Încărcăm partea curentă…

Intervale de numere reale

Cele patru tipuri de intervale

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Intervalul închis [a, b] conține ambele capete, cel deschis (a, b) nu conține niciunul, iar cele semideschise, (a, b] și [a, b), conțin doar unul.

Există și intervale nemărginite, care se întind la infinit într-o direcție: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a].

Semnele din inegalitate decid tipul: ≤ și ≥ dau paranteză pătrată, iar < și > dau paranteză rotundă.

De ținut minte

a ≤ x ≤ b ⇔ [a, b]
a < x < b ⇔ (a, b)
x ≥ a ⇔ [a, +∞)
  • La ±∞ se folosește întotdeauna paranteză rotundă: infinitul nu este un număr.
  • Traducerea merge în ambele sensuri: din inegalitate în interval și invers.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie ca interval −4 ≤ x < 7.

  1. 1Capătul −4 este inclus, deci paranteza lui este dreaptă.
  2. 27 este exclus, deci paranteza lui este rotundă.
  3. 3Intervalul este [−4, 7).
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Intervale de numere reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un interval descrie toate numerele reale dintre două limite. Paranteza pătrată include capătul, paranteza rotundă îl exclude, iar infinitul are întotdeauna paranteză rotundă.

Cele patru tipuri de intervale

Un interval este mulțimea numerelor reale cuprinse între două capete. Intervalul închis [a, b] conține ambele capete, cel deschis (a, b) nu conține niciunul, iar cele semideschise, (a, b] și [a, b), conțin doar unul.

Există și intervale nemărginite, care se întind la infinit într-o direcție: (a, +∞), [a, +∞), (−∞, a) și (−∞, a].

Semnele din inegalitate decid tipul: ≤ și ≥ dau paranteză pătrată, iar < și > dau paranteză rotundă.

  • a ≤ x ≤ b ⇔ [a, b]
  • a < x < b ⇔ (a, b)
  • x ≥ a ⇔ [a, +∞)
  • La ±∞ se folosește întotdeauna paranteză rotundă: infinitul nu este un număr.
  • Traducerea merge în ambele sensuri: din inegalitate în interval și invers.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie ca interval −4 ≤ x < 7.

  1. Capătul −4 este inclus, deci paranteza lui este dreaptă.
  2. 7 este exclus, deci paranteza lui este rotundă.
  3. Intervalul este [−4, 7).

Capete incluse și capete excluse

Un număr aparține unui interval doar dacă se află între capete sau este un capăt inclus. Numărul 4 nu aparține intervalului (1, 4), fiindcă paranteza rotundă îl exclude, dar aparține lui (1, 4].

La fel, −1 aparține intervalului [−1, 3), fiindcă paranteza pătrată îl include.

Verificarea are deci doi pași: numărul este între capete și, dacă este chiar un capăt, paranteza este pătrată.

  • 4 ∉ (1, 4)
  • −1 ∈ [−1, 3)
  • (−3, 4] include doar pe 4
  • Capătul exclus nu face parte din interval, deși pare „la margine”.
  • Între capătul exclus și interior există o infinitate de numere: 3,999… aparține lui (1, 4).

Exemplu rezolvat · alte date

Aparține 6 intervalului (2, 6]?

  1. Capătul din dreapta are paranteză dreaptă.
  2. Condiția este 2 < x ≤ 6.
  3. Da, 6 este inclus.

Din inegalitate în interval și pe axă

Orice interval se poate scrie și ca inegalitate: x ∈ (−∞, 7] înseamnă x ≤ 7, iar x > 2 se scrie x ∈ (2, +∞).

Pe axă, intervalul se reprezintă colorând porțiunea corespunzătoare: punct plin la capătul inclus, punct gol la cel exclus. Pentru [−1, 4) desenezi punct plin la −1 și punct gol la 4.

Numerele iraționale se încadrează la fel ca celelalte: √2 ≈ 1,41, deci √2 ∈ (1, 2).

  • x ∈ (−∞, 7] ⇔ x ≤ 7
  • punct plin = capăt inclus
  • √2 ∈ (1, 2)
  • Desenul pe axă arată imediat ce numere intră și ce numere nu.
  • Pentru radicali, folosește încadrarea între pătrate perfecte.

Exemplu rezolvat · alte date

Descrie reprezentarea pe axă a intervalului (−3, 2].

  1. Marcăm cerc gol în −3 și punct plin în 2.
  2. Colorăm segmentul dintre ele.
  3. Reprezentarea corespunde lui −3 < x ≤ 2.

Numere întregi și lungimea unui interval

Un interval de numere reale conține o infinitate de numere, dar doar câteva numere întregi. Ca să le numeri, le enumeri ținând cont de capetele incluse: (−3, 2] conține −2, −1, 0, 1 și 2, deci 5 numere întregi.

Lungimea unui interval mărginit este diferența dintre capete: pentru [−3, 5], lungimea este 5 − (−3) = 8. Ea nu depinde de felul parantezelor.

  • lungimea intervalului [a, b] = b − a
  • (−3, 2] conține 5 numere întregi
  • Enumeră numerele întregi pe rând: așa nu ratezi capetele.
  • Lungimea este aceeași pentru (a, b) și [a, b], deși mulțimile diferă.

Exemplu rezolvat · alte date

Află lungimea intervalului [−5, 4].

  1. Lungimea este diferența capetelor, indiferent de includerea lor.
  2. 4 − (−5) = 9.
  3. Lungimea este 9; numărul întregilor din interval ar fi 10, o altă cerință.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce interval corespunde condiției 1 ≤ x < 6?

    Vezi rezolvarea
    1. Semnul ≤ include 1, iar semnul < exclude 6: [1, 6).

    Răspuns: [1, 6)

  2. Exercițiul 2

    Care capăt este inclus în intervalul (−3, 4]?

    Vezi rezolvarea
    1. Paranteza pătrată arată că 4 este inclus; −3 este exclus.

    Răspuns: Doar 4

  3. Exercițiul 3

    Scrie ca interval soluția x > 2.

    Vezi rezolvarea
    1. 2 nu este inclus, iar +∞ are mereu paranteză rotundă.

    Răspuns: (2, +∞)

  4. Exercițiul 4

    Numărul −1 aparține intervalului [−1, 3)?

    Vezi rezolvarea
    1. −1 este inclus prin paranteza pătrată.

    Răspuns: Da

  5. Exercițiul 5

    Scrie ca inegalitate apartenența x ∈ (−∞, 7].

    Vezi rezolvarea
    1. Intervalul conține toate numerele mai mici sau egale cu 7.

    Răspuns: x ≤ 7

  6. Exercițiul 6

    Ce interval corespunde condiției −2 < x ≤ 5?

    Vezi rezolvarea
    1. −2 nu este inclus: paranteză rotundă.
    2. 5 este inclus: paranteză pătrată.
    3. x ∈ (−2, 5].

    Răspuns: (−2, 5]

  7. Exercițiul 7

    Ce interval corespunde condiției x < 3?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele mai mici decât 3 sunt la stânga lui 3.
    2. 3 nu este inclus, iar la −∞ punem paranteză rotundă.
    3. x ∈ (−∞, 3).

    Răspuns: (−∞, 3)

  8. Exercițiul 8

    Numărul 4 aparține intervalului (1, 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. Paranteza rotundă exclude capătul.
    2. (1, 4) conține numerele strict între 1 și 4.
    3. 4 ∉ (1, 4).

    Răspuns: Nu, 4 este capăt exclus

  9. Exercițiul 9

    Cum reprezentăm pe axă intervalul [−1, 4)?

    Vezi rezolvarea
    1. [ la −1: capăt inclus, punct plin.
    2. ) la 4: capăt exclus, punct gol.
    3. Colorăm segmentul dintre ele.

    Răspuns: punct plin la −1, punct gol la 4

  10. Exercițiul 10

    Care interval conține numărul √2?

    Vezi rezolvarea
    1. 1 < 2 < 4, deci 1 < √2 < 2.
    2. √2 ≈ 1,41 este mai mic decât 1,5.
    3. √2 ∈ (1, 2).

    Răspuns: (1, 2)

  11. Exercițiul 11

    Câte numere întregi aparțin intervalului (−3, 2]?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele întregi sunt −2, −1, 0, 1, 2.
    2. −3 este exclus de paranteza rotundă.
    3. Sunt 5 numere întregi.

    Răspuns: 5

  12. Exercițiul 12

    Care este lungimea intervalului [−3, 5]?

    Vezi rezolvarea
    1. 5 − (−3) = 5 + 3.
    2. 5 + 3 = 8.
    3. Intervalul are lungimea 8.

    Răspuns: 8

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie sub formă de interval mulțimea soluțiilor inecuației x + 7 < 15.

    Vezi răspunsul

    x < 8, adică x ∈ (−∞, 8).

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația 4x − 5 ≥ 15, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    4x ≥ 20, deci x ≥ 5: x ∈ [5, +∞).

  3. 3. Dificultate redusă

    Este numărul 8 element al intervalului (3, 8]?

    Vezi răspunsul

    Da: intervalul este închis la 8.

  4. 4. Dificultate redusă

    Reprezintă pe axa numerelor intervalul [−2, 5).

    Vezi răspunsul

    Punct plin la −2 (aparține), cerc gol la 5 (nu aparține) și hașura între ele.

  5. 5. Dificultate redusă

    Rezolvă inecuația 3 × (x + 2) < 18, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    x + 2 < 6, deci x < 4: x ∈ (−∞, 4).

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația 5x − 4 ≤ 3x + 8, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    2x ≤ 12, deci x ≤ 6: x ∈ (−∞, 6].

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația 4 × (x − 3) > x + 6, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    3x > 18, deci x > 6: x ∈ (6, +∞).

  8. 8. Dificultate medie

    Verifică dacă x = −3 este soluție a inecuației 2 × (x + 5) ≥ x + 2.

    Vezi răspunsul

    Da: 2 × (−3 + 5) = 4 ≥ −3 + 2 = −1.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația 7 − 2 × (x − 2) < x + 5, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    11 − 2x < x + 5, deci 3x > 6 și x > 2: x ∈ (2, +∞).

  10. 10. Dificultate medie

    Scrie sub formă de interval mulțimea numerelor x, pentru care 4x + 3 este mai mic decât 27.

    Vezi răspunsul

    4x + 3 < 27, deci x < 6: x ∈ (−∞, 6).

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația 5 × (x + 2) − 3x ≤ 4 × (x − 2) + 12, apoi scrie soluția ca interval și reprezint-o pe axă.

    Vezi răspunsul

    2x + 10 ≤ 4x + 4, deci x ≥ 3: x ∈ [3, +∞); pe axă, punct plin la 3 și hașura spre dreapta.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Determină cel mai mic număr întreg care aparține soluției inecuației 3x − 8 > 2 × (x − 4).

    Vezi răspunsul

    3x − 8 > 2x − 8, deci x > 0; cel mai mic număr întreg din soluție este 1.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Rezolvă simultan inecuațiile x + 4 > 2 și 3x − 6 < 12, apoi scrie intervalul comun al soluțiilor.

    Vezi răspunsul

    x > −2 și x < 6: intervalul comun este (−2, 6).

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un elev are un buget de maximum 150 de lei pentru cumpărături. A cheltuit deja 60 de lei, iar vrea să cumpere pixuri de 6 lei fiecare. Scrie inecuația corespunzătoare numărului de pixuri x, rezolv-o, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    60 + 6x ≤ 150, deci x ≤ 15: x ∈ [0, 15], adică cel mult 15 pixuri.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația 8 − 3x ≥ 2 × (x − 5) + 2, apoi scrie soluția ca interval, precizând cel mai mare număr întreg care aparține acestei soluții.

    Vezi răspunsul

    8 − 3x ≥ 2x − 8, deci 5x ≤ 16 și x ≤ 3,2: x ∈ (−∞; 3,2]. Cel mai mare întreg din soluție este 3.

  16. 16. Excelență

    Rezolvă inecuația (x+2)2 − x2 ≥ 5x + 4, dezvoltând pătratul cu formula de calcul prescurtat, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    x2 + 4x + 4 − x2 ≥ 5x + 4, deci x ≤ 0: x ∈ (−∞, 0].

  17. 17. Excelență

    Determină toate numerele întregi din intervalul soluție al inecuației 3 × (2x − 1) < 4 × (x + 3) + 5, apoi calculează suma lor, dacă mulțimea este finită sau mărginită corespunzător.

    Vezi răspunsul

    6x − 3 < 4x + 17, deci x < 10: x ∈ (−∞, 10). Întregii din soluție (…, 7, 8, 9) sunt o infinitate, deci suma lor nu se poate calcula.

  18. 18. Excelență

    Un magazin online percepe un cost de livrare de 15 lei, plus 3 lei pentru fiecare kilogram peste 5 kg. Un client vrea să cheltuiască cel mult 45 lei doar pe livrare. Scrie inecuația corespunzătoare greutății x (peste 5 kg), rezolv-o, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    15 + 3(x − 5) ≤ 45, deci x ≤ 15; cu x > 5: x ∈ (5, 15].

  19. 19. Excelență

    Rezolvă inecuația 2(x−1)2 − 2x2 < 24, dezvoltând pătratul, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    2(x2 − 2x + 1) − 2x2 < 24, deci −4x + 2 < 24 și x > −5,5: x ∈ (−5,5; +∞).

  20. 20. Excelență

    Se dau inecuațiile x + 5 > 2x − 3 și 3x − 2 ≤ 2x + 6. Rezolvă fiecare separat, scrie soluțiile ca intervale, apoi determină intervalul comun (soluțiile care respectă ambele condiții simultan).

    Vezi răspunsul

    Prima: x < 8, adică (−∞, 8). A doua: x ≤ 8, adică (−∞, 8]. Intervalul comun: (−∞, 8).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.