Teorema celor trei perpendiculare

Teorema celor trei perpendiculare leagă o dreaptă oblică, proiecția ei pe un plan și o dreaptă din acel plan. Materialul introduce principiul prin proiecții și configurații dreptunghice, înaintea aplicării lui complete în spațiu.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

P este în afara planului α, iar H este proiecția sa pe plan: PH ⊥ α. În plan alegem HQ perpendiculară pe d. Teorema celor trei perpendiculare arată că PQ ⊥ d. Planul este desenat în perspectivă; unghiurile drepte din spațiu nu trebuie măsurate pe ecran.

Proiecția pe o dreaptă și distanța

Proiecția unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d. Segmentul care unește punctul cu proiecția lui este, prin construcție, perpendicular pe dreaptă, deci formează cu ea un unghi de 90°.

Distanța de la un punct la o dreaptă este tocmai lungimea acestei perpendiculare — cel mai scurt drum dintre punct și dreaptă.

Orice alt segment dus din P la dreaptă se numește oblică și este mai lung decât perpendiculara.

PP′ ⟂ d, unde P′ este proiecția lui P

distanța de la P la d = PP′

Distanța se măsoară întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă este unică.

Exemplu rezolvat

Ce unghi formează PP′ cu dreapta d, dacă P′ este proiecția lui P pe d?

1.Proiecția P′ se obține ducând perpendiculara din P pe dreapta d.
2.Segmentul PP′ este chiar această perpendiculară.
3.Deci unghiul dintre PP′ și d are 90°.

Enunțul teoremei celor trei perpendiculare

Teorema spune: dacă PA este perpendiculară pe planul α, iar din piciorul A se duce AB perpendiculară pe o dreaptă d din plan, atunci și PB este perpendiculară pe d.

Cele trei perpendiculare din enunț sunt PA ⟂ α, AB ⟂ d și, ca rezultat, PB ⟂ d. De aici și numele teoremei.

Consecința practică: PB este chiar distanța de la punctul P la dreapta d, iar triunghiul PAB este dreptunghic în A, deci PB se calculează cu teorema lui Pitagora din PA și AB.

PA ⟂ α și AB ⟂ d ⇒ PB ⟂ d

PB² = PA² + AB²

Ordinea contează: întâi perpendiculara pe plan, apoi perpendiculara din piciorul ei pe dreaptă.
PB este distanța de la P la dreapta d, nu PA.

Exemplu rezolvat

PA ⟂ α, PA = 8 cm, iar distanța de la A la dreapta d ⊂ α este AB = 6 cm. Calculează distanța de la P la dreapta d.

1.Prin teorema celor trei perpendiculare, PB ⟂ d, deci PB este distanța căutată.
2.Triunghiul PAB este dreptunghic în A: PB² = 8² + 6² = 64 + 36.
3.Deci PB = √100 = 10 cm.

Aplicații pe pătrat și dreptunghi

Configurația cea mai des întâlnită: pe planul unui pătrat sau dreptunghi se ridică o perpendiculară într-un vârf, apoi se cere distanța de la vârful de sus la o latură a bazei.

Pentru pătratul ABCD cu PA ⟂ (ABCD): latura BC este perpendiculară pe AB, deci AB este chiar perpendiculara din A pe BC. Prin teoremă, PB ⟂ BC, iar PB este distanța căutată.

Apoi PB se calculează din triunghiul dreptunghic PAB, cu catetele PA și AB.

PA ⟂ (ABCD) și AB ⟂ BC ⇒ PB ⟂ BC

PB² = PA² + AB²

Alege latura bazei care este perpendiculară pe dreapta din enunț.
La dreptunghi, distanța de la P la CD folosește latura AD, nu AB.

Exemplu rezolvat

Pe planul pătratului ABCD cu latura 6 cm se ridică perpendiculara PA = 8 cm. Calculează distanța de la P la dreapta BC.

1.În pătrat, AB ⟂ BC, iar PA ⟂ planul bazei.
2.Prin teorema celor trei perpendiculare, PB ⟂ BC, deci PB este distanța cerută.
3.Din triunghiul PAB: PB² = 8² + 6² = 100, deci PB = 10 cm.

Triunghiul dreptunghic din configurație

În aproape toate problemele de acest tip apare un triunghi dreptunghic, în care calculezi ipotenuza, o catetă, aria sau înălțimea.

Ipotenuza se află cu teorema lui Pitagora, aria cu A = (catetă × catetă) : 2, iar înălțimea pe ipotenuză cu relația catetă × catetă = ipotenuză × înălțime.

Astfel, pentru catetele 9 și 12 și ipotenuza 15, înălțimea pe ipotenuză este (9 × 12) : 15 = 7,2 cm.

c² = a² + b²

A = (a × b) : 2

h = (a × b) : c

Înălțimea pe ipotenuză este mai mică decât ambele catete.
Aria calculată în două feluri dă direct relația a × b = c × h.

Exemplu rezolvat

Un triunghi dreptunghic are catetele 15 și 20 și ipotenuza 25. Cât este înălțimea pe ipotenuză?

1.Aria se poate scrie în două feluri: (15 × 20) : 2 și (25 × h) : 2.
2.Egalăm: 300 = 25 × h.
3.Rezultă h = 12.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce reprezintă proiecția unui punct pe o dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.
Ex. 2Dificultate redusă
Este segmentul care unește un punct cu proiecția lui pe o dreaptă, perpendicular pe acea dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da.
Ex. 3Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
81 + 144 = √225 = 15 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Ce disciplină geometrică va relua formal teorema celor 3 perpendiculare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Geometria în spațiu (perpendicularitatea în spațiu, la clasa a VIII-a).
Ex. 5Dificultate redusă
Se dă un punct Q și proiecția lui Q' pe o dreaptă e. Ce unghi formează QQ' cu e?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un unghi drept (90°).
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=15 cm, AC=20 cm. Calculează BC, apoi calculează aria triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 225 + 400 = 25 cm; aria = 15 × 20 : 2 = 150 cm².
Ex. 7Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează înălțimea AD din A pe BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD = AB × AC : BC = 15 × 20 : 25 = 12 cm
Ex. 8Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, legătura dintre proiecția ortogonală și perpendicularitate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă se obține ducând perpendiculara din punct pe dreaptă: „ortogonal” înseamnă chiar „perpendicular”.
Ex. 9Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 144 + 256 = 20 cm; înălțimea: 12 × 16 : 20 = 9,6 cm.
Ex. 10Dificultate medie
Ce segment reprezintă distanța de la un punct la o dreaptă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Segmentul perpendicular dus din punct pe dreaptă, de la punct până la proiecția lui.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 40 cm. Calculează ipotenuza, aria, apoi înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 81 + 1.600 = 41 cm; aria: 9 × 40 : 2 = 180 cm²; înălțimea: 2 × 180 : 41 ≈ 8,78 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Se dă un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu aria de 96 cm² și ipotenuza BC=20 cm. Calculează înălțimea din A pe BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 2 × 96 : 20 = 9,6 cm
Ex. 13Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză cu lungimile 6 cm și 24 cm. Calculează înălțimea, folosind teorema înălțimii, apoi verifică folosind formula ariei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 6 × 24 = 12 cm. Verificare: ipotenuza are 30 cm, catetele 6√5 și 12√5 cm, aria 180 cm², iar 2 × 180 : 30 = 12 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Explică de ce, într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept este întotdeauna perpendiculară pe ipotenuză.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Prin definiție, înălțimea dintr-un vârf este perpendiculara dusă din acel vârf pe latura opusă. Latura opusă unghiului drept este ipotenuza.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 20 cm, iar înălțimea corespunzătoare acesteia este 9,6 cm. Calculează aria triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
A = 20 × 9,6 : 2 = 96 cm²
Ex. 16Excelență
Un triunghi ABC, dreptunghic în A, are AB=8 cm, AC=15 cm. Calculează BC, aria, înălțimea din A, apoi proiecțiile catetelor pe ipotenuză, folosind toate cele 3 formule metrice studiate (Pitagora, teorema catetei, teorema înălțimii), verificând coerența rezultatelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 64 + 225 = 17 cm; aria = 60 cm²; înălțimea = 120 : 17 ≈ 7,06 cm; proiecțiile BD = 64 : 17 ≈ 3,76 cm și DC = 225 : 17 ≈ 13,24 cm. Verificare: BD + DC = 17 și BD × DC = h².
Ex. 17Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui BC. Se știe că AM ⊥ BC (mediana din A este și înălțime). Explică, folosind acest fapt, de ce triunghiul ABC este isoscel (indiciu: AM este atât mediană, cât și înălțime, proprietate specifică triunghiului isoscel, cunoscută din clasa a VI-a).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M este mijlocul lui BC și AM ⊥ BC, deci A se află pe mediatoarea lui BC și AB = AC. Altfel: △ABM ≡ △ACM (LUL). Triunghiul este isoscel.
Ex. 18Excelență
Un trapez dreptunghic ABCD are AB ∥ CD, cu AD perpendicular pe ambele baze. Explică, folosind conceptul de proiecție, de ce AD reprezintă chiar înălțimea trapezului, iar proiecția laturii BC pe baza AB este exact diferența dintre cele 2 baze.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD este perpendiculară pe ambele baze, deci este distanța dintre ele, adică înălțimea. Proiecția lui C pe AB este un punct E cu AE = DC, deci proiecția lui BC pe AB este EB = AB − CD.
Ex. 19Excelență
Se dă un romb cu diagonalele perpendiculare, de 10 cm și 24 cm. Calculează latura rombului (folosind jumătățile diagonalelor și teorema lui Pitagora), apoi calculează înălțimea rombului (folosind formula ariei, calculată în 2 moduri: cu diagonalele, respectiv cu latura și înălțimea).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Jumătățile diagonalelor: 5 cm și 12 cm, deci latura are 13 cm. Aria = 10 × 24 : 2 = 120 cm² = 13 × h, deci h = 120 : 13 ≈ 9,23 cm.
Ex. 20Excelență
Explică, folosind tot ce ai învățat despre proiecții și perpendicularitate în această lecție, de ce distanța de la un punct la o dreaptă este cea mai scurtă distanță posibilă dintre acel punct și orice alt punct de pe dreaptă (indiciu: gândește-te la triunghiul dreptunghic format de punct, proiecția lui, și orice alt punct de pe dreaptă — ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât cateta).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fie P punctul, P′ proiecția lui și Q orice alt punct de pe dreaptă. Triunghiul PP′Q este dreptunghic în P′, deci PQ (ipotenuza) este mai lung decât PP′ (catetă). Deci PP′ este cea mai scurtă distanță.