Încărcăm partea curentă…

Calcul algebric

Cubul unei sume și al unei diferențe

Formulele de calcul prescurtat se extind de la pătrat la cub: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 și (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Coeficienții sunt mereu 1, 3, 3, 1, iar la cubul diferenței semnele alternează: plus, minus, plus, minus.

Exemplu: (x + 2)3 = x3 + 3 × x2 × 2 + 3 × x × 4 + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8. Formula ajută și la calcule numerice: 113 = (10 + 1)3 = 1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331.

De ținut minte

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
  • Coeficienții 1, 3, 3, 1 se rețin ușor; puterile lui a scad, ale lui b cresc.
  • La cubul diferenței, semnele alternează începând cu plus.

Exemplu rezolvat · alte date

Dezvoltă (x − 2)3.

  1. 1Folosim a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
  2. 2Punem a = x, b = 2.
  3. 3Rezultă x3 − 6x2 + 12x − 8.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Calcul algebric: teorie, exemple și exerciții rezolvate

În clasa a VIII-a extindem calculul algebric la formule cu cuburi și la descompuneri în mai mulți pași. Într-o fracție algebrică simplificăm numai factori comuni, respectând condițiile de existență.

Cubul unei sume și al unei diferențe

Formulele de calcul prescurtat se extind de la pătrat la cub: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 și (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.

Coeficienții sunt mereu 1, 3, 3, 1, iar la cubul diferenței semnele alternează: plus, minus, plus, minus.

Exemplu: (x + 2)3 = x3 + 3 × x2 × 2 + 3 × x × 4 + 8 = x3 + 6x2 + 12x + 8. Formula ajută și la calcule numerice: 113 = (10 + 1)3 = 1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331.

  • (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
  • Coeficienții 1, 3, 3, 1 se rețin ușor; puterile lui a scad, ale lui b cresc.
  • La cubul diferenței, semnele alternează începând cu plus.

Exemplu rezolvat · alte date

Dezvoltă (x − 2)3.

  1. Folosim a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
  2. Punem a = x, b = 2.
  3. Rezultă x3 − 6x2 + 12x − 8.

Suma și diferența de cuburi

Două formule permit descompunerea rapidă: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) și a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

Semnul din prima paranteză este același cu semnul din enunț, iar în a doua paranteză semnul de la mijloc este invers.

Exemplu: x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4), fiindcă 8 = 23. La fel, 8x3 − 1 = (2x − 1)(4x2 + 2x + 1), fiindcă 8x3 = (2x)3.

  • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
  • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)
  • x3 − 8 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
  • Verifică dacă ambii termeni sunt cuburi perfecte: 8, 27, 64, 125.
  • Paranteza a doua nu este pătrat perfect: are ab, nu 2ab.

Exemplu rezolvat · alte date

Descompune x3 + 64.

  1. 64 = 43.
  2. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
  3. Rezultatul este (x + 4)(x2 − 4x + 16).

Simplificarea fracțiilor algebrice

Într-o fracție algebrică se simplifică numai factori, deci primul pas este descompunerea numărătorului și a numitorului.

Exemplu: (x3 − 27) : (x − 3) = (x − 3)(x2 + 3x + 9) : (x − 3) = x2 + 3x + 9, pentru x ≠ 3.

Condiția de existență se scrie întotdeauna: valorile care anulează numitorul sunt excluse.

  • x3 − 27x − 3 = x2 + 3x + 9, x ≠ 3
  • x2 − 4x2 + 4x + 4 = x − 2x + 2
  • Descompune înainte să simplifici; nu tăia termeni dintr-o sumă.
  • Notează condiția de existență chiar de la început.

Exemplu rezolvat

Simplifică (x2 − 4) : (x2 + 4x + 4), pentru x ≠ −2.

  1. Numărătorul este o diferență de pătrate: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
  2. Numitorul este pătratul unei sume: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.
  3. Simplificăm un factor (x + 2) și rămâne x − 2x + 2.

Calcule și descompuneri combinate

Multe exerciții cer să combini mai multe metode: întâi scoți factorul comun, apoi aplici o formulă. Astfel, x3 − 4x = x(x2 − 4) = x(x − 2)(x + 2).

Formulele merg și invers, pentru calcule cu numere: din (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 rezultă a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b), utilă când se dau suma și produsul.

Un produs de mai mulți factori se calculează pe rând, grupând convenabil: (x + 1)(x − 1)x = (x2 − 1)x = x3 − x.

  • x3 − 4x = x(x − 2)(x + 2)
  • a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b)
  • Factorul comun se scoate întotdeauna primul.
  • Grupează factorii care formează o formulă cunoscută.

Exemplu rezolvat · alte date

a + b = 5 și ab = 6. Află a3 + b3.

  1. a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b).
  2. Înlocuim: 125 − 3·6·5.
  3. 125 − 90 = 35.

Adunarea, scăderea și împărțirea fracțiilor algebrice

Fracțiile algebrice se adună exact ca 16 + 14, doar că la numitor stau paranteze în loc de numere. Pașii sunt mereu aceiași: descompui numitorii în factori, alegi numitorul comun, amplifici fiecare fracție cu factorii care îi lipsesc, aduni numărătorii și simplifici.

Atenție la minus: când scazi o fracție, semnul se aplică întregului numărător, așa că îl scrii între paranteze înainte să desfaci. Aici se pierd cele mai multe puncte la subiectul al III-lea, punctul 2.

La înmulțire nu e nevoie de numitor comun: descompui tot și simplifici în cruce. Împărțirea înseamnă înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții.

  • x2 − 1 = (x − 1)(x + 1)
  • ab − cd = ad − bcbd
  • AB : CD = AB · DC
  • Descompune numitorii înainte de orice: numitorul comun iese din factori, nu din înmulțirea tuturor.
  • La scădere, pune numărătorul scăzut între paranteze.

Exemplu rezolvat

Calculează 1x − 1 + 2x + 1 − 2x2 − 1, pentru x ≠ 1 și x ≠ −1.

  1. Descompunem x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), deci acesta este numitorul comun.
  2. Numărătorul devine (x + 1) + 2(x − 1) − 2 = 3x − 3 = 3(x − 1).
  3. Simplificăm factorul x − 1: rezultatul este 3x + 1.

Exerciții rezolvate din lecție (17)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Dezvoltă (x + 2)3.

    Vezi rezolvarea
    1. x3 + 3·x2·2 + 3·x·22 + 23 = x3 + 6x2 + 12x + 8.

    Răspuns: x3 + 6x2 + 12x + 8

  2. Exercițiul 2

    Descompune x3 − 8.

    Vezi rezolvarea
    1. Aplicăm a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).

    Răspuns: (x − 2)(x2 + 2x + 4)

  3. Exercițiul 3

    Simplifică x3 − 27x − 3, pentru x ≠ 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x3 − 27 = (x − 3)(x2 + 3x + 9), apoi simplificăm x − 3.

    Răspuns: x2 + 3x + 9

  4. Exercițiul 4

    Calculează (x + 1)(x − 1)x.

    Vezi rezolvarea
    1. (x + 1)(x − 1) = x2 − 1, iar x(x2 − 1) = x3 − x.

    Răspuns: x3 − x

  5. Exercițiul 5

    Care este descompunerea lui x3 + 1?

    Vezi rezolvarea
    1. x3 + 13 = (x + 1)(x2 − x + 1).

    Răspuns: (x + 1)(x2 − x + 1)

  6. Exercițiul 6

    Dezvoltă (x − 1)3.

    Vezi rezolvarea
    1. a = x, b = 1.
    2. Semnele alternează: +, −, +, −.
    3. (x − 1)3 = x3 − 3x2 + 3x − 1.

    Răspuns: x3 − 3x2 + 3x − 1

  7. Exercițiul 7

    Descompune x3 + 27.

    Vezi rezolvarea
    1. a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2).
    2. a = x, b = 3.
    3. x3 + 27 = (x + 3)(x2 − 3x + 9).

    Răspuns: (x + 3)(x2 − 3x + 9)

  8. Exercițiul 8

    Descompune 8x3 − 1.

    Vezi rezolvarea
    1. a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2).
    2. a = 2x, b = 1.
    3. 8x3 − 1 = (2x − 1)(4x2 + 2x + 1).

    Răspuns: (2x − 1)(4x2 + 2x + 1)

  9. Exercițiul 9

    Descompune complet x3 − 4x.

    Vezi rezolvarea
    1. x3 − 4x = x(x2 − 4).
    2. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    3. Descompunerea completă este x(x − 2)(x + 2).

    Răspuns: x(x − 2)(x + 2)

  10. Exercițiul 10

    Simplifică x2 − 4x2 + 4x + 4, pentru x ≠ −2.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.
    3. Simplificăm cu x + 2: x − 2x + 2.

    Răspuns: x − 2x + 2

  11. Exercițiul 11

    Calculează 113 folosind (a + b)3, cu a = 10 și b = 1.

    Vezi rezolvarea
    1. 103 = 1 000, 3 · 100 · 1 = 300.
    2. 3 · 10 · 1 = 30, 13 = 1.
    3. 1 000 + 300 + 30 + 1 = 1 331.

    Răspuns: 1331

  12. Exercițiul 12

    Dacă a + b = 4 și ab = 3, cât este a3 + b3?

    Vezi rezolvarea
    1. (a + b)3 = 64.
    2. 3ab(a + b) = 3 · 3 · 4 = 36.
    3. a3 + b3 = 64 − 36 = 28.

    Răspuns: 28

  13. Exercițiul 13

    Care este numitorul comun pentru 1x − 2 și 3x2 − 4?

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
    2. Primul numitor, x − 2, este deja un factor al lui x2 − 4.
    3. Numitorul comun este x2 − 4.

    Răspuns: x2 − 4

  14. Exercițiul 14

    Simplifică x2 − 9x + 3, pentru x ≠ −3.

    Vezi rezolvarea
    1. x2 − 9 = (x − 3)(x + 3).
    2. Simplificăm factorul comun x + 3.
    3. Rezultatul este x − 3.

    Răspuns: x − 3

  15. Exercițiul 15

    Cât este 2x + 2 − 1x + 4x2 + 2x, pentru x ≠ 0 și x ≠ −2?

    Vezi rezolvarea
    1. Numitorul comun este x(x + 2).
    2. Numărătorul: 2x − (x + 2) + 4 = x + 2.
    3. Simplificăm: x + 2x(x + 2) = 1x.

    Răspuns: 1x

  16. Exercițiul 16

    Cât este x2 − 4x + 3 : x − 2x2 + 3x, pentru valorile permise ale lui x?

    Vezi rezolvarea
    1. Scriem ca înmulțire: x2 − 4x + 3 · x2 + 3xx − 2.
    2. Descompunem: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2) și x2 + 3x = x(x + 3).
    3. Simplificăm x − 2 și x + 3; rămâne x(x + 2).

    Răspuns: x(x + 2)

  17. Exercițiul 17

    Arată că x + 1x − 1 − x − 1x + 1 = 4xx2 − 1, pentru orice număr real x, x ≠ 1 și x ≠ −1.

    Vezi rezolvarea
    1. Aducem la numitorul comun (x − 1)(x + 1) = x2 − 1: prima fracție se amplifică cu x + 1, a doua cu x − 1.
    2. Numărătorul este (x + 1)2 − (x − 1)2 = x2 + 2x + 1 − x2 + 2x − 1 = 4x.
    3. Deci expresia este egală cu 4xx2 − 1.

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x + 3)3.

    Vezi răspunsul

    x3 + 9x2 + 27x + 27

  2. 2. Dificultate redusă

    Dezvoltă, folosind formula: (x − 1)3.

    Vezi răspunsul

    x3 − 3x2 + 3x − 1

  3. 3. Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula diferenței de cuburi: x3 − 27.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)(x2 + 3x + 9)

  4. 4. Dificultate redusă

    Descompune, folosind formula sumei de cuburi: x3 + 1.

    Vezi răspunsul

    (x + 1)(x2 − x + 1)

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează produsul: (x + 2) × (x − 2) × x.

    Vezi răspunsul

    x(x2 − 4) = x3 − 4x

  6. 6. Dificultate medie

    Dezvoltă, folosind formula: (3x + 1)3.

    Vezi răspunsul

    27x3 + 27x2 + 9x + 1

  7. 7. Dificultate medie

    Descompune: 27x3 − 8.

    Vezi răspunsul

    (3x − 2)(9x2 + 6x + 4)

  8. 8. Dificultate medie

    Simplifică fracția: x3 − 27x − 3.

    Vezi răspunsul

    (x − 3)(x2 + 3x + 9) : (x − 3) = x2 + 3x + 9, pentru x ≠ 3.

  9. 9. Dificultate medie

    Calculează produsul: (x + 1) × (x + 4) × (x − 2).

    Vezi răspunsul

    (x2 + 5x + 4)(x − 2) = x3 + 3x2 − 6x − 8

  10. 10. Dificultate medie

    Descompune, extrăgând factorul comun, apoi aplică formula potrivită: 3x3 − 24.

    Vezi răspunsul

    3(x3 − 8) = 3(x − 2)(x2 + 2x + 4)

  11. 11. Dificultate ridicată

    Descompune complet în factori: x3 − 9x.

    Vezi răspunsul

    x(x2 − 9) = x(x − 3)(x + 3)

  12. 12. Dificultate ridicată

    Simplifică fracția: x3 + 8x2 − 2x + 4.

    Vezi răspunsul

    (x + 2)(x2 − 2x + 4) : (x2 − 2x + 4) = x + 2

  13. 13. Dificultate ridicată

    Dezvoltă expresia (x + 2)3 − (x − 2)3, apoi simplifică, reducând termenii asemenea.

    Vezi răspunsul

    (x3 + 6x2 + 12x + 8) − (x3 − 6x2 + 12x − 8) = 12x2 + 16

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un cub are muchia (x + 3). Scrie expresia algebrică a volumului, folosind formula cubului unei sume, apoi calculează volumul pentru x = 2.

    Vezi răspunsul

    V = (x + 3)3 = x3 + 9x2 + 27x + 27; pentru x = 2: V = 53 = 125.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Descompune în factori: x6 − 64.

    Vezi răspunsul

    (x3 − 8)(x3 + 8) = (x − 2)(x2 + 2x + 4)(x + 2)(x2 − 2x + 4)

  16. 16. Excelență

    Simplifică expresia: (x+1)3 − (x−1)36x, verificând dacă rezultatul este o expresie constantă în x2 (dezvoltă mai întâi numărătorul).

    Vezi răspunsul

    Numărătorul: (x3 + 3x2 + 3x + 1) − (x3 − 3x2 + 3x − 1) = 6x2 + 2. Rezultatul: 6x2 + 26x = 3x2 + 13x, pentru x ≠ 0; nu este o constantă.

  17. 17. Excelență

    Se dă expresia E = (x − 1)(x2 + x + 1)(x + 1)(x2 − x + 1). Simplifică expresia, recunoscând perechile care formează diferența de cuburi și, respectiv, suma de cuburi, apoi calculează produsul final (indiciu: rezultă (x3−1)(x3+1), aplică apoi diferența de pătrate).

    Vezi răspunsul

    (x3 − 1)(x3 + 1) = x6 − 1

  18. 18. Excelență

    Un paralelipiped dreptunghic are dimensiunile (x+1), (x−1) și x. Scrie expresia algebrică a volumului, dezvoltă produsul complet, apoi calculează volumul pentru x = 5.

    Vezi răspunsul

    V = x(x − 1)(x + 1) = x3 − x; pentru x = 5: 125 − 5 = 120.

  19. 19. Excelență

    Descompune în factori expresia x4 − 1 (indiciu: mai întâi ca diferență de pătrate, x4 = (x2)2, apoi descompune și x2 − 1 mai departe).

    Vezi răspunsul

    (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

  20. 20. Excelență

    Simplifică expresia: x3 − 8x − 2 − (x2 + 2x + 4), folosind descompunerea diferenței de cuburi, apoi observă dacă rezultatul este 0 pentru orice x (verifică dacă cele două fracții/termeni sunt identici).

    Vezi răspunsul

    (x − 2)x2 + 2x + 4x − 2 = x2 + 2x + 4, deci diferența este 0 pentru orice x ≠ 2.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.