Încărcăm partea curentă…

Radicalii · simplificări și operații pas cu pas

Un produs sub radical: desfacem în două rădăcini

Semnul · înseamnă înmulțire. Dacă numerele sunt nenegative, putem calcula 4 · 9 ca √4 · √9. Aici obținem 2 · 3 = 6.

Verificăm și pe cealaltă cale: 4 · 9 = 36, iar √36 = 6. Cele două căi duc la același rezultat. Nu folosim această regulă pentru o sumă: 4+9 nu este √4+√9. În formula de mai jos, literele a și b țin locul celor două numere; a≥0 înseamnă că a este mai mare sau egal cu zero.

De ținut minte

a · b = √a · √b, pentru a≥0 și b≥0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 16 · 25.

  1. 1Separăm în √16 · √25.
  2. 2√16=4 și √25=5.
  3. 34 · 5=20. Verificare: √400=20.

Greșeală frecventă

Greșit: 4+9 = 2+3 = 5

De ce: 4+9=13, iar √13 nu este 5: 52=25. Regula se aplică produselor.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Radicalii · simplificări și operații pas cu pas: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Luăm câte o idee. Citești explicația, vezi un exemplu cu alte numere și rezolvi trei probleme înainte de regula următoare.

Un produs sub radical: desfacem în două rădăcini

Semnul · înseamnă înmulțire. Dacă numerele sunt nenegative, putem calcula 4 · 9 ca √4 · √9. Aici obținem 2 · 3 = 6.

Verificăm și pe cealaltă cale: 4 · 9 = 36, iar √36 = 6. Cele două căi duc la același rezultat. Nu folosim această regulă pentru o sumă: 4+9 nu este √4+√9. În formula de mai jos, literele a și b țin locul celor două numere; a≥0 înseamnă că a este mai mare sau egal cu zero.

  • a · b = √a · √b, pentru a≥0 și b≥0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 16 · 25.

  1. Separăm în √16 · √25.
  2. √16=4 și √25=5.
  3. 4 · 5=20. Verificare: √400=20.

Greșeală frecventă: 4+9 = 2+3 = 5 4+9=13, iar √13 nu este 5: 52=25. Regula se aplică produselor.

Scoatem un pătrat perfect de sub radical

√20 nu este întreg, dar îl putem scrie mai simplu. Căutăm un pătrat perfect care se înmulțește cu un alt număr și dă 20: 20=4 · 5. Separăm √4 · √5 și obținem 2√5.

2√5 înseamnă 2 · √5. Numărul 2 stă în față, iar 5 rămâne sub radical. Căutăm un factor dintre 4, 9, 16, 25… care împarte exact numărul. Dacă nu găsim, putem folosi descompunerea în factori primi din lecția de divizibilitate.

  • √20 = 4 · 5 = 2√5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Simplifică √28.

  1. 28=4 · 7 și 4 este pătrat perfect.
  2. √28=√4 · √7.
  3. √4=2, deci √28=2√7. 7 nu mai are factor pătrat perfect mai mare decât 1.

Greșeală frecventă: √20 = 4√5 În față iese √4=2, nu 4. Control: (2√5)2=4 · 5=20.

Adunăm numai radicali de același fel

3√2 înseamnă trei bucăți egale, fiecare de valoare √2. Dacă mai adăugăm 4√2, avem șapte asemenea bucăți: 7√2. Exact ca 3 mere și încă 4 mere.

Adunăm numerele din față și păstrăm radicalul. √2 are un 1 nescris în față. √2 și √3 sunt de feluri diferite: nu le unim într-un singur radical.

  • 3√2 + 4√2 = (3+4)√2 = 7√2
  • √2 + √3 rămâne √2 + √3

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 2√7 + 5√7.

  1. Ambele părți au √7.
  2. Adunăm numerele din față: 2+5=7.
  3. Păstrăm √7 și obținem 7√7.

Greșeală frecventă: √2 + √3 = √5 Regula produsului nu se aplică adunării. Radicalii diferiți nu se adună direct.

Scădem, apoi simplificăm înainte să grupăm

La 8√5−3√5, scădem 8−3 și păstrăm √5: rezultatul este 5√5. Semnul minus nu dispare.

Uneori radicalii par diferiți, dar devin de același fel după simplificare: √45=3√5. Atunci √45+2√5 devine 3√5+2√5=5√5. Mai întâi simplificăm, apoi grupăm.

  • 8√5 − 3√5 = 5√5
  • √45 + 2√5 = 3√5 + 2√5 = 5√5

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează √63 + 2√7.

  1. 63=9 · 7, deci √63=3√7.
  2. Rescriem suma: 3√7+2√7.
  3. Adunăm 3+2=5 și obținem 5√7.

Greșeală frecventă: √45 + 2√5 = 3√50 Nu înmulțim radicalii când avem o adunare. Întâi scriem √45=3√5, apoi adunăm coeficienții.

Înmulțim: separat numerele din față și cele de sub radical

La 2√3 · 4√3, numerele din față dau 2 · 4 = 8. Radicalii dau √3 · √3 = 3. La final înmulțim 8 · 3 = 24.

Pentru radicali diferiți, îi înmulțim sub același radical: √2 · √5 = √10. Putem face asta deoarece numerele de sub radical sunt nenegative. În formulă, a și b sunt coeficienții, adică numerele din față, iar m și n sunt numerele de sub radical.

  • a√m · b√n = (a · b)m · n, pentru m,n≥0
  • √m · √m = m, pentru m≥0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează 3√2 · 5√2.

  1. Înmulțim coeficienții: 3 · 5=15.
  2. √2 · √2=2.
  3. 15 · 2=30.

Greșeală frecventă: 2√3 · 4√3 = 8√3 Și radicalii se înmulțesc: √3 · √3=3. Rezultatul este 8 · 3=24.

Împărțim radicalii: numitorul nu poate fi zero

La √100 : √4, putem calcula întâi 10 : 2 = 5. Putem și împărți numerele de sub radical: 100:4=√25=5.

La 8√3 : 2√3, împărțim numerele din față, 8:2=4, iar √3:√3=1. Nu rămâne √3 în răspuns. Nu împărțim niciodată la zero: √0 este 0.

  • √a : √b = a:b, pentru a≥0 și b>0

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează √144 : √9.

  1. √144=12 și √9=3.
  2. Împărțitorul 3 este diferit de zero.
  3. 12:3=4. Verificare: 144:9=√16=4.

Greșeală frecventă: √25 : √0 = 5 √0=0, iar împărțirea la zero nu are sens.

Scoatem radicalul de la numitor, pas cu pas

Numitorul este numărul de sub bara fracției. La 1√2 avem un radical la numitor. Înmulțim și sus, și jos cu √2: valoarea fracției nu se schimbă, deoarece o înmulțim cu √2√2=1.

Sus obținem √2. Jos obținem √2 · √2 = 2. Rezultatul este √22. Procedeul se numește raționalizarea numitorului; începem doar cu un singur radical la numitor, fără sume.

  • 1√2 = 1 · √2√2 · √2 = √22

Exemplu rezolvat, cu alte date

Scrie 1√7 cu numitor fără radical.

  1. Înmulțim numărătorul și numitorul cu √7.
  2. Sus: 1 · √7=√7. Jos: √7 · √7=7.
  3. Obținem √77. Nu am modificat valoarea fracției.

Greșeală frecventă: 1√2 = √2 Nu înmulțim doar sus. Și numitorul se înmulțește cu √2, devenind 2.

Punem regulile împreună, fără să sărim etape

Într-un calcul mixt, simplificăm radicalii care conțin factori pătrate perfecte. Facem înmulțirile și împărțirile înaintea adunărilor și scăderilor, dacă parantezele nu cer altă ordine.

La √32+√8, simplificăm separat: 4√2+2√2. Abia apoi adunăm coeficienții. Scriem fiecare transformare pe un rând ca să putem verifica de unde apare fiecare număr.

  • √32 + √8 = 4√2 + 2√2 = 6√2

Exemplu rezolvat, cu alte date

Calculează √98 − √8.

  1. √98=49 · 2=7√2.
  2. √8=4 · 2=2√2.
  3. 7√2−2√2=(7−2)√2=5√2.

Greșeală frecventă: √98 − √8 = √90 Nu scădem direct numerele de sub radical. Simplificăm fiecare radical și apoi scădem termenii de același fel.

Exerciții rezolvate din lecție (24)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 4 · 9.

    Vezi rezolvarea
    1. √4 · √9 — Radicalul produsului a două numere nenegative este produsul radicalilor.
    2. 2 · 3 — √4=2, fiindcă 22=4. La fel, √9=3.
    3. 6 — 4 · 9=2 · 3=6.

    Răspuns: 6

  2. Exercițiul 2

    Calculează 9 · 16.

    Vezi rezolvarea
    1. √9 · √16 — Radicalul produsului a două numere nenegative este produsul radicalilor.
    2. 3 · 4 — √9=3, fiindcă 32=9. La fel, √16=4.
    3. 12 — 9 · 16=3 · 4=12.

    Răspuns: 12

  3. Exercițiul 3

    Calculează 4 · 25.

    Vezi rezolvarea
    1. √4 · √25 — Radicalul produsului a două numere nenegative este produsul radicalilor.
    2. 2 · 5 — √4=2, fiindcă 22=4. La fel, √25=5.
    3. 10 — 4 · 25=2 · 5=10.

    Răspuns: 10

  4. Exercițiul 4

    Simplifică √12.

    Vezi rezolvarea
    1. 12 = 4 · 3 — 4 · 3=12, iar 4=22. Descompunerea păstrează exact numărul inițial.
    2. √4 · √3 — Pentru numere nenegative, radicalul unui produs este produsul radicalilor. Regula este despre înmulțire, nu despre adunare.
    3. 2√3 — Scoatem 2 în față și păstrăm 3 sub radical. Verificare: 22 · 3=12.

    Răspuns: 2√3

  5. Exercițiul 5

    Simplifică √18.

    Vezi rezolvarea
    1. 18 = 9 · 2 — 9 · 2=18, iar 9=32. Descompunerea păstrează exact numărul inițial.
    2. √9 · √2 — Pentru numere nenegative, radicalul unui produs este produsul radicalilor. Regula este despre înmulțire, nu despre adunare.
    3. 3√2 — Scoatem 3 în față și păstrăm 2 sub radical. Verificare: 32 · 2=18.

    Răspuns: 3√2

  6. Exercițiul 6

    Simplifică √48.

    Vezi rezolvarea
    1. 48 = 16 · 3 — 16 · 3=48, iar 16=42. Descompunerea păstrează exact numărul inițial.
    2. √16 · √3 — Pentru numere nenegative, radicalul unui produs este produsul radicalilor. Regula este despre înmulțire, nu despre adunare.
    3. 4√3 — Scoatem 4 în față și păstrăm 3 sub radical. Verificare: 42 · 3=48.

    Răspuns: 4√3

  7. Exercițiul 7

    Calculează 2√5 + 3√5.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt egale: ambele sunt 5. — 2 și 3 sunt numerele din față. Radicalii au aceeași parte √5, așa că îi putem grupa.
    2. 5 — Păstrăm √5 neschimbat. Numerele din față se numesc coeficienți; ele spun de câte ori avem √5.
    3. 5√5 — Am calculat (2 + 3)√5=5√5. Nu adunăm numerele de sub radical.

    Răspuns: 5√5

  8. Exercițiul 8

    Calculează 3√2 + 4√2.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt egale: ambele sunt 2. — 3 și 4 sunt numerele din față. Radicalii au aceeași parte √2, așa că îi putem grupa.
    2. 7 — Păstrăm √2 neschimbat. Numerele din față se numesc coeficienți; ele spun de câte ori avem √2.
    3. 7√2 — Am calculat (3 + 4)√2=7√2. Nu adunăm numerele de sub radical.

    Răspuns: 7√2

  9. Exercițiul 9

    Calculează 4√3 + 5√3.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt egale: ambele sunt 3. — 4 și 5 sunt numerele din față. Radicalii au aceeași parte √3, așa că îi putem grupa.
    2. 9 — Păstrăm √3 neschimbat. Numerele din față se numesc coeficienți; ele spun de câte ori avem √3.
    3. 9√3 — Am calculat (4 + 5)√3=9√3. Nu adunăm numerele de sub radical.

    Răspuns: 9√3

  10. Exercițiul 10

    Calculează 7√3 − 2√3.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt egale: ambele sunt 3. — 7 și 2 sunt numerele din față. Radicalii au aceeași parte √3, așa că îi putem grupa.
    2. 5 — Păstrăm √3 neschimbat. Numerele din față se numesc coeficienți; ele spun de câte ori avem √3.
    3. 5√3 — Am calculat (7 − 2)√3=5√3. Nu adunăm numerele de sub radical.

    Răspuns: 5√3

  11. Exercițiul 11

    Calculează 9√2 − 4√2.

    Vezi rezolvarea
    1. Sunt egale: ambele sunt 2. — 9 și 4 sunt numerele din față. Radicalii au aceeași parte √2, așa că îi putem grupa.
    2. 5 — Păstrăm √2 neschimbat. Numerele din față se numesc coeficienți; ele spun de câte ori avem √2.
    3. 5√2 — Am calculat (9 − 4)√2=5√2. Nu adunăm numerele de sub radical.

    Răspuns: 5√2

  12. Exercițiul 12

    Calculează √20 + 3√5.

    Vezi rezolvarea
    1. 20 = 4 · 5 — 4 este pătrat perfect, iar 4 · 5=20.
    2. 2√5 + 3√5 — √20=√4 · √5=2√5. Al doilea termen rămâne 3√5.
    3. 5√5 — Ambii termeni conțin √5. Adunăm doar coeficienții: (2+3)√5=5√5.

    Răspuns: 5√5

  13. Exercițiul 13

    Calculează 2√2 · 3√2.

    Vezi rezolvarea
    1. 6 — Coeficienții se înmulțesc. Păstrăm separat produsul √2 · √2.
    2. 2 — Definiția spune că √2 înmulțit cu el însuși dă 2.
    3. 12 — Rezultatul este 12. Nu mai rămâne radical.

    Răspuns: 12

  14. Exercițiul 14

    Calculează 3√5 · 4√5.

    Vezi rezolvarea
    1. 12 — Coeficienții se înmulțesc. Păstrăm separat produsul √5 · √5.
    2. 5 — Definiția spune că √5 înmulțit cu el însuși dă 5.
    3. 60 — Rezultatul este 60. Nu mai rămâne radical.

    Răspuns: 60

  15. Exercițiul 15

    Calculează 4√3 · 2√3.

    Vezi rezolvarea
    1. 8 — Coeficienții se înmulțesc. Păstrăm separat produsul √3 · √3.
    2. 3 — Definiția spune că √3 înmulțit cu el însuși dă 3.
    3. 24 — Rezultatul este 24. Nu mai rămâne radical.

    Răspuns: 24

  16. Exercițiul 16

    Calculează √36 : √4.

    Vezi rezolvarea
    1. 6 : 2 — √36=6 și √4=2. Împărțitorul 2 este pozitiv.
    2. 3 — 6 : 2=3. Verificăm înmulțind rezultatul cu 2.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 3

  17. Exercițiul 17

    Calculează √81 : √9.

    Vezi rezolvarea
    1. 9 : 3 — √81=9 și √9=3. Împărțitorul 3 este pozitiv.
    2. 3 — 9 : 3=3. Verificăm înmulțind rezultatul cu 3.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 3

  18. Exercițiul 18

    Calculează √100 : √25.

    Vezi rezolvarea
    1. 10 : 5 — √100=10 și √25=5. Împărțitorul 5 este pozitiv.
    2. 2 — 10 : 5=2. Verificăm înmulțind rezultatul cu 5.
    3. Verificăm rezultatul prin operația inversă: înmulțim rădăcina pătrată cu ea însăși.

    Răspuns: 2

  19. Exercițiul 19

    Scrie 1√3 cu numitor fără radical.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu √3. — √3√3=1. Înmulțirea ambelor părți ale fracției cu același număr nenul păstrează valoarea.
    2. Sus √3, jos 3. — Sus avem 1 · √3=√3. Jos avem √3 · √3=3.
    3. √33 — Numitorul 3 nu mai conține radical. Valoarea fracției este aceeași.

    Răspuns: √33

  20. Exercițiul 20

    Scrie 1√5 cu numitor fără radical.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu √5. — √5√5=1. Înmulțirea ambelor părți ale fracției cu același număr nenul păstrează valoarea.
    2. Sus √5, jos 5. — Sus avem 1 · √5=√5. Jos avem √5 · √5=5.
    3. √55 — Numitorul 5 nu mai conține radical. Valoarea fracției este aceeași.

    Răspuns: √55

  21. Exercițiul 21

    Scrie 1√6 cu numitor fără radical.

    Vezi rezolvarea
    1. Cu √6. — √6√6=1. Înmulțirea ambelor părți ale fracției cu același număr nenul păstrează valoarea.
    2. Sus √6, jos 6. — Sus avem 1 · √6=√6. Jos avem √6 · √6=6.
    3. √66 — Numitorul 6 nu mai conține radical. Valoarea fracției este aceeași.

    Răspuns: √66

  22. Exercițiul 22

    Calculează √18 − √8.

    Vezi rezolvarea
    1. 3√2 — 18=9 · 2. Radicalul lui 9 este 3, deci obținem 3√2.
    2. 2√2 — 8=4 · 2, deci √8=2√2. Semnul minus dintre termeni rămâne.
    3. √2 — Păstrăm √2 și scădem coeficienții: (3−2)√2=√2.

    Răspuns: √2

  23. Exercițiul 23

    Calculează √75 − √12.

    Vezi rezolvarea
    1. 5√3 — 75=25 · 3. Radicalul lui 25 este 5, deci obținem 5√3.
    2. 2√3 — 12=4 · 3, deci √12=2√3. Semnul minus dintre termeni rămâne.
    3. 3√3 — Păstrăm √3 și scădem coeficienții: (5−2)√3=3√3.

    Răspuns: 3√3

  24. Exercițiul 24

    Calculează √32 − √18.

    Vezi rezolvarea
    1. 4√2 — 32=16 · 2. Radicalul lui 16 este 4, deci obținem 4√2.
    2. 3√2 — 18=9 · 2, deci √18=3√2. Semnul minus dintre termeni rămâne.
    3. √2 — Păstrăm √2 și scădem coeficienții: (4−3)√2=√2.

    Răspuns: √2

Exersăm de la ușor la greu (24)

  1. 1. Pornim de la zero

    Calculează 4 · 9.

    Vezi răspunsul

    6

  2. 2. Pornim de la zero

    Calculează 9 · 16.

    Vezi răspunsul

    12

  3. 3. Pornim de la zero

    Calculează 4 · 25.

    Vezi răspunsul

    10

  4. 4. Pornim de la zero

    Simplifică √12.

    Vezi răspunsul

    √12 = 4 · 3 = 2√3

  5. 5. Pornim de la zero

    Simplifică √18.

    Vezi răspunsul

    √18 = 9 · 2 = 3√2

  6. 6. Pornim de la zero

    Simplifică √48.

    Vezi răspunsul

    √48 = 16 · 3 = 4√3

  7. 7. Pornim de la zero

    Calculează 2√5 + 3√5.

    Vezi răspunsul

    5√5

  8. 8. Pornim de la zero

    Calculează 3√2 + 4√2.

    Vezi răspunsul

    7√2

  9. 9. Exersăm pas cu pas

    Calculează 4√3 + 5√3.

    Vezi răspunsul

    9√3

  10. 10. Exersăm pas cu pas

    Calculează 7√3 − 2√3.

    Vezi răspunsul

    5√3

  11. 11. Exersăm pas cu pas

    Calculează 9√2 − 4√2.

    Vezi răspunsul

    5√2

  12. 12. Exersăm pas cu pas

    Calculează √20 + 3√5.

    Vezi răspunsul

    5√5

  13. 13. Exersăm pas cu pas

    Calculează 2√2 · 3√2.

    Vezi răspunsul

    12

  14. 14. Exersăm pas cu pas

    Calculează 3√5 · 4√5.

    Vezi răspunsul

    60

  15. 15. Exersăm pas cu pas

    Calculează 4√3 · 2√3.

    Vezi răspunsul

    24

  16. 16. Exersăm pas cu pas

    Calculează √36 : √4.

    Vezi răspunsul

    3

  17. 17. Calculăm singuri

    Calculează √81 : √9.

    Vezi răspunsul

    3

  18. 18. Calculăm singuri

    Calculează √100 : √25.

    Vezi răspunsul

    2

  19. 19. Calculăm singuri

    Scrie 1√3 cu numitor fără radical.

    Vezi răspunsul

    √33

  20. 20. Calculăm singuri

    Scrie 1√5 cu numitor fără radical.

    Vezi răspunsul

    √55

  21. 21. Calculăm singuri

    Scrie 1√6 cu numitor fără radical.

    Vezi răspunsul

    √66

  22. 22. Calculăm singuri

    Calculează √18 − √8.

    Vezi răspunsul

    √2

  23. 23. Calculăm singuri

    Calculează √75 − √12.

    Vezi răspunsul

    3√3

  24. 24. Calculăm singuri

    Calculează √32 − √18.

    Vezi răspunsul

    √2

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.