Intervale de numere reale

Un interval descrie toate numerele reale dintre două limite. Paranteza pătrată include capătul, paranteza rotundă îl exclude, iar infinitul are întotdeauna paranteză rotundă.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Cele patru tipuri de intervale

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Intervalul închis [a, b] conține ambele capete, cel deschis (a, b) nu conține niciunul, iar cele semideschise, (a, b] și [a, b), conțin doar unul.

Există și intervale nemărginite, care se întind la infinit într-o direcție: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a].

Semnele din inegalitate decid tipul: ≤ și ≥ dau paranteză pătrată, iar < și > dau paranteză rotundă.

a ≤ x ≤ b ⇔ [a, b]

a < x < b ⇔ (a, b)

x ≥ a ⇔ [a, +∞)

La ±∞ se folosește întotdeauna paranteză rotundă: infinitul nu este un număr.
Traducerea merge în ambele sensuri: din inegalitate în interval și invers.

Exemplu rezolvat

Ce interval corespunde condiției −2 < x ≤ 5?

1.Capătul −2 nu este inclus, fiindcă inegalitatea este strictă: paranteză rotundă.
2.Capătul 5 este inclus, fiindcă apare semnul ≤: paranteză pătrată.
3.Intervalul este (−2, 5].

Capete incluse și capete excluse

Un număr aparține unui interval doar dacă se află între capete sau este un capăt inclus. Numărul 4 nu aparține intervalului (1, 4), fiindcă paranteza rotundă îl exclude, dar aparține lui (1, 4].

La fel, −1 aparține intervalului [−1, 3), fiindcă paranteza pătrată îl include.

Verificarea are deci doi pași: numărul este între capete și, dacă este chiar un capăt, paranteza este pătrată.

4 ∉ (1, 4)

−1 ∈ [−1, 3)

(−3, 4] include doar pe 4

Capătul exclus nu face parte din interval, deși pare „la margine”.
Între capătul exclus și interior există o infinitate de numere: 3,999… aparține lui (1, 4).

Exemplu rezolvat

Numărul 4 aparține intervalului (1, 4)?

1.Capetele intervalului sunt 1 și 4, ambele cu paranteză rotundă.
2.Paranteza rotundă înseamnă că acel capăt este exclus.
3.Deci 4 nu aparține intervalului (1, 4).

Din inegalitate în interval și pe axă

Orice interval se poate scrie și ca inegalitate: x ∈ (−∞, 7] înseamnă x ≤ 7, iar x > 2 se scrie x ∈ (2, +∞).

Pe axă, intervalul se reprezintă colorând porțiunea corespunzătoare: punct plin la capătul inclus, punct gol la cel exclus. Pentru [−1, 4) desenezi punct plin la −1 și punct gol la 4.

Numerele iraționale se încadrează la fel ca celelalte: √2 ≈ 1,41, deci √2 ∈ (1, 2).

x ∈ (−∞, 7] ⇔ x ≤ 7

punct plin = capăt inclus

√2 ∈ (1, 2)

Desenul pe axă arată imediat ce numere intră și ce numere nu.
Pentru radicali, folosește încadrarea între pătrate perfecte.

Exemplu rezolvat

Cum reprezentăm pe axă intervalul [−1, 4)?

1.Capătul −1 este inclus, deci punem punct plin.
2.Capătul 4 este exclus, deci punem punct gol.
3.Colorăm porțiunea dintre ele, de la −1 până aproape de 4.

Numere întregi și lungimea unui interval

Un interval de numere reale conține o infinitate de numere, dar doar câteva numere întregi. Ca să le numeri, le enumeri ținând cont de capetele incluse: (−3, 2] conține −2, −1, 0, 1 și 2, deci 5 numere întregi.

Lungimea unui interval mărginit este diferența dintre capete: pentru [−3, 5], lungimea este 5 − (−3) = 8. Ea nu depinde de felul parantezelor.

lungimea intervalului [a, b] = b − a

(−3, 2] conține 5 numere întregi

Enumeră numerele întregi pe rând: așa nu ratezi capetele.
Lungimea este aceeași pentru (a, b) și [a, b], deși mulțimile diferă.

Exemplu rezolvat

Care este lungimea intervalului [−3, 5]?

1.Lungimea se calculează scăzând capătul din stânga din cel din dreapta.
2.Calculăm 5 − (−3) = 5 + 3.
3.Lungimea este 8.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Scrie sub formă de interval mulțimea soluțiilor inecuației x + 7 < 15.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x < 8, adică x ∈ (−∞, 8).
Ex. 2Dificultate redusă
Rezolvă inecuația 4x − 5 ≥ 15, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x ≥ 20, deci x ≥ 5: x ∈ [5, +∞).
Ex. 3Dificultate redusă
Este numărul 8 element al intervalului (3, 8]?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: intervalul este închis la 8.
Ex. 4Dificultate redusă
Reprezintă pe axa numerelor intervalul [−2, 5).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Punct plin la −2 (aparține), cerc gol la 5 (nu aparține) și hașura între ele.
Ex. 5Dificultate redusă
Rezolvă inecuația 3 × (x + 2) < 18, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 2 < 6, deci x < 4: x ∈ (−∞, 4).
Ex. 6Dificultate medie
Rezolvă inecuația 5x − 4 ≤ 3x + 8, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x ≤ 12, deci x ≤ 6: x ∈ (−∞, 6].
Ex. 7Dificultate medie
Rezolvă inecuația 4 × (x − 3) > x + 6, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x > 18, deci x > 6: x ∈ (6, +∞).
Ex. 8Dificultate medie
Verifică dacă x = −3 este soluție a inecuației 2 × (x + 5) ≥ x + 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 2 × (−3 + 5) = 4 ≥ −3 + 2 = −1.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă inecuația 7 − 2 × (x − 2) < x + 5, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
11 − 2x < x + 5, deci 3x > 6 și x > 2: x ∈ (2, +∞).
Ex. 10Dificultate medie
Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor x, pentru care 4x + 3 este mai mic decât 27.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4x + 3 < 27, deci x < 6: x ∈ (−∞, 6).
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația 5 × (x + 2) − 3x ≤ 4 × (x − 2) + 12, apoi scrie soluția ca interval și reprezint-o pe axă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2x + 10 ≤ 4x + 4, deci x ≥ 3: x ∈ [3, +∞); pe axă, punct plin la 3 și hașura spre dreapta.
Ex. 12Dificultate ridicată
Determină cel mai mic număr întreg care aparține soluției inecuației 3x − 8 > 2 × (x − 4).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x − 8 > 2x − 8, deci x > 0; cel mai mic număr întreg din soluție este 1.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă simultan inecuațiile x + 4 > 2 și 3x − 6 < 12, apoi scrie intervalul comun al soluțiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x > −2 și x < 6: intervalul comun este (−2, 6).
Ex. 14Dificultate ridicată
Un elev are un buget de maximum 150 de lei pentru cumpărături. A cheltuit deja 60 de lei, iar vrea să cumpere pixuri de 6 lei fiecare. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x, rezolv-o, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
60 + 6x ≤ 150, deci x ≤ 15: x ∈ [0, 15], adică cel mult 15 pixuri.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă inecuația 8 − 3x ≥ 2 × (x − 5) + 2, apoi scrie soluția ca interval, precizând cel mai mare număr întreg care aparține acestei soluții.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 − 3x ≥ 2x − 8, deci 5x ≤ 16 și x ≤ 3,2: x ∈ (−∞; 3,2]. Cel mai mare întreg din soluție este 3.
Ex. 16Excelență
Rezolvă inecuația (x+2)² − x² ≥ 5x + 4, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² + 4x + 4 − x² ≥ 5x + 4, deci x ≤ 0: x ∈ (−∞, 0].
Ex. 17Excelență
Determină toate numerele întregi din intervalul soluție al inecuației 3 × (2x − 1) < 4 × (x + 3) + 5, apoi calculează suma lor, dacă mulțimea este finită sau mărginită corespunzător.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6x − 3 < 4x + 17, deci x < 10: x ∈ (−∞, 10). Întregii din soluție (…, 7, 8, 9) sunt o infinitate, deci suma lor nu se poate calcula.
Ex. 18Excelență
Un magazin online percepe un cost de livrare de 15 lei, plus 3 lei pentru fiecare kilogram peste 5 kg. Un client vrea să cheltuiască cel mult 45 lei doar pe livrare. Scrie inecuația corespunzătoare greutății x (peste 5 kg), rezolv-o, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 + 3(x − 5) ≤ 45, deci x ≤ 15; cu x > 5: x ∈ (5, 15].
Ex. 19Excelență
Rezolvă inecuația 2(x−1)² − 2x² < 24, dezvoltând pătratul, apoi scrie soluția ca interval.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2(x² − 2x + 1) − 2x² < 24, deci −4x + 2 < 24 și x > −5,5: x ∈ (−5,5; +∞).
Ex. 20Excelență
Se dau inecuațiile x + 5 > 2x − 3 și 3x − 2 ≤ 2x + 6. Rezolvă fiecare separat, scrie soluțiile ca intervale, apoi determină intervalul comun (soluțiile care respectă ambele condiții simultan).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Prima: x < 8, adică (−∞, 8). A doua: x ≤ 8, adică (−∞, 8]. Intervalul comun: (−∞, 8).