Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

▱

Încărcăm partea curentă…

Prisma

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce este o prismă

Prisma este poliedrul cu două baze identice și paralele, legate prin fețe laterale. Într-o prismă dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe baze, iar fețele laterale sunt dreptunghiuri.

Înălțimea prismei drepte este chiar lungimea muchiei laterale.

Cazuri particulare cunoscute: cubul, cu toate fețele pătrate egale, și paralelipipedul dreptunghic, cu toate fețele dreptunghiuri.

De ținut minte

prisma are 2 baze identice

prismă dreaptă: fețe laterale dreptunghiuri

h = muchia laterală

Bazele sunt identice și paralele; fețele laterale le unesc.
La prisma dreaptă, înălțimea este muchia laterală, fără alte calcule.

Exemplu rezolvat · alte date

O prismă oblică are baza triunghi. Ce forme au fețele laterale?

1Fețele laterale ale oricărei prisme sunt paralelograme.
2Doar pentru prisma dreaptă ele sunt dreptunghiuri.
3În cazul oblic, concluzia sigură este paralelograme, nu dreptunghiuri.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Prisma: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Prisma are două baze poligonale congruente și paralele. La prisma dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri, aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea.

Ce este o prismă

Înălțimea prismei drepte este chiar lungimea muchiei laterale.

Cazuri particulare cunoscute: cubul, cu toate fețele pătrate egale, și paralelipipedul dreptunghic, cu toate fețele dreptunghiuri.

prisma are 2 baze identice
prismă dreaptă: fețe laterale dreptunghiuri
h = muchia laterală

Bazele sunt identice și paralele; fețele laterale le unesc.
La prisma dreaptă, înălțimea este muchia laterală, fără alte calcule.

Exemplu rezolvat · alte date

O prismă oblică are baza triunghi. Ce forme au fețele laterale?

Fețele laterale ale oricărei prisme sunt paralelograme.
Doar pentru prisma dreaptă ele sunt dreptunghiuri.
În cazul oblic, concluzia sigură este paralelograme, nu dreptunghiuri.

Aria laterală și aria totală

Aria laterală a unei prisme drepte se calculează înmulțind perimetrul bazei cu înălțimea: A_l = P_b × h. Practic, desfășurând fețele laterale, obții un dreptunghi mare.

Aria totală se obține adunând la aria laterală cele două baze: A_t = A_l + 2 × A_b.

Pentru cub, cu muchia a, toate cele șase fețe sunt pătrate, deci A_t = 6a².

A_l = P_b × h
A_t = A_l + 2 × A_b
cub: A_t = 6a²

Ariile se exprimă în cm², volumele în cm³.
La prisma triunghiulară regulată, perimetrul bazei este 3 × latura.

Exemplu rezolvat

O prismă triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 10 cm. Calculează aria laterală.

Baza este un triunghi echilateral, deci perimetrul ei este 3 × 6 = 18 cm.
Aplicăm formula: A_l = 18 × 10.
Aria laterală este 180 cm².

Volumul prismei

Volumul unei prisme se calculează înmulțind aria bazei cu înălțimea: V = A_b × h.

Pentru paralelipipedul dreptunghic cu dimensiunile a, b și c, formula devine V = a × b × c, iar pentru cub, V = a³.

Formula merge și invers: din volum și înălțime afli aria bazei, împărțind.

V = A_b × h
paralelipiped: V = a × b × c
cub: V = a³

Volumul se exprimă în cm³, m³ sau litri.
Toate dimensiunile trebuie aduse la aceeași unitate înainte de calcul.

Exemplu rezolvat

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 5 cm. Calculează volumul.

Aria bazei este 3 × 4 = 12 cm².
Înmulțim cu înălțimea: 12 × 5.
Volumul este 60 cm³.

Paralelipipedul și capacitatea în litri

La paralelipipedul dreptunghic, volumul se calculează direct din cele trei dimensiuni: V = a × b × c. Un paralelipiped de 3 cm pe 4 cm pe 5 cm are volumul 60 cm³.

Volumul unui vas se numește capacitate și se exprimă des în litri. Legătura cu unitățile de volum este 1 litru = 1 000 cm³, iar 1 m³ = 1 000 litri.

Un vas cubic cu muchia de 20 cm are volumul 20³ = 8 000 cm³, deci 8 litri.

De aceea, la probleme practice, calculezi întâi volumul în centimetri cubi, apoi împarți la 1 000.

1 l = 1 000 cm³
1 m³ = 1 000 l
8 000 cm³ = 8 l

Transformă în litri doar la final, după ce ai calculat volumul.
Un decimetru cub este exact un litru.

Exemplu rezolvat

Un vas în formă de cub cu muchia de 20 cm este plin cu apă. Câți litri conține?

Volumul cubului este 20³ = 8 000 cm³.
Împărțim la 1 000, fiindcă 1 litru are 1 000 cm³.
Vasul conține 8 litri.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
O prismă are aria bazei 20 cm² și înălțimea 8 cm. Calculează volumul.
Vezi rezolvarea
1. V = 20 · 8 = 160 cm³.
Răspuns: 160
Exercițiul 2
Câte baze are o prismă?
Vezi rezolvarea
1. Orice prismă are două baze.
Răspuns: 2
Exercițiul 3
Ce formă au fețele laterale ale unei prisme drepte?
Vezi rezolvarea
1. În prisma dreaptă, fețele laterale sunt dreptunghiuri.
Răspuns: Dreptunghiuri
Exercițiul 4
O prismă dreaptă are perimetrul bazei 18 cm și înălțimea 7 cm. Calculează aria laterală.
Vezi rezolvarea
1. A_l = 18 · 7 = 126 cm².
Răspuns: 126
Exercițiul 5
Care este volumul unei prisme cu A_b = 25 cm² și h = 6 cm?
Vezi rezolvarea
1. V = 25 · 6 = 150 cm³.
Răspuns: 150 cm³
Exercițiul 6
O prismă are aria bazei 18 cm² și înălțimea 5 cm. Calculează volumul, în cm³.
Vezi rezolvarea
1. V = 18 · 5.
2. V = 90.
3. Volumul este 90 cm³.
Răspuns: 90
Exercițiul 7
O prismă dreaptă are perimetrul bazei 24 cm și înălțimea 10 cm. Calculează aria laterală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. A_l = 24 · 10.
2. A_l = 240.
3. Aria laterală este 240 cm².
Răspuns: 240
Exercițiul 8
Un cub are muchia 3 cm. Calculează aria totală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. O față are 3 · 3 = 9 cm².
2. 6 fețe: 6 · 9.
3. A_t = 54 cm².
Răspuns: 54
Exercițiul 9
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 5 cm. Calculează volumul, în cm³.
Vezi rezolvarea
1. V = 3 · 4 · 5.
2. V = 60.
3. Volumul este 60 cm³.
Răspuns: 60
Exercițiul 10
O prismă triunghiulară regulată are latura bazei 6 cm și înălțimea 10 cm. Calculează aria laterală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. Perimetrul bazei: 3 · 6 = 18 cm.
2. A_l = 18 · 10.
3. A_l = 180 cm².
Răspuns: 180
Exercițiul 11
Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 2 cm, 3 cm și 4 cm. Calculează aria totală, în cm².
Vezi rezolvarea
1. Ll = 6, lh = 12, Lh = 8.
2. 6 + 12 + 8 = 26.
3. A_t = 2 · 26 = 52 cm².
Răspuns: 52
Exercițiul 12
Un vas în formă de cub cu muchia de 20 cm este plin cu apă. Câți litri de apă conține?
Vezi rezolvarea
1. V = 20 · 20 · 20 = 8 000 cm³.
2. 8 000 cm³ = 8 dm³.
3. Vasul conține 8 litri.
Răspuns: 8

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
O prismă dreaptă are baza un pătrat cu latura 7 cm, iar înălțimea 10 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
A_l = 4 × 7 × 10 = 280 cm²
2. Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează volumul prismei.
Vezi răspunsul
V = 7² × 10 = 490 cm³
3. Dificultate redusă
Ce este o prismă regulată?
Vezi răspunsul
O prismă dreaptă a cărei bază este un poligon regulat.
4. Dificultate redusă
Ce formă au bazele unei prisme?
Vezi răspunsul
Sunt poligoane congruente, așezate în plane paralele.
5. Dificultate redusă
O prismă are baza un triunghi cu aria 18 cm² și înălțimea 9 cm. Calculează volumul.
Vezi răspunsul
V = 18 × 9 = 162 cm³
6. Dificultate medie
O prismă dreaptă are baza un dreptunghi cu dimensiunile 5 cm și 8 cm, iar înălțimea 12 cm. Calculează aria laterală, aria totală, apoi volumul.
Vezi răspunsul
A_l = 2 × (5 + 8) × 12 = 312 cm²; A_t = 312 + 2 × 40 = 392 cm²; V = 40 × 12 = 480 cm³.
7. Dificultate medie
O prismă are baza un hexagon regulat cu latura 6 cm și înălțimea 14 cm. Calculează aria laterală.
Vezi răspunsul
A_l = 6 × 6 × 14 = 504 cm²
8. Dificultate medie
O prismă triunghiulară dreaptă are baza un triunghi dreptunghic cu catetele 9 cm și 12 cm, iar înălțimea prismei este 18 cm. Calculează aria bazei, apoi volumul prismei.
Vezi răspunsul
A_b = 9 × 12 : 2 = 54 cm²; V = 54 × 18 = 972 cm³.
9. Dificultate medie
O prismă are volumul de 320 cm³ și aria bazei de 32 cm². Calculează înălțimea prismei.
Vezi răspunsul
h = 320 : 32 = 10 cm
10. Dificultate medie
O prismă are aria laterală de 240 cm², perimetrul bazei 20 cm. Calculează înălțimea prismei.
Vezi răspunsul
h = 240 : 20 = 12 cm
11. Dificultate ridicată
O prismă dreaptă are baza un triunghi echilateral cu latura 10 cm, iar înălțimea prismei este 18 cm. Calculează aria bazei, aria laterală, aria totală, și volumul.
Vezi răspunsul
A_b = 10²√34 = 25√3 ≈ 43,3 cm²; A_l = 30 × 18 = 540 cm²; A_t = 540 + 50√3 ≈ 626,6 cm²; V = 25√3 × 18 = 450√3 ≈ 779,4 cm³.
12. Dificultate ridicată
Un bazin de înot are forma unei prisme drepte cu baza un dreptunghi de 30 m × 15 m, iar adâncimea este 2,5 m. Calculează volumul de apă necesar pentru a umple bazinul complet.
Vezi răspunsul
30 × 15 × 2,5 = 1.125 m³
13. Dificultate ridicată
O prismă dreaptă are baza un pentagon regulat cu perimetrul 50 cm și aria 170 cm². Dacă volumul prismei este 3400 cm³, calculează înălțimea prismei.
Vezi răspunsul
h = 3.400 : 170 = 20 cm
14. Dificultate ridicată
O prismă are baza un romb cu diagonalele 16 cm și 20 cm, iar înălțimea prismei este 25 cm. Calculează aria bazei, apoi volumul prismei.
Vezi răspunsul
A_b = 16 × 20 : 2 = 160 cm²; V = 160 × 25 = 4.000 cm³.
15. Dificultate ridicată
O prismă dreaptă cu baza pătrată are toate muchiile egale, formând un cub. Dacă latura este 8 cm, calculează aria totală și volumul.
Vezi răspunsul
A_t = 6 × 64 = 384 cm²; V = 8³ = 512 cm³.
16. Excelență
O prismă dreaptă are baza un trapez isoscel cu bazele de 10 cm și 6 cm, laturile laterale de 5 cm fiecare, iar înălțimea trapezului este 4 cm. Dacă înălțimea prismei este 12 cm, calculează aria laterală, aria totală, și volumul.
Vezi răspunsul
Perimetrul bazei: 10 + 6 + 5 + 5 = 26 cm, deci A_l = 26 × 12 = 312 cm². A_b = (10 + 6) × 4 : 2 = 32 cm², A_t = 312 + 64 = 376 cm², V = 32 × 12 = 384 cm³.
17. Excelență
Un rezervor în formă de prismă dreaptă, cu baza un hexagon regulat cu latura 3 m, are volumul de 400 m³. Calculează aria bazei (folosind formula hexagonului regulat, A = latura² × 3√32, aproximând √3≈1,73), apoi calculează înălțimea rezervorului.
Vezi răspunsul
A_b = 9 × 3 × 1,73 : 2 ≈ 23,36 m²; înălțimea: 400 : 23,36 ≈ 17,13 m.
18. Excelență
O prismă dreaptă cu baza pătrată are aria totală de 208 cm², iar latura bazei este 6 cm. Calculează aria laterală (scăzând ariile celor 2 baze din aria totală), apoi calculează înălțimea prismei.
Vezi răspunsul
A_l = 208 − 2 × 36 = 136 cm²; înălțimea: 136 : (4 × 6) = 173 ≈ 5,67 cm.
19. Excelență
Se dă o prismă triunghiulară dreaptă cu baza un triunghi dreptunghic cu catetele 5 cm și 12 cm (ipotenuza 13 cm). Calculează aria totală a prismei (2 baze + 3 fețe laterale, care au înălțimea egală cu înălțimea prismei, 10 cm, și lățimile egale cu cele 3 laturi ale bazei).
Vezi răspunsul
Bazele: 2 × (5 × 12 : 2) = 60 cm². Fețele laterale: (5 + 12 + 13) × 10 = 300 cm². Aria totală: 360 cm².
20. Excelență
Un container de transport are forma unei prisme drepte cu baza un dreptunghi de 6 m × 2,5 m și înălțimea 2,8 m. Calculează volumul containerului, apoi calculează câte cutii cubice cu latura de 0,5 m ar putea încăpea teoretic în container (raportul dintre cele 2 volume, rotunjit).
Vezi răspunsul
V = 6 × 2,5 × 2,8 = 42 m³. O cutie are 0,125 m³, deci teoretic 42 : 0,125 = 336 de cutii. În realitate încap doar 12 × 5 × 5 = 300, pentru că 2,8 m ajung doar pentru 5 rânduri de 0,5 m.