Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min
x³

Teorie înainte de exerciții

Calcul algebric

În clasa a VIII-a extindem calculul algebric la formule cu cuburi și la descompuneri în mai mulți pași. Într-o fracție algebrică simplificăm numai factori comuni, respectând condițiile de existență.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Cubul unei sume și al unei diferențe

Formulele de calcul prescurtat se extind de la pătrat la cub: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 și (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Coeficienții sunt mereu 1, 3, 3, 1, iar la cubul diferenței semnele alternează: plus, minus, plus, minus.

Exemplu: (x + 2)3 = x3 + 3 × x2 × 2 + 3 × x × 4 + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8. Formula ajută și la calcule numerice: 113 = (10 + 1)3 = 1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
  • Coeficienții 1, 3, 3, 1 se rețin ușor; puterile lui a scad, ale lui b cresc.
  • La cubul diferenței, semnele alternează începând cu plus.

Exemplu rezolvat

Dezvoltă (x − 1)3.

  1. 1.Aplicăm formula cu a = x și b = 1: x3 − 3 × x2 × 1 + 3 × x × 12 − 13.
  2. 2.Calculăm fiecare termen: x3 − 3x2 + 3x − 1.
  3. 3.Verificare rapidă pentru x = 2: 8 − 12 + 6 − 1 = 1 = (2 − 1)3.
2

Suma și diferența de cuburi

Două formule permit descompunerea rapidă: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) și a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Semnul din prima paranteză este același cu semnul din enunț, iar în a doua paranteză semnul de la mijloc este invers.

Exemplu: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4), fiindcă 8 = 23. La fel, 8x3 − 1 = (2x − 1)(4x2 + 2x + 1), fiindcă 8x3 = (2x)3.

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
  • Verifică dacă ambii termeni sunt cuburi perfecte: 8, 27, 64, 125.
  • Paranteza a doua nu este pătrat perfect: are ab, nu 2ab.

Exemplu rezolvat

Descompune x3 + 27.

  1. 1.Observăm că 27 = 33, deci avem o sumă de cuburi cu a = x și b = 3.
  2. 2.Aplicăm formula: (x + 3)(x2 − 3x + 9).
  3. 3.Semnul din prima paranteză este plus, iar cel din mijlocul celei de-a doua este minus.
3

Simplificarea fracțiilor algebrice

Într-o fracție algebrică se simplifică numai factori, deci primul pas este descompunerea numărătorului și a numitorului.

Exemplu: (x3 − 27) : (x − 3) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) : (x − 3) = x2 + 3x + 9, pentru x ≠ 3.

Condiția de existență se scrie întotdeauna: valorile care anulează numitorul sunt excluse.

x3 − 27x − 3 = x2 + 3x + 9, x ≠ 3
x2 − 4x2 + 4x + 4 = x − 2x + 2
  • Descompune înainte să simplifici; nu tăia termeni dintr-o sumă.
  • Notează condiția de existență chiar de la început.

Exemplu rezolvat

Simplifică (x2 − 4) : (x2 + 4x + 4), pentru x ≠ −2.

  1. 1.Numărătorul este o diferență de pătrate: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
  2. 2.Numitorul este pătratul unei sume: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.
  3. 3.Simplificăm un factor (x + 2) și rămâne x − 2x + 2.
4

Calcule și descompuneri combinate

Multe exerciții cer să combini mai multe metode: întâi scoți factorul comun, apoi aplici o formulă. Astfel, x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2).

Formulele merg și invers, pentru calcule cu numere: din (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 rezultă a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b), utilă când se dau suma și produsul.

Un produs de mai mulți factori se calculează pe rând, grupând convenabil: (x + 1)(x − 1)x = (x2 − 1)x = x3 − x.

x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2)
a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
  • Factorul comun se scoate întotdeauna primul.
  • Grupează factorii care formează o formulă cunoscută.

Exemplu rezolvat

Dacă a + b = 4 și ab = 3, cât este a3 + b3?

  1. 1.Folosim a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b).
  2. 2.Înlocuim: 43 − 3 × 3 × 4 = 64 − 36.
  3. 3.Rezultatul este 28.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x + 3)3.

    Vezi răspunsul

    x3 + 9x2 + 27x + 27

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x − 1)3.

    Vezi răspunsul

    x3 − 3x2 + 3x − 1

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula diferenței de cuburi: x3 − 27.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)(x2 + 3x + 9)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula sumei de cuburi: x3 + 1.

    Vezi răspunsul

    (x + 1)(x2 − x + 1)

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează produsul: (x + 2) × (x − 2) × x.

    Vezi răspunsul

    x(x2 − 4) = x3 − 4x

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (3x + 1)3.

    Vezi răspunsul

    27x3 + 27x2 + 9x + 1

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Descompune: 27x3 − 8.

    Vezi răspunsul

    (3x − 2)(9x2 + 6x + 4)

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Simplifică fracția: (x3 − 27) / (x − 3).

    Vezi răspunsul

    (x − 3)(x2 + 3x + 9) : (x − 3) = x2 + 3x + 9, pentru x ≠ 3.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Calculează produsul: (x + 1) × (x + 4) × (x − 2).

    Vezi răspunsul

    (x2 + 5x + 4)(x − 2) = x3 + 3x2 − 6x − 8

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Descompune, extrăgând factorul comun, apoi aplică formula potrivită: 3x3 − 24.

    Vezi răspunsul

    3(x3 − 8) = 3(x − 2)(x2 + 2x + 4)

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Descompune complet în factori: x3 − 9x.

    Vezi răspunsul

    x(x2 − 9) = x(x − 3)(x + 3)

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Simplifică fracția: (x3 + 8) / (x2 − 2x + 4).

    Vezi răspunsul

    (x + 2)(x2 − 2x + 4) : (x2 − 2x + 4) = x + 2

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Dezvoltă expresia (x + 2)3 − (x − 2)3, apoi simplifică, reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    (x3 + 6x2 + 12x + 8) − (x3 − 6x2 + 12x − 8) = 12x2 + 16

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Un cub are muchia (x + 3). Scrie expresia algebrică a volumului, folosind formula cubului unei sume, apoi calculează volumul pentru x = 2.

    Vezi răspunsul

    V = (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27; pentru x = 2: V = 53 = 125.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Descompune în factori: x6 − 64.

    Vezi răspunsul

    (x3 − 8)(x3 + 8) = (x − 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 − 2x + 4)

  16. Ex. 16Excelență

    Simplifică expresia: [(x+1)3 − (x−1)3] / (6x), verificând dacă rezultatul este o expresie constantă în x2 (dezvoltă mai întâi numărătorul).

    Vezi răspunsul

    Numărătorul: (x3 + 3x2 + 3x + 1) − (x3 − 3x2 + 3x − 1) = 6x2 + 2. Rezultatul: 6x2 + 26x = 3x2 + 13x, pentru x ≠ 0; nu este o constantă.

  17. Ex. 17Excelență

    Se dă expresia E = (x − 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1). Simplifică expresia, recunoscând perechile care formează diferența de cuburi și, respectiv, suma de cuburi, apoi calculează produsul final (indiciu: rezultă (x3−1)(x3+1), aplică apoi diferența de pătrate).

    Vezi răspunsul

    (x3 − 1)(x3 + 1) = x6 − 1

  18. Ex. 18Excelență

    Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile (x+1), (x−1) și x. Scrie expresia algebrică a volumului, dezvoltă produsul complet, apoi calculează volumul pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    V = x(x − 1)(x + 1) = x3 − x; pentru x = 5: 125 − 5 = 120.

  19. Ex. 19Excelență

    Descompune în factori expresia x4 − 1 (indiciu: mai întâi ca diferență de pătrate, x4 = (x2)2, apoi descompune și x2 − 1 mai departe).

    Vezi răspunsul

    (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

  20. Ex. 20Excelență

    Simplifică expresia: (x3 − 8) / (x − 2) − (x2 + 2x + 4), folosind descompunerea diferenței de cuburi, apoi observă dacă rezultatul este 0 pentru orice x (verifică dacă cele două fracțiitermeni sunt identici).

    Vezi răspunsul

    (x − 2)x2 + 2x + 4x − 2 = x2 + 2x + 4, deci diferența este 0 pentru orice x ≠ 2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.