Încărcăm partea curentă…

Ecuații și inecuații

Ecuații cu fracții

Când ecuația are o fracție cu numitor numeric, scapi de ea înmulțind ambii membri cu numitorul.

Exemplu: din (x + 1) : 3 = 4 rezultă x + 1 = 12, deci x = 11.

Dacă la numărător este o expresie, păstreaz-o în paranteză atunci când înmulțești: (2x − 1) : 5 = 3 devine 2x − 1 = 15.

De ținut minte

x + 13 = 4 ⇒ x + 1 = 12
2x − 15 = 3 ⇒ 2x − 1 = 15
  • Înmulțește toată ecuația cu numitorul, nu doar un termen.
  • Verifică soluția în ecuația inițială, cu fracție cu tot.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (2x − 1) : 5 = 3.

  1. 1Înmulțim ambii membri cu 5: 2x − 1 = 15.
  2. 2Adunăm 1: 2x = 16.
  3. 3Împărțim la 2: x = 8.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Ecuații și inecuații: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Rezolvarea pornește de la condițiile de existență. Eliminăm numitorii numai după ce notăm valorile interzise, iar după ridicarea la pătrat verificăm soluțiile în ecuația inițială.

Ecuații cu fracții

Când ecuația are o fracție cu numitor numeric, scapi de ea înmulțind ambii membri cu numitorul.

Exemplu: din (x + 1) : 3 = 4 rezultă x + 1 = 12, deci x = 11.

Dacă la numărător este o expresie, păstreaz-o în paranteză atunci când înmulțești: (2x − 1) : 5 = 3 devine 2x − 1 = 15.

  • x + 13 = 4 ⇒ x + 1 = 12
  • 2x − 15 = 3 ⇒ 2x − 1 = 15
  • Înmulțește toată ecuația cu numitorul, nu doar un termen.
  • Verifică soluția în ecuația inițială, cu fracție cu tot.

Exemplu rezolvat

Rezolvă (2x − 1) : 5 = 3.

  1. Înmulțim ambii membri cu 5: 2x − 1 = 15.
  2. Adunăm 1: 2x = 16.
  3. Împărțim la 2: x = 8.

Condiții de existență

Dacă necunoscuta apare la numitor, trebuie stabilite mai întâi condițiile de existență: valorile care ar anula numitorul sunt interzise, fiindcă împărțirea la 0 nu se poate.

Pentru 3 : (x − 2) = 5, condiția este x ≠ 2. Rezolvi apoi normal: 3 = 5(x − 2), deci 5x = 13 și x = 2,6, valoare care respectă condiția.

Când ecuația are două fracții, folosești proporția: ab = cd înseamnă a × d = b × c, cu condițiile b ≠ 0 și d ≠ 0.

  • numitorul ≠ 0
  • ab = cd ⇒ ad = bc
  • 3x − 2 = 5, cu x ≠ 2
  • Scrie condițiile de existență înainte de a rezolva, nu după.
  • Dacă soluția găsită încalcă o condiție, ea se respinge.

Exemplu rezolvat

Rezolvă 3 : (x − 1) = 2 : (x + 1).

  1. Condiții de existență: x ≠ 1 și x ≠ −1.
  2. Înmulțim în cruce: 3(x + 1) = 2(x − 1), deci 3x + 3 = 2x − 2.
  3. Rezultă x = −5, care respectă condițiile.

Ecuații cu radicali

La o ecuație cu radical, izolezi radicalul, apoi ridici ambii membri la pătrat. Condițiile sunt două: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă, iar membrul din dreapta, care este egal cu un radical, nu poate fi negativ.

De aceea x − 3 = −2 nu are nicio soluție: un radical nu poate da un număr negativ.

Ridicarea la pătrat poate introduce soluții false, deci verificarea în ecuația inițială este obligatorie, nu opțională.

  • √A = b ⇒ A = b2, cu b ≥ 0
  • x + 4 = 3 ⇒ x + 4 = 9
  • Un radical este întotdeauna mai mare sau egal cu 0.
  • Verifică fiecare soluție: ridicarea la pătrat poate adăuga rădăcini străine.

Exemplu rezolvat

Rezolvă x + 1 = x − 1.

  1. Punem condițiile: x + 1 ≥ 0 și x − 1 ≥ 0, deci x ≥ 1.
  2. Ridicăm la pătrat: x + 1 = x2 − 2x + 1, deci x2 − 3x = 0 și x ∈ {0, 3}.
  3. Condiția x ≥ 1 elimină pe 0, deci soluția este x = 3.

Inecuații

Inecuațiile se rezolvă ca ecuațiile, cu o singură regulă în plus: la înmulțirea sau împărțirea cu un număr negativ, sensul inegalității se inversează.

Astfel, din −2x > 8 rezultă x < −4. Dacă inecuația are numitori pozitivi, îi înmulțești fără să schimbi sensul: (x − 2) : 3 ≤ 1 devine x − 2 ≤ 3, deci x ≤ 5.

Soluția se scrie de obicei ca interval.

  • −2x > 8 ⇒ x < −4
  • x − 23 ≤ 1 ⇒ x ≤ 5
  • Sensul se schimbă doar la înmulțirea sau împărțirea cu numere negative.
  • Verifică soluția cu o valoare din intervalul găsit.

Exemplu rezolvat

Rezolvă inecuația (x − 2) : 3 ≤ 1.

  1. Înmulțim ambii membri cu 3, număr pozitiv, deci sensul rămâne: x − 2 ≤ 3.
  2. Adunăm 2: x ≤ 5.
  3. Soluția este x ∈ (−∞, 5].

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Rezolvă x + 13 = 4.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 1 = 12, deci x = 11.

    Răspuns: 11

  2. Exercițiul 2

    Ce valoare este interzisă în expresia 2x − 5?

    Vezi rezolvarea
    1. x − 5 ≠ 0, deci x ≠ 5.

    Răspuns: 5

  3. Exercițiul 3

    Rezolvă x + 4 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 4 = 9, deci x = 5; verificarea dă √9 = 3.

    Răspuns: 5

  4. Exercițiul 4

    Care este soluția inecuației −2x > 8?

    Vezi rezolvarea
    1. Împărțirea la un număr negativ schimbă > în <: x < −4.

    Răspuns: x < −4

  5. Exercițiul 5

    Care este soluția ecuației x + 1 = x − 1?

    Vezi rezolvarea
    1. După pătrare apar 0 și 3, dar numai 3 verifică ecuația inițială.

    Răspuns: x = 3

  6. Exercițiul 6

    Rezolvă 2x − 15 = 3.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x − 1 = 15.
    2. 2x = 16.
    3. x = 8.

    Răspuns: 8

  7. Exercițiul 7

    Ce valoare este interzisă în expresia 32x + 6?

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 6 = 0.
    2. 2x = −6.
    3. x = −3 este interzis.

    Răspuns: −3

  8. Exercițiul 8

    Rezolvă 2x + 1 = 5.

    Vezi rezolvarea
    1. 2x + 1 = 25.
    2. 2x = 24, deci x = 12.
    3. Verificare: √25 = 5.

    Răspuns: 12

  9. Exercițiul 9

    Ecuația x − 3 = −2 are:

    Vezi rezolvarea
    1. √A ≥ 0 pentru orice A ≥ 0.
    2. −2 < 0.
    3. Ecuația nu are soluții (x = 7 dă √4 = 2, nu −2).

    Răspuns: nicio soluție

  10. Exercițiul 10

    Rezolvă inecuația x − 23 ≤ 1.

    Vezi rezolvarea
    1. x − 2 ≤ 3.
    2. x ≤ 3 + 2.
    3. x ≤ 5.

    Răspuns: x ≤ 5

  11. Exercițiul 11

    Rezolvă 3x − 1 = 2x + 1.

    Vezi rezolvarea
    1. 3(x + 1) = 2(x − 1).
    2. 3x + 3 = 2x − 2, deci x = −5.
    3. Numitorii devin −6 și −4, nenuli: x = −5 este soluție.

    Răspuns: −5

  12. Exercițiul 12

    Rezolvă x + 4 = x + 2.

    Vezi rezolvarea
    1. x + 4 = x2 + 4x + 4, deci x2 + 3x = 0, adică x(x + 3) = 0.
    2. Candidații sunt x = 0 și x = −3.
    3. Pentru x = −3: √1 = 1, dar x + 2 = −1, deci cade. Soluția este x = 0.

    Răspuns: 0

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Stabilește condiția de existență pentru ecuația 7x−5 = 2.

    Vezi răspunsul

    x ≠ 5 (numitorul nu poate fi 0).

  2. 2. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația (x − 3) × (x + 8) = 0.

    Vezi răspunsul

    x = 3 sau x = −8

  3. 3. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația x × (x + 6) = 0.

    Vezi răspunsul

    x = 0 sau x = −6

  4. 4. Dificultate redusă

    Stabilește condiția de existență pentru ecuația 3x+4 = 2x.

    Vezi răspunsul

    x ≠ −4 și x ≠ 0

  5. 5. Dificultate redusă

    Rezolvă ecuația (x − 2) × (x − 7) = 0.

    Vezi răspunsul

    x = 2 sau x = 7

  6. 6. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația 8x−2 = 4, stabilind CE.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≠ 2. 8 = 4(x − 2), deci x = 4.

  7. 7. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația x2 − 9x = 0, descompunând prin factor comun.

    Vezi răspunsul

    x(x − 9) = 0, deci x = 0 sau x = 9.

  8. 8. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația (3x − 6) × (x + 5) = 0.

    Vezi răspunsul

    3x − 6 = 0 sau x + 5 = 0, deci x = 2 sau x = −5.

  9. 9. Dificultate medie

    Rezolvă ecuația 4x+3 = 3x−2, stabilind CE.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≠ −3, x ≠ 2. 4(x − 2) = 3(x + 3), deci x = 17.

  10. 10. Dificultate medie

    Rezolvă inecuația (x − 6) × (x + 2) > 0, folosind metoda intervalelor.

    Vezi răspunsul

    Rădăcinile: −2 și 6. Produsul este pozitiv în afara lor: x ∈ (−∞, −2) ∪ (6, +∞).

  11. 11. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația 6x−4 − 3 = 2x−4, stabilind CE.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≠ 4. 4x − 4 = 3, deci x − 4 = 43 și x = 163.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația (x − 7) × (x + 3) ≤ 0, folosind metoda intervalelor.

    Vezi răspunsul

    Rădăcinile: −3 și 7. Produsul este negativ sau zero între ele: x ∈ [−3, 7].

  13. 13. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația x3 − 9x = 0, descompunând complet în factori.

    Vezi răspunsul

    x(x − 3)(x + 3) = 0, deci x ∈ {−3, 0, 3}.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Rezolvă ecuația 5x+2 = x−3x+2, stabilind CE.

    Vezi răspunsul

    CE: x ≠ −2. 5 = x − 3, deci x = 8.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Rezolvă inecuația (2x − 8) × (x + 5) < 0, folosind metoda intervalelor.

    Vezi răspunsul

    Rădăcinile: 4 și −5. Produsul este negativ între ele: x ∈ (−5, 4).

  16. 16. Excelență

    Rezolvă ecuația x+2x−1 − x−2x+1 = 4x2−1, stabilind CE și aducând la același numitor (x2−1 = (x−1)(x+1)).

    Vezi răspunsul

    CE: x ≠ ±1. (x + 2)(x + 1) − (x − 2)(x − 1) = 4, adică 6x = 4, deci x = 23 (respectă CE).

  17. 17. Excelență

    Rezolvă inecuația (x − 2) × (x − 5) × (x + 1) > 0, folosind metoda intervalelor cu 3 factori (4 intervale rezultate din cele 3 rădăcini).

    Vezi răspunsul

    Rădăcinile: −1, 2, 5. Produsul este pozitiv pe (−1, 2) și pe (5, +∞): x ∈ (−1, 2) ∪ (5, +∞).

  18. 18. Excelență

    Un rezervor se golește conform ecuației 60x − 60x+5 = 2, unde x reprezintă debitul inițial (litri/minut). Rezolvă ecuația (stabilind CE: x ≠ 0 și x ≠ −5), pentru a afla debitul x.

    Vezi răspunsul

    60(x + 5) − 60x = 2x(x + 5), deci x2 + 5x − 150 = 0, cu x = 10 sau x = −15. Debitul este pozitiv: x = 10 litri pe minut.

  19. 19. Excelență

    Rezolvă inecuația x−3x+2 > 0, analizând semnul numărătorului și numitorului separat pe intervalele determinate de rădăcinile lor (x=3 și x=−2), stabilind CE: x ≠ −2.

    Vezi răspunsul

    Fracția este pozitivă când numărătorul și numitorul au același semn: x ∈ (−∞, −2) ∪ (3, +∞).

  20. 20. Excelență

    Rezolvă ecuația x4 − 5x2 + 4 = 0, notând x2 = y și rezolvând mai întâi ecuația de gradul II în y (y2 − 5y + 4 = 0 are soluțiile y=1 și y=4), apoi determinând toate valorile lui x.

    Vezi răspunsul

    x2 = 1 sau x2 = 4, deci x ∈ {−2, −1, 1, 2}.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.