Încărcăm partea curentă…

Radicalii de la zero · pătrate și rădăcini

Întâi: ce înseamnă un număr la pătrat?

3 la pătrat se scrie 32 și înseamnă 3 · 3, nu 3 · 2. Cifra mică 2 se numește exponent. Numărul pe care îl înmulțim cu el însuși este baza.

Imaginează-ți un pătrat din plăcuțe: 3 pe un rând și 3 rânduri. Numărăm 3 · 3 = 9 plăcuțe. Lungimea laturii este 3 unități; aria, adică mărimea suprafeței, este 9 unități pătrate.

De ținut minte

32 = 3 · 3 = 9

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 62.

  1. 162 înseamnă 6 · 6.
  2. 26 · 6 = 36.
  3. 3Pătratul lui 6 este 36.

Greșeală frecventă

Greșit: 32 = 3 · 2 = 6

De ce: La pătrat folosim doi factori egali cu baza: 3 · 3 = 9.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Radicalii de la zero · pătrate și rădăcini: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Luăm câte o idee. Citești explicația, vezi un exemplu cu alte numere și rezolvi trei probleme înainte de regula următoare.

Întâi: ce înseamnă un număr la pătrat?

3 la pătrat se scrie 32 și înseamnă 3 · 3, nu 3 · 2. Cifra mică 2 se numește exponent. Numărul pe care îl înmulțim cu el însuși este baza.

Imaginează-ți un pătrat din plăcuțe: 3 pe un rând și 3 rânduri. Numărăm 3 · 3 = 9 plăcuțe. Lungimea laturii este 3 unități; aria, adică mărimea suprafeței, este 9 unități pătrate.

  • 32 = 3 · 3 = 9

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 62.

  1. 62 înseamnă 6 · 6.
  2. 6 · 6 = 36.
  3. Pătratul lui 6 este 36.

Greșeală frecventă: 32 = 3 · 2 = 6 La pătrat folosim doi factori egali cu baza: 3 · 3 = 9.

Radicalul face drumul înapoi

Știm că 6 · 6 = 36. Dacă știm 36 și vrem să aflăm numărul care a fost înmulțit cu el însuși, folosim rădăcina pătrată. Scriem √36 = 6 și citim „radical din 36 este 6”.

Semnul √ acoperă numărul la care se aplică. La √36, 36 este numărul de sub radical. Ne întrebăm: ce număr nenegativ, adică mai mare sau egal cu zero, are pătratul 36?

  • 6 · 6 = 36 → √36 = 6

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează √49.

  1. Căutăm doi factori egali al căror produs este 49.
  2. 7 · 7 = 49 și 7 este pozitiv.
  3. Deci √49 = 7. Nu împărțim 49 la 2.

Greșeală frecventă: √36 = 36 : 2 = 18 Radicalul nu înseamnă jumătate. Verificăm răspunsul prin înmulțirea lui cu el însuși: 6 · 6 = 36.

Pătratele perfecte: repere pe care le verificăm

Un număr natural este pătrat perfect dacă se obține înmulțind un număr natural cu el însuși. De exemplu, 64 este pătrat perfect fiindcă 8 · 8 = 64.

Nu trebuie să ghicești: încearcă înmulțiri cu factori egali. Pentru 81, 8 · 8 = 64 este prea puțin; 9 · 9 = 81 se potrivește. Poți ține aproape tabelul, apoi înveți valorile prin practică.

  • 12=1; 22=4; 32=9; 42=16; 52=25
  • 62=36; 72=49; 82=64; 92=81; 102=100

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează √121.

  1. 10 · 10 = 100 este mai puțin decât 121.
  2. 11 · 11 = 121.
  3. Așadar √121 = 11.

Greșeală frecventă: √81 = 8 82=64, nu 81. Verificarea 92=81 ne arată răspunsul corect.

Zero, unu și numere negative

0 · 0 = 0, deci √0 = 0. La fel, 1 · 1 = 1, deci √1 = 1. Zero este permis sub radical.

Lucrăm în numerele reale: numerele obișnuite de pe axa numerelor, inclusiv fracții și radicali. Un număr real la pătrat nu este negativ: și (−3) · (−3) = 9. De aceea −9 nu are valoare reală. Un minus în fața radicalului este altceva: −√9 = −3.

  • √0 = 0; √1 = 1
  • −9 nu există în numerele reale; −√9 = −3

Exemplu rezolvat, cu alte date

Există −4 în numerele reale?

  1. Am avea nevoie de un număr al cărui pătrat este −4.
  2. Pătratul oricărui număr real este mai mare sau egal cu zero.
  3. Nu există un asemenea număr real. Nu scriem −4=−2, deoarece (−2)2=4.

Greșeală frecventă: −9 = −3 (−3)2=9, nu −9. Minusul de sub radical nu se mută în față.

Nu toate rădăcinile pătrate sunt numere întregi

√20 există fiindcă 20 este pozitiv. Nu îl putem însă scrie ca un număr întreg: 42=16 și 52=25. Așadar √20 este între 4 și 5.

Pentru încadrare căutăm pătratul perfect imediat mai mic și cel imediat mai mare. Nu spunem că √20 este exact 4; 4 este doar limita de jos.

  • 16 < 20 < 25 → 4 < √20 < 5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Între ce numere întregi consecutive se află √40?

  1. 62=36 și 72=49.
  2. 36 < 40 < 49.
  3. Deci 6 < √40 < 7. Nu am calculat o valoare zecimală exactă.

Greșeală frecventă: √20 = 4, deoarece 16 este aproape de 20 42=16, nu 20. √20 este mai mare decât 4 și mai mic decât 5.

Un radical și o ecuație nu cer același lucru

√25 are o singură valoare: 5. Dar cerința „află toate numerele x pentru care x2=25” are două răspunsuri: 5 și −5, fiindcă ambele au pătratul 25.

Litera x ține locul numărului căutat. Nu punem ± la valoarea lui √25. Folosim două valori numai când rezolvăm ecuația și ni se cer toate soluțiile reale.

  • √25 = 5
  • x2 = 25 → x = 5 sau x = −5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Compară √64 cu soluțiile ecuației x2=64.

  1. 82=64 și (−8)2=64.
  2. Radicalul principal √64 este 8.
  3. Ecuația x2=64 are soluțiile 8 și −8.

Greșeală frecventă: √25 = ±5 ±5 reprezintă două numere. Radicalul principal este doar cel nenegativ: 5.

Pătratul unui radical și radicalul unui pătrat

La (√7)2, paranteza arată că ridicăm la pătrat întregul radical. Operațiile se desfac una pe alta: rezultatul este 7, chiar dacă √7 nu este întreg.

La (−5)2, calculăm întâi pătratul din interior: (−5)2=25, apoi √25=5. Rezultatul radicalului rămâne nenegativ. De aceea nu putem șterge pur și simplu semnele și răspunde −5.

  • (√7)2 = 7
  • (−5)2 = √25 = 5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează (−6)2.

  1. Înmulțim (−6) · (−6) și obținem 36.
  2. Calculăm radicalul lui 36.
  3. √36=6. Rezultatul este pozitiv, nu −6.

Greșeală frecventă: (−5)2 = −5 Întâi obținem √25, apoi 5. Radicalul principal nu este negativ.

Aplicăm: aflăm latura unui pătrat

Aria pătratului se obține înmulțind latura cu ea însăși. Dacă știm aria și căutăm latura, facem drumul înapoi cu radicalul.

Unitățile contează: dacă aria este în cm2 (centimetri pătrați), latura este în cm (centimetri). O lungime nu poate fi negativă, deci alegem rădăcina pozitivă.

  • arie = latură · latură
  • latură = √arie

Exemplu rezolvat, cu alte date

O placă pătrată are aria 100 cm2. Află latura.

  1. Căutăm o lungime care înmulțită cu ea însăși dă 100.
  2. 10 · 10 = 100, deci √100 = 10.
  3. Latura este 10 cm. Verificare: 10 cm · 10 cm = 100 cm2.

Greșeală frecventă: Latura este 100 : 2 = 50 cm Aria nu este de două ori latura; este latura înmulțită cu ea însăși.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 32. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · 3 — Cifra mică 2 spune să înmulțim numărul cu el însuși: doi factori egali, nu înmulțire cu 2.
    2. 9 — 3 rânduri de câte 3 pătrățele au în total 9 pătrățele. 32=9.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 9

  2. Exercițiul 2

    Calculează 42. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi rezolvarea
    1. 4 · 4 — Cifra mică 2 spune să înmulțim numărul cu el însuși: doi factori egali, nu înmulțire cu 2.
    2. 16 — 4 rânduri de câte 4 pătrățele au în total 16 pătrățele. 42=16.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 16

  3. Exercițiul 3

    Calculează 52. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi rezolvarea
    1. 5 · 5 — Cifra mică 2 spune să înmulțim numărul cu el însuși: doi factori egali, nu înmulțire cu 2.
    2. 25 — 5 rânduri de câte 5 pătrățele au în total 25 pătrățele. 52=25.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 25

  4. Exercițiul 4

    Calculează √4.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 · 2 = 4 — 2 · 2=4. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 2 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √4=2. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 2

  5. Exercițiul 5

    Calculează √9.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 · 3 = 9 — 3 · 3=9. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 3 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √9=3. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 3

  6. Exercițiul 6

    Calculează √16.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 · 4 = 16 — 4 · 4=16. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 4 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √16=4. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 4

  7. Exercițiul 7

    Calculează √64.

    Vezi rezolvarea
    1. 8 · 8 = 64 — 8 · 8=64. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 8 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √64=8. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 8

  8. Exercițiul 8

    Calculează √81.

    Vezi rezolvarea
    1. 9 · 9 = 81 — 9 · 9=81. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 9 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √81=9. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 9

  9. Exercițiul 9

    Calculează √100.

    Vezi rezolvarea
    1. 10 · 10 = 100 — 10 · 10=100. Radicalul desface ridicarea la pătrat.
    2. 10 — Semnul √ cere o singură valoare, cea care nu este negativă. Așadar √100=10. Semnul ± se citește „plus sau minus”; nu îl punem la valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 10

  10. Exercițiul 10

    Calculează √0.

    Vezi rezolvarea
    1. 0 — 0 · 0 = 0. Zero nu este negativ, deci poate fi și sub radical, și rezultatul lui.
    2. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 0

  11. Exercițiul 11

    Calculează √1.

    Vezi rezolvarea
    1. 1 — 1 · 1 = 1. Rădăcina principală este 1, nu −1.
    2. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 1

  12. Exercițiul 12

    Are −16 o valoare în numerele reale?

    Vezi rezolvarea
    1. Nu, pătratul este ≥ 0. — Un număr negativ înmulțit cu el însuși dă un rezultat pozitiv. Prin urmare −16 nu există în numerele reale.
    2. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: Nu, pătratul este ≥ 0.

  13. Exercițiul 13

    Între ce numere întregi consecutive se află √10?

    Vezi rezolvarea
    1. 9 < 10 < 16 — Calculăm 32=9 și 42=16. 10 este între aceste pătrate.
    2. 3 < √10 < 4 — √10 este mai mare decât 3 și mai mic decât 4. Încadrarea nu este o egalitate.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 3 < √10 < 4

  14. Exercițiul 14

    Între ce numere întregi consecutive se află √30?

    Vezi rezolvarea
    1. 25 < 30 < 36 — Calculăm 52=25 și 62=36. 30 este între aceste pătrate.
    2. 5 < √30 < 6 — √30 este mai mare decât 5 și mai mic decât 6. Încadrarea nu este o egalitate.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 5 < √30 < 6

  15. Exercițiul 15

    Între ce numere întregi consecutive se află √50?

    Vezi rezolvarea
    1. 49 < 50 < 64 — Calculăm 72=49 și 82=64. 50 este între aceste pătrate.
    2. 7 < √50 < 8 — √50 este mai mare decât 7 și mai mic decât 8. Încadrarea nu este o egalitate.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 7 < √50 < 8

  16. Exercițiul 16

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 9.

    Vezi rezolvarea
    1. 3 — 3 · 3=9. Acesta este radicalul principal.
    2. x = 3 sau x = −3 — Sunt două soluții deoarece ambele numere au pătratul 9. Nu confundăm ecuația cu valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: x = 3 sau x = −3

  17. Exercițiul 17

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 16.

    Vezi rezolvarea
    1. 4 — 4 · 4=16. Acesta este radicalul principal.
    2. x = 4 sau x = −4 — Sunt două soluții deoarece ambele numere au pătratul 16. Nu confundăm ecuația cu valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: x = 4 sau x = −4

  18. Exercițiul 18

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 49.

    Vezi rezolvarea
    1. 7 — 7 · 7=49. Acesta este radicalul principal.
    2. x = 7 sau x = −7 — Sunt două soluții deoarece ambele numere au pătratul 49. Nu confundăm ecuația cu valoarea radicalului.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: x = 7 sau x = −7

  19. Exercițiul 19

    Calculează (√13)2.

    Vezi rezolvarea
    1. 13 — 13 este pozitiv. √13 înmulțit cu el însuși dă chiar 13, conform definiției rădăcinii pătrate.
    2. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 13

  20. Exercițiul 20

    Calculează (−3)2.

    Vezi rezolvarea
    1. 9 — Produsul a două numere negative este pozitiv. Calculăm mai întâi ce este sub radical.
    2. 3 — √9=3. Rezultatul radicalului principal este nenegativ.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 3

  21. Exercițiul 21

    Calculează (−8)2.

    Vezi rezolvarea
    1. 64 — Produsul a două numere negative este pozitiv. Calculăm mai întâi ce este sub radical.
    2. 8 — √64=8. Rezultatul radicalului principal este nenegativ.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 8

  22. Exercițiul 22

    Un pătrat are aria 25 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi rezolvarea
    1. latură · latură = arie — Aria numără pătrățelele din toate rândurile. 4 · latură ar calcula perimetrul, adică lungimea conturului.
    2. 5 cm — 5 · 5=25, deci latura este 5 cm. Unitatea lungimii este cm, nu cm2.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 5 cm

  23. Exercițiul 23

    Un pătrat are aria 36 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi rezolvarea
    1. latură · latură = arie — Aria numără pătrățelele din toate rândurile. 4 · latură ar calcula perimetrul, adică lungimea conturului.
    2. 6 cm — 6 · 6=36, deci latura este 6 cm. Unitatea lungimii este cm, nu cm2.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 6 cm

  24. Exercițiul 24

    Un pătrat are aria 49 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi rezolvarea
    1. latură · latură = arie — Aria numără pătrățelele din toate rândurile. 4 · latură ar calcula perimetrul, adică lungimea conturului.
    2. 7 cm — 7 · 7=49, deci latura este 7 cm. Unitatea lungimii este cm, nu cm2.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 7 cm

Exersăm de la ușor la greu (24)

  1. 1. Pornim de la zero

    Calculează 32. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi răspunsul

    9

  2. 2. Pornim de la zero

    Calculează 42. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi răspunsul

    16

  3. 3. Pornim de la zero

    Calculează 52. Ce înseamnă „la pătrat”?

    Vezi răspunsul

    25

  4. 4. Pornim de la zero

    Calculează √4.

    Vezi răspunsul

    2

  5. 5. Pornim de la zero

    Calculează √9.

    Vezi răspunsul

    3

  6. 6. Pornim de la zero

    Calculează √16.

    Vezi răspunsul

    4

  7. 7. Pornim de la zero

    Calculează √64.

    Vezi răspunsul

    8

  8. 8. Pornim de la zero

    Calculează √81.

    Vezi răspunsul

    9

  9. 9. Exersăm pas cu pas

    Calculează √100.

    Vezi răspunsul

    10

  10. 10. Exersăm pas cu pas

    Calculează √0.

    Vezi răspunsul

    0

  11. 11. Exersăm pas cu pas

    Calculează √1.

    Vezi răspunsul

    1

  12. 12. Exersăm pas cu pas

    Are −16 o valoare în numerele reale?

    Vezi răspunsul

    Nu, pătratul este ≥ 0.

  13. 13. Exersăm pas cu pas

    Între ce numere întregi consecutive se află √10?

    Vezi răspunsul

    3 < √10 < 4

  14. 14. Exersăm pas cu pas

    Între ce numere întregi consecutive se află √30?

    Vezi răspunsul

    5 < √30 < 6

  15. 15. Exersăm pas cu pas

    Între ce numere întregi consecutive se află √50?

    Vezi răspunsul

    7 < √50 < 8

  16. 16. Exersăm pas cu pas

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 9.

    Vezi răspunsul

    x = 3 sau x = −3

  17. 17. Calculăm singuri

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 16.

    Vezi răspunsul

    x = 4 sau x = −4

  18. 18. Calculăm singuri

    Află toate soluțiile reale ale ecuației x2 = 49.

    Vezi răspunsul

    x = 7 sau x = −7

  19. 19. Calculăm singuri

    Calculează (√13)2.

    Vezi răspunsul

    13

  20. 20. Calculăm singuri

    Calculează (−3)2.

    Vezi răspunsul

    3

  21. 21. Calculăm singuri

    Calculează (−8)2.

    Vezi răspunsul

    8

  22. 22. Calculăm singuri

    Un pătrat are aria 25 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi răspunsul

    5 cm

  23. 23. Calculăm singuri

    Un pătrat are aria 36 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi răspunsul

    6 cm

  24. 24. Calculăm singuri

    Un pătrat are aria 49 cm2. Află lungimea laturii.

    Vezi răspunsul

    7 cm

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.