Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

⊥³

Încărcăm partea curentă…

Teorema celor trei perpendiculare

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Proiecția pe o dreaptă și distanța

Proiecția unui punct P pe o dreaptă d este piciorul perpendicularei duse din P pe d. Segmentul care unește punctul cu proiecția lui este, prin construcție, perpendicular pe dreaptă, deci formează cu ea un unghi de 90°.

Distanța de la un punct la o dreaptă este tocmai lungimea acestei perpendiculare — cel mai scurt drum dintre punct și dreaptă.

Orice alt segment dus din P la dreaptă se numește oblică și este mai lung decât perpendiculara.

De ținut minte

PP′ ⟂ d, unde P′ este proiecția lui P

distanța de la P la d = PP′

Distanța se măsoară întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă este unică.

Exemplu rezolvat

Ce unghi formează PP′ cu dreapta d, dacă P′ este proiecția lui P pe d?

1Proiecția P′ se obține ducând perpendiculara din P pe dreapta d.
2Segmentul PP′ este chiar această perpendiculară.
3Deci unghiul dintre PP′ și d are 90°.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Teorema celor trei perpendiculare: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Teorema celor trei perpendiculare leagă o dreaptă oblică, proiecția ei pe un plan și o dreaptă din acel plan. Materialul introduce principiul prin proiecții și configurații dreptunghice, înaintea aplicării lui complete în spațiu.

Proiecția pe o dreaptă și distanța

Distanța de la un punct la o dreaptă este tocmai lungimea acestei perpendiculare — cel mai scurt drum dintre punct și dreaptă.

Orice alt segment dus din P la dreaptă se numește oblică și este mai lung decât perpendiculara.

PP′ ⟂ d, unde P′ este proiecția lui P
distanța de la P la d = PP′

Distanța se măsoară întotdeauna pe perpendiculară, nu oblic.
Perpendiculara dintr-un punct pe o dreaptă este unică.

Exemplu rezolvat

Ce unghi formează PP′ cu dreapta d, dacă P′ este proiecția lui P pe d?

Proiecția P′ se obține ducând perpendiculara din P pe dreapta d.
Segmentul PP′ este chiar această perpendiculară.
Deci unghiul dintre PP′ și d are 90°.

Enunțul teoremei celor trei perpendiculare

Teorema spune: dacă PA este perpendiculară pe planul α, iar din piciorul A se duce AB perpendiculară pe o dreaptă d din plan, atunci și PB este perpendiculară pe d.

Cele trei perpendiculare din enunț sunt PA ⟂ α, AB ⟂ d și, ca rezultat, PB ⟂ d. De aici și numele teoremei.

Consecința practică: PB este chiar distanța de la punctul P la dreapta d, iar triunghiul PAB este dreptunghic în A, deci PB se calculează cu teorema lui Pitagora din PA și AB.

PA ⟂ α și AB ⟂ d ⇒ PB ⟂ d
PB² = PA² + AB²

Ordinea contează: întâi perpendiculara pe plan, apoi perpendiculara din piciorul ei pe dreaptă.
PB este distanța de la P la dreapta d, nu PA.

Exemplu rezolvat

PA ⟂ α, PA = 8 cm, iar distanța de la A la dreapta d ⊂ α este AB = 6 cm. Calculează distanța de la P la dreapta d.

Prin teorema celor trei perpendiculare, PB ⟂ d, deci PB este distanța căutată.
Triunghiul PAB este dreptunghic în A: PB² = 8² + 6² = 64 + 36.
Deci PB = √100 = 10 cm.

Aplicații pe pătrat și dreptunghi

Configurația cea mai des întâlnită: pe planul unui pătrat sau dreptunghi se ridică o perpendiculară într-un vârf, apoi se cere distanța de la vârful de sus la o latură a bazei.

Pentru pătratul ABCD cu PA ⟂ (ABCD): latura BC este perpendiculară pe AB, deci AB este chiar perpendiculara din A pe BC. Prin teoremă, PB ⟂ BC, iar PB este distanța căutată.

Apoi PB se calculează din triunghiul dreptunghic PAB, cu catetele PA și AB.

PA ⟂ (ABCD) și AB ⟂ BC ⇒ PB ⟂ BC
PB² = PA² + AB²

Alege latura bazei care este perpendiculară pe dreapta din enunț.
La dreptunghi, distanța de la P la CD folosește latura AD, nu AB.

Exemplu rezolvat

Pe planul pătratului ABCD cu latura 6 cm se ridică perpendiculara PA = 8 cm. Calculează distanța de la P la dreapta BC.

În pătrat, AB ⟂ BC, iar PA ⟂ planul bazei.
Prin teorema celor trei perpendiculare, PB ⟂ BC, deci PB este distanța cerută.
Din triunghiul PAB: PB² = 8² + 6² = 100, deci PB = 10 cm.

Triunghiul dreptunghic din configurație

În aproape toate problemele de acest tip apare un triunghi dreptunghic, în care calculezi ipotenuza, o catetă, aria sau înălțimea.

Ipotenuza se află cu teorema lui Pitagora, aria cu A = (catetă × catetă) : 2, iar înălțimea pe ipotenuză cu relația catetă × catetă = ipotenuză × înălțime.

Astfel, pentru catetele 9 și 12 și ipotenuza 15, înălțimea pe ipotenuză este (9 × 12) : 15 = 7,2 cm.

c² = a² + b²
A = (a × b) : 2
h = (a × b) : c

Înălțimea pe ipotenuză este mai mică decât ambele catete.
Aria calculată în două feluri dă direct relația a × b = c × h.

Exemplu rezolvat · alte date

Un triunghi dreptunghic are catetele 7 și 24, ipotenuza 25. Află înălțimea pe ipotenuză.

Aria este 7·242 = 84.
Aceeași arie este 25h2.
h = 16825 = 6,72.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Segmentul care unește un punct cu proiecția lui pe o dreaptă este...
Vezi rezolvarea
1. Dacă PH ⊥ α și HQ ⊥ d, cu HQ și d în planul α, atunci PQ ⊥ d.
2. În cazul proiecției pe o dreaptă, segmentul dintre punct și proiecția lui este normal pe dreaptă.
3. Proiecția ortogonală este definită prin perpendiculară.
Răspuns: perpendicular pe dreaptă
Exercițiul 2
Un triunghi dreptunghic are catetele 6 și 8. Cât este ipotenuza?
Vezi rezolvarea
1. Dacă PH ⊥ α și HQ ⊥ d, cu HQ și d în planul α, atunci PQ ⊥ d.
2. Într-un triunghi dreptunghic putem calcula ipotenuza din suma pătratelor catetelor.
3. 36 + 64 = 10.
Răspuns: 10
Exercițiul 3
Ce unghi formează PP′ cu dreapta d dacă P′ este proiecția lui P pe d?
Vezi rezolvarea
1. Dacă PH ⊥ α și HQ ⊥ d, cu HQ și d în planul α, atunci PQ ⊥ d.
2. Prin definiția proiecției ortogonale, dreapta PP′ este perpendiculară pe d.
3. PP′ ⊥ d, deci unghiul este de 90°.
Răspuns: 90°
Exercițiul 4
Calculează aria unui triunghi dreptunghic cu catetele 12 și 16.
Vezi rezolvarea
1. Dacă PH ⊥ α și HQ ⊥ d, cu HQ și d în planul α, atunci PQ ⊥ d.
2. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor.
3. A = 12 · 16 : 2 = 96.
Răspuns: 96
Exercițiul 5
În triunghiul din exemplu, cu catetele 9 și 12 și ipotenuza 15, cât este înălțimea pe ipotenuză?
Vezi rezolvarea
1. Dacă PH ⊥ α și HQ ⊥ d, cu HQ și d în planul α, atunci PQ ⊥ d.
2. Egalăm aria calculată pe catete cu aria calculată folosind ipotenuza și înălțimea sa.
3. 9·122 = 15·h2, deci h = 10815 = 7,2.
Răspuns: 7,2
Exercițiul 6
PA ⊥ planul α, cu A ∈ α. Dreapta d ⊂ α, iar AB ⊥ d, cu B ∈ d. Ce afirmă teorema celor trei perpendiculare?
Vezi rezolvarea
1. Prima perpendiculară: PA ⊥ α.
2. A doua: AB ⊥ d, în plan.
3. A treia, concluzia: PB ⊥ d.
Răspuns: PB ⊥ d
Exercițiul 7
Ce este distanța de la un punct P la o dreaptă d?
Vezi rezolvarea
1. Oblicele de la P la d sunt ipotenuze, deci mai lungi.
2. Perpendiculara este cea mai scurtă.
3. Distanța este lungimea perpendicularei.
Răspuns: lungimea perpendicularei din P pe d
Exercițiul 8
PA ⊥ α, PA = 8 cm, iar distanța de la A la dreapta d ⊂ α este AB = 6 cm. Calculează distanța de la P la dreapta d, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. PB ⊥ d, deci distanța cerută este PB.
2. PB² = 64 + 36 = 100.
3. PB = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 9
PA ⊥ α, PA = 5 cm și PB = 13 cm, unde B este piciorul perpendicularei din P pe dreapta d ⊂ α. Cât este AB, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. PA ⊥ α, deci PA ⊥ AB.
2. AB² = 169 − 25 = 144.
3. AB = 12 cm.
Răspuns: 12
Exercițiul 10
Un triunghi dreptunghic are catetele 15 și 20 și ipotenuza 25. Cât este înălțimea pe ipotenuză?
Vezi rezolvarea
1. 15 · 20 = 300.
2. 300 = 25 · h.
3. h = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 11
Pe planul pătratului ABCD cu latura 6 cm se ridică perpendiculara PA = 8 cm. Calculează distanța de la P la dreapta BC, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. PA ⊥ (ABC) și AB ⊥ BC ⇒ PB ⊥ BC.
2. PB² = PA² + AB² = 64 + 36 = 100.
3. d(P, BC) = PB = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 12
Pe planul dreptunghiului ABCD cu AB = 9 cm și AD = 5 cm se ridică perpendiculara PA = 12 cm. Calculează distanța de la P la dreapta CD, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. PA ⊥ (ABC) și AD ⊥ CD ⇒ PD ⊥ CD.
2. PD² = PA² + AD² = 144 + 25 = 169.
3. d(P, CD) = PD = 13 cm.
Răspuns: 13

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Ce reprezintă proiecția unui punct pe o dreaptă?
Vezi răspunsul
Piciorul perpendicularei duse din punct pe dreaptă.
2. Dificultate redusă
Este segmentul care unește un punct cu proiecția lui pe o dreaptă, perpendicular pe acea dreaptă?
Vezi răspunsul
Da.
3. Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 12 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsul
81 + 144 = √225 = 15 cm
4. Dificultate redusă
Ce disciplină geometrică va relua formal teorema celor 3 perpendiculare?
Vezi răspunsul
Geometria în spațiu (perpendicularitatea în spațiu, la clasa a VIII-a).
5. Dificultate redusă
Se dă un punct Q și proiecția lui Q' pe o dreaptă e. Ce unghi formează QQ' cu e?
Vezi răspunsul
Un unghi drept (90°).
6. Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele AB=15 cm, AC=20 cm. Calculează BC, apoi calculează aria triunghiului.
Vezi răspunsul
BC = 225 + 400 = 25 cm; aria = 15 × 20 : 2 = 150 cm².
7. Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează înălțimea AD din A pe BC.
Vezi răspunsul
AD = AB × AC : BC = 15 × 20 : 25 = 12 cm
8. Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, legătura dintre proiecția ortogonală și perpendicularitate.
Vezi răspunsul
Proiecția ortogonală a unui punct pe o dreaptă se obține ducând perpendiculara din punct pe dreaptă: „ortogonal” înseamnă chiar „perpendicular”.
9. Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsul
Ipotenuza: 144 + 256 = 20 cm; înălțimea: 12 × 16 : 20 = 9,6 cm.
10. Dificultate medie
Ce segment reprezintă distanța de la un punct la o dreaptă?
Vezi răspunsul
Segmentul perpendicular dus din punct pe dreaptă, de la punct până la proiecția lui.
11. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 40 cm. Calculează ipotenuza, aria, apoi înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsul
Ipotenuza: 81 + 1.600 = 41 cm; aria: 9 × 40 : 2 = 180 cm²; înălțimea: 2 × 180 : 41 ≈ 8,78 cm.
12. Dificultate ridicată
Se dă un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu aria de 96 cm² și ipotenuza BC=20 cm. Calculează înălțimea din A pe BC.
Vezi răspunsul
h = 2 × 96 : 20 = 9,6 cm
13. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză cu lungimile 6 cm și 24 cm. Calculează înălțimea, folosind teorema înălțimii, apoi verifică folosind formula ariei.
Vezi răspunsul
h = 6 × 24 = 12 cm. Verificare: ipotenuza are 30 cm, catetele 6√5 și 12√5 cm, aria 180 cm², iar 2 × 180 : 30 = 12 cm.
14. Dificultate ridicată
Explică de ce, într-un triunghi dreptunghic, înălțimea din vârful unghiului drept este întotdeauna perpendiculară pe ipotenuză.
Vezi răspunsul
Prin definiție, înălțimea dintr-un vârf este perpendiculara dusă din acel vârf pe latura opusă. Latura opusă unghiului drept este ipotenuza.
15. Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 20 cm, iar înălțimea corespunzătoare acesteia este 9,6 cm. Calculează aria triunghiului.
Vezi răspunsul
A = 20 × 9,6 : 2 = 96 cm²
16. Excelență
Un triunghi ABC, dreptunghic în A, are AB=8 cm, AC=15 cm. Calculează BC, aria, înălțimea din A, apoi proiecțiile catetelor pe ipotenuză, folosind toate cele 3 formule metrice studiate (Pitagora, teorema catetei, teorema înălțimii), verificând coerența rezultatelor.
Vezi răspunsul
BC = 64 + 225 = 17 cm; aria = 60 cm²; înălțimea = 120 : 17 ≈ 7,06 cm; proiecțiile BD = 64 : 17 ≈ 3,76 cm și DC = 225 : 17 ≈ 13,24 cm. Verificare: BD + DC = 17 și BD × DC = h².
17. Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu M mijlocul lui BC. Se știe că AM ⊥ BC (mediana din A este și înălțime). Explică, folosind acest fapt, de ce triunghiul ABC este isoscel (indiciu: AM este atât mediană, cât și înălțime, proprietate specifică triunghiului isoscel, cunoscută din clasa a VI-a).
Vezi răspunsul
M este mijlocul lui BC și AM ⊥ BC, deci A se află pe mediatoarea lui BC și AB = AC. Altfel: △ABM ≡ △ACM (LUL). Triunghiul este isoscel.
18. Excelență
Un trapez dreptunghic ABCD are AB ∥ CD, cu AD perpendicular pe ambele baze. Explică, folosind conceptul de proiecție, de ce AD reprezintă chiar înălțimea trapezului, iar proiecția laturii BC pe baza AB este exact diferența dintre cele 2 baze.
Vezi răspunsul
AD este perpendiculară pe ambele baze, deci este distanța dintre ele, adică înălțimea. Proiecția lui C pe AB este un punct E cu AE = DC, deci proiecția lui BC pe AB este EB = AB − CD.
19. Excelență
Se dă un romb cu diagonalele perpendiculare, de 10 cm și 24 cm. Calculează latura rombului (folosind jumătățile diagonalelor și teorema lui Pitagora), apoi calculează înălțimea rombului (folosind formula ariei, calculată în 2 moduri: cu diagonalele, respectiv cu latura și înălțimea).
Vezi răspunsul
Jumătățile diagonalelor: 5 cm și 12 cm, deci latura are 13 cm. Aria = 10 × 24 : 2 = 120 cm² = 13 × h, deci h = 120 : 13 ≈ 9,23 cm.
20. Excelență
Explică, folosind tot ce ai învățat despre proiecții și perpendicularitate în această lecție, de ce distanța de la un punct la o dreaptă este cea mai scurtă distanță posibilă dintre acel punct și orice alt punct de pe dreaptă (indiciu: gândește-te la triunghiul dreptunghic format de punct, proiecția lui, și orice alt punct de pe dreaptă — ipotenuza este întotdeauna mai lungă decât cateta).
Vezi răspunsul
Fie P punctul, P′ proiecția lui și Q orice alt punct de pe dreaptă. Triunghiul PP′Q este dreptunghic în P′, deci PQ (ipotenuza) este mai lung decât PP′ (catetă). Deci PP′ este cea mai scurtă distanță.