Încărcăm partea curentă…

Unghiul înscris în cerc

Ce este un unghi înscris

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt două coarde care pornesc din acel punct. Arcul cuprins între cele două laturi se numește arc interceptat.

Deosebirea față de unghiul la centru este poziția vârfului: la centru vârful este în O, iar la unghiul înscris vârful se află chiar pe cerc.

Primul lucru pe care îl verifici într-un desen este deci unde se află vârful — de el depinde ce formulă folosești.

De ținut minte

unghi înscris: vârful pe cerc
unghi la centru: vârful în O
  • Laturile unui unghi înscris sunt coarde, nu raze.
  • Același arc poate fi interceptat și de un unghi la centru, și de unul înscris.

Exemplu rezolvat · alte date

Unghiul POQ are vârful în centrul cercului. Este înscris sau la centru?

  1. 1Un unghi înscris are vârful pe cerc.
  2. 2O este centrul, nu un punct de pe cerc.
  3. 3POQ este unghi la centru.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Unghiul înscris în cerc: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt coarde. El măsoară jumătate din arcul aflat între capetele laturilor sale.

Ce este un unghi înscris

Un unghi înscris are vârful pe cerc, iar laturile lui sunt două coarde care pornesc din acel punct. Arcul cuprins între cele două laturi se numește arc interceptat.

Deosebirea față de unghiul la centru este poziția vârfului: la centru vârful este în O, iar la unghiul înscris vârful se află chiar pe cerc.

Primul lucru pe care îl verifici într-un desen este deci unde se află vârful — de el depinde ce formulă folosești.

  • unghi înscris: vârful pe cerc
  • unghi la centru: vârful în O
  • Laturile unui unghi înscris sunt coarde, nu raze.
  • Același arc poate fi interceptat și de un unghi la centru, și de unul înscris.

Exemplu rezolvat · alte date

Unghiul POQ are vârful în centrul cercului. Este înscris sau la centru?

  1. Un unghi înscris are vârful pe cerc.
  2. O este centrul, nu un punct de pe cerc.
  3. POQ este unghi la centru.

Unghiul înscris și arcul interceptat

Măsura unui unghi înscris este jumătate din măsura arcului interceptat: m(∢ABC) = m(arc AC) : 2.

De aici rezultă și relația inversă: arcul interceptat are măsura dublă față de unghiul înscris. Un unghi înscris de 37° interceptează un arc de 74°.

Fiindcă arcul are aceeași măsură ca unghiul la centru corespunzător, unghiul înscris este jumătate din unghiul la centru care interceptează același arc.

  • unghi înscris = arc : 2
  • arc = 2 × unghi înscris
  • unghi înscris = unghi la centru : 2
  • Jumătate este mereu pentru unghiul înscris, nu pentru arc.
  • Verifică rezultatul: arcul nu poate depăși 360°.

Exemplu rezolvat

Unghiul la centru AOC are 100°. Cât măsoară un unghi înscris ABC care interceptează același arc AC?

  1. Arcul AC are aceeași măsură ca unghiul la centru, adică 100°.
  2. Unghiul înscris este jumătate din arcul interceptat.
  3. Deci m(∢ABC) = 100° : 2 = 50°.

Unghiuri care interceptează același arc

Dacă două unghiuri înscrise interceptează același arc, ele au aceeași măsură, oriunde s-ar afla vârfurile lor pe cerc. Motivul este simplu: amândouă sunt jumătate din același arc.

Un caz special foarte util: unghiul înscris care interceptează un semicerc are 90°. Cu alte cuvinte, orice unghi înscris care „se sprijină” pe un diametru este drept.

Această proprietate leagă cercul de triunghiul dreptunghic și apare des în probleme.

  • același arc ⇒ unghiuri înscrise egale
  • unghi înscris într-un semicerc = 90°
  • Poziția vârfului pe cerc nu schimbă măsura, atât timp cât arcul rămâne același.
  • Diametrul ca latură înseamnă unghi drept.

Exemplu rezolvat · alte date

Două unghiuri înscrise interceptează același arc de 86°. Află măsura fiecăruia.

  1. Unghiul înscris este jumătate din arcul interceptat.
  2. 862 = 43.
  3. Ambele măsoară 43°, fiindcă interceptează același arc.

Patrulaterul înscris în cerc

Un patrulater este înscris în cerc dacă toate cele patru vârfuri se află pe cerc. În acest caz, unghiurile opuse sunt suplementare: suma lor este 180°.

Explicația vine din unghiul înscris: cele două unghiuri opuse interceptează împreună tot cercul, adică 360°, iar fiecare este jumătate din arcul său.

Deci, dacă un unghi al patrulaterului înscris are 108°, unghiul opus lui are 72°.

  • ∢A + ∢C = 180°
  • ∢B + ∢D = 180°
  • Regula se aplică unghiurilor opuse, nu celor alăturate.
  • Suma tuturor celor patru unghiuri rămâne 360°, ca la orice patrulater.

Exemplu rezolvat

Patrulaterul ABCD este înscris în cerc, iar ∢B = 95°. Cât măsoară ∢D?

  1. Într-un patrulater înscris, unghiurile opuse sunt suplementare.
  2. Unghiurile B și D sunt opuse, deci ∢B + ∢D = 180°.
  3. Rezultă ∢D = 180° − 95° = 85°.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În desen, unde se află vârful unghiului înscris?

    Vezi rezolvarea
    1. Vârful B este pe circumferință, condiția esențială pentru un unghi înscris.

    Răspuns: Pe cerc

  2. Exercițiul 2

    Un arc interceptat măsoară 86°. Cât măsoară unghiul înscris?

    Vezi rezolvarea
    1. 86° : 2 = 43°.

    Răspuns: 43°

  3. Exercițiul 3

    Un unghi înscris măsoară 37°. Cât măsoară arcul interceptat?

    Vezi rezolvarea
    1. m(arc) = 2 · 37° = 74°.

    Răspuns: 74°

  4. Exercițiul 4

    Două unghiuri înscrise interceptează același arc. Ele sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Jumătatea aceleiași măsuri este aceeași, deci unghiurile sunt egale.

    Răspuns: egale

  5. Exercițiul 5

    Un unghi înscris interceptează un semicerc. Cât măsoară?

    Vezi rezolvarea
    1. 180° : 2 = 90°.

    Răspuns: 90°

  6. Exercițiul 6

    Într-un patrulater înscris, un unghi măsoară 108°. Cât măsoară unghiul opus?

    Vezi rezolvarea
    1. 180° − 108° = 72°.

    Răspuns: 72°

  7. Exercițiul 7

    Care afirmație descrie un unghi la centru, nu unul înscris?

    Vezi rezolvarea
    1. Vârful în centru este caracteristica unghiului la centru.

    Răspuns: Vârful este centrul cercului

  8. Exercițiul 8

    Un unghi înscris măsoară 58°, iar un al doilea interceptează același arc. Cât măsoară al doilea?

    Vezi rezolvarea
    1. Ambele interceptează același arc, deci au aceeași măsură: 58°.

    Răspuns: 58°

  9. Exercițiul 9

    Un arc interceptat măsoară 140°. Cât măsoară unghiul înscris, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul înscris este jumătate din arc.
    2. 140 : 2 = 70.
    3. Unghiul are 70°.

    Răspuns: 70

  10. Exercițiul 10

    Un unghi înscris măsoară 25°. Cât măsoară arcul interceptat, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Arcul este dublul unghiului înscris.
    2. 25 · 2 = 50.
    3. Arcul are 50°.

    Răspuns: 50

  11. Exercițiul 11

    Unghiul la centru AOC are 100°. Cât măsoară un unghi înscris ABC care interceptează același arc AC, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. Arcul AC are 100°, cât unghiul la centru.
    2. Unghiul înscris este jumătate din arc.
    3. ∢ABC = 50°.

    Răspuns: 50

  12. Exercițiul 12

    Patrulaterul ABCD este înscris în cerc, iar ∢B = 95°. Cât măsoară ∢D, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. ∢B + ∢D = 180°.
    2. ∢D = 180° − 95°.
    3. ∢D = 85°.

    Răspuns: 85

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    În desen, unde se află vârful unghiului înscris?

    Vezi răspunsul

    Pe cerc; laturile unghiului sunt coarde ale cercului.

  2. 2. Dificultate redusă

    Un arc interceptat măsoară 86°. Cât măsoară unghiul înscris?

    Vezi răspunsul

    86° : 2 = 43°

  3. 3. Dificultate redusă

    Un unghi înscris măsoară 37°. Cât măsoară arcul interceptat?

    Vezi răspunsul

    2 × 37° = 74°

  4. 4. Dificultate redusă

    Două unghiuri înscrise interceptează același arc. Ele sunt...

    Vezi răspunsul

    Congruente (au aceeași măsură).

  5. 5. Dificultate redusă

    Un unghi înscris interceptează un semicerc. Cât măsoară?

    Vezi răspunsul

    180° : 2 = 90°

  6. 6. Dificultate medie

    Într-un patrulater înscris, un unghi măsoară 108°. Cât măsoară unghiul opus?

    Vezi răspunsul

    180° − 108° = 72° (unghiurile opuse ale unui patrulater înscris sunt suplementare)

  7. 7. Dificultate medie

    Care afirmație descrie un unghi la centru, nu unul înscris?

    Vezi răspunsul

    Cea care spune că vârful unghiului este în centrul cercului; unghiul înscris are vârful pe cerc.

  8. 8. Dificultate medie

    Un unghi înscris măsoară 58°, iar un al doilea interceptează același arc. Cât măsoară al doilea?

    Vezi răspunsul

    58° (unghiurile înscrise care interceptează același arc sunt congruente)

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.