Unghiul diedru

Două semiplane care au aceeași dreaptă de origine formează un unghi diedru. Dreapta comună este muchia diedrului, iar măsura lui se citește într-o secțiune perpendiculară pe muchie.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Cele două fețe se întâlnesc pe muchia comună; α este unghiul plan asociat.

Ce este un unghi diedru

Un unghi diedru este figura formată de două semiplane care pornesc din aceeași dreaptă. Semiplanele se numesc fețele diedrului, iar dreapta comună se numește muchia diedrului.

Diedrul este, practic, „unghiul dintre două plane”: cât de mult este deschisă cartea, dacă fețele sunt copertele, iar muchia este cotorul.

Ca să îi măsori deschiderea, nu poți folosi orice unghi desenat pe cele două fețe: doar unghiurile formate de perpendiculare pe muchie dau măsura corectă.

diedru = două semiplane + muchia comună

muchia = dreapta comună fețelor

Muchia este dreapta după care se intersectează cele două plane.
Un unghi oarecare desenat pe fețe nu măsoară diedrul.

Exemplu rezolvat

De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe ale unui diedru?

1.Un unghi cu laturile înclinate față de muchie apare mai mare sau mai mic decât deschiderea reală.
2.Măsura corectă se obține din secțiunea perpendiculară pe muchie.
3.Doar perpendicularele pe muchie dau secțiunea normală a diedrului.

Unghiul plan asociat

Unghiul plan asociat unui diedru se construiește astfel: alegi un punct pe muchie și duci, din el, câte o perpendiculară pe muchie în fiecare față. Unghiul dintre cele două perpendiculare este unghiul plan asociat.

Măsura acestui unghi este, prin definiție, măsura diedrului. Dacă perpendicularele formează 105°, atunci diedrul are 105°.

În cub, diedrul dintre fețele ABCD și ABB′A′ are muchia AB, iar unghiul plan asociat este ∢CBB′: atât BC, cât și BB′ sunt perpendiculare pe AB.

măsura diedrului = măsura unghiului plan asociat

în cub: diedrul (ABCD, ABB′A′) → ∢CBB′

Ambele perpendiculare pleacă din același punct al muchiei.
Măsura nu depinde de punctul ales pe muchie.

Exemplu rezolvat

Două perpendiculare pe muchia unui diedru, câte una în fiecare față, formează un unghi de 105°. Cât măsoară diedrul?

1.Perpendicularele pe muchie, duse câte una în fiecare față, formează unghiul plan asociat.
2.Măsura diedrului este egală cu măsura acestui unghi.
3.Deci diedrul are 105°.

Clasificarea diedrelor

Diedrele se clasifică după măsura unghiului plan asociat, la fel ca unghiurile obișnuite: ascuțit sub 90°, drept la exact 90° și obtuz între 90° și 180°.

Un diedru de 68° este ascuțit, iar unul de 125° este obtuz.

Când unghiul plan asociat are 90°, se spune că planele sunt perpendiculare — situația cea mai des întâlnită în problemele cu corpuri geometrice.

diedru ascuțit < 90°

diedru drept = 90°

90° < diedru obtuz < 180°

Diedru drept înseamnă plane perpendiculare.
Unghiul dintre două plane se ia întotdeauna cel mai mic, deci sub 90°.

Exemplu rezolvat

Unghiul plan asociat unui diedru măsoară 90°. Ce putem spune despre plane?

1.Măsura diedrului este egală cu cea a unghiului plan asociat, deci 90°.
2.Un diedru de 90° se numește diedru drept.
3.Prin urmare, cele două plane sunt perpendiculare.

Diedre în cub și diedre alăturate

Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru drept: toate unghiurile dintre fețele vecine au 90°.

Două plane secante formează patru diedre, două câte două egale. Diedrele alăturate sunt suplementare, deci suma lor este 180°: dacă unul are 70°, cel alăturat are 110°.

Prin unghiul dintre două plane se înțelege, de obicei, cel mai mic dintre aceste diedre.

fețe alăturate ale cubului: diedru de 90°

diedre alăturate: α + β = 180°

La intersecția a două plane apar patru diedre, egale două câte două.
Unghiul dintre plane este cel mic, deci cel mult 90°.

Exemplu rezolvat

Două plane secante formează diedri. Unul are 70°. Cât măsoară diedrul alăturat lui?

1.Diedrele alăturate se completează până la un diedru alungit, de 180°.
2.Scădem: 180 − 70.
3.Diedrul alăturat are 110°.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
În desen, ce reprezintă linia comună celor două fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Muchia diedrului: dreapta comună celor două semiplane.
Ex. 2Dificultate redusă
Cum se construiește unghiul plan asociat unui diedru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Alegi un punct pe muchie și duci din el, în fiecare față, câte o perpendiculară pe muchie. Unghiul dintre cele două perpendiculare este unghiul plan al diedrului.
Ex. 3Dificultate redusă
Un unghi plan asociat măsoară 68°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ascuțit (68° < 90°).
Ex. 4Dificultate redusă
Un unghi plan asociat măsoară 125°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Obtuz (90° < 125° < 180°).
Ex. 5Dificultate redusă
Ce măsură are un diedru drept?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°
Ex. 6Dificultate medie
Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Drept (90°).
Ex. 7Dificultate medie
De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Doar unghiul format de perpendicularele pe muchie, duse din același punct, are o măsură fixă. Alte unghiuri desenate pe fețe își schimbă măsura după cum le alegi.
Ex. 8Dificultate medie
Unghiul dintre două plane este 42°. Care este măsura diedrului mic?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
42° (unghiul dintre două plane este măsura diedrului mai mic format de ele).
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În desen, ce reprezintă linia comună celor două fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Muchia diedrului: cele două fețe sunt semiplane care au în comun această dreaptă, deci ea este muchia.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Cum se construiește unghiul plan asociat unui diedru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Alegi un punct pe muchie. În prima față duci perpendiculara pe muchie din acel punct, iar în a doua față la fel. Unghiul format de aceste două semidrepte este unghiul plan asociat, iar măsura lui este măsura diedrului.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un unghi plan asociat măsoară 68°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ascuțit: măsura diedrului este măsura unghiului plan asociat, iar 68° < 90°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un unghi plan asociat măsoară 125°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Obtuz: măsura diedrului este 125°, între 90° și 180°.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce măsură are un diedru drept?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°: diedrul drept are unghiul plan asociat drept, adică fețele sunt perpendiculare.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Drept: fețele alăturate ale cubului sunt perpendiculare, deci unghiul plan asociat are 90°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentru că doar perpendicularele pe muchie, duse din același punct, dau o măsură care nu depinde de desen. Orice alt unghi pe cele două fețe poate avea măsuri diferite pentru același diedru.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Unghiul dintre două plane este 42°. Care este măsura diedrului mic?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
42°: unghiul dintre două plane se măsoară prin diedrul mai mic dintre ele, deci 42° (celălalt are 138°).
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În desen, ce reprezintă linia comună celor două fețe?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: un diedru este format din două semiplane cu aceeași dreaptă-margine, numită muchie. Linia comună celor două fețe este muchia diedrului.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Cum se construiește unghiul plan asociat unui diedru?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: unghiul plan se formează cu perpendiculare pe muchie, duse din același punct, câte una în fiecare față. Unghiul dintre ele este unghiul plan asociat.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Un unghi plan asociat măsoară 68°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: diedrul are măsura unghiului plan asociat. 68° < 90°, deci diedrul este ascuțit.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Un unghi plan asociat măsoară 125°. Diedrul este...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: diedrul are măsura unghiului plan asociat. 125° este între 90° și 180°, deci diedrul este obtuz.