Divizibilitate și numere prime

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Împărțire exactă, divizori și numere prime

Un număr se împarte exact la altul dacă restul este 0. De exemplu, dacă împărțim obiecte în grupe egale și nu rămâne niciun obiect, împărțirea este exactă. Spunem atunci că primul număr este divizibil cu al doilea; al doilea este un divizor al primului. Nu împărțim niciodată la 0.

Un număr prim este un număr natural mai mare decât 1 care are exact doi divizori pozitivi: 1 și el însuși. Numerele prime de o cifră sunt 2, 3, 5 și 7. 1 nu este prim: are un singur divizor pozitiv. 2 este singurul număr prim par.

21=3·7: rest 0, deci 21 este divizibil cu 3

Criteriu de divizibilitate înseamnă o regulă care verifică împărțirea exactă, fără să facem toată împărțirea.

Exemplu cu alte date

Se împarte exact 21 la 3? Dar 22 la 3?

1.21=3·7: formăm 7 grupe de câte 3 și nu rămâne nimic. Restul este 0.
2.22=3·7+1: după aceleași grupe rămâne 1. Restul este 1.
3.21 este divizibil cu 3, iar 22 nu este divizibil cu 3. 3 este prim, fiindcă are doar divizorii 1 și 3.

Toată lecția pe o pagină

Divizibilitate și numere prime: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Înveți câte o regulă: urmărești un exemplu cu alte date, rezolvi două probleme pe pași și apoi o verificare scurtă. Poți opri și relua oricând.

Împărțire exactă, divizori și numere prime

21=3·7: rest 0, deci 21 este divizibil cu 3

Criteriu de divizibilitate înseamnă o regulă care verifică împărțirea exactă, fără să facem toată împărțirea.

Exemplu cu alte date

Se împarte exact 21 la 3? Dar 22 la 3?

21=3·7: formăm 7 grupe de câte 3 și nu rămâne nimic. Restul este 0.
22=3·7+1: după aceleași grupe rămâne 1. Restul este 1.
21 este divizibil cu 3, iar 22 nu este divizibil cu 3. 3 este prim, fiindcă are doar divizorii 1 și 3.

Criteriul pentru 2: ultima cifră este pară

Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima sa cifră este 0, 2, 4, 6 sau 8. Acestea sunt cifrele pare. Nu contează celelalte cifre: privim numai ultima cifră. Un număr care se împarte exact la 2 se numește par.

Ultima cifră: 0, 2, 4, 6 sau 8 → divizibil cu 2

Și un număr care se termină în 0 este par.

Exemplu cu alte date

Este 346 divizibil cu 2?

Ultima cifră a lui 346 este 6.
6 este una dintre cifrele pare, deci se aplică regula pentru 2.
Da: 346:2=173, fără rest.

Criteriul pentru 3: adunăm cifrele

Un număr natural este divizibil cu 3 dacă suma cifrelor sale se împarte exact la 3. Adunăm cifrele, nu le înmulțim. Apoi verificăm suma: 3, 6, 9, 12, 15 și așa mai departe sunt multipli de 3, adică rezultate ale înmulțirii lui 3 cu un număr întreg.

Suma cifrelor divizibilă cu 3 → numărul divizibil cu 3

Ultima cifră nu trebuie să fie 3. De exemplu, un număr terminat în 2 poate fi divizibil cu 3.

Exemplu cu alte date

Este 123 divizibil cu 3?

Adunăm cifrele: 1+2+3=6.
6:3=2, fără rest.
Da, 123 este divizibil cu 3. Control: 123:3=41.

Criteriul pentru 5: ultima cifră este 0 sau 5

Un număr natural este divizibil cu 5 exact atunci când ultima cifră este 0 sau 5. Ne uităm numai la cifra din dreapta; prima cifră și suma cifrelor nu hotărăsc această regulă.

Ultima cifră 0 sau 5 → divizibil cu 5

Un număr terminat în 0 este divizibil atât cu 2, cât și cu 5.

Exemplu cu alte date

Este 315 divizibil cu 5?

Ultima cifră este 5.
Regula acceptă 0 sau 5, deci 315 se împarte exact la 5.
Control: 315:5=63, fără rest.

Criteriul pentru 7: dublăm ultima cifră și scădem

Pentru 7 avem o regulă diferită. Separăm ultima cifră, o înmulțim cu 2 și scădem acest rezultat din numărul rămas în față. Numărul inițial este divizibil cu 7 exact când rezultatul obținut este divizibil cu 7. Putem repeta dacă rezultatul este încă mare. Dacă rezultatul este negativ, verificăm numărul fără semnul minus: −14 și 14 sunt ambele multipli de 7. Și 0 se împarte exact la 7: 0=7·0.

Separăm ultima cifră → o dublăm → scădem din partea rămasă → verificăm 7

Pentru 7 nu folosim regula sumei cifrelor de la 3. Dacă preferi, poți verifica și prin împărțirea obișnuită la 7.

Exemplu cu alte date

Este 203 divizibil cu 7?

Separăm 203 în partea din față 20 și ultima cifră 3. Dublăm ultima cifră: 2·3=6.
Scădem din partea din față: 20−6=14. 14=7·2, deci se împarte exact la 7.
Da, 203 este divizibil cu 7. Control prin împărțire: 203:7=29.

Folosim criteriile: descompunerea în factori primi

Pentru a scrie un număr ca produs de prime, îl punem în stânga unei linii verticale și scriem în dreapta cel mai mic divizor prim. Rezultatul împărțirii se scrie dedesubt, în stânga. Împărțim fiecare rezultat nou și continuăm până la 1. Produsul tuturor numerelor din dreapta trebuie să refacă numărul inițial. Nu scriem 1 în coloana primelor, fiindcă 1 nu este prim.

Factorii primi sunt numerele din coloana din dreapta

Această descompunere ne va ajuta și la simplificarea fracțiilor și a radicalilor.

Exemplu cu alte date

Descompune 90 în factori primi.

90 este par: 90:2=45. 45 este impar și 4+5=9 se împarte la 3, deci 45:3=15.
15:3=5, apoi 5:5=1. Am ajuns la 1 și ne oprim.
Coloana din dreapta dă 90=2·3·3·5. Control: 2·3·3·5=90.

Exerciții rezolvate din lecție (18)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Este 24 divizibil cu 6?
Vezi rezolvarea
1. 6·4=24. Patru grupe a câte 6 dau exact 24: 6·4=24.
2. 24−6·4=0. Calculăm ce rămâne: 24−24=0. Acesta este restul.
3. Da, 24 este divizibil cu 6. Divizibilitatea cere rest 0; divizorul nu trebuie să fie prim. 6 este un divizor al lui 24.
Răspuns: Da, 24 este divizibil cu 6
Exercițiul 2
Este 25 divizibil cu 6?
Vezi rezolvarea
1. 6·4=24. Patru grupe dau 24; a cincea ar depăși 25. Ne oprim la patru grupe.
2. 25−24=1. Restul este un obiect: 25=6·4+1. Este mai mic decât divizorul 6.
3. Nu, 25 nu este divizibil cu 6. Restul este 1, nu 0. A fi aproape de un multiplu nu înseamnă împărțire exactă.
Răspuns: Nu, 25 nu este divizibil cu 6
Exercițiul 3
Care listă conține toate numerele prime de o cifră?
Vezi rezolvarea
1. Un prim are exact doi divizori pozitivi și este mai mare decât 1.
2. 2, 3, 5 și 7 au această proprietate. 9 se împarte și la 3; 4, 6, 8 au și alți divizori.
3. Lista completă este 2, 3, 5, 7; 1 nu este prim.
Răspuns: 2, 3, 5, 7
Exercițiul 4
Este 148 divizibil cu 2?
Vezi rezolvarea
1. 8. Cifra din dreapta este 8. Nu folosim prima cifră sau suma cifrelor pentru regula lui 2.
2. Da, 8=2·4. 8 se împarte exact la 2 și apare în lista 0, 2, 4, 6, 8.
3. 148 este divizibil cu 2. Ultima cifră este pară. Verificare: 148:2=74, fără rest.
Răspuns: 148 este divizibil cu 2
Exercițiul 5
Este 235 divizibil cu 2?
Vezi rezolvarea
1. 5. Ne uităm doar la cifra din dreapta: 5.
2. Nu, 5 este impară. 5 nu se află în lista 0, 2, 4, 6, 8. Prima cifră 2 nu schimbă criteriul.
3. 235 nu este divizibil cu 2. 235=2·117+1: restul este 1. Regula pentru 2 folosește ultima cifră, nu suma cifrelor.
Răspuns: 235 nu este divizibil cu 2
Exercițiul 6
Este 570 divizibil cu 2?
Vezi rezolvarea
1. Ultima cifră este 0.
2. 0 este o cifră pară, deci criteriul pentru 2 este îndeplinit.
3. 570:2=285, fără rest.
Răspuns: Da, ultima cifră 0 este pară
Exercițiul 7
Este 246 divizibil cu 3?
Vezi rezolvarea
1. 2+4+6=12. Suma cifrelor este 12. Produsul lor nu se folosește în criteriul pentru 3.
2. Da, 12:3=4. 3·4=12, deci suma cifrelor este divizibilă cu 3.
3. 246 este divizibil cu 3. Suma cifrelor îndeplinește criteriul. Control: 246:3=82.
Răspuns: 246 este divizibil cu 3
Exercițiul 8
Este 124 divizibil cu 3?
Vezi rezolvarea
1. 1+2+4=7. Adunăm toate cele trei cifre: 1+2+4=7.
2. Nu, 7=3·2+1. 7 are restul 1 la împărțirea la 3, deci suma nu îndeplinește criteriul.
3. 124 nu este divizibil cu 3. Regula pentru 3 depinde de suma cifrelor. 124=3·41+1, deci rămâne rest 1.
Răspuns: 124 nu este divizibil cu 3
Exercițiul 9
Este 402 divizibil cu 3?
Vezi rezolvarea
1. 4+0+2=6; cifra 0 nu schimbă suma.
2. 6:3=2, fără rest.
3. 402 este divizibil cu 3: 402:3=134.
Răspuns: Da, 4+0+2=6 și 6 se împarte la 3
Exercițiul 10
Este 245 divizibil cu 5?
Vezi rezolvarea
1. 5. În 245, cifra din dreapta este 5.
2. Ultima cifră să fie 0 sau 5. Regula pentru 5 privește ultima cifră, nu prima cifră sau suma cifrelor.
3. 245 este divizibil cu 5. Ultima cifră este 5. Verificăm: 245:5=49.
Răspuns: 245 este divizibil cu 5
Exercițiul 11
Este 512 divizibil cu 5?
Vezi rezolvarea
1. Ultima cifră, 2. Faptul că numărul începe cu 5 nu înseamnă că se împarte exact la 5.
2. Nu, 2 nu este nici 0, nici 5. 2 nu îndeplinește regula pentru 5, chiar dacă este o cifră pară.
3. 512 nu este divizibil cu 5. 512=5·102+2: restul este 2, deci împărțirea nu este exactă.
Răspuns: 512 nu este divizibil cu 5
Exercițiul 12
Este 730 divizibil cu 5?
Vezi rezolvarea
1. Ultima cifră a lui 730 este 0.
2. 0 este acceptat de criteriul pentru 5.
3. 730:5=146, fără rest.
Răspuns: Da, ultima cifră este 0
Exercițiul 13
Este 154 divizibil cu 7?
Vezi rezolvarea
1. Partea din față este 15; 2·4=8. Ultima cifră este 4, iar partea rămasă este 15. Dublul lui 4 este 8.
2. 15−8=7. Scădem din partea rămasă 15, nu din întregul 154.
3. 154 este divizibil cu 7. 7=7·1, deci rezultatul verificării este multiplu de 7. Control: 154:7=22.
Răspuns: 154 este divizibil cu 7
Exercițiul 14
Este 152 divizibil cu 7?
Vezi rezolvarea
1. Partea din față este 15; 2·2=4. Ultima cifră este 2; rămâne 15 în față. Dublul lui 2 este 4.
2. 15−4=11. Regula cere scăderea dublului ultimei cifre din partea rămasă: 15−4.
3. 152 nu este divizibil cu 7. 11 este între 7 și 14, nu este multiplu de 7. Control: 152=7·21+5, deci restul este 5.
Răspuns: 152 nu este divizibil cu 7
Exercițiul 15
Este 161 divizibil cu 7?
Vezi rezolvarea
1. Separăm partea 16 și ultima cifră 1; dublul ultimei cifre este 2.
2. 16−2=14 și 14:7=2.
3. 161 este divizibil cu 7: 161:7=23.
Răspuns: Da, 16−2·1=14 și 14 este multiplu de 7
Exercițiul 16
Descompune 36 în factori primi.
Vezi rezolvarea
1. 36:2=18; 18:2=9. Împărțim întâi 36 și apoi rezultatul 18 la 2. Obținem doi factori 2 și rezultatul 9.
2. 9:3=3; 3:3=1. Scriem doi divizori 3. Ne oprim când ajungem la 1, nu când ajungem la 3.
3. 36=2·2·3·3. Folosim fiecare număr din dreapta o dată, inclusiv repetările. Control: 2·2·3·3=36.
Răspuns: 36=2·2·3·3
Exercițiul 17
Descompune 60 în factori primi.
Vezi rezolvarea
1. 60:2=30; 30:2=15. 60 și 30 sunt pare. După două împărțiri la 2 rămâne 15, care este impar.
2. 15:3=5; 5:5=1. 1+5=6 se împarte la 3, deci 15:3=5. Apoi 5, fiind prim, se împarte la el însuși.
3. 60=2·2·3·5. Factorii din dreapta sunt 2, 2, 3, 5. Control: produsul lor este 60.
Răspuns: 60=2·2·3·5
Exercițiul 18
Care este descompunerea completă a lui 84 în factori primi?
Vezi rezolvarea
1. 84:2=42, 42:2=21.
2. 21:3=7, apoi 7:7=1.
3. Produsul primelor din dreapta este 84=2·2·3·7.
Răspuns: 84=2·2·3·7