Încărcăm partea curentă…

Unghiul diedru

Ce este un unghi diedru

Un unghi diedru este figura formată de două semiplane care pornesc din aceeași dreaptă. Semiplanele se numesc fețele diedrului, iar dreapta comună se numește muchia diedrului.

Diedrul este, practic, „unghiul dintre două plane”: cât de mult este deschisă cartea, dacă fețele sunt copertele, iar muchia este cotorul.

Ca să îi măsori deschiderea, nu poți folosi orice unghi desenat pe cele două fețe: doar unghiurile formate de perpendiculare pe muchie dau măsura corectă.

De ținut minte

diedru = două semiplane + muchia comună
muchia = dreapta comună fețelor
  • Muchia este dreapta după care se intersectează cele două plane.
  • Un unghi oarecare desenat pe fețe nu măsoară diedrul.

Exemplu rezolvat

De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe ale unui diedru?

  1. 1Un unghi cu laturile înclinate față de muchie apare mai mare sau mai mic decât deschiderea reală.
  2. 2Măsura corectă se obține din secțiunea perpendiculară pe muchie.
  3. 3Doar perpendicularele pe muchie dau secțiunea normală a diedrului.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Unghiul diedru: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Două semiplane care au aceeași dreaptă de origine formează un unghi diedru. Dreapta comună este muchia diedrului, iar măsura lui se citește într-o secțiune perpendiculară pe muchie.

Ce este un unghi diedru

Un unghi diedru este figura formată de două semiplane care pornesc din aceeași dreaptă. Semiplanele se numesc fețele diedrului, iar dreapta comună se numește muchia diedrului.

Diedrul este, practic, „unghiul dintre două plane”: cât de mult este deschisă cartea, dacă fețele sunt copertele, iar muchia este cotorul.

Ca să îi măsori deschiderea, nu poți folosi orice unghi desenat pe cele două fețe: doar unghiurile formate de perpendiculare pe muchie dau măsura corectă.

  • diedru = două semiplane + muchia comună
  • muchia = dreapta comună fețelor
  • Muchia este dreapta după care se intersectează cele două plane.
  • Un unghi oarecare desenat pe fețe nu măsoară diedrul.

Exemplu rezolvat

De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe ale unui diedru?

  1. Un unghi cu laturile înclinate față de muchie apare mai mare sau mai mic decât deschiderea reală.
  2. Măsura corectă se obține din secțiunea perpendiculară pe muchie.
  3. Doar perpendicularele pe muchie dau secțiunea normală a diedrului.

Unghiul plan asociat

Unghiul plan asociat unui diedru se construiește astfel: alegi un punct pe muchie și duci, din el, câte o perpendiculară pe muchie în fiecare față. Unghiul dintre cele două perpendiculare este unghiul plan asociat.

Măsura acestui unghi este, prin definiție, măsura diedrului. Dacă perpendicularele formează 105°, atunci diedrul are 105°.

În cub, diedrul dintre fețele ABCD și ABB′A′ are muchia AB, iar unghiul plan asociat este ∢CBB′: atât BC, cât și BB′ sunt perpendiculare pe AB.

  • măsura diedrului = măsura unghiului plan asociat
  • în cub: diedrul (ABCD, ABB′A′) → ∢CBB′
  • Ambele perpendiculare pleacă din același punct al muchiei.
  • Măsura nu depinde de punctul ales pe muchie.

Exemplu rezolvat

Două perpendiculare pe muchia unui diedru, câte una în fiecare față, formează un unghi de 105°. Cât măsoară diedrul?

  1. Perpendicularele pe muchie, duse câte una în fiecare față, formează unghiul plan asociat.
  2. Măsura diedrului este egală cu măsura acestui unghi.
  3. Deci diedrul are 105°.

Clasificarea diedrelor

Diedrele se clasifică după măsura unghiului plan asociat, la fel ca unghiurile obișnuite: ascuțit sub 90°, drept la exact 90° și obtuz între 90° și 180°.

Un diedru de 68° este ascuțit, iar unul de 125° este obtuz.

Când unghiul plan asociat are 90°, se spune că planele sunt perpendiculare — situația cea mai des întâlnită în problemele cu corpuri geometrice.

  • diedru ascuțit < 90°
  • diedru drept = 90°
  • 90° < diedru obtuz < 180°
  • Diedru drept înseamnă plane perpendiculare.
  • Unghiul dintre două plane se ia întotdeauna cel mai mic, deci sub 90°.

Exemplu rezolvat

Unghiul plan asociat unui diedru măsoară 90°. Ce putem spune despre plane?

  1. Măsura diedrului este egală cu cea a unghiului plan asociat, deci 90°.
  2. Un diedru de 90° se numește diedru drept.
  3. Prin urmare, cele două plane sunt perpendiculare.

Diedre în cub și diedre alăturate

Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru drept: toate unghiurile dintre fețele vecine au 90°.

Două plane secante formează patru diedre, două câte două egale. Diedrele alăturate sunt suplementare, deci suma lor este 180°: dacă unul are 70°, cel alăturat are 110°.

Prin unghiul dintre două plane se înțelege, de obicei, cel mai mic dintre aceste diedre.

  • fețe alăturate ale cubului: diedru de 90°
  • diedre alăturate: α + β = 180°
  • La intersecția a două plane apar patru diedre, egale două câte două.
  • Unghiul dintre plane este cel mic, deci cel mult 90°.

Exemplu rezolvat

Două plane secante formează diedri. Unul are 70°. Cât măsoară diedrul alăturat lui?

  1. Diedrele alăturate se completează până la un diedru alungit, de 180°.
  2. Scădem: 180 − 70.
  3. Diedrul alăturat are 110°.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În desen, ce reprezintă linia comună celor două fețe?

    Vezi rezolvarea
    1. Intersecția celor două semiplane este muchia diedrului.

    Răspuns: Muchia diedrului

  2. Exercițiul 2

    Cum se construiește unghiul plan asociat unui diedru?

    Vezi rezolvarea
    1. Perpendicularele construite în fețe și în același punct al muchiei formează unghiul plan asociat.

    Răspuns: Cu două perpendiculare pe muchie, câte una în fiecare față

  3. Exercițiul 3

    Un unghi plan asociat măsoară 68°. Diedrul este...

    Vezi rezolvarea
    1. 68° < 90°, deci diedrul este ascuțit.

    Răspuns: ascuțit

  4. Exercițiul 4

    Un unghi plan asociat măsoară 125°. Diedrul este...

    Vezi rezolvarea
    1. 125° este între 90° și 180°, deci diedrul este obtuz.

    Răspuns: obtuz

  5. Exercițiul 5

    Ce măsură are un diedru drept?

    Vezi rezolvarea
    1. Prin definiție, diedrul drept are unghiul plan asociat de 90°.

    Răspuns: 90°

  6. Exercițiul 6

    Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru...

    Vezi rezolvarea
    1. Fețele alăturate ale cubului sunt perpendiculare, deci diedrul este de 90°.

    Răspuns: drept

  7. Exercițiul 7

    De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe?

    Vezi rezolvarea
    1. Secțiunea perpendiculară pe muchie definește în mod unic deschiderea dintre plane.

    Răspuns: Doar perpendicularele pe muchie dau secțiunea normală a diedrului

  8. Exercițiul 8

    Unghiul dintre două plane este 42°. Care este măsura diedrului mic?

    Vezi rezolvarea
    1. Măsura diedrului este 42°.

    Răspuns: 42°

  9. Exercițiul 9

    Unghiul plan asociat unui diedru măsoară 90°. Planele sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul plan asociat dă măsura diedrului.
    2. Diedrul are 90°.
    3. Planele sunt perpendiculare.

    Răspuns: perpendiculare

  10. Exercițiul 10

    Două perpendiculare pe muchia unui diedru, câte una în fiecare față, formează un unghi de 105°. Cât măsoară diedrul, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Cele două perpendiculare formează unghiul plan asociat.
    2. m(diedru) = m(unghi plan asociat).
    3. Diedrul are 105°, deci este obtuz.

    Răspuns: 105

  11. Exercițiul 11

    În cubul ABCDA′B′C′D′, care este unghiul plan asociat diedrului dintre fețele ABCD și ABB′A′?

    Vezi rezolvarea
    1. În fața ABCD, BC ⊥ AB.
    2. În fața ABB′A′, BB′ ⊥ AB.
    3. Unghiul plan asociat este ∠CBB′, care are 90°.

    Răspuns: ∠CBB′

  12. Exercițiul 12

    Două plane secante formează diedri. Unul are 70°. Cât măsoară diedrul alăturat lui, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiurile plane asociate sunt adiacente pe aceeași dreaptă.
    2. Suma lor este 180°.
    3. 180° − 70° = 110°.

    Răspuns: 110

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    În desen, ce reprezintă linia comună celor două fețe?

    Vezi răspunsul

    Muchia diedrului: dreapta comună celor două semiplane.

  2. 2. Dificultate redusă

    Cum se construiește unghiul plan asociat unui diedru?

    Vezi răspunsul

    Alegi un punct pe muchie și duci din el, în fiecare față, câte o perpendiculară pe muchie. Unghiul dintre cele două perpendiculare este unghiul plan al diedrului.

  3. 3. Dificultate redusă

    Un unghi plan asociat măsoară 68°. Diedrul este...

    Vezi răspunsul

    Ascuțit (68° < 90°).

  4. 4. Dificultate redusă

    Un unghi plan asociat măsoară 125°. Diedrul este...

    Vezi răspunsul

    Obtuz (90° < 125° < 180°).

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce măsură are un diedru drept?

    Vezi răspunsul

    90°

  6. 6. Dificultate medie

    Două fețe alăturate ale unui cub determină un diedru...

    Vezi răspunsul

    Drept (90°).

  7. 7. Dificultate medie

    De ce nu măsurăm orice unghi desenat pe cele două fețe?

    Vezi răspunsul

    Doar unghiul format de perpendicularele pe muchie, duse din același punct, are o măsură fixă. Alte unghiuri desenate pe fețe își schimbă măsura după cum le alegi.

  8. 8. Dificultate medie

    Unghiul dintre două plane este 42°. Care este măsura diedrului mic?

    Vezi răspunsul

    42° (unghiul dintre două plane este măsura diedrului mai mic format de ele).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.