Încărcăm partea curentă…

Relații metrice

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c2 = a2 + b2.

Este relația de bază a întregului capitol: aproape orice problemă de relații metrice începe sau se termină cu ea.

Merită reținute tripletele care apar cel mai des: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 15-20-25 și 8-15-17.

De ținut minte

c2 = a2 + b2
92 + 122 = 152
52 + 122 = 132
  • Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă.
  • Tripletele cunoscute scurtează mult calculele.

Exemplu rezolvat · alte date

Un triunghi dreptunghic are catetele 9 și 12. Află ipotenuza.

  1. 1c2 = 92 + 122.
  2. 2c2 = 81 + 144 = 225.
  3. 3c = 15; alegem rădăcina pozitivă pentru o lungime.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Relații metrice: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Relațiile metrice permit calcularea laturilor, proiecțiilor, înălțimilor și medianelor. În triunghiul dreptunghic, proiecțiile pe ipotenuză leagă direct catetele și înălțimea de ipotenuză.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c2 = a2 + b2.

Este relația de bază a întregului capitol: aproape orice problemă de relații metrice începe sau se termină cu ea.

Merită reținute tripletele care apar cel mai des: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 15-20-25 și 8-15-17.

  • c2 = a2 + b2
  • 92 + 122 = 152
  • 52 + 122 = 132
  • Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă.
  • Tripletele cunoscute scurtează mult calculele.

Exemplu rezolvat · alte date

Un triunghi dreptunghic are catetele 9 și 12. Află ipotenuza.

  1. c2 = 92 + 122.
  2. c2 = 81 + 144 = 225.
  3. c = 15; alegem rădăcina pozitivă pentru o lungime.

Mediana pe ipotenuză

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept către mijlocul ipotenuzei are o proprietate specială: este egală cu jumătate din ipotenuză.

Dacă M este mijlocul ipotenuzei BC, atunci AM = BC : 2. Motivul este că M este centrul cercului circumscris triunghiului, iar AM, BM și CM sunt raze.

Pentru o ipotenuză de 26 cm, mediana are 13 cm.

  • AM = BC : 2
  • BC = 2 × AM
  • Proprietatea este valabilă doar pentru mediana din vârful unghiului drept.
  • Din mediană afli imediat ipotenuza, înmulțind cu 2.

Exemplu rezolvat

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 26 cm. Cât este mediana dusă din vârful unghiului drept?

  1. Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
  2. Împărțim: 26 : 2.
  3. Mediana are 13 cm.

Teorema catetei și teorema înălțimii

Înălțimea dusă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în două bucăți, numite proiecțiile catetelor.

Teorema catetei: pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete, AB2 = BD × BC.

Teorema înălțimii: pătratul înălțimii este produsul proiecțiilor, AD2 = BD × DC. Pentru proiecții de 4 cm și 25 cm, înălțimea este √100 = 10 cm.

  • AB2 = BD × BC
  • AD2 = BD × DC
  • c = m + n
  • Fiecare catetă merge cu proiecția ei, iar înălțimea cu ambele proiecții.
  • Înălțimea este media geometrică a proiecțiilor.

Exemplu rezolvat

Ipotenuza are 25 cm, iar proiecția catetei AB pe ipotenuză are 9 cm. Cât este AB?

  1. Aplicăm teorema catetei: AB2 = 9 × 25.
  2. Obținem AB2 = 225.
  3. Deci AB = 15 cm.

Aplicații în spațiu

Relațiile metrice se folosesc și în spațiu. Cea mai cunoscută aplicație este diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile a, b și c: d2 = a2 + b2 + c2.

Formula se obține aplicând teorema lui Pitagora de două ori: întâi în baza dreptunghiulară, pentru diagonala bazei, apoi în triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, muchia verticală și diagonala corpului.

Tot din relații metrice se calculează și înălțimea pe ipotenuză, cu a × b = c × h, folosită des în problemele cu piramide și prisme.

  • d2 = a2 + b2 + c2
  • 32 + 42 + 122 = 132
  • h = (a × b) : c
  • Diagonala corpului se calculează dintr-o singură formulă, cu toate trei dimensiunile.
  • Verifică rezultatul: diagonala este mai mare decât fiecare muchie.

Exemplu rezolvat

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 12 cm. Cât este diagonala lui?

  1. Aplicăm formula diagonalei: d2 = 32 + 42 + 122 = 9 + 16 + 144.
  2. Obținem d2 = 169.
  3. Deci diagonala are 13 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Un triunghi dreptunghic are catetele 9 și 12. Cât este ipotenuza?

    Vezi rezolvarea
    1. 81 + 144 = √225 = 15.

    Răspuns: 15

  2. Exercițiul 2

    Pentru ipotenuza de 15 cm, cât este mediana dusă din vârful unghiului drept?

    Vezi rezolvarea
    1. Mediana este 15 : 2 = 7,5 cm.

    Răspuns: 7,5

  3. Exercițiul 3

    Dacă proiecțiile catetelor sunt 4 și 9, cât este înălțimea pe ipotenuză?

    Vezi rezolvarea
    1. h = √36 = 6.

    Răspuns: 6

  4. Exercițiul 4

    Care formulă este teorema catetei?

    Vezi rezolvarea
    1. Teorema catetei leagă pătratul catetei de ipotenuză și proiecția ei.

    Răspuns: AB2 = BD·BC

  5. Exercițiul 5

    În exemplul cu laturile 6, 8 și 10, cât este înălțimea pe ipotenuză?

    Vezi rezolvarea
    1. 6·82 = 10·h2, de unde h = 4810 = 4,8.

    Răspuns: 4,8

  6. Exercițiul 6

    Un triunghi dreptunghic are catetele 5 și 12. Cât este ipotenuza?

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = 25 + 144.
    2. BC2 = 169.
    3. BC = 13.

    Răspuns: 13

  7. Exercițiul 7

    Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 26 cm. Cât este mediana dusă din vârful unghiului drept, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. AM = BC2.
    2. 26 : 2 = 13.
    3. AM = 13 cm.

    Răspuns: 13

  8. Exercițiul 8

    Proiecțiile catetelor pe ipotenuză sunt 4 cm și 25 cm. Cât este înălțimea pe ipotenuză, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. AD2 = 4 · 25 = 100.
    2. AD = √100.
    3. AD = 10 cm.

    Răspuns: 10

  9. Exercițiul 9

    Ipotenuza are 25 cm, iar proiecția catetei AB pe ipotenuză are 9 cm. Cât este AB, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = 9 · 25 = 225.
    2. AB = √225.
    3. AB = 15 cm.

    Răspuns: 15

  10. Exercițiul 10

    Care formulă este teorema înălțimii?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = BD·BC este teorema catetei.
    2. BC2 = AB2 + AC2 este teorema lui Pitagora.
    3. Teorema înălțimii: AD2 = BD·DC.

    Răspuns: AD2 = BD·DC

  11. Exercițiul 11

    Un triunghi dreptunghic are catetele 20 cm și 15 cm. Cât este înălțimea pe ipotenuză, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. Ipotenuza: 400 + 225 = √625 = 25 cm.
    2. 20 · 15 = 25 · h.
    3. h = 300 : 25 = 12 cm.

    Răspuns: 12

  12. Exercițiul 12

    Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 12 cm. Cât este diagonala lui, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. Diagonala bazei: 9 + 16 = 5 cm.
    2. Diagonala corpului: 25 + 144 = √169.
    3. d = 13 cm.

    Răspuns: 13

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 18 cm. Calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.

    Vezi răspunsul

    18 : 2 = 9 cm

  2. 2. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza.

    Vezi răspunsul

    144 + 256 = 20 cm

  3. 3. Dificultate redusă

    Folosind datele de la exercițiul 2, calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.

    Vezi răspunsul

    20 : 2 = 10 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    Ce proprietate specială are mediana ipotenuzei, într-un triunghi dreptunghic?

    Vezi răspunsul

    Are jumătate din lungimea ipotenuzei (este raza cercului circumscris).

  5. 5. Dificultate redusă

    Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 24 cm. Calculează mediana corespunzătoare.

    Vezi răspunsul

    24 : 2 = 12 cm

  6. 6. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 40 cm. Calculează ipotenuza, aria, apoi înălțimea din vârful unghiului drept.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 41 cm; aria: 180 cm2; înălțimea: 360 : 41 ≈ 8,78 cm.

  7. 7. Dificultate medie

    Folosind datele de la exercițiul 6, calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.

    Vezi răspunsul

    41 : 2 = 20,5 cm

  8. 8. Dificultate medie

    Un triunghi are AB=9 cm, AC=11 cm, BC=8 cm. Calculează mediana AM din A, folosind formula generalizată.

    Vezi răspunsul

    AM2 = (2 × 112 + 2 × 92 − 82) : 4 = 340 : 4 = 85, deci AM = √85 ≈ 9,22 cm.

  9. 9. Dificultate medie

    Un triunghi dreptunghic are catetele 21 cm și 28 cm. Calculează toate cele 3 elemente: ipotenuza, mediana ipotenuzei, aria.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 441 + 784 = 35 cm; mediana ipotenuzei: 17,5 cm; aria: 21 × 28 : 2 = 294 cm2.

  10. 10. Dificultate medie

    Explică diferența dintre calculul medianei într-un triunghi dreptunghic și într-un triunghi oarecare.

    Vezi răspunsul

    În triunghiul dreptunghic, mediana ipotenuzei este direct jumătate din ipotenuză. Într-un triunghi oarecare trebuie formula m2 = (2b2 + 2c2 − a2) : 4.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un triunghi are AB=9 cm, AC=12 cm, BC=15 cm. Calculează mediana AM, folosind atât formula generalizată, cât și proprietatea specifică triunghiului dreptunghic, apoi verifică dacă cele 2 rezultate coincid.

    Vezi răspunsul

    Cu formula: AM2 = (2 × 144 + 2 × 81 − 225) : 4 = 2254, deci AM = 7,5 cm. Triunghiul este dreptunghic (81 + 144 = 225), deci și AM = 15 : 2 = 7,5 cm. Rezultatele coincid.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are aria de 84 cm2 și ipotenuza de 25 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, apoi mediana corespunzătoare aceleiași laturi.

    Vezi răspunsul

    h = 2 × 84 : 25 = 6,72 cm; mediana ipotenuzei: 25 : 2 = 12,5 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Se dă un triunghi cu laturile AB=17 cm, AC=17 cm, BC=16 cm. Calculează mediana din A, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătății bazei.

    Vezi răspunsul

    Triunghiul este isoscel, deci mediana din A este și înălțime: 172 − 82 = √225 = 15 cm.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză de 9 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi mediana corespunzătoare acesteia.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 9 + 16 = 25 cm; mediana: 12,5 cm.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Se dă un triunghi ABC, cu AB=8 cm, AC=10 cm, BC=9 cm. Calculează mediana AM din A, folosind formula generalizată a medianei.

    Vezi răspunsul

    AM2 = (2 × 102 + 2 × 82 − 92) : 4 = 247 : 4, deci AM = √247 : 2 ≈ 7,86 cm.

  16. 16. Excelență

    Se dă un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu AB=9 cm, AC=12 cm. Calculează ipotenuza, mediana, înălțimea și proiecțiile catetelor pe ipotenuză, sintetizând toate cele 5 relații metrice studiate în acest capitol.

    Vezi răspunsul

    BC = 15 cm; mediana = 7,5 cm; înălțimea = 9 × 12 : 15 = 7,2 cm; proiecțiile: 81 : 15 = 5,4 cm și 144 : 15 = 9,6 cm.

  17. 17. Excelență

    Un triunghi are laturile AB=5 cm, AC=6 cm, BC=7 cm. Calculează toate cele 3 mediane ale triunghiului (din A, din B, din C), folosind formula generalizată pentru fiecare.

    Vezi răspunsul

    Cu a = 7, b = 6, c = 5: mediana din A = √73 : 2 ≈ 4,27 cm; din B = √28 = 2√7 ≈ 5,29 cm; din C = √145 : 2 ≈ 6,02 cm.

  18. 18. Excelență

    Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele a și b, iar ipotenuza c. Explică, folosind proprietatea specifică (mediana ipotenuzei = c2) și teorema lui Pitagora (a2+b2=c2), de ce mediana poate fi exprimată și ca AM = a2+b2 : 2.

    Vezi răspunsul

    Mediana ipotenuzei este c2, iar din Pitagora c = a2 + b2. Înlocuind, AM = a2 + b2 : 2.

  19. 19. Excelență

    Un triunghi ABC are AB=AC=10 cm (isoscel), iar mediana din A este 8 cm. Calculează BC, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătății bazei și medianei (care, la triunghiul isoscel, este și înălțime).

    Vezi răspunsul

    Jumătatea bazei: 102 − 82 = 6 cm, deci BC = 12 cm.

  20. 20. Excelență

    Se dă un triunghi ABC, cu toate cele 3 mediane cunoscute: din A = 9 cm, din B = 12 cm, din C = 15 cm (triplet care sugerează, poate, o relație specială). Verifică dacă triunghiul format de cele 3 mediane (ca laturi ale unui nou triunghi) respectă reciproca teoremei lui Pitagora, determinând dacă acest "triunghi al medianelor" este dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Da: 92 + 122 = 81 + 144 = 225 = 152, deci triunghiul medianelor este dreptunghic.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.