ÎncepătoriRecapitulare gimnaziu și liceu⏱ 10 părți · câte 3 exerciții
√
Încărcăm partea curentă…
Adunarea și scăderea radicalilor · de la zero
Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Adunăm bucăți de același fel
√2 este un număr. La 2√2, cifra 2 din față înseamnă 2 · √2: două bucăți egale cu √2. Acest număr din față se numește coeficient.
Dacă avem două astfel de bucăți și mai primim trei, avem cinci. Se schimbă câte bucăți avem, nu valoarea unei bucăți. Nu adunăm numerele de sub radical.
În formulă, a și b sunt numerele din fața radicalului, iar n este numărul de sub radical. Dacă apare c, el este al treilea coeficient. n≥0 înseamnă că n este mai mare sau egal cu zero.
🧮 De ținut minte
a√n + b√n = (a+b)√n, pentru n≥0
✏️Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 2√7 + 5√7.
1În ambele locuri se repetă √7.
2Adunăm coeficienții: 2+5=7.
3Păstrăm √7: rezultatul este 7√7.
⚠️ Greșeală frecventă
Greșit: 2√7 + 5√7 = 7√14
De ce: Adunăm doar 2 și 5. Numărul 7 de sub radical rămâne 7.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Adunarea și scăderea radicalilor · de la zero: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Începem prin a număra bucăți identice. Apoi simplificăm, scădem și grupăm, fără să sărim pași.
Adunăm bucăți de același fel
√2 este un număr. La 2√2, cifra 2 din față înseamnă 2 · √2: două bucăți egale cu √2. Acest număr din față se numește coeficient.
Dacă avem două astfel de bucăți și mai primim trei, avem cinci. Se schimbă câte bucăți avem, nu valoarea unei bucăți. Nu adunăm numerele de sub radical.
În formulă, a și b sunt numerele din fața radicalului, iar n este numărul de sub radical. Dacă apare c, el este al treilea coeficient. n≥0 înseamnă că n este mai mare sau egal cu zero.
a√n + b√n = (a+b)√n, pentru n≥0
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 2√7 + 5√7.
În ambele locuri se repetă √7.
Adunăm coeficienții: 2+5=7.
Păstrăm √7: rezultatul este 7√7.
Greșeală frecventă:2√7 + 5√7 = 7√14Adunăm doar 2 și 5. Numărul 7 de sub radical rămâne 7.
Când nu vedem un număr în față, el este 1
√5 înseamnă o singură bucată √5. Îl putem scrie 1√5, adică 1 · √5. De obicei nu scriem cifra 1.
La √5+4√5 avem, așadar, 1+4 bucăți. Nu uităm termenul care nu are coeficient scris.
√n = 1 · √n
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează √11 + 6√11.
Scriem √11=1√11.
Adunăm 1+6=7.
Obținem 7√11.
Greșeală frecventă:√5 + 4√5 = 4√5Primul radical contează și el: are coeficientul 1.
Scădem și putem rămâne cu zero
La 7√3−2√3 pornim cu șapte bucăți și scoatem două. Rămân cinci bucăți √3.
Dacă scădem exact cât avem, rămâne zero: 4√3−4√3=0. Nu răspundem √0 fiindcă am schimbat radicalul; răspundem 0 deoarece coeficientul a devenit 0.
În formulă, a și b sunt numerele din fața radicalului, iar n este numărul de sub radical. Dacă apare c, el este al treilea coeficient. n≥0 înseamnă că n este mai mare sau egal cu zero.
a√n − b√n = (a−b)√n
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 8√7 − 3√7.
Radicalul comun este √7.
Scădem 8−3=5.
Rezultatul este 5√7.
Greșeală frecventă:4√3 − 4√3 = √34−4=0 și 0 · √3=0.
Dacă scădem mai mult, rezultatul este negativ
La 2√5−6√5 calculăm 2−6. Din 2 scădem întâi 2 și ajungem la zero; apoi mai scădem 4. Obținem −4.
Scriem −4√5. Minusul este în fața radicalului. Numărul 5 rămâne pozitiv sub radical: nu avem un radical dintr-un număr negativ.
2√5 − 6√5 = (2−6)√5 = −4√5
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 3√11 − 8√11.
Ambele bucăți sunt √11.
3−8=−5: scădem cu 5 mai mult decât aveam.
Rezultatul este −5√11, nu √−55.
Greșeală frecventă:2√5 − 6√5 = 4√5Ordinea contează: 2−6=−4, nu 4.
Radicali diferiți: uneori calculul rămâne o sumă
√2 și √3 sunt numere diferite și sunt deja simplificați. Nu putem aduna coeficienții lor ca și când ambele bucăți ar fi identice.
2√2+3√3 este un răspuns exact, chiar dacă are două părți. Înainte de a spune că nu putem grupa, verificăm totuși dacă radicalii se pot simplifica; în partea următoare învățăm cazul acela.
√2 + √3 ≠ √5
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 4√5 + 2√7.
Numerele 5 și 7 de sub radical sunt diferite.
Niciunul nu conține un factor pătrat perfect mai mare decât 1.
Păstrăm rezultatul exact 4√5+2√7.
Greșeală frecventă:√2 + √3 = √5Regula √a · √b=√ab este pentru înmulțire, nu pentru adunare.
Simplificăm un radical, apoi adunăm sau scădem
La √20+3√5, numerele de sub radical par diferite. Dar 20=4 · 5, iar √4=2, deci √20=2√5.
Rescriem întregul calcul: 2√5+3√5. Acum bucățile sunt identice și putem aduna 2+3. Dacă era minus, îl păstram și scădeam.
Litera k este numărul care iese din radical, iar k2 înseamnă k · k. Litera n este numărul care rămâne sub radical. Semnul ≥ se citește «mai mare sau egal».
√k2 · n = k√n, pentru k≥0 și n≥0
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează √63 − 2√7.
63=9 · 7 și √9=3.
√63=3√7. Calculul devine 3√7−2√7.
3−2=1, deci rezultatul este √7.
Greșeală frecventă:√20 + 3√5 = √25 + 3Simplificăm fiecare radical separat. Nu adunăm ce este sub radical.
Simplificăm ambii radicali, fiecare pe rând
La √50−√8, scriem 50=25 · 2 și 8=4 · 2. Din primul radical iese 5, iar din al doilea iese 2.
Obținem 5√2−2√2. Abia acum scădem 5−2=3. Scriem separat cele două simplificări, ca să nu pierdem semnul dintre termeni.
√50 − √8 = 5√2 − 2√2 = 3√2
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează √75 + √12.
75=25 · 3, deci √75=5√3.
12=4 · 3, deci √12=2√3.
5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.
Greșeală frecventă:√50 − √8 = √42Radicalul nu se desface peste o scădere. Simplificăm fiecare termen înainte de scădere.
Trei termeni: fiecare își păstrează semnul
În 3√2−5√2+4√2 avem același radical în toate cele trei locuri. Calculăm coeficienții 3−5+4.
Adunările și scăderile au aceeași prioritate. Mergem de la stânga la dreapta: 3−5=−2, apoi −2+4=2. Minusul nu dispare doar pentru că urmează un plus.
În formulă, a și b sunt numerele din fața radicalului, iar n este numărul de sub radical. Dacă apare c, el este al treilea coeficient. n≥0 înseamnă că n este mai mare sau egal cu zero.
a√n − b√n + c√n = (a−b+c)√n
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 4√7 − 6√7 + 5√7.
Păstrăm coeficienții cu semnele lor: 4−6+5.
4−6=−2, apoi −2+5=3.
Rezultatul este 3√7.
Greșeală frecventă:3−5+4 = 3−9Nu grupăm 5+4 după minus fără să schimbăm sensul calculului. Calculăm de la stânga la dreapta.
Minus în fața parantezei
Putem calcula întâi paranteza. O altă metodă utilă este să o desfacem. Când în față avem minus, se schimbă semnul fiecărui termen din paranteză.
La 6√5−(4√5−√5), scădem 4√5, dar scăderea lui −√5 devine adunare. Obținem 6√5−4√5+√5. Aici −(−√5)=+√5; nu confundăm asta cu simpla scădere a două numere pozitive.
În formula scurtă, a, b și c țin locul unor numere sau termeni. Nu trebuie să le aflăm: formula arată doar cum se schimbă semnele.
a − (b−c) = a−b+c
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 7√11 − (5√11 − 2√11).
Desfacem paranteza: 7√11−5√11+2√11.
7−5=2, apoi 2+2=4.
Rezultatul este 4√11. Verificare: în paranteză aveam 3√11, iar 7√11−3√11=4√11.
Greșeală frecventă:a−(b−c) = a−b−cMinusul din fața parantezei schimbă și semnul celui de-al doilea termen.
Două familii de radicali în același calcul
Într-un calcul cu √2 și √3, facem două grupuri separate. Fiecare termen se mută împreună cu semnul său.
Calculăm coeficienții din grupul cu √2, apoi din grupul cu √3. La final păstrăm ambele rezultate: radicalii diferiți nu se adună între ei. Culorile indică grupurile; regula o verificăm după numerele de sub radical.
Literele a, b, c și d țin locul coeficienților, adică al numerelor din fața radicalilor. Nu sunt necunoscute de aflat în aceste exerciții.
a√2 + b√3 − c√2 + d√3 = (a−c)√2 + (b+d)√3
Exemplu rezolvat, cu alte date
Calculează 8√2 + 2√3 − 5√2 + 4√3.
Cu √2: 8−5=3, deci 3√2.
Cu √3: 2+4=6, deci 6√3.
Rezultatul exact este 3√2+6√3.
Greșeală frecventă:3√2 + 6√3 = 9√5Sunt două feluri de bucăți. Păstrăm două grupuri separate.
Exerciții rezolvate din lecție (30)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Calculează 2√2 + 3√2.
Vezi rezolvarea
√2 — În ambele locuri avem √2. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(2 + 3) · √2 — 2√2 înseamnă 2 · √2. Celălalt număr din față este 3. Păstrăm operația +.
(5) · √2 — 2 + 3=5. Radicalul rămâne același.
5√2 — Avem 5 · √2, adică 5√2. Numărul 2 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 5√2
Exercițiul 2
Calculează 4√3 + 2√3.
Vezi rezolvarea
√3 — În ambele locuri avem √3. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(4 + 2) · √3 — 4√3 înseamnă 4 · √3. Celălalt număr din față este 2. Păstrăm operația +.
(6) · √3 — 4 + 2=6. Radicalul rămâne același.
6√3 — Avem 6 · √3, adică 6√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 6√3
Exercițiul 3
Calculează 3√5 + 5√5.
Vezi rezolvarea
√5 — În ambele locuri avem √5. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(3 + 5) · √5 — 3√5 înseamnă 3 · √5. Celălalt număr din față este 5. Păstrăm operația +.
8√5 — Avem 8 · √5, adică 8√5. Numărul 5 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 8√5
Exercițiul 4
Calculează √2 + 4√2.
Vezi rezolvarea
√2 — În ambele locuri avem √2. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(1 + 4) · √2 — √2 înseamnă 1 · √2. Celălalt număr din față este 4. Păstrăm operația +.
(5) · √2 — 1 + 4=5. Radicalul rămâne același.
5√2 — Avem 5 · √2, adică 5√2. Numărul 2 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 5√2
Exercițiul 5
Calculează 6√3 + √3.
Vezi rezolvarea
√3 — În ambele locuri avem √3. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(6 + 1) · √3 — 6√3 înseamnă 6 · √3. La √3 nu se vede 1, dar el există: 1 · √3. Păstrăm operația +.
(7) · √3 — 6 + 1=7. Radicalul rămâne același.
7√3 — Avem 7 · √3, adică 7√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 7√3
Exercițiul 6
Calculează √7 + √7.
Vezi rezolvarea
√7 — În ambele locuri avem √7. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(1 + 1) · √7 — √7 înseamnă 1 · √7. La √7 nu se vede 1, dar el există: 1 · √7. Păstrăm operația +.
2√7 — Avem 2 · √7, adică 2√7. Numărul 7 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 2√7
Exercițiul 7
Calculează 7√3 − 2√3.
Vezi rezolvarea
√3 — În ambele locuri avem √3. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(7 − 2) · √3 — 7√3 înseamnă 7 · √3. Celălalt număr din față este 2. Păstrăm operația −.
(5) · √3 — 7 − 2=5. Radicalul rămâne același.
5√3 — Avem 5 · √3, adică 5√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 5√3
Exercițiul 8
Calculează 6√5 − 4√5.
Vezi rezolvarea
√5 — În ambele locuri avem √5. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(6 − 4) · √5 — 6√5 înseamnă 6 · √5. Celălalt număr din față este 4. Păstrăm operația −.
(2) · √5 — 6 − 4=2. Radicalul rămâne același.
2√5 — Avem 2 · √5, adică 2√5. Numărul 5 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 2√5
Exercițiul 9
Calculează 4√2 − 4√2.
Vezi rezolvarea
√2 — În ambele locuri avem √2. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(4 − 4) · √2 — 4√2 înseamnă 4 · √2. Celălalt număr din față este 4. Păstrăm operația −.
0 — 0 · √2=0. Nu mai rămâne niciun termen de acest fel.
Răspuns: 0
Exercițiul 10
Calculează 2√3 − 5√3.
Vezi rezolvarea
√3 — În ambele locuri avem √3. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(2 − 5) · √3 — 2√3 înseamnă 2 · √3. Celălalt număr din față este 5. Păstrăm operația −.
(−3) · √3 — Din 2 scădem 5: obținem -3. Minusul rămâne în față.
−3√3 — Avem -3 · √3, adică −3√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: −3√3
Exercițiul 11
Calculează √7 − 4√7.
Vezi rezolvarea
√7 — În ambele locuri avem √7. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(1 − 4) · √7 — √7 înseamnă 1 · √7. Celălalt număr din față este 4. Păstrăm operația −.
(−3) · √7 — Din 1 scădem 4: obținem -3. Minusul rămâne în față.
−3√7 — Avem -3 · √7, adică −3√7. Numărul 7 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: −3√7
Exercițiul 12
Calculează 3√2 − 8√2.
Vezi rezolvarea
√2 — În ambele locuri avem √2. Numerele din față spun câte astfel de bucăți avem.
(3 − 8) · √2 — 3√2 înseamnă 3 · √2. Celălalt număr din față este 8. Păstrăm operația −.
−5√2 — Avem -5 · √2, adică −5√2. Numărul 2 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: −5√2
Exercițiul 13
Calculează √2 + √3.
Vezi rezolvarea
Nu, sunt diferite. — Avem 2 și 3, două numere diferite. Semnul √ singur nu face termenii de același fel.
Nu, sunt deja simplificați. — 2 și 3 nu conțin factori pătrate perfecte mai mari decât 1. Nu putem transforma radicalii în același tip.
√2 + √3 — Expresia √2 + √3 este deja un rezultat exact. Nu orice sumă trebuie transformată într-un singur termen.
Răspuns: √2 + √3
Exercițiul 14
Calculează 2√3 + 3√5.
Vezi rezolvarea
Nu, sunt diferite. — Avem 3 și 5, două numere diferite. Semnul √ singur nu face termenii de același fel.
Nu, sunt deja simplificați. — 3 și 5 nu conțin factori pătrate perfecte mai mari decât 1. Nu putem transforma radicalii în același tip.
2√3 + 3√5 — Expresia 2√3 + 3√5 este deja un rezultat exact. Nu orice sumă trebuie transformată într-un singur termen.
Răspuns: 2√3 + 3√5
Exercițiul 15
Calculează 4√5 − √7.
Vezi rezolvarea
Nu, sunt diferite. — Avem 5 și 7, două numere diferite. Semnul √ singur nu face termenii de același fel.
Nu, sunt deja simplificați. — 5 și 7 nu conțin factori pătrate perfecte mai mari decât 1. Nu putem transforma radicalii în același tip.
4√5 − √7 — Expresia 4√5 − √7 este deja un rezultat exact. Nu orice sumă trebuie transformată într-un singur termen.
Răspuns: 4√5 − √7
Exercițiul 16
Calculează √12 + 3√3.
Vezi rezolvarea
√4 · 3 + 3√3 — 4=22 și 4 · 3=12. Putem scoate 2 din radical.
2√3 + 3√3 — √4 · 3=√4 · √3=2√3. Iese 2, nu 4.
2√3 + 3√3 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația + rămâne aceeași.
(5) · √3 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 3 + 3 sub radical.
5√3 — Avem 5 · √3, adică 5√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 5√3
Exercițiul 17
Calculează √18 − 2√2.
Vezi rezolvarea
√9 · 2 − 2√2 — 9=32 și 9 · 2=18. Putem scoate 3 din radical.
3√2 − 2√2 — √9 · 2=√9 · √2=3√2. Iese 3, nu 9.
3√2 − 2√2 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația − rămâne aceeași.
(1) · √2 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 2 − 2 sub radical.
√2 — Avem 1 · √2, adică √2. Numărul 2 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: √2
Exercițiul 18
Calculează √20 − 5√5.
Vezi rezolvarea
√4 · 5 − 5√5 — 4=22 și 4 · 5=20. Putem scoate 2 din radical.
2√5 − 5√5 — √4 · 5=√4 · √5=2√5. Iese 2, nu 4.
2√5 − 5√5 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația − rămâne aceeași.
(−3) · √5 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 5 − 5 sub radical.
−3√5 — Avem -3 · √5, adică −3√5. Numărul 5 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: −3√5
Exercițiul 19
Calculează √8 + √18.
Vezi rezolvarea
√4 · 2 + √18 — 4=22 și 4 · 2=8. Putem scoate 2 din radical.
2√2 + √18 — √4 · 2=√4 · √2=2√2. Iese 2, nu 4.
2√2 + √9 · 2 — 9=32. Verificăm 9 · 2=18.
2√2 + 3√2 — √9=3, deci √18=3√2.
2√2 + 3√2 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația + rămâne aceeași.
(5) · √2 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 2 + 2 sub radical.
5√2 — Avem 5 · √2, adică 5√2. Numărul 2 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 5√2
Exercițiul 20
Calculează √48 − √12.
Vezi rezolvarea
√16 · 3 − √12 — 16=42 și 16 · 3=48. Putem scoate 4 din radical.
4√3 − √12 — √16 · 3=√16 · √3=4√3. Iese 4, nu 16.
4√3 − √4 · 3 — 4=22. Verificăm 4 · 3=12.
4√3 − 2√3 — √4=2, deci √12=2√3.
4√3 − 2√3 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația − rămâne aceeași.
(2) · √3 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 3 − 3 sub radical.
2√3 — Avem 2 · √3, adică 2√3. Numărul 3 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: 2√3
Exercițiul 21
Calculează √45 − √80.
Vezi rezolvarea
√9 · 5 − √80 — 9=32 și 9 · 5=45. Putem scoate 3 din radical.
3√5 − √80 — √9 · 5=√9 · √5=3√5. Iese 3, nu 9.
3√5 − √16 · 5 — 16=42. Verificăm 16 · 5=80.
3√5 − 4√5 — √16=4, deci √80=4√5.
3√5 − 4√5 — Am înlocuit fiecare radical cu o formă egală cu el. Operația − rămâne aceeași.
(−1) · √5 — Calculăm numerele din fața radicalului; nu calculăm 5 − 5 sub radical.
−√5 — Avem -1 · √5, adică −√5. Numărul 5 de sub radical nu s-a schimbat la adunare sau scădere.
Răspuns: −√5
Exercițiul 22
Calculează 3√2 − 6√2 + 5√2.
Vezi rezolvarea
3 − 6 + 5 — Toți radicalii sunt √2. Minusul rămâne în fața lui 6, iar plusul în fața lui 5.