Încărcăm partea curentă…

Proprietățile coardelor și arcelor

Perpendiculara din centru pe o coardă

O coardă este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade exact în mijlocul ei: dacă OM ⟂ AB, atunci M este mijlocul coardei [AB].

Reciproc, dreapta care trece prin centru și prin mijlocul unei coarde este perpendiculară pe ea. De aceea mediatoarea oricărei coarde trece sigur prin centrul cercului.

Proprietatea este folosită pentru a găsi centrul unui cerc: intersecția mediatoarelor a două coarde este chiar centrul.

De ținut minte

OM ⟂ AB ⇒ AM = MB
mediatoarea unei coarde trece prin O
  • Perpendiculara din centru înjumătățește coarda.
  • Distanța de la centru la coardă se măsoară pe această perpendiculară.

Exemplu rezolvat · alte date

M este mijlocul unei coarde PQ. Ce relație are OM cu PQ, dacă O este centrul?

  1. 1OP = OQ, fiind raze ale aceluiași cerc.
  2. 2OM este mediana din vârful triunghiului isoscel OPQ.
  3. 3Ea este și înălțime, deci OM ⟂ PQ.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Proprietățile coardelor și arcelor: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Coarda este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Coarde egale corespund arcelor egale, iar perpendiculara dusă din centru pe o coardă o împarte în două segmente egale.

Perpendiculara din centru pe o coardă

O coardă este segmentul care unește două puncte de pe cerc. Perpendiculara dusă din centru pe o coardă cade exact în mijlocul ei: dacă OM ⟂ AB, atunci M este mijlocul coardei [AB].

Reciproc, dreapta care trece prin centru și prin mijlocul unei coarde este perpendiculară pe ea. De aceea mediatoarea oricărei coarde trece sigur prin centrul cercului.

Proprietatea este folosită pentru a găsi centrul unui cerc: intersecția mediatoarelor a două coarde este chiar centrul.

  • OM ⟂ AB ⇒ AM = MB
  • mediatoarea unei coarde trece prin O
  • Perpendiculara din centru înjumătățește coarda.
  • Distanța de la centru la coardă se măsoară pe această perpendiculară.

Exemplu rezolvat · alte date

M este mijlocul unei coarde PQ. Ce relație are OM cu PQ, dacă O este centrul?

  1. OP = OQ, fiind raze ale aceluiași cerc.
  2. OM este mediana din vârful triunghiului isoscel OPQ.
  3. Ea este și înălțime, deci OM ⟂ PQ.

Coarde egale și arce egale

În același cerc, la coarde egale corespund arce mici egale, iar la arce egale corespund coarde egale. Cele două mărimi merg împreună.

Tot în același cerc, două coarde aflate la aceeași distanță de centru sunt egale, iar două coarde egale sunt egal depărtate de centru.

Așadar, distanța față de centru determină complet lungimea coardei, și invers.

  • AB = CD ⇔ arc AB = arc CD
  • coarde egale ⇔ egal depărtate de centru
  • Legătura este valabilă în același cerc sau în cercuri cu raze egale.
  • Arcele egale se recunosc și după unghiurile la centru egale.

Exemplu rezolvat · alte date

Într-un cerc, coardele PQ și RS au ambele 7 cm. Compară arcele mici PQ și RS.

  1. Coardele sunt în același cerc și au lungimi egale.
  2. Coardelor egale le corespund unghiuri la centru egale.
  3. Arcele mici corespunzătoare au măsuri egale.

Distanța de la centru la o coardă

Raza, jumătatea coardei și distanța de la centru la coardă formează un triunghi dreptunghic. Raza este ipotenuza, iar celelalte două sunt catetele.

De aici rezultă relația r2 = d2 + (c : 2)2, unde c este coarda, iar d distanța de la centru la ea.

Cu ea poți afla oricare dintre cele trei mărimi, dacă le cunoști pe celelalte două: coarda, distanța sau raza.

  • r2 = d2 + (c : 2)2
  • c = 2 × r2 − d2
  • d = r2 − (c : 2)2
  • Nu uita că teorema se aplică jumătății coardei, nu coardei întregi.
  • La final, înmulțește cu 2 dacă ți se cere coarda întreagă.

Exemplu rezolvat

Raza este 10 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 8 cm. Cât este coarda?

  1. Jumătatea coardei este cateta: (c : 2)2 = 102 − 82 = 100 − 64 = 36.
  2. Deci jumătatea coardei are 6 cm.
  3. Coarda întreagă are 12 cm.

Cât de lungă poate fi o coardă

Dintre două coarde ale aceluiași cerc, este mai lungă cea aflată mai aproape de centru. Cu cât distanța crește, cu atât coarda se scurtează.

Cea mai lungă coardă posibilă este cea care trece chiar prin centru, adică diametrul: lungimea lui este 2r, iar distanța până la centru este 0.

  • cea mai lungă coardă = diametrul = 2r
  • d mai mic ⇒ coardă mai lungă
  • Diametrul este cazul limită al coardei, cu distanța 0 față de centru.
  • O coardă nu poate depăși niciodată diametrul.

Exemplu rezolvat

Care este lungimea celei mai lungi coarde dintr-un cerc de rază 7 cm?

  1. Coarda cea mai lungă este cea care trece prin centru, adică diametrul.
  2. Diametrul este de două ori raza: 2 × 7.
  3. Deci lungimea maximă este 14 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Ce se întâmplă cu o coardă dacă perpendiculara din centru cade în M?

    Vezi rezolvarea
    1. Perpendiculara din centru pe o coardă o înjumătățește.

    Răspuns: M este mijlocul coardei

  2. Exercițiul 2

    În același cerc, coardele AB și CD sunt egale. Ce putem spune despre arcele mici AB și CD?

    Vezi rezolvarea
    1. În același cerc, egalitatea coardelor este echivalentă cu egalitatea arcelor mici.

    Răspuns: Sunt egale

  3. Exercițiul 3

    Raza este 13 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 5 cm. Cât este jumătatea coardei?

    Vezi rezolvarea
    1. AM = 169 − 25 = √144 = 12 cm.

    Răspuns: 12

  4. Exercițiul 4

    În problema anterioară, cât este coarda întreagă?

    Vezi rezolvarea
    1. AB = 2 · 12 = 24 cm.

    Răspuns: 24

  5. Exercițiul 5

    Două coarde sunt la aceeași distanță de centrul aceluiași cerc. Ele sunt...

    Vezi rezolvarea
    1. Distanțe egale față de centru înseamnă coarde egale.

    Răspuns: egale

  6. Exercițiul 6

    Dintre două coarde ale aceluiași cerc, care este mai lungă?

    Vezi rezolvarea
    1. Coarda mai apropiată de centru are jumătatea mai mare și, deci, este mai lungă.

    Răspuns: Cea mai apropiată de centru

  7. Exercițiul 7

    O coardă are 16 cm într-un cerc de rază 10 cm. Cât este distanța de la centru la coardă?

    Vezi rezolvarea
    1. OM2 = 102 − 82 = 36, deci OM = 6 cm.

    Răspuns: 6

  8. Exercițiul 8

    Ce dreaptă trece sigur prin centrul cercului?

    Vezi rezolvarea
    1. Mediatoarea unei coarde este perpendiculară pe coardă în mijlocul ei și trece prin centru.

    Răspuns: Mediatoarea unei coarde

  9. Exercițiul 9

    Raza este 10 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 8 cm. Cât este coarda, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. AM2 = R2 − OM2 = 100 − 64 = 36, deci AM = 6 cm.
    2. Perpendiculara din centru înjumătățește coarda.
    3. AB = 2 · 6 = 12 cm.

    Răspuns: 12

  10. Exercițiul 10

    O coardă are 24 cm, iar distanța de la centru la ea este 5 cm. Cât este raza, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. Jumătatea coardei este 12 cm.
    2. R2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169.
    3. R = 13 cm.

    Răspuns: 13

  11. Exercițiul 11

    În același cerc, arcele mici AB și CD măsoară fiecare 70°. Ce putem spune despre coarde?

    Vezi rezolvarea
    1. Arcele mici sunt egale.
    2. În același cerc, arcele egale au coarde egale.
    3. AB = CD.

    Răspuns: AB = CD

  12. Exercițiul 12

    Care este lungimea celei mai lungi coarde dintr-un cerc de rază 7 cm, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. Coarda care trece prin centru este diametrul.
    2. d = 2r.
    3. d = 14 cm.

    Răspuns: 14

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    Ce se întâmplă cu o coardă dacă perpendiculara din centru cade în M?

    Vezi răspunsul

    M este mijlocul coardei: perpendiculara din centru pe o coardă o împarte în două părți egale.

  2. 2. Dificultate redusă

    În același cerc, coardele AB și CD sunt egale. Ce putem spune despre arcele mici AB și CD?

    Vezi răspunsul

    Sunt congruente (au aceeași măsură).

  3. 3. Dificultate redusă

    Raza este 13 cm, iar distanța de la centru la o coardă este 5 cm. Cât este jumătatea coardei?

    Vezi răspunsul

    132 − 52 = √144 = 12 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    În problema anterioară, cât este coarda întreagă?

    Vezi răspunsul

    2 × 12 = 24 cm

  5. 5. Dificultate redusă

    Două coarde sunt la aceeași distanță de centrul aceluiași cerc. Ele sunt...

    Vezi răspunsul

    Congruente (au aceeași lungime).

  6. 6. Dificultate medie

    Dintre două coarde ale aceluiași cerc, care este mai lungă?

    Vezi răspunsul

    Cea aflată mai aproape de centru.

  7. 7. Dificultate medie

    O coardă are 16 cm într-un cerc de rază 10 cm. Cât este distanța de la centru la coardă?

    Vezi răspunsul

    Jumătatea coardei are 8 cm, deci distanța este 102 − 82 = √36 = 6 cm.

  8. 8. Dificultate medie

    Ce dreaptă trece sigur prin centrul cercului?

    Vezi răspunsul

    Mediatoarea oricărei coarde.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.