Relații metrice

Relațiile metrice permit calcularea laturilor, proiecțiilor, înălțimilor și medianelor. În triunghiul dreptunghic, proiecțiile pe ipotenuză leagă direct catetele și înălțimea de ipotenuză.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

În triunghiul 6–8–10, ipotenuza este latura opusă unghiului drept.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: c² = a² + b².

Este relația de bază a întregului capitol: aproape orice problemă de relații metrice începe sau se termină cu ea.

Merită reținute tripletele care apar cel mai des: 3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 9-12-15, 15-20-25 și 8-15-17.

c² = a² + b²

9² + 12² = 15²

5² + 12² = 13²

Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă.
Tripletele cunoscute scurtează mult calculele.

Exemplu rezolvat

Un triunghi dreptunghic are catetele 5 și 12. Cât este ipotenuza?

1.Aplicăm teorema: c² = 5² + 12² = 25 + 144.
2.Obținem c² = 169.
3.Deci ipotenuza are 13.

Mediana pe ipotenuză

Într-un triunghi dreptunghic, mediana dusă din vârful unghiului drept către mijlocul ipotenuzei are o proprietate specială: este egală cu jumătate din ipotenuză.

Dacă M este mijlocul ipotenuzei BC, atunci AM = BC : 2. Motivul este că M este centrul cercului circumscris triunghiului, iar AM, BM și CM sunt raze.

Pentru o ipotenuză de 26 cm, mediana are 13 cm.

AM = BC : 2

BC = 2 × AM

Proprietatea este valabilă doar pentru mediana din vârful unghiului drept.
Din mediană afli imediat ipotenuza, înmulțind cu 2.

Exemplu rezolvat

Ipotenuza unui triunghi dreptunghic are 26 cm. Cât este mediana dusă din vârful unghiului drept?

1.Mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză.
2.Împărțim: 26 : 2.
3.Mediana are 13 cm.

Teorema catetei și teorema înălțimii

Înălțimea dusă din vârful unghiului drept împarte ipotenuza în două bucăți, numite proiecțiile catetelor.

Teorema catetei: pătratul unei catete este produsul dintre ipotenuză și proiecția acelei catete, AB² = BD × BC.

Teorema înălțimii: pătratul înălțimii este produsul proiecțiilor, AD² = BD × DC. Pentru proiecții de 4 cm și 25 cm, înălțimea este √100 = 10 cm.

AB² = BD × BC

AD² = BD × DC

c = m + n

Fiecare catetă merge cu proiecția ei, iar înălțimea cu ambele proiecții.
Înălțimea este media geometrică a proiecțiilor.

Exemplu rezolvat

Ipotenuza are 25 cm, iar proiecția catetei AB pe ipotenuză are 9 cm. Cât este AB?

1.Aplicăm teorema catetei: AB² = 9 × 25.
2.Obținem AB² = 225.
3.Deci AB = 15 cm.

Aplicații în spațiu

Relațiile metrice se folosesc și în spațiu. Cea mai cunoscută aplicație este diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile a, b și c: d² = a² + b² + c².

Formula se obține aplicând teorema lui Pitagora de două ori: întâi în baza dreptunghiulară, pentru diagonala bazei, apoi în triunghiul dreptunghic format de diagonala bazei, muchia verticală și diagonala corpului.

Tot din relații metrice se calculează și înălțimea pe ipotenuză, cu a × b = c × h, folosită des în problemele cu piramide și prisme.

d² = a² + b² + c²

3² + 4² + 12² = 13²

h = (a × b) : c

Diagonala corpului se calculează dintr-o singură formulă, cu toate trei dimensiunile.
Verifică rezultatul: diagonala este mai mare decât fiecare muchie.

Exemplu rezolvat

Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile 3 cm, 4 cm și 12 cm. Cât este diagonala lui?

1.Aplicăm formula diagonalei: d² = 3² + 4² + 12² = 9 + 16 + 144.
2.Obținem d² = 169.
3.Deci diagonala are 13 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 18 cm. Calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
18 : 2 = 9 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are catetele 12 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
144 + 256 = 20 cm
Ex. 3Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 2, calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
20 : 2 = 10 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Ce proprietate specială are mediana ipotenuzei, într-un triunghi dreptunghic?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Are jumătate din lungimea ipotenuzei (este raza cercului circumscris).
Ex. 5Dificultate redusă
Un triunghi dreptunghic are ipotenuza 24 cm. Calculează mediana corespunzătoare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 : 2 = 12 cm
Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele 9 cm și 40 cm. Calculează ipotenuza, aria, apoi înălțimea din vârful unghiului drept.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 41 cm; aria: 180 cm²; înălțimea: 360 : 41 ≈ 8,78 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Folosind datele de la exercițiul 6, calculează mediana corespunzătoare ipotenuzei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
41 : 2 = 20,5 cm
Ex. 8Dificultate medie
Un triunghi are AB=9 cm, AC=11 cm, BC=8 cm. Calculează mediana AM din A, folosind formula generalizată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM² = (2 × 11² + 2 × 9² − 8²) : 4 = 340 : 4 = 85, deci AM = √85 ≈ 9,22 cm.
Ex. 9Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are catetele 21 cm și 28 cm. Calculează toate cele 3 elemente: ipotenuza, mediana ipotenuzei, aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 441 + 784 = 35 cm; mediana ipotenuzei: 17,5 cm; aria: 21 × 28 : 2 = 294 cm².
Ex. 10Dificultate medie
Explică diferența dintre calculul medianei într-un triunghi dreptunghic și într-un triunghi oarecare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În triunghiul dreptunghic, mediana ipotenuzei este direct jumătate din ipotenuză. Într-un triunghi oarecare trebuie formula m² = (2b² + 2c² − a²) : 4.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un triunghi are AB=9 cm, AC=12 cm, BC=15 cm. Calculează mediana AM, folosind atât formula generalizată, cât și proprietatea specifică triunghiului dreptunghic, apoi verifică dacă cele 2 rezultate coincid.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu formula: AM² = (2 × 144 + 2 × 81 − 225) : 4 = 2254, deci AM = 7,5 cm. Triunghiul este dreptunghic (81 + 144 = 225), deci și AM = 15 : 2 = 7,5 cm. Rezultatele coincid.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are aria de 84 cm² și ipotenuza de 25 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare ipotenuzei, apoi mediana corespunzătoare aceleiași laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
h = 2 × 84 : 25 = 6,72 cm; mediana ipotenuzei: 25 : 2 = 12,5 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Se dă un triunghi cu laturile AB=17 cm, AC=17 cm, BC=16 cm. Calculează mediana din A, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătății bazei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Triunghiul este isoscel, deci mediana din A este și înălțime: 17² − 8² = √225 = 15 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un triunghi dreptunghic are catetele proiectate pe ipotenuză de 9 cm și 16 cm. Calculează ipotenuza, apoi mediana corespunzătoare acesteia.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ipotenuza: 9 + 16 = 25 cm; mediana: 12,5 cm.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dă un triunghi ABC, cu AB=8 cm, AC=10 cm, BC=9 cm. Calculează mediana AM din A, folosind formula generalizată a medianei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM² = (2 × 10² + 2 × 8² − 9²) : 4 = 247 : 4, deci AM = √247 : 2 ≈ 7,86 cm.
Ex. 16Excelență
Se dă un triunghi ABC, dreptunghic în A, cu AB=9 cm, AC=12 cm. Calculează ipotenuza, mediana, înălțimea și proiecțiile catetelor pe ipotenuză, sintetizând toate cele 5 relații metrice studiate în acest capitol.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 15 cm; mediana = 7,5 cm; înălțimea = 9 × 12 : 15 = 7,2 cm; proiecțiile: 81 : 15 = 5,4 cm și 144 : 15 = 9,6 cm.
Ex. 17Excelență
Un triunghi are laturile AB=5 cm, AC=6 cm, BC=7 cm. Calculează toate cele 3 mediane ale triunghiului (din A, din B, din C), folosind formula generalizată pentru fiecare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu a = 7, b = 6, c = 5: mediana din A = √73 : 2 ≈ 4,27 cm; din B = √28 = 2√7 ≈ 5,29 cm; din C = √145 : 2 ≈ 6,02 cm.
Ex. 18Excelență
Se dă un triunghi dreptunghic cu catetele a și b, iar ipotenuza c. Explică, folosind proprietatea specifică (mediana ipotenuzei = c2) și teorema lui Pitagora (a²+b²=c²), de ce mediana poate fi exprimată și ca AM = a²+b² : 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mediana ipotenuzei este c2, iar din Pitagora c = a² + b². Înlocuind, AM = a² + b² : 2.
Ex. 19Excelență
Un triunghi ABC are AB=AC=10 cm (isoscel), iar mediana din A este 8 cm. Calculează BC, folosind teorema lui Pitagora aplicată jumătății bazei și medianei (care, la triunghiul isoscel, este și înălțime).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Jumătatea bazei: 10² − 8² = 6 cm, deci BC = 12 cm.
Ex. 20Excelență
Se dă un triunghi ABC, cu toate cele 3 mediane cunoscute: din A = 9 cm, din B = 12 cm, din C = 15 cm (triplet care sugerează, poate, o relație specială). Verifică dacă triunghiul format de cele 3 mediane (ca laturi ale unui nou triunghi) respectă reciproca teoremei lui Pitagora, determinând dacă acest "triunghi al medianelor" este dreptunghic.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15², deci triunghiul medianelor este dreptunghic.