2n vârfuri, determină formula numărului de fețe (F), folosind relația lui Euler, în funcție de n, apoi verifică pentru n=4 (prismă cu baza pătrată).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F = 2 − 2n + 3n = n + 2. Pentru n = 4: F = 6 (2 baze și 4 fețe laterale).
Ex. 17Excelență
O piramidă are baza un poligon cu n laturi. Știind că piramida are n+1 vârfuri (n la bază, plus vârful) și 2n muchii (n la bază, plus n laterale), determină formula numărului de fețe (F) în funcție de n, folosind relația lui Euler, apoi verifică pentru n=3 (piramidă cu baza triunghiulară, adică tetraedru).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
F = 2 − (n + 1) + 2n = n + 1. Pentru n = 3: F = 4 (tetraedrul).
Ex. 18Excelență
Se dă un poliedru cu 12 vârfuri, fiecare vârf fiind punctul de întâlnire a exact 3 muchii. Explică, folosind faptul că fiecare muchie leagă 2 vârfuri (deci este "numărată" de 2 ori dacă se însumează muchiile din fiecare vârf), de ce numărul total de muchii este M = (12×3):2 = 18, apoi calculează numărul de fețe, folosind relația lui Euler.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Adunând muchiile din fiecare vârf obții 12 × 3 = 36, dar fiecare muchie a fost numărată de două ori (o dată la fiecare capăt), deci M = 18. Atunci F = 2 − 12 + 18 = 8.
Ex. 19Excelență
Suma unghiurilor tuturor fețelor unui poliedru se calculează cu formula S = (V−2) × 360° (formulă avansată, dedusă din relația lui Euler). Aplică această formulă pentru un cub (V=8), apoi verifică rezultatul, știind că fiecare din cele 6 fețe pătrate are suma unghiurilor 360° (6 fețe × 360° = 2160°, verifică dacă coincide cu formula).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(8 − 2) × 360° = 2.160°, la fel ca 6 × 360°: rezultatele coincid.
Ex. 20Excelență
Explică, folosind proprietățile poliedrelor regulate, de ce nu poate exista un poliedru regulat cu fețe hexagonale (indiciu: gândește-te la unghiul unui hexagon regulat, 120°, și la faptul că, pentru a forma un vârf al unui poliedru, suma unghiurilor fețelor care se întâlnesc acolo trebuie să fie strict mai mică de 360° — verifică ce se întâmplă cu 3 hexagoane întâlnite într-un vârf).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiul hexagonului regulat are 120°. Într-un vârf se întâlnesc cel puțin 3 fețe, iar 3 × 120° = 360°: fețele stau în același plan, nu formează un colț. Cu mai multe fețe suma ar depăși 360°. Deci nu există.