Proprietățile coardelor și arcelor

Coarda este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Coarde egale corespund arcelor egale, iar perpendiculara dusă din centru pe o coardă o împarte în două segmente egale.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

OM ⟂ AB, deci AM = MB.

Perpendiculara din centru pe o coardă

O coardă este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade exact în mijlocul ei: dacă OM ⟂ AB, atunci M este mijlocul coardei [AB].

Reciproc, dreapta care trece prin centru și prin mijlocul unei coarde este perpendiculară pe ea. De aceea mediatoarea oricărei coarde trece sigur prin centrul cercului.

Proprietatea este folosită pentru a găsi centrul unui cerc: intersecția mediatoarelor a două coarde este chiar centrul.

OM ⟂ AB ⇒ AM = MB

mediatoarea unei coarde trece prin O

Perpendiculara din centru înjumătățește coarda.
Distanța de la centru la coardă se măsoară pe această perpendiculară.

Exemplu rezolvat

Ce dreaptă trece sigur prin centrul cercului?

1.Perpendiculara din centru pe o coardă cade în mijlocul coardei.
2.Deci dreapta perpendiculară pe coardă care trece prin mijlocul ei conține centrul.
3.Această dreaptă este chiar mediatoarea coardei.

Coarde egale și arce egale

În același cerc, la coarde egale corespund arce mici egale, iar la arce egale corespund coarde egale. Cele două mărimi merg împreună.

Tot în același cerc, două coarde aflate la aceeași distanță de centru sunt egale, iar două coarde egale sunt egal depărtate de centru.

Așadar, distanța față de centru determină complet lungimea coardei, și invers.

AB = CD ⇔ arc AB = arc CD

coarde egale ⇔ egal depărtate de centru

Legătura este valabilă în același cerc sau în cercuri cu raze egale.
Arcele egale se recunosc și după unghiurile la centru egale.

Exemplu rezolvat

În același cerc, arcele mici AB și CD măsoară fiecare 70°. Ce putem spune despre coarde?

1.Arcele au aceeași măsură, deci și unghiurile la centru corespunzătoare sunt egale.
2.Triunghiurile formate de raze și coarde sunt congruente, prin cazul LUL.
3.Prin urmare coardele sunt egale: AB = CD.

Distanța de la centru la o coardă

Raza, jumătatea coardei și distanța de la centru la coardă formează un triunghi dreptunghic. Raza este ipotenuza, iar celelalte două sunt catetele.

De aici rezultă relația r² = d² + (c : 2)², unde c este coarda, iar d distanța de la centru la ea.

Cu ea poți afla oricare dintre cele trei mărimi, dacă le cunoști pe celelalte două: coarda, distanța sau raza.

r² = d² + (c : 2)²

c = 2 × r² − d²

d = r² − (c : 2)²

Nu uita că teorema se aplică jumătății coardei, nu coardei întregi.
La final, înmulțește cu 2 dacă ți se cere coarda întreagă.

Exemplu rezolvat

Raza este 10 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 8 cm. Cât este coarda?

1.Jumătatea coardei este cateta: (c : 2)² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36.
2.Deci jumătatea coardei are 6 cm.
3.Coarda întreagă are 12 cm.

Cât de lungă poate fi o coardă

Dintre două coarde ale aceluiași cerc, este mai lungă cea aflată mai aproape de centru. Cu cât distanța crește, cu atât coarda se scurtează.

Cea mai lungă coardă posibilă este cea care trece chiar prin centru, adică diametrul: lungimea lui este 2r, iar distanța până la centru este 0.

cea mai lungă coardă = diametrul = 2r

d mai mic ⇒ coardă mai lungă

Diametrul este cazul limită al coardei, cu distanța 0 față de centru.
O coardă nu poate depăși niciodată diametrul.

Exemplu rezolvat

Care este lungimea celei mai lungi coarde dintr-un cerc de rază 7 cm?

1.Coarda cea mai lungă este cea care trece prin centru, adică diametrul.
2.Diametrul este de două ori raza: 2 × 7.
3.Deci lungimea maximă este 14 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Ce se întâmplă cu o coardă dacă perpendiculara din centru cade în M?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M este mijlocul coardei: perpendiculara din centru pe o coardă o împarte în două părți egale.
Ex. 2Dificultate redusă
În același cerc, coardele AB și CD sunt egale. Ce putem spune despre arcele mici AB și CD?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Sunt congruente (au aceeași măsură).
Ex. 3Dificultate redusă
Raza este 13 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 5 cm. Cât este jumătatea coardei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
13² − 5² = √144 = 12 cm
Ex. 4Dificultate redusă
În problema anterioară, cât este coarda întreagă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × 12 = 24 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Două coarde sunt la aceeași distanță de centrul aceluiași cerc. Ele sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Congruente (au aceeași lungime).
Ex. 6Dificultate medie
Dintre două coarde ale aceluiași cerc, care este mai lungă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cea aflată mai aproape de centru.
Ex. 7Dificultate medie
O coardă are 16 cm într-un cerc de rază 10 cm. Cât este distanța de la centru la coardă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Jumătatea coardei are 8 cm, deci distanța este 10² − 8² = √36 = 6 cm.
Ex. 8Dificultate medie
Ce dreaptă trece sigur prin centrul cercului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mediatoarea oricărei coarde.
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce se întâmplă cu o coardă dacă perpendiculara din centru cade în M?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
M este mijlocul coardei: triunghiul format de centru și capetele coardei este isoscel (două laturi sunt raze), iar înălțimea din vârf este și mediană.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În același cerc, coardele AB și CD sunt egale. Ce putem spune despre arcele mici AB și CD?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Arcele mici AB și CD sunt congruente: triunghiurile OAB și OCD sunt congruente (LLL, cu laturi raze și coarde egale), deci unghiurile la centru și arcele sunt egale.
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Raza este 13 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 5 cm. Cât este jumătatea coardei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 cm: perpendiculara din centru înjumătățește coarda. Raza (13), distanța (5) și jumătatea coardei formează un triunghi dreptunghic, deci jumătatea este 169 − 25 = 12.
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În problema anterioară, cât este coarda întreagă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 cm: coarda este dublul jumătății, 2 × 12.
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Două coarde sunt la aceeași distanță de centrul aceluiași cerc. Ele sunt...
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Congruente: jumătățile lor sunt catete în triunghiuri dreptunghice cu aceeași ipotenuză (raza) și aceeași cealaltă catetă (distanța), deci sunt egale.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dintre două coarde ale aceluiași cerc, care este mai lungă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cea aflată mai aproape de centru: jumătatea coardei este r² − d², deci cu cât distanța d este mai mică, cu atât coarda este mai lungă.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: O coardă are 16 cm într-un cerc de rază 10 cm. Cât este distanța de la centru la coardă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 cm: jumătatea coardei are 8 cm, iar în triunghiul dreptunghic cu ipotenuza raza, distanța este 100 − 64.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce dreaptă trece sigur prin centrul cercului?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Mediatoarea oricărei coarde: centrul este egal depărtat de capetele coardei (ambele sunt raze), deci se află pe mediatoarea ei.
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Ce se întâmplă cu o coardă dacă perpendiculara din centru cade în M?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: perpendiculara din centru pe o coardă trece prin mijlocul coardei. Deci M este mijlocul coardei.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În același cerc, coardele AB și CD sunt egale. Ce putem spune despre arcele mici AB și CD?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: în același cerc, coardele congruente subîntind arce congruente. Deci arcele mici AB și CD sunt congruente.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Raza este 13 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 5 cm. Cât este jumătatea coardei?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: raza, distanța de la centru la coardă și jumătatea coardei formează un triunghi dreptunghic. Jumătatea coardei: 13² − 5² = 12 cm.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: În problema anterioară, cât este coarda întreagă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: perpendiculara din centru înjumătățește coarda. Coarda întreagă: 2 × 12 = 24 cm.