Încărcăm partea curentă…

Descompunerea radicalilor · tabel, perechi și factori

Pregătire: factori, numere prime și tabel

A descompune un număr în factori înseamnă a-l scrie ca înmulțire. La 10=2 · 5, numerele 2 și 5 se numesc factori. Nu căutăm o adunare.

Un număr prim are exact doi divizori pozitivi: 1 și el însuși. Începem cu 2, 3, 5 și 7. 1 nu este prim. Împărțire exactă înseamnă fără rest. Scriem numărul în stânga unei linii verticale; în dreapta, cel mai mic prim care îl împarte exact. Rezultatul împărțirii se scrie sub număr, în stânga. Continuăm cu rezultatul până la 1.

Împărțim numărul din stânga la numărul prim de pe același rând, din dreapta. Rezultatul este scris pe rândul următor, în stânga.

Numărul în stânga · divizorul prim în dreapta

Numărul de împărțitDivizor prim
142
77
1

Scriem produsul numerelor din coloana din dreapta:

14 =2· 7

De ținut minte

14 = 2 · 7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Descompune 14 în factori primi.

  1. 114 : 2 = 7. Scriem 2 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  2. 27 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  3. 3Am ajuns la 1. Scriem 14 = 2 · 7.

Greșeală frecventă

Greșit: Adunăm numerele din dreapta ca să refacem numărul inițial.

De ce: Factorii se înmulțesc. Tabelul desface o înmulțire în împărțiri succesive; nu este o adunare.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Descompunerea radicalilor · tabel, perechi și factori: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți de unde apare fiecare număr din descompunere. Tabelul crește după fiecare răspuns, apoi alegi perechile și construiești radicalul simplificat.

Pregătire: factori, numere prime și tabel

A descompune un număr în factori înseamnă a-l scrie ca înmulțire. La 10=2 · 5, numerele 2 și 5 se numesc factori. Nu căutăm o adunare.

Un număr prim are exact doi divizori pozitivi: 1 și el însuși. Începem cu 2, 3, 5 și 7. 1 nu este prim. Împărțire exactă înseamnă fără rest. Scriem numărul în stânga unei linii verticale; în dreapta, cel mai mic prim care îl împarte exact. Rezultatul împărțirii se scrie sub număr, în stânga. Continuăm cu rezultatul până la 1.

  • 14 = 2 · 7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Descompune 14 în factori primi.

  1. 14 : 2 = 7. Scriem 2 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  2. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  3. Am ajuns la 1. Scriem 14 = 2 · 7.

Greșeală frecventă: Adunăm numerele din dreapta ca să refacem numărul inițial. Factorii se înmulțesc. Tabelul desface o înmulțire în împărțiri succesive; nu este o adunare.

O pereche de factori egali: din doi iese unul

Pentru radical, întâi facem tabelul până la 1, apoi scriem produsul factorilor din dreapta. Încercăm 2 la numere pare; când 2 nu mai merge, încercăm următorul prim, 3, apoi 5, 7…

Pereche înseamnă doi factori egali, de exemplu 2 · 2. Radicalul lor este 2, fiindcă 22=4. Din această pereche scoatem un singur 2 în față. Un factor fără pereche rămâne sub radical. Scrierea 2√5 înseamnă 2 · √5.

  • 22 · 5 = 2√5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √20 prin descompunere.

  1. 20 : 2 = 10. Scriem 2 în dreapta și 10 dedesubt, în stânga.
  2. 10 : 2 = 5. Scriem 2 în dreapta și 5 dedesubt, în stânga.
  3. 5 : 5 = 1. Scriem 5 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  4. Am ajuns la 1. Scriem 20 = 2 · 2 · 5.
  5. Grupăm: 20 = (2 · 2) · 5.
  6. Din perechi ies 2. În față obținem 2; sub radical rămâne 5.
  7. Rezultatul este 2√5. Controlul radicalului: 22 · 5 = 20.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Numărul este impar: continuăm cu 3, 5 sau 7

Un număr impar nu se împarte exact la 2. Verificăm 3: dacă suma cifrelor se împarte exact la 3, și numărul se împarte la 3. De exemplu, 6+3=9, deci 63 se împarte la 3. Numerele terminate în 0 sau 5 se împart la 5.

Nu ne oprim când numărul devine impar. Continuăm împărțirile până la 1. Dacă rămâne un prim precum 7, îl împărțim la el însuși: 7:7=1. Același factor poate apărea de mai multe ori; fiecare apariție se folosește o singură dată într-o pereche.

  • 32 · 7 = 3√7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √63 prin descompunere.

  1. 63 : 3 = 21. Scriem 3 în dreapta și 21 dedesubt, în stânga.
  2. 21 : 3 = 7. Scriem 3 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  3. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  4. Am ajuns la 1. Scriem 63 = 3 · 3 · 7.
  5. Grupăm: 63 = (3 · 3) · 7.
  6. Din perechi ies 3. În față obținem 3; sub radical rămâne 7.
  7. Rezultatul este 3√7. Controlul radicalului: 32 · 7 = 63.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Patru factori egali înseamnă două perechi

La 2 · 2 · 2 · 2 formăm (2 · 2) · (2 · 2). Sunt două perechi, nu una și nici patru. Din fiecare iese câte un 2.

În fața radicalului înmulțim numerele scoase: 2 · 2=4. Factorii fără pereche rămân sub radical. Dacă un factor a fost folosit în prima pereche, nu îl folosim din nou în a doua.

  • 42 · 7 = 4√7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √112 prin descompunere.

  1. 112 : 2 = 56. Scriem 2 în dreapta și 56 dedesubt, în stânga.
  2. 56 : 2 = 28. Scriem 2 în dreapta și 28 dedesubt, în stânga.
  3. 28 : 2 = 14. Scriem 2 în dreapta și 14 dedesubt, în stânga.
  4. 14 : 2 = 7. Scriem 2 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  5. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  6. Am ajuns la 1. Scriem 112 = 2 · 2 · 2 · 2 · 7.
  7. Grupăm: 112 = (2 · 2) · (2 · 2) · 7.
  8. Din perechi ies 2 · 2. În față obținem 4; sub radical rămâne 7.
  9. Rezultatul este 4√7. Controlul radicalului: 42 · 7 = 112.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Perechi diferite: înmulțim ce iese

Putem avea o pereche de 2 și o pereche de 3 în același produs. Din prima iese 2, din a doua iese 3. În față calculăm 2 · 3=6, nu 2+3.

Înmulțim separat factorii fără pereche ca să aflăm ce rămâne sub radical. Dacă niciun prim nu se mai repetă acolo, simplificarea este gata. Verificăm: pătratul numărului scos, înmulțit cu numărul rămas sub radical, trebuie să dea numărul inițial.

  • 62 · 7 = 6√7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √252 prin descompunere.

  1. 252 : 2 = 126. Scriem 2 în dreapta și 126 dedesubt, în stânga.
  2. 126 : 2 = 63. Scriem 2 în dreapta și 63 dedesubt, în stânga.
  3. 63 : 3 = 21. Scriem 3 în dreapta și 21 dedesubt, în stânga.
  4. 21 : 3 = 7. Scriem 3 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  5. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  6. Am ajuns la 1. Scriem 252 = 2 · 2 · 3 · 3 · 7.
  7. Grupăm: 252 = (2 · 2) · (3 · 3) · 7.
  8. Din perechi ies 2 · 3. În față obținem 6; sub radical rămâne 7.
  9. Rezultatul este 6√7. Controlul radicalului: 62 · 7 = 252.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Dacă nu rămâne nimic? Dacă nu avem perechi?

Când toți factorii formează perechi, sub radical rămâne 1. Cum √1=1, radicalul dispare din răspuns: de exemplu √196=14. Nu răspundem zero atunci când nu rămân factori.

Dacă niciun factor nu are pereche, nu scoatem nimic. De exemplu, 42=2 · 3 · 7; factorii sunt diferiți, deci √42 este deja simplificat. Nu împerechem 2 cu 3 și nu ștergem factorii rămași.

  • 142 · 1 = 14

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √196 prin descompunere.

  1. 196 : 2 = 98. Scriem 2 în dreapta și 98 dedesubt, în stânga.
  2. 98 : 2 = 49. Scriem 2 în dreapta și 49 dedesubt, în stânga.
  3. 49 : 7 = 7. Scriem 7 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  4. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  5. Am ajuns la 1. Scriem 196 = 2 · 2 · 7 · 7.
  6. Grupăm: 196 = (2 · 2) · (7 · 7).
  7. Din perechi ies 2 · 7. În față obținem 14; sub radical rămâne 1.
  8. Rezultatul este 14. Controlul radicalului: 142 · 1 = 196.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Avem deja un număr în față: îl păstrăm

În 5√28, numărul 5 este deja în fața radicalului. Descompunem numai 28: acesta este numărul de sub semn. Mai întâi simplificăm √28, apoi înmulțim rezultatul din față cu 5.

28=2 · 2 · 7, deci √28=2√7. În expresia inițială avem 5 · 2√7=10√7. Factorul vechi și cel scos se înmulțesc; nu se adună și nu dispare niciunul.

  • 22 · 7 = 2√7

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică 5√28 prin descompunere.

  1. 28 : 2 = 14. Scriem 2 în dreapta și 14 dedesubt, în stânga.
  2. 14 : 2 = 7. Scriem 2 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  3. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  4. Am ajuns la 1. Scriem 28 = 2 · 2 · 7.
  5. Grupăm: 28 = (2 · 2) · 7.
  6. Din perechi ies 2. În față obținem 2; sub radical rămâne 7.
  7. Înmulțim cu numărul deja din față: 5 · 2 = 10.
  8. Rezultatul este 10√7. Controlul radicalului: 22 · 7 = 28.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Exersăm tot algoritmul, cu numere mai mari

Numărul mai mare nu schimbă metoda: împărțim succesiv la prime, până la 1. Din tabel scriem produsul, apoi desenăm perechi de factori egali. Nu trebuie să ghicim din prima cel mai mare pătrat perfect.

Scoatem câte un factor din fiecare pereche și înmulțim factorii scoși. Cei fără pereche rămân sub radical. Încheiem prin control: numărul din față la pătrat, înmulțit cu numărul din radical, reface numărul de la început.

  • 72 · 3 = 7√3

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √147 prin descompunere.

  1. 147 : 3 = 49. Scriem 3 în dreapta și 49 dedesubt, în stânga.
  2. 49 : 7 = 7. Scriem 7 în dreapta și 7 dedesubt, în stânga.
  3. 7 : 7 = 1. Scriem 7 în dreapta și 1 dedesubt, în stânga.
  4. Am ajuns la 1. Scriem 147 = 3 · 7 · 7.
  5. Grupăm: 147 = (7 · 7) · 3.
  6. Din perechi ies 7. În față obținem 7; sub radical rămâne 3.
  7. Rezultatul este 7√3. Controlul radicalului: 72 · 3 = 147.

Greșeală frecventă: Scoatem în față ambii factori dintr-o pereche. Din 2 · 2 iese numai 2: 2 · 2=2. Dacă am scoate 4, am schimba valoarea radicalului.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Descompune numărul 6 în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 6 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 6.
    2. 3 — 6 : 2 = 3. Scriem 3 sub 6, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 6 de la început.
    3. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    4. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    5. 6 = 2 · 3 — Numerele din dreapta sunt factorii. Îi înmulțim, nu îi adunăm: 2 · 3 = 6.

    Răspuns: 6 = 2 · 3

  2. Exercițiul 2

    Descompune numărul 10 în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 10 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 10.
    2. 5 — 10 : 2 = 5. Scriem 5 sub 10, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 10 de la început.
    3. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    4. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    5. 10 = 2 · 5 — Numerele din dreapta sunt factorii. Îi înmulțim, nu îi adunăm: 2 · 5 = 10.

    Răspuns: 10 = 2 · 5

  3. Exercițiul 3

    Descompune numărul 15 în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 — 15 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 6, care se împarte la 3; deci și 15 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 15.
    2. 5 — 15 : 3 = 5. Scriem 5 sub 15, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 15 de la început.
    3. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    4. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    5. 15 = 3 · 5 — Numerele din dreapta sunt factorii. Îi înmulțim, nu îi adunăm: 3 · 5 = 15.

    Răspuns: 15 = 3 · 5

  4. Exercițiul 4

    Simplifică √8 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 8 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 8.
    2. 4 — 8 : 2 = 4. Scriem 4 sub 8, în stânga. Continuăm apoi cu 4, nu cu 8 de la început.
    3. 2 — 4 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 4.
    4. 2 — 4 : 2 = 2. Scriem 2 sub 4, în stânga. Continuăm apoi cu 2, nu cu 8 de la început.
    5. 2 — 2 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 2.
    6. 1 — 2 : 2 = 1. Scriem 1 sub 2, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 8 = 2 · 2 · 2 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 8.
    8. 1 — 8 = (2 · 2) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 2 — 2 · 2=2. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 2 — Produsul factorilor scoși este 2. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    12. 8 — 22 · 2 = 4 · 2 = 8. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 2√2 — În față scriem 2, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 2√2

  5. Exercițiul 5

    Simplifică √12 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 12 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 12.
    2. 6 — 12 : 2 = 6. Scriem 6 sub 12, în stânga. Continuăm apoi cu 6, nu cu 12 de la început.
    3. 2 — 6 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 6.
    4. 3 — 6 : 2 = 3. Scriem 3 sub 6, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 12 de la început.
    5. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    6. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 12 = 2 · 2 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 12.
    8. 1 — 12 = (2 · 2) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 2 — 2 · 2=2. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 2 — Produsul factorilor scoși este 2. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    12. 12 — 22 · 3 = 4 · 3 = 12. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 2√3 — În față scriem 2, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 2√3

  6. Exercițiul 6

    Simplifică √18 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 18 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 18.
    2. 9 — 18 : 2 = 9. Scriem 9 sub 18, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 18 de la început.
    3. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    4. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 18 de la început.
    5. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    6. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 18 = 2 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 18.
    8. 1 — 18 = (3 · 3) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 3 — 3 · 3=3. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 3 — Produsul factorilor scoși este 3. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    12. 18 — 32 · 2 = 9 · 2 = 18. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 3√2 — În față scriem 3, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 3√2

  7. Exercițiul 7

    Simplifică √27 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 — 27 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 27 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 27.
    2. 9 — 27 : 3 = 9. Scriem 9 sub 27, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 27 de la început.
    3. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    4. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 27 de la început.
    5. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    6. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 27 = 3 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 27.
    8. 1 — 27 = (3 · 3) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 3 — 3 · 3=3. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 3 — Produsul factorilor scoși este 3. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    12. 27 — 32 · 3 = 9 · 3 = 27. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 3√3 — În față scriem 3, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 3√3

  8. Exercițiul 8

    Simplifică √45 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 — 45 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 45 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 45.
    2. 15 — 45 : 3 = 15. Scriem 15 sub 45, în stânga. Continuăm apoi cu 15, nu cu 45 de la început.
    3. 3 — 15 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 6, care se împarte la 3; deci și 15 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 15.
    4. 5 — 15 : 3 = 5. Scriem 5 sub 15, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 45 de la început.
    5. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    6. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 45 = 3 · 3 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 45.
    8. 1 — 45 = (3 · 3) · 5. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 3 — 3 · 3=3. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 3 — Produsul factorilor scoși este 3. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 5 — Fără pereche au rămas 5. Produsul lor este 5; aceștia rămân sub radical.
    12. 45 — 32 · 5 = 9 · 5 = 45. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 3√5 — În față scriem 3, iar sub radical 5. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 3√5

  9. Exercițiul 9

    Simplifică √75 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 — 75 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 12, care se împarte la 3; deci și 75 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 75.
    2. 25 — 75 : 3 = 25. Scriem 25 sub 75, în stânga. Continuăm apoi cu 25, nu cu 75 de la început.
    3. 5 — 25 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 25.
    4. 5 — 25 : 5 = 5. Scriem 5 sub 25, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 75 de la început.
    5. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    6. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 75 = 3 · 5 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 75.
    8. 1 — 75 = (5 · 5) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 5 — 5 · 5=5. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 5 — Produsul factorilor scoși este 5. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    12. 75 — 52 · 3 = 25 · 3 = 75. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 5√3 — În față scriem 5, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 5√3

  10. Exercițiul 10

    Simplifică √32 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 32 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 32.
    2. 16 — 32 : 2 = 16. Scriem 16 sub 32, în stânga. Continuăm apoi cu 16, nu cu 32 de la început.
    3. 2 — 16 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 16.
    4. 8 — 16 : 2 = 8. Scriem 8 sub 16, în stânga. Continuăm apoi cu 8, nu cu 32 de la început.
    5. 2 — 8 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 8.
    6. 4 — 8 : 2 = 4. Scriem 4 sub 8, în stânga. Continuăm apoi cu 4, nu cu 32 de la început.
    7. 2 — 4 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 4.
    8. 2 — 4 : 2 = 2. Scriem 2 sub 4, în stânga. Continuăm apoi cu 2, nu cu 32 de la început.
    9. 2 — 2 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 2.
    10. 1 — 2 : 2 = 1. Scriem 1 sub 2, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 32 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 32.
    12. 2 — 32 = (2 · 2) · (2 · 2) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 2 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 2. Nu adunăm aceste numere.
    14. 4 — Produsul factorilor scoși este 4. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    16. 32 — 42 · 2 = 16 · 2 = 32. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 4√2 — În față scriem 4, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 4√2

  11. Exercițiul 11

    Simplifică √48 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 48 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 48.
    2. 24 — 48 : 2 = 24. Scriem 24 sub 48, în stânga. Continuăm apoi cu 24, nu cu 48 de la început.
    3. 2 — 24 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 24.
    4. 12 — 24 : 2 = 12. Scriem 12 sub 24, în stânga. Continuăm apoi cu 12, nu cu 48 de la început.
    5. 2 — 12 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 12.
    6. 6 — 12 : 2 = 6. Scriem 6 sub 12, în stânga. Continuăm apoi cu 6, nu cu 48 de la început.
    7. 2 — 6 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 6.
    8. 3 — 6 : 2 = 3. Scriem 3 sub 6, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 48 de la început.
    9. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    10. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 48.
    12. 2 — 48 = (2 · 2) · (2 · 2) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 2 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 2. Nu adunăm aceste numere.
    14. 4 — Produsul factorilor scoși este 4. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    16. 48 — 42 · 3 = 16 · 3 = 48. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 4√3 — În față scriem 4, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 4√3

  12. Exercițiul 12

    Simplifică √80 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 80 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 80.
    2. 40 — 80 : 2 = 40. Scriem 40 sub 80, în stânga. Continuăm apoi cu 40, nu cu 80 de la început.
    3. 2 — 40 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 40.
    4. 20 — 40 : 2 = 20. Scriem 20 sub 40, în stânga. Continuăm apoi cu 20, nu cu 80 de la început.
    5. 2 — 20 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 20.
    6. 10 — 20 : 2 = 10. Scriem 10 sub 20, în stânga. Continuăm apoi cu 10, nu cu 80 de la început.
    7. 2 — 10 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 10.
    8. 5 — 10 : 2 = 5. Scriem 5 sub 10, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 80 de la început.
    9. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    10. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 80 = 2 · 2 · 2 · 2 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 80.
    12. 2 — 80 = (2 · 2) · (2 · 2) · 5. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 2 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 2. Nu adunăm aceste numere.
    14. 4 — Produsul factorilor scoși este 4. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 5 — Fără pereche au rămas 5. Produsul lor este 5; aceștia rămân sub radical.
    16. 80 — 42 · 5 = 16 · 5 = 80. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 4√5 — În față scriem 4, iar sub radical 5. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 4√5

  13. Exercițiul 13

    Simplifică √72 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 72 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 72.
    2. 36 — 72 : 2 = 36. Scriem 36 sub 72, în stânga. Continuăm apoi cu 36, nu cu 72 de la început.
    3. 2 — 36 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 36.
    4. 18 — 36 : 2 = 18. Scriem 18 sub 36, în stânga. Continuăm apoi cu 18, nu cu 72 de la început.
    5. 2 — 18 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 18.
    6. 9 — 18 : 2 = 9. Scriem 9 sub 18, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 72 de la început.
    7. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    8. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 72 de la început.
    9. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    10. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 72 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 72.
    12. 2 — 72 = (2 · 2) · (3 · 3) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 3 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 3. Nu adunăm aceste numere.
    14. 6 — Produsul factorilor scoși este 6. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    16. 72 — 62 · 2 = 36 · 2 = 72. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 6√2 — În față scriem 6, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 6√2

  14. Exercițiul 14

    Simplifică √108 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 108 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 108.
    2. 54 — 108 : 2 = 54. Scriem 54 sub 108, în stânga. Continuăm apoi cu 54, nu cu 108 de la început.
    3. 2 — 54 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 54.
    4. 27 — 54 : 2 = 27. Scriem 27 sub 54, în stânga. Continuăm apoi cu 27, nu cu 108 de la început.
    5. 3 — 27 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 27 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 27.
    6. 9 — 27 : 3 = 9. Scriem 9 sub 27, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 108 de la început.
    7. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    8. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 108 de la început.
    9. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    10. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 108 = 2 · 2 · 3 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 108.
    12. 2 — 108 = (2 · 2) · (3 · 3) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 3 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 3. Nu adunăm aceste numere.
    14. 6 — Produsul factorilor scoși este 6. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    16. 108 — 62 · 3 = 36 · 3 = 108. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 6√3 — În față scriem 6, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 6√3

  15. Exercițiul 15

    Simplifică √180 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 180 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 180.
    2. 90 — 180 : 2 = 90. Scriem 90 sub 180, în stânga. Continuăm apoi cu 90, nu cu 180 de la început.
    3. 2 — 90 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 90.
    4. 45 — 90 : 2 = 45. Scriem 45 sub 90, în stânga. Continuăm apoi cu 45, nu cu 180 de la început.
    5. 3 — 45 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 45 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 45.
    6. 15 — 45 : 3 = 15. Scriem 15 sub 45, în stânga. Continuăm apoi cu 15, nu cu 180 de la început.
    7. 3 — 15 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 6, care se împarte la 3; deci și 15 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 15.
    8. 5 — 15 : 3 = 5. Scriem 5 sub 15, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 180 de la început.
    9. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    10. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 180.
    12. 2 — 180 = (2 · 2) · (3 · 3) · 5. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 3 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 3. Nu adunăm aceste numere.
    14. 6 — Produsul factorilor scoși este 6. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 5 — Fără pereche au rămas 5. Produsul lor este 5; aceștia rămân sub radical.
    16. 180 — 62 · 5 = 36 · 5 = 180. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 6√5 — În față scriem 6, iar sub radical 5. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 6√5

  16. Exercițiul 16

    Simplifică √36 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 36 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 36.
    2. 18 — 36 : 2 = 18. Scriem 18 sub 36, în stânga. Continuăm apoi cu 18, nu cu 36 de la început.
    3. 2 — 18 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 18.
    4. 9 — 18 : 2 = 9. Scriem 9 sub 18, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 36 de la început.
    5. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    6. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 36 de la început.
    7. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    8. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    9. 36 = 2 · 2 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 36.
    10. 2 — 36 = (2 · 2) · (3 · 3). Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    11. 2 · 3 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 3. Nu adunăm aceste numere.
    12. 6 — Produsul factorilor scoși este 6. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    13. 1 — Toți factorii au fost grupați în perechi. Nu mai rămâne niciun factor: scriem 1 sub radical, iar √1=1.
    14. 36 — 62 · 1 = 36 · 1 = 36. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    15. 6 — Obținem 6√1=6. Când nu mai rămân factori fără pereche, radicalul dispare, deoarece √1=1.

    Răspuns: 6

  17. Exercițiul 17

    Simplifică √49 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 7 — Încercăm primele 2, 3, 5, 7… în ordine. Cel mai mic care împarte exact 49 este 7: 7 · 7 = 49. Scriem 7 în dreapta liniei, pe același rând cu 49.
    2. 7 — 49 : 7 = 7. Scriem 7 sub 49, în stânga. Continuăm apoi cu 7, nu cu 49 de la început.
    3. 7 — Încercăm primele 2, 3, 5, 7… în ordine. Cel mai mic care împarte exact 7 este 7: 7 · 1 = 7. Scriem 7 în dreapta liniei, pe același rând cu 7.
    4. 1 — 7 : 7 = 1. Scriem 1 sub 7, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    5. 49 = 7 · 7 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 49.
    6. 1 — 49 = (7 · 7). Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    7. 7 — 7 · 7=7. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    8. 7 — Produsul factorilor scoși este 7. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    9. 1 — Toți factorii au fost grupați în perechi. Nu mai rămâne niciun factor: scriem 1 sub radical, iar √1=1.
    10. 49 — 72 · 1 = 49 · 1 = 49. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    11. 7 — Obținem 7√1=7. Când nu mai rămân factori fără pereche, radicalul dispare, deoarece √1=1.

    Răspuns: 7

  18. Exercițiul 18

    Simplifică √30 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 30 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 30.
    2. 15 — 30 : 2 = 15. Scriem 15 sub 30, în stânga. Continuăm apoi cu 15, nu cu 30 de la început.
    3. 3 — 15 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 6, care se împarte la 3; deci și 15 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 15.
    4. 5 — 15 : 3 = 5. Scriem 5 sub 15, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 30 de la început.
    5. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    6. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 30 = 2 · 3 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 30.
    8. 0 — 30 = 2 · 3 · 5. Niciun factor nu se repetă, deci nu avem perechi.
    9. 30 — Fără pereche au rămas 2 · 3 · 5. Produsul lor este 30; aceștia rămân sub radical.
    10. 30 — 12 · 30 = 1 · 30 = 30. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    11. √30 — În față scriem 1, iar sub radical 30. Nu am putut scoate niciun factor: radicalul era deja simplificat.

    Răspuns: √30

  19. Exercițiul 19

    Simplifică 2√12 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 12 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 12.
    2. 6 — 12 : 2 = 6. Scriem 6 sub 12, în stânga. Continuăm apoi cu 6, nu cu 12 de la început.
    3. 2 — 6 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 6.
    4. 3 — 6 : 2 = 3. Scriem 3 sub 6, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 12 de la început.
    5. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    6. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 12 = 2 · 2 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 12.
    8. 1 — 12 = (2 · 2) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 2 — 2 · 2=2. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 2 — Produsul factorilor scoși este 2. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    12. 4 — 2 · 2 = 4. Numărul care era deja în față nu dispare și nu se adună cu cel scos.
    13. 12 — 22 · 3 = 4 · 3 = 12. Am regăsit numărul inițial de sub radical. Factorul 2 din față se păstrează separat în expresia inițială.
    14. 4√3 — În față scriem 4, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 4√3

  20. Exercițiul 20

    Simplifică 3√18 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 18 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 18.
    2. 9 — 18 : 2 = 9. Scriem 9 sub 18, în stânga. Continuăm apoi cu 9, nu cu 18 de la început.
    3. 3 — 9 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 9, care se împarte la 3; deci și 9 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 9.
    4. 3 — 9 : 3 = 3. Scriem 3 sub 9, în stânga. Continuăm apoi cu 3, nu cu 18 de la început.
    5. 3 — 3 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 3, care se împarte la 3; deci și 3 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 3.
    6. 1 — 3 : 3 = 1. Scriem 1 sub 3, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 18 = 2 · 3 · 3 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 18.
    8. 1 — 18 = (3 · 3) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 3 — 3 · 3=3. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 3 — Produsul factorilor scoși este 3. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    12. 9 — 3 · 3 = 9. Numărul care era deja în față nu dispare și nu se adună cu cel scos.
    13. 18 — 32 · 2 = 9 · 2 = 18. Am regăsit numărul inițial de sub radical. Factorul 3 din față se păstrează separat în expresia inițială.
    14. 9√2 — În față scriem 9, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 9√2

  21. Exercițiul 21

    Simplifică 4√20 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 20 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 20.
    2. 10 — 20 : 2 = 10. Scriem 10 sub 20, în stânga. Continuăm apoi cu 10, nu cu 20 de la început.
    3. 2 — 10 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 10.
    4. 5 — 10 : 2 = 5. Scriem 5 sub 10, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 20 de la început.
    5. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    6. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 20 = 2 · 2 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 20.
    8. 1 — 20 = (2 · 2) · 5. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 2 — 2 · 2=2. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 2 — Produsul factorilor scoși este 2. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 5 — Fără pereche au rămas 5. Produsul lor este 5; aceștia rămân sub radical.
    12. 8 — 4 · 2 = 8. Numărul care era deja în față nu dispare și nu se adună cu cel scos.
    13. 20 — 22 · 5 = 4 · 5 = 20. Am regăsit numărul inițial de sub radical. Factorul 4 din față se păstrează separat în expresia inițială.
    14. 8√5 — În față scriem 8, iar sub radical 5. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 8√5

  22. Exercițiul 22

    Simplifică √98 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 98 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 98.
    2. 49 — 98 : 2 = 49. Scriem 49 sub 98, în stânga. Continuăm apoi cu 49, nu cu 98 de la început.
    3. 7 — Încercăm primele 2, 3, 5, 7… în ordine. Cel mai mic care împarte exact 49 este 7: 7 · 7 = 49. Scriem 7 în dreapta liniei, pe același rând cu 49.
    4. 7 — 49 : 7 = 7. Scriem 7 sub 49, în stânga. Continuăm apoi cu 7, nu cu 98 de la început.
    5. 7 — Încercăm primele 2, 3, 5, 7… în ordine. Cel mai mic care împarte exact 7 este 7: 7 · 1 = 7. Scriem 7 în dreapta liniei, pe același rând cu 7.
    6. 1 — 7 : 7 = 1. Scriem 1 sub 7, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    7. 98 = 2 · 7 · 7 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 98.
    8. 1 — 98 = (7 · 7) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    9. 7 — 7 · 7=7. Iese un singur factor, nu produsul celor doi.
    10. 7 — Produsul factorilor scoși este 7. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    11. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    12. 98 — 72 · 2 = 49 · 2 = 98. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    13. 7√2 — În față scriem 7, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 7√2

  23. Exercițiul 23

    Simplifică √200 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 200 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 200.
    2. 100 — 200 : 2 = 100. Scriem 100 sub 200, în stânga. Continuăm apoi cu 100, nu cu 200 de la început.
    3. 2 — 100 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 100.
    4. 50 — 100 : 2 = 50. Scriem 50 sub 100, în stânga. Continuăm apoi cu 50, nu cu 200 de la început.
    5. 2 — 50 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 50.
    6. 25 — 50 : 2 = 25. Scriem 25 sub 50, în stânga. Continuăm apoi cu 25, nu cu 200 de la început.
    7. 5 — 25 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 25.
    8. 5 — 25 : 5 = 5. Scriem 5 sub 25, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 200 de la început.
    9. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    10. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 200 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 200.
    12. 2 — 200 = (2 · 2) · (5 · 5) · 2. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 5 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 5. Nu adunăm aceste numere.
    14. 10 — Produsul factorilor scoși este 10. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 2 — Fără pereche au rămas 2. Produsul lor este 2; aceștia rămân sub radical.
    16. 200 — 102 · 2 = 100 · 2 = 200. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 10√2 — În față scriem 10, iar sub radical 2. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 10√2

  24. Exercițiul 24

    Simplifică √300 prin descompunere în factori primi.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 — 300 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 300.
    2. 150 — 300 : 2 = 150. Scriem 150 sub 300, în stânga. Continuăm apoi cu 150, nu cu 300 de la început.
    3. 2 — 150 este par: ultima cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Împărțirea la 2 este exactă. Scriem 2 în dreapta liniei, pe același rând cu 150.
    4. 75 — 150 : 2 = 75. Scriem 75 sub 150, în stânga. Continuăm apoi cu 75, nu cu 300 de la început.
    5. 3 — 75 nu se împarte exact la 2. Suma cifrelor este 12, care se împarte la 3; deci și 75 se împarte la 3. Scriem 3 în dreapta liniei, pe același rând cu 75.
    6. 25 — 75 : 3 = 25. Scriem 25 sub 75, în stânga. Continuăm apoi cu 25, nu cu 300 de la început.
    7. 5 — 25 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 25.
    8. 5 — 25 : 5 = 5. Scriem 5 sub 25, în stânga. Continuăm apoi cu 5, nu cu 300 de la început.
    9. 5 — 5 nu se împarte la 2 sau 3, dar ultima cifră este 5. Se împarte exact la 5. Scriem 5 în dreapta liniei, pe același rând cu 5.
    10. 1 — 5 : 5 = 1. Scriem 1 sub 5, în stânga. Am ajuns la 1: aici oprim împărțirile.
    11. 300 = 2 · 2 · 3 · 5 · 5 — Fiecare împărțire ne-a dat un factor prim. Produsul tuturor acestor factori este chiar 300.
    12. 2 — 300 = (2 · 2) · (5 · 5) · 3. Fiecare paranteză conține doi factori egali. Folosim fiecare factor o singură dată.
    13. 2 · 5 — 2 · 2=2. Din fiecare pereche iese câte un număr: 2 · 5. Nu adunăm aceste numere.
    14. 10 — Produsul factorilor scoși este 10. Acesta va înmulți radicalul rămas.
    15. 3 — Fără pereche au rămas 3. Produsul lor este 3; aceștia rămân sub radical.
    16. 300 — 102 · 3 = 100 · 3 = 300. Am regăsit numărul inițial de sub radical.
    17. 10√3 — În față scriem 10, iar sub radical 3. Factorii rămași nu mai formează perechi.

    Răspuns: 10√3

De la primul divizor la descompunerea completă (24)

  1. 1. Pornim de la zero

    Descompune numărul 6 în factori primi.

    Vezi răspunsul

    6 = 2 · 3

  2. 2. Pornim de la zero

    Descompune numărul 10 în factori primi.

    Vezi răspunsul

    10 = 2 · 5

  3. 3. Pornim de la zero

    Descompune numărul 15 în factori primi.

    Vezi răspunsul

    15 = 3 · 5

  4. 4. Pornim de la zero

    Simplifică √8 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    2√2

  5. 5. Pornim de la zero

    Simplifică √12 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    2√3

  6. 6. Pornim de la zero

    Simplifică √18 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    3√2

  7. 7. Pornim de la zero

    Simplifică √27 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    3√3

  8. 8. Pornim de la zero

    Simplifică √45 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    3√5

  9. 9. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √75 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    5√3

  10. 10. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √32 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    4√2

  11. 11. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √48 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    4√3

  12. 12. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √80 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    4√5

  13. 13. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √72 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    6√2

  14. 14. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √108 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    6√3

  15. 15. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √180 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    6√5

  16. 16. Exersăm pas cu pas

    Simplifică √36 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    6

  17. 17. Calculăm singuri

    Simplifică √49 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    7

  18. 18. Calculăm singuri

    Simplifică √30 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    √30

  19. 19. Calculăm singuri

    Simplifică 2√12 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    4√3

  20. 20. Calculăm singuri

    Simplifică 3√18 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    9√2

  21. 21. Calculăm singuri

    Simplifică 4√20 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    8√5

  22. 22. Calculăm singuri

    Simplifică √98 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    7√2

  23. 23. Calculăm singuri

    Simplifică √200 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    10√2

  24. 24. Calculăm singuri

    Simplifică √300 prin descompunere în factori primi.

    Vezi răspunsul

    10√3

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.