Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min

∪∩

Încărcăm partea curentă…

Operații cu intervale

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Reuniunea a două intervale

Reuniunea A ∪ B conține toate numerele care aparțin cel puțin unuia dintre intervale.

Dacă intervalele se suprapun sau se ating, reuniunea este un singur interval: (1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7). Dacă nu se ating, rezultatul rămâne scris din două bucăți: (1, 3) ∪ (5, 8).

Atenție la capetele care se ating: (−2, 3) ∪ [3, 7] = (−2, 7], fiindcă 3 este inclus de al doilea interval și astfel „lipește” cele două bucăți.

De ținut minte

A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}

(1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7)

Desenează ambele intervale pe aceeași axă: reuniunea este tot ce ai colorat.
Un capăt rămâne inclus în reuniune dacă este inclus măcar într-un interval.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (−3, 2] ∪ [1, 8).

1Intervalele se suprapun pe [1, 2].
2Reuniunea acoperă tot de la −3 la 8, fără cele două capete.
3Rezultatul este (−3, 8).

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Operații cu intervale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Intersecția păstrează elementele comune, reuniunea adună toate elementele celor două intervale, iar diferența păstrează elementele primului interval care nu aparțin celui de-al doilea.

Reuniunea a două intervale

Reuniunea A ∪ B conține toate numerele care aparțin cel puțin unuia dintre intervale.

Dacă intervalele se suprapun sau se ating, reuniunea este un singur interval: (1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7). Dacă nu se ating, rezultatul rămâne scris din două bucăți: (1, 3) ∪ (5, 8).

Atenție la capetele care se ating: (−2, 3) ∪ [3, 7] = (−2, 7], fiindcă 3 este inclus de al doilea interval și astfel „lipește” cele două bucăți.

A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}
(1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7)

Desenează ambele intervale pe aceeași axă: reuniunea este tot ce ai colorat.
Un capăt rămâne inclus în reuniune dacă este inclus măcar într-un interval.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (−3, 2] ∪ [1, 8).

Intervalele se suprapun pe [1, 2].
Reuniunea acoperă tot de la −3 la 8, fără cele două capete.
Rezultatul este (−3, 8).

Intersecția a două intervale

Intersecția A ∩ B conține doar numerele care aparțin în același timp ambelor intervale — practic, porțiunea comună.

Regula practică: iei capătul din stânga cel mai mare și capătul din dreapta cel mai mic. Pentru (1, 4) ∩ (3, 7) rezultă (3, 4).

Dacă intervalele nu se suprapun deloc, intersecția este mulțimea vidă: [0, 2] ∩ (3, 5) = ∅.

A ∩ B = {x | x ∈ A și x ∈ B}
[1, 5] ∩ [3, 8] = [3, 5]
[0, 2] ∩ (3, 5) = ∅

Un capăt este inclus în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale.
Intersecția este întotdeauna mai „mică” decât fiecare interval în parte.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (−1, 6] ∩ [2, 9).

Intersecția păstrează doar numerele prezente în ambele intervale.
Limita inferioară comună este 2, inclusă în ambele; cea superioară este 6, inclusă în ambele.
Intersecția este [2, 6].

Diferența și complementara

Diferența A \ B conține numerele din A care nu se află în B. Pentru A = (1, 7) și B = (4, 9), rezultă A \ B = (1, 4]: păstrezi din A doar partea care nu se suprapune cu B, iar 4 rămâne inclus, fiindcă B începe abia după el.

Complementara unui interval în ℝ se obține scoțând intervalul din toată dreapta reală: ℝ \ (−1, 4] = (−∞, −1] ∪ (4, +∞).

Regula pentru capete este simplă și la fel în ambele cazuri: ce era exclus devine inclus, și invers.

A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}
ℝ \ (−1, 4] = (−∞, −1] ∪ (4, +∞)

La diferență, pornești întotdeauna de la primul interval.
Complementara unui interval mărginit se scrie din două bucăți.

Exemplu rezolvat

Calculează [2, 7) \ [4, 9).

Pornim de la [2, 7) și scoatem tot ce se află și în [4, 9).
Din al doilea interval, 4 este inclus, deci 4 dispare din rezultat.
Rămâne [2, 4).

Sisteme de inecuații

Când x trebuie să respecte mai multe condiții în același timp, rezolvi fiecare inecuație separat, scrii câte un interval pentru fiecare, apoi calculezi intersecția lor.

Exemplu: din x + 2 > 5 rezultă x > 3, iar din 2x − 3 < 11 rezultă x < 7. Soluția sistemului este intersecția: x ∈ (3, 7).

Cuvântul-cheie este „simultan”: condițiile legate prin „și” cer intersecție, iar cele legate prin „sau” cer reuniune.

x > 3 și x < 7 ⇒ x ∈ (3, 7)
soluția sistemului = intersecția intervalelor

Rezolvă fiecare inecuație până la capăt înainte de a intersecta.
Dacă intervalele nu se suprapun, sistemul nu are soluții.

Exemplu rezolvat · alte date

Rezolvă simultan 3x − 2 > 7 și x + 4 ≤ 10.

Prima cere x > 3.
A doua cere x ≤ 6.
Soluția comună este (3, 6].

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează [1, 5] ∩ [3, 8].
Vezi rezolvarea
1. Ambele intervale conțin numerele de la 3 la 5, inclusiv capetele.
Răspuns: [3, 5]
Exercițiul 2
Calculează (−2, 3) ∪ [3, 7].
Vezi rezolvarea
1. Nu există gol la 3, deci reuniunea este intervalul continuu (−2, 7].
Răspuns: (−2, 7]
Exercițiul 3
Care este [0, 2] ∩ (3, 5)?
Vezi rezolvarea
1. Primul se termină la 2, iar al doilea începe după 3; intersecția este vidă.
Răspuns: ∅
Exercițiul 4
Rezolvă simultan x ≥ −1 și x < 4. Scrie intervalul.
Vezi rezolvarea
1. −1 este inclus, iar 4 este exclus.
Răspuns: [−1, 4)
Exercițiul 5
Pentru A = [−2, 4] și B = (1, 6), cât este A ∩ B?
Vezi rezolvarea
1. 1 este exclus de B, iar 4 este inclus în ambele intervale.
Răspuns: (1, 4]
Exercițiul 6
Calculează [−3, 2] ∩ [0, 6].
Vezi rezolvarea
1. Partea comună începe la 0 și se termină la 2.
2. 0 și 2 aparțin ambelor intervale.
3. Intersecția este [0, 2].
Răspuns: [0, 2]
Exercițiul 7
Calculează (−∞, 1) ∪ [1, 4].
Vezi rezolvarea
1. Primul interval acoperă tot până la 1, fără 1.
2. Al doilea începe exact cu 1 și merge până la 4, inclusiv.
3. Reuniunea este (−∞, 4].
Răspuns: (−∞, 4]
Exercițiul 8
Calculează [2, 7) ∖ [4, 9].
Vezi rezolvarea
1. Numerele din [4, 7) sunt și în [4, 9], deci le scoatem.
2. 4 este scos, pentru că aparține lui [4, 9].
3. Rămâne [2, 4).
Răspuns: [2, 4)
Exercițiul 9
Rezolvă simultan x > 2 și x ≤ 6.
Vezi rezolvarea
1. x > 2 înseamnă (2, +∞).
2. x ≤ 6 înseamnă (−∞, 6].
3. Intersecția este (2, 6].
Răspuns: (2, 6]
Exercițiul 10
Rezolvă sistemul de inecuații 2x − 1 > 3 și x + 2 ≤ 9.
Vezi rezolvarea
1. 2x − 1 > 3 ⇒ x > 2.
2. x + 2 ≤ 9 ⇒ x ≤ 7.
3. Soluția este (2, 7].
Răspuns: (2, 7]
Exercițiul 11
Care este ℝ ∖ (−1, 4]?
Vezi rezolvarea
1. −1 nu aparține lui (−1, 4], deci rămâne în complement.
2. 4 aparține lui (−1, 4], deci iese.
3. ℝ ∖ (−1, 4] = (−∞, −1] ∪ (4, +∞).
Răspuns: (−∞, −1] ∪ (4, +∞)
Exercițiul 12
Câte numere întregi aparțin mulțimii [−2, 3) ∩ (0, 5]?
Vezi rezolvarea
1. [−2, 3) ∩ (0, 5] = (0, 3).
2. Numerele întregi din (0, 3) sunt 1 și 2.
3. Sunt 2 numere.
Răspuns: 2

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Se dau intervalele A = (3, 7) și B = (5, 10). Calculează A ∪ B.
Vezi răspunsul
A ∪ B = (3, 10)
2. Dificultate redusă
Folosind datele de la exercițiul 1, calculează A ∩ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = (5, 7)
3. Dificultate redusă
Se dau intervalele A = (2, 4) și B = (7, 10). Calculează A ∩ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = ∅ (intervalele nu au puncte comune)
4. Dificultate redusă
Se dau intervalele A = [1, 6] și B = [4, 9]. Calculează A ∪ B.
Vezi răspunsul
A ∪ B = [1, 9]
5. Dificultate redusă
Ce înseamnă că reuniunea a două intervale rămâne scrisă ca reuniune separată (nu ca un singur interval)?
Vezi răspunsul
Intervalele nu se ating și nu se suprapun: între ele rămân numere care nu aparțin niciunuia.
6. Dificultate medie
Se dau intervalele A = (−2, 6) și B = (2, 9). Calculează A ∪ B și A ∩ B.
Vezi răspunsul
A ∪ B = (−2, 9); A ∩ B = (2, 6).
7. Dificultate medie
Se dau intervalele A = [0, 12] și B = (5, 8). Calculează A ∩ B, apoi A \ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = (5, 8); A \ B = [0, 5] ∪ [8, 12].
8. Dificultate medie
Rezolvă sistemul { x − 3 > 0, x + 4 < 11 }, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
x > 3 și x < 7: x ∈ (3, 7).
9. Dificultate medie
Se dau intervalele A = (−∞, 6) și B = (3, +∞). Calculează A ∩ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = (3, 6)
10. Dificultate medie
Se dau intervalele A = (−∞, 4] și B = [4, +∞). Calculează A ∩ B, apoi A ∪ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = {4}; A ∪ B = ℝ.
11. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { 2x + 3 ≤ 11, 3x − 1 > 8 }, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
x ≤ 4 și x > 3: x ∈ (3, 4].
12. Dificultate ridicată
Se dau intervalele A = (−4, 3) și B = (3, 9). Calculează A ∩ B, apoi A ∪ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = ∅; A ∪ B = (−4, 3) ∪ (3, 9) (3 nu aparține niciunuia).
13. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { x + 7 ≥ 3, 2x − 4 < x + 6 }, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsul
x ≥ −4 și x < 10: x ∈ [−4, 10).
14. Dificultate ridicată
Se dau intervalele A = [2, 10] și B = [5, 7]. Calculează A \ B.
Vezi răspunsul
A \ B = [2, 5) ∪ (7, 10]
15. Dificultate ridicată
Rezolvă sistemul { 3 × (x − 2) < 2x + 3, x + 4 ≥ 2 }, apoi scrie soluția finală ca interval.
Vezi răspunsul
3x − 6 < 2x + 3 dă x < 9, iar x + 4 ≥ 2 dă x ≥ −2: x ∈ [−2, 9).
16. Excelență
Se dau trei intervale: A = (1, 6), B = (3, 9), C = (5, 12). Calculează A ∩ B ∩ C.
Vezi răspunsul
A ∩ B ∩ C = (5, 6)
17. Excelență
Rezolvă sistemul de 3 inecuații { x + 2 > 0, 2x − 5 < 7, 3x + 1 ≤ 19 }, apoi scrie soluția finală ca interval.
Vezi răspunsul
x > −2, x < 6 și x ≤ 6: x ∈ (−2, 6).
18. Excelență
Se dau intervalele A = (−∞, 4) ∪ (8, +∞) și B = (2, 10). Determină, prin observație pe axă, mulțimea A ∩ B.
Vezi răspunsul
A ∩ B = (2, 4) ∪ (8, 10)
19. Excelență
Un elev trebuie să respecte simultan condițiile: vârsta x este mai mare de 12 ani, dar mai mică de 18 ani (interval deschis), ȘI vârsta este un număr par. Scrie mulțimea soluțiilor posibile, folosind intervalul obținut și restricția suplimentară.
Vezi răspunsul
Intervalul (12, 18), iar dintre numerele pare din el rămân 14 și 16.
20. Excelență
Se dau intervalele A = [a, b] și B = [c, d], cu a < c < b < d (intervalele se suprapun parțial). Explică, folosind un exemplu numeric concret, cum se calculează A ∩ B și A ∪ B în această situație generală.
Vezi răspunsul
De exemplu, A = [1, 5] și B = [3, 8]: A ∩ B = [3, 5] (de la c la b), iar A ∪ B = [1, 8] (de la a la d).