Clasa a VIII-aGimnaziu⏱ 22–26 min
∪∩

Teorie înainte de exerciții

Operații cu intervale

Intersecția păstrează elementele comune, reuniunea adună toate elementele celor două intervale, iar diferența păstrează elementele primului interval care nu aparțin celui de-al doilea.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.
1

Reuniunea a două intervale

Reuniunea A ∪ B conține toate numerele care aparțin cel puțin unuia dintre intervale.

Dacă intervalele se suprapun sau se ating, reuniunea este un singur interval: (1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7). Dacă nu se ating, rezultatul rămâne scris din două bucăți: (1, 3) ∪ (5, 8).

Atenție la capetele care se ating: (−2, 3) ∪ [3, 7] = (−2, 7], fiindcă 3 este inclus de al doilea interval și astfel „lipește” cele două bucăți.

A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}
(1, 4) ∪ (3, 7) = (1, 7)
  • Desenează ambele intervale pe aceeași axă: reuniunea este tot ce ai colorat.
  • Un capăt rămâne inclus în reuniune dacă este inclus măcar într-un interval.

Exemplu rezolvat

Calculează (−2, 3) ∪ [3, 7].

  1. 1.Primul interval ajunge până la 3, fără să îl includă; al doilea începe de la 3, incluzându-l.
  2. 2.Numărul 3 aparține reuniunii, deci cele două bucăți se unesc.
  3. 3.Rezultatul este (−2, 7].
2

Intersecția a două intervale

Intersecția A ∩ B conține doar numerele care aparțin în același timp ambelor intervale — practic, porțiunea comună.

Regula practică: iei capătul din stânga cel mai mare și capătul din dreapta cel mai mic. Pentru (1, 4) ∩ (3, 7) rezultă (3, 4).

Dacă intervalele nu se suprapun deloc, intersecția este mulțimea vidă: [0, 2] ∩ (3, 5) = ∅.

A ∩ B = {x | x ∈ A și x ∈ B}
[1, 5] ∩ [3, 8] = [3, 5]
[0, 2] ∩ (3, 5) = ∅
  • Un capăt este inclus în intersecție doar dacă este inclus în ambele intervale.
  • Intersecția este întotdeauna mai „mică” decât fiecare interval în parte.

Exemplu rezolvat

Pentru A = [−2, 4] și B = (1, 6), cât este A ∩ B?

  1. 1.Capătul din stânga cel mai mare este 1, exclus din B.
  2. 2.Capătul din dreapta cel mai mic este 4, inclus în A.
  3. 3.Deci A ∩ B = (1, 4].
3

Diferența și complementara

Diferența A \ B conține numerele din A care nu se află în B. Pentru A = (1, 7) și B = (4, 9), rezultă A \ B = (1, 4]: păstrezi din A doar partea care nu se suprapune cu B, iar 4 rămâne inclus, fiindcă B începe abia după el.

Complementara unui interval în ℝ se obține scoțând intervalul din toată dreapta reală: ℝ \ (−1, 4] = (−∞, −1] ∪ (4, +∞).

Regula pentru capete este simplă și la fel în ambele cazuri: ce era exclus devine inclus, și invers.

A \ B = {x ∈ A | x ∉ B}
ℝ \ (−1, 4] = (−∞, −1] ∪ (4, +∞)
  • La diferență, pornești întotdeauna de la primul interval.
  • Complementara unui interval mărginit se scrie din două bucăți.

Exemplu rezolvat

Calculează [2, 7) \ [4, 9).

  1. 1.Pornim de la [2, 7) și scoatem tot ce se află și în [4, 9).
  2. 2.Din al doilea interval, 4 este inclus, deci 4 dispare din rezultat.
  3. 3.Rămâne [2, 4).
4

Sisteme de inecuații

Când x trebuie să respecte mai multe condiții în același timp, rezolvi fiecare inecuație separat, scrii câte un interval pentru fiecare, apoi calculezi intersecția lor.

Exemplu: din x + 2 > 5 rezultă x > 3, iar din 2x − 3 < 11 rezultă x < 7. Soluția sistemului este intersecția: x ∈ (3, 7).

Cuvântul-cheie este „simultan”: condițiile legate prin „și” cer intersecție, iar cele legate prin „sau” cer reuniune.

x > 3 și x < 7 ⇒ x ∈ (3, 7)
soluția sistemului = intersecția intervalelor
  • Rezolvă fiecare inecuație până la capăt înainte de a intersecta.
  • Dacă intervalele nu se suprapun, sistemul nu are soluții.

Exemplu rezolvat

Rezolvă sistemul de inecuații 2x − 1 > 3 și x + 2 ≤ 9.

  1. 1.Prima inecuație: 2x > 4, deci x > 2, adică x ∈ (2, +∞).
  2. 2.A doua: x ≤ 7, adică x ∈ (−∞, 7].
  3. 3.Intersecția celor două intervale este (2, 7].
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Se dau intervalele A = (3, 7) și B = (5, 10). Calculează A ∪ B.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = (3, 10)

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Folosind datele de la exercițiul 1, calculează A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = (5, 7)

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Se dau intervalele A = (2, 4) și B = (7, 10). Calculează A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = ∅ (intervalele nu au puncte comune)

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Se dau intervalele A = [1, 6] și B = [4, 9]. Calculează A ∪ B.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = [1, 9]

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Ce înseamnă că reuniunea a două intervale rămâne scrisă ca reuniune separată (nu ca un singur interval)?

    Vezi răspunsul

    Intervalele nu se ating și nu se suprapun: între ele rămân numere care nu aparțin niciunuia.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Se dau intervalele A = (−2, 6) și B = (2, 9). Calculează A ∪ B și A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = (−2, 9); A ∩ B = (2, 6).

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Se dau intervalele A = [0, 12] și B = (5, 8). Calculează A ∩ B, apoi A \ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = (5, 8); A \ B = [0, 5] ∪ [8, 12].

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Rezolvă sistemul { x − 3 > 0, x + 4 < 11 }, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    x > 3 și x < 7: x ∈ (3, 7).

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Se dau intervalele A = (−∞, 6) și B = (3, +∞). Calculează A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = (3, 6)

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Se dau intervalele A = (−∞, 4] și B = [4, +∞). Calculează A ∩ B, apoi A ∪ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = {4}; A ∪ B = ℝ.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 2x + 3 ≤ 11, 3x − 1 > 8 }, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    x ≤ 4 și x > 3: x ∈ (3, 4].

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Se dau intervalele A = (−4, 3) și B = (3, 9). Calculează A ∩ B, apoi A ∪ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = ∅; A ∪ B = (−4, 3) ∪ (3, 9) (3 nu aparține niciunuia).

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { x + 7 ≥ 3, 2x − 4 < x + 6 }, apoi scrie soluția ca interval.

    Vezi răspunsul

    x ≥ −4 și x < 10: x ∈ [−4, 10).

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Se dau intervalele A = [2, 10] și B = [5, 7]. Calculează A \ B.

    Vezi răspunsul

    A \ B = [2, 5) ∪ (7, 10]

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Rezolvă sistemul { 3 × (x − 2) < 2x + 3, x + 4 ≥ 2 }, apoi scrie soluția finală ca interval.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 < 2x + 3 dă x < 9, iar x + 4 ≥ 2 dă x ≥ −2: x ∈ [−2, 9).

  16. Ex. 16Excelență

    Se dau trei intervale: A = (1, 6), B = (3, 9), C = (5, 12). Calculează A ∩ B ∩ C.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B ∩ C = (5, 6)

  17. Ex. 17Excelență

    Rezolvă sistemul de 3 inecuații { x + 2 > 0, 2x − 5 < 7, 3x + 1 ≤ 19 }, apoi scrie soluția finală ca interval.

    Vezi răspunsul

    x > −2, x < 6 și x ≤ 6: x ∈ (−2, 6).

  18. Ex. 18Excelență

    Se dau intervalele A = (−∞, 4) ∪ (8, +∞) și B = (2, 10). Determină, prin observație pe axă, mulțimea A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = (2, 4) ∪ (8, 10)

  19. Ex. 19Excelență

    Un elev trebuie să respecte simultan condițiile: vârsta x este mai mare de 12 ani, dar mai mică de 18 ani (interval deschis), ȘI vârsta este un număr par. Scrie mulțimea soluțiilor posibile, folosind intervalul obținut și restricția suplimentară.

    Vezi răspunsul

    Intervalul (12, 18), iar dintre numerele pare din el rămân 14 și 16.

  20. Ex. 20Excelență

    Se dau intervalele A = [a, b] și B = [c, d], cu a < c < b < d (intervalele se suprapun parțial). Explică, folosind un exemplu numeric concret, cum se calculează A ∩ B și A ∪ B în această situație generală.

    Vezi răspunsul

    De exemplu, A = [1, 5] și B = [3, 8]: A ∩ B = [3, 5] (de la c la b), iar A ∪ B = [1, 8] (de la a la d).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.