Unghiul înscris în cerc

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt coarde. El măsoară jumătate din arcul aflat între capetele laturilor sale.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Unghiul ABC este înscris și interceptează arcul AC colorat.

Ce este un unghi înscris

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt două coarde care pornesc din acel punct. Arcul cuprins între cele două laturi se numește arc interceptat.

Deosebirea față de unghiul la centru este poziția vârfului: la centru vârful este în O, iar la unghiul înscris vârful se află chiar pe cerc.

Primul lucru pe care îl verifici într-un desen este deci unde se află vârful — de el depinde ce formulă folosești.

unghi înscris: vârful pe cerc

unghi la centru: vârful în O

Laturile unui unghi înscris sunt coarde, nu raze.
Același arc poate fi interceptat și de un unghi la centru, și de unul înscris.

Exemplu rezolvat

Care afirmație descrie un unghi la centru, nu unul înscris?

1.Unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt coarde.
2.Unghiul la centru are vârful în centrul cercului, iar laturile sunt raze.
3.Deci afirmația „vârful este centrul cercului” descrie unghiul la centru.

Unghiul înscris și arcul interceptat

Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului interceptat: m(∢ABC) = m(arc AC) : 2.

De aici rezultă și relația inversă: arcul interceptat are măsura dublă față de unghiul înscris. Un unghi înscris de 37° interceptează un arc de 74°.

Fiindcă arcul are aceeași măsură ca unghiul la centru corespunzător, unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care interceptează același arc.

unghi înscris = arc : 2

arc = 2 × unghi înscris

unghi înscris = unghi la centru : 2

Jumătate este mereu pentru unghiul înscris, nu pentru arc.
Verifică rezultatul: arcul nu poate depăși 360°.

Exemplu rezolvat

Unghiul la centru AOC are 100°. Cât măsoară un unghi înscris ABC care interceptează același arc AC?

1.Arcul AC are aceeași măsură ca unghiul la centru, adică 100°.
2.Unghiul înscris este jumătate din arcul interceptat.
3.Deci m(∢ABC) = 100° : 2 = 50°.

Unghiuri care interceptează același arc

Dacă două unghiuri înscrise interceptează același arc, ele au aceeași măsură, oriunde s-ar afla vârfurile lor pe cerc. Motivul este simplu: amândouă sunt jumătate din același arc.

Un caz special foarte util: unghiul înscris care interceptează un semicerc are 90°. Cu alte cuvinte, orice unghi înscris care „se sprijină” pe un diametru este drept.

Această proprietate leagă cercul de triunghiul dreptunghic și apare des în probleme.

același arc ⇒ unghiuri înscrise egale

unghi înscris într-un semicerc = 90°

Poziția vârfului pe cerc nu schimbă măsura, atât timp cât arcul rămâne același.
Diametrul ca latură înseamnă unghi drept.

Exemplu rezolvat

Un unghi înscris măsoară 58°, iar un al doilea interceptează același arc. Cât măsoară al doilea?

1.Ambele unghiuri sunt jumătate din același arc interceptat.
2.Deci au aceeași măsură, indiferent unde se află vârfurile lor.
3.Al doilea unghi are tot 58°.

Patrulaterul înscris în cerc

Un patrulater este înscris în cerc dacă toate cele patru vârfuri se află pe cerc. În acest caz, unghiurile opuse sunt suplementare: suma lor este 180°.

Explicația vine din unghiul înscris: cele două unghiuri opuse interceptează împreună tot cercul, adică 360°, iar fiecare este jumătate din arcul său.

Deci, dacă un unghi al patrulaterului înscris are 108°, unghiul opus lui are 72°.

∢A + ∢C = 180°

∢B + ∢D = 180°

Regula se aplică unghiurilor opuse, nu celor alăturate.
Suma tuturor celor patru unghiuri rămâne 360°, ca la orice patrulater.

Exemplu rezolvat

Patrulaterul ABCD este înscris în cerc, iar ∢B = 95°. Cât măsoară ∢D?

1.Într-un patrulater înscris, unghiurile opuse sunt suplementare.
2.Unghiurile B și D sunt opuse, deci ∢B + ∢D = 180°.
3.Rezultă ∢D = 180° − 95° = 85°.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
În desen, unde se află vârful unghiului înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pe cerc; laturile unghiului sunt coarde ale cercului.
Ex. 2Dificultate redusă
Un arc interceptat măsoară 86°. Cât măsoară unghiul înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
86° : 2 = 43°
Ex. 3Dificultate redusă
Un unghi înscris măsoară 37°. Cât măsoară arcul interceptat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 37° = 74°
Ex. 4Dificultate redusă
Două unghiuri înscrise interceptează același arc. Ele sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Congruente (au aceeași măsură).
Ex. 5Dificultate redusă
Un unghi înscris interceptează un semicerc. Cât măsoară?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° : 2 = 90°
Ex. 6Dificultate medie
Într-un patrulater înscris, un unghi măsoară 108°. Cât măsoară unghiul opus?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 108° = 72° (unghiurile opuse ale unui patrulater înscris sunt suplementare)
Ex. 7Dificultate medie
Care afirmație descrie un unghi la centru, nu unul înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cea care spune că vârful unghiului este în centrul cercului; unghiul înscris are vârful pe cerc.
Ex. 8Dificultate medie
Un unghi înscris măsoară 58°, iar un al doilea interceptează același arc. Cât măsoară al doilea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
58° (unghiurile înscrise care interceptează același arc sunt congruente)
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În desen, unde se află vârful unghiului înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pe cerc: prin definiție, unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt coarde.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un arc interceptat măsoară 86°. Cât măsoară unghiul înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
43°: unghiul înscris are jumătate din măsura arcului interceptat, iar 86° : 2 = 43°.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un unghi înscris măsoară 37°. Cât măsoară arcul interceptat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
74°: arcul interceptat are dublul măsurii unghiului înscris, iar 2 × 37° = 74°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două unghiuri înscrise interceptează același arc. Ele sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Congruente: fiecare are jumătate din măsura aceluiași arc.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un unghi înscris interceptează un semicerc. Cât măsoară?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°: semicercul are 180°, iar unghiul înscris are jumătate din arcul interceptat.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Într-un patrulater înscris, un unghi măsoară 108°. Cât măsoară unghiul opus?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
72°: într-un patrulater înscris, unghiurile opuse sunt suplementare, deci 180° − 108°.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Care afirmație descrie un unghi la centru, nu unul înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cea care spune că vârful este în centrul cercului; la unghiul înscris vârful este pe cerc.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un unghi înscris măsoară 58°, iar un al doilea interceptează același arc. Cât măsoară al doilea?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
58°: unghiurile înscrise care interceptează același arc au aceeași măsură.
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În desen, unde se află vârful unghiului înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: unghiul înscris are vârful pe cerc, iar laturile sunt coarde. Deci vârful se află pe cerc.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Un arc interceptat măsoară 86°. Cât măsoară unghiul înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: unghiul înscris are jumătate din măsura arcului interceptat. Deci 86° : 2 = 43°.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Un unghi înscris măsoară 37°. Cât măsoară arcul interceptat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: arcul interceptat are dublul măsurii unghiului înscris. Deci 2 × 37° = 74°.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Două unghiuri înscrise interceptează același arc. Ele sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: fiecare unghi înscris are jumătate din arcul pe care îl interceptează. Același arc dă unghiuri congruente.