Clasa a VII-aGimnaziu⏱ 20–24 min

○

Încărcăm partea curentă…

Cercul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Poziția unei drepte față de cerc

O dreaptă din planul unui cerc poate avea trei poziții, după cum se compară distanța de la centru la dreaptă cu raza.

Dacă distanța este mai mică decât raza, dreapta este secantă și taie cercul în două puncte. Dacă distanța este egală cu raza, dreapta este tangentă și atinge cercul într-un singur punct. Dacă distanța este mai mare decât raza, dreapta este exterioară și nu atinge cercul.

Deci primul lucru de făcut într-o astfel de problemă este compararea distanței cu raza.

De ținut minte

d < r: secantă (2 puncte)

d = r: tangentă (1 punct)

d > r: exterioară (0 puncte)

Distanța de la centru la dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
Numărul punctelor comune spune direct despre ce poziție este vorba.

Exemplu rezolvat

O dreaptă se află la 7 cm de centrul unui cerc de rază 5 cm. Ce poziție are?

1Comparăm distanța cu raza: 7 > 5.
2Distanța fiind mai mare decât raza, dreapta nu ajunge la cerc.
3Deci dreapta este exterioară cercului.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Cercul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Poziția unei drepte față de cerc depinde de distanța ei față de centru. Tangenta este perpendiculară pe raza dusă la punctul de tangență, iar arcele și sectoarele ocupă o fracțiune din cerc determinată de unghiul la centru.

Poziția unei drepte față de cerc

O dreaptă din planul unui cerc poate avea trei poziții, după cum se compară distanța de la centru la dreaptă cu raza.

Deci primul lucru de făcut într-o astfel de problemă este compararea distanței cu raza.

d < r: secantă (2 puncte)
d = r: tangentă (1 punct)
d > r: exterioară (0 puncte)

Distanța de la centru la dreaptă se măsoară pe perpendiculară.
Numărul punctelor comune spune direct despre ce poziție este vorba.

Exemplu rezolvat

O dreaptă se află la 7 cm de centrul unui cerc de rază 5 cm. Ce poziție are?

Comparăm distanța cu raza: 7 > 5.
Distanța fiind mai mare decât raza, dreapta nu ajunge la cerc.
Deci dreapta este exterioară cercului.

Tangenta la cerc

Tangenta la un cerc este perpendiculară pe raza dusă în punctul de tangență: dacă t este tangentă în A, atunci OA ⟂ t.

Din această perpendicularitate se formează un triunghi dreptunghic cu raza, tangenta și distanța de la punctul exterior la centru. Deci AT² = AO² − r², prin teorema lui Pitagora.

Dintr-un punct exterior se pot duce două tangente la cerc, iar ele au lungimi egale.

OA ⟂ tangenta în A
AT² = AO² − r²
AT₁ = AT₂

Raza dusă în punctul de tangență formează întotdeauna un unghi drept.
Distanța AO este ipotenuza, deci este mai mare decât tangenta și decât raza.

Exemplu rezolvat

AO = 13 cm, iar raza cercului este 5 cm. Calculează lungimea tangentei AT.

Triunghiul AOT este dreptunghic în T, fiindcă raza este perpendiculară pe tangentă.
Aplicăm teorema lui Pitagora: AT² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144.
Rezultă AT = 12 cm.

Lungimea unui arc de cerc

Un arc corespunzător unui unghi la centru de n grade reprezintă fracția n360 din cerc, deci lungimea lui este L = (n × 2πr) : 360.

Exemplu: într-un cerc de rază 6 cm, arcul de 90° are lungimea (90 : 360) × 2π × 6 = 3π ≈ 9,42 cm.

Simplifică întotdeauna fracția n360 înainte de înmulțire: 90360 = 14, 180360 = 12, 60360 = 16.

L arc = (n : 360) × 2πr
arcul de 180° = jumătate din cerc

Măsura arcului este în grade, lungimea lui în centimetri.
Un arc de 360° este chiar lungimea întregului cerc.

Exemplu rezolvat · alte date

Află lungimea arcului de 120° dintr-un cerc de rază 9 cm.

Cercul întreg are lungimea 2π·9 = 18π.
Arcul reprezintă 120360 = 13 din cerc.
Lungimea este 6π cm.

Aria unui sector de cerc

Sectorul de cerc este porțiunea de disc cuprinsă între două raze și arcul dintre ele. Aria lui reprezintă aceeași fracție din aria discului: A = (n : 360) × πr².

Exemplu: într-un cerc de rază 8 cm, sectorul de 90° are aria (14) × 3,14 × 64 = 50,24 cm².

Formula este „sora” celei pentru lungimea arcului: aceeași fracție, aplicată de data aceasta ariei, nu circumferinței.

A sector = (n : 360) × πr²
sector de 90° = un sfert de disc

Aria sectorului se exprimă în cm², lungimea arcului în cm.
Verifică ce se cere: arcul este o linie, sectorul este o suprafață.

Exemplu rezolvat · alte date

Află aria sectorului de 90° dintr-un disc de rază 8 cm.

Aria discului este π·8² = 64π.
Sectorul reprezintă 90360 = 14 din disc.
Aria sectorului este 16π cm².

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Câte puncte comune are o secantă cu cercul?
Vezi rezolvarea
1. O tangentă atinge cercul într-un punct și este perpendiculară pe raza dusă acolo; o secantă îl taie în două puncte.
2. Denumirea de secantă cere două intersecții distincte, spre deosebire de tangentă.
3. O secantă intersectează cercul în două puncte.
Răspuns: 2
Exercițiul 2
Cum este tangenta față de raza dusă în punctul de tangență?
Vezi rezolvarea
1. O tangentă atinge cercul într-un punct și este perpendiculară pe raza dusă acolo; o secantă îl taie în două puncte.
2. Aplicăm proprietatea de perpendicularitate exact în punctul comun cu cercul.
3. Raza este perpendiculară pe tangentă în punctul de tangență.
Răspuns: Perpendiculară
Exercițiul 3
Calculează lungimea arcului de 180° într-un cerc de rază 4 cm, cu π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. O tangentă atinge cercul într-un punct și este perpendiculară pe raza dusă acolo; o secantă îl taie în două puncte.
2. Arcul de 180° reprezintă jumătate din cerc: folosim 180360 din lungimea totală.
3. Larc = 180360 · 2 · 3,14 · 4 = 12,56 cm.
Răspuns: 12,56
Exercițiul 4
Calculează aria sectorului de 90° într-un cerc de rază 8 cm, cu π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. O tangentă atinge cercul într-un punct și este perpendiculară pe raza dusă acolo; o secantă îl taie în două puncte.
2. Sectorul de 90° reprezintă un sfert din disc: folosim 90360 din aria totală.
3. A = 90360 · 3,14 · 8² = 50,24 cm².
Răspuns: 50,24
Exercițiul 5
AO = 10 cm și raza cercului este 6 cm. Calculează tangenta AT.
Vezi rezolvarea
1. O tangentă atinge cercul într-un punct și este perpendiculară pe raza dusă acolo; o secantă îl taie în două puncte.
2. Raza OT este perpendiculară pe AT, deci în triunghiul AOT aplicăm Pitagora cu ipotenuza AO.
3. AT² = 100 − 36 = 64, deci AT = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 6
Câte puncte comune are o tangentă cu cercul?
Vezi rezolvarea
1. Secanta are 2 puncte comune cu cercul.
2. Dreapta exterioară nu are niciunul.
3. Tangenta are exact 1 punct comun.
Răspuns: 1
Exercițiul 7
O dreaptă se află la 7 cm de centrul unui cerc de rază 5 cm. Dreapta este:
Vezi rezolvarea
1. Dacă distanța este egală cu raza, dreapta e tangentă.
2. Dacă e mai mică, dreapta e secantă.
3. 7 > 5, deci dreapta este exterioară.
Răspuns: exterioară cercului
Exercițiul 8
Din punctul A se duc tangentele AT₁ și AT₂ la un cerc. Dacă AT₁ = 9 cm, cât este AT₂, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. AT₁ și AT₂ pleacă din același punct A.
2. Ele au lungimi egale.
3. AT₂ = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 9
AO = 13 cm, iar raza cercului este 5 cm. Calculează lungimea tangentei AT, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. AT² = AO² − r² = 169 − 25 = 144.
2. AT = √144.
3. AT = 12 cm.
Răspuns: 12
Exercițiul 10
Tangenta dintr-un punct A are 15 cm, iar raza cercului 8 cm. Calculează distanța AO, în centimetri.
Vezi rezolvarea
1. AO² = AT² + r² = 225 + 64 = 289.
2. AO = √289.
3. AO = 17 cm.
Răspuns: 17
Exercițiul 11
Calculează lungimea arcului de 90° dintr-un cerc de rază 10 cm, cu π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Lungimea cercului: 2 · 3,14 · 10 = 62,8 cm.
2. 90°360° = 14.
3. 62,8 : 4 = 15,7 cm.
Răspuns: 15,7
Exercițiul 12
Calculează aria sectorului de 60° dintr-un cerc de rază 6 cm, cu π ≈ 3,14.
Vezi rezolvarea
1. Aria discului: 3,14 · 36 = 113,04 cm².
2. 60°360° = 16.
3. 113,04 : 6 = 18,84 cm².
Răspuns: 18,84

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Ce înseamnă că o dreaptă este secantă unui cerc?
Vezi răspunsul
Dreapta taie cercul în două puncte: distanța de la centru la dreaptă este mai mică decât raza.
2. Dificultate redusă
Ce înseamnă că o dreaptă este exterioară unui cerc?
Vezi răspunsul
Dreapta nu are niciun punct comun cu cercul: distanța de la centru la dreaptă este mai mare decât raza.
3. Dificultate redusă
Calculează lungimea unui arc corespunzător unui unghi de 90°, într-un cerc cu raza 8 cm.
Vezi răspunsul
L = 2π × 8 × 90 : 360 = 4π ≈ 12,56 cm
4. Dificultate redusă
Calculează aria unui sector corespunzător unui unghi de 180°, într-un cerc cu raza 6 cm.
Vezi răspunsul
A = π × 36 × 180 : 360 = 18π ≈ 56,52 cm²
5. Dificultate redusă
Ce este un arc de cerc?
Vezi răspunsul
Porțiunea din cerc cuprinsă între două puncte ale lui.
6. Dificultate medie
Calculează lungimea unui arc corespunzător unui unghi de 45°, într-un cerc cu raza 16 cm.
Vezi răspunsul
L = 2π × 16 × 45 : 360 = 4π ≈ 12,56 cm
7. Dificultate medie
Calculează aria unui sector corespunzător unui unghi de 60°, într-un cerc cu raza 15 cm.
Vezi răspunsul
A = π × 225 × 60 : 360 = 37,5π ≈ 117,75 cm²
8. Dificultate medie
Dintr-un punct exterior A, la distanța de 17 cm de centrul O al unui cerc cu raza 8 cm, se duce o tangentă AT. Calculează lungimea AT.
Vezi răspunsul
Tangenta este perpendiculară pe rază: AT = 17² − 8² = √225 = 15 cm.
9. Dificultate medie
O dreaptă se află la distanța de 9 cm de centrul unui cerc cu raza 6 cm. Ce poziție are dreapta față de cerc? Justifică.
Vezi răspunsul
Exterioară: distanța, 9 cm, este mai mare decât raza, 6 cm.
10. Dificultate medie
O dreaptă se află la distanța de 4 cm de centrul unui cerc cu raza 7 cm. Ce poziție are dreapta față de cerc? Justifică.
Vezi răspunsul
Secantă: distanța, 4 cm, este mai mică decât raza, 7 cm.
11. Dificultate ridicată
Dintr-un punct exterior, la distanța de 17 cm de centrul unui cerc cu raza 8 cm, se duc două tangente la cerc. Calculează lungimea fiecărei tangente.
Vezi răspunsul
Fiecare are 17² − 8² = 15 cm (tangentele dintr-un punct exterior sunt egale).
12. Dificultate ridicată
Un sector de cerc are aria de 50,24 cm², iar unghiul la centru este 90°. Calculează raza cercului.
Vezi răspunsul
πr² : 4 = 50,24, deci r² = 64 și r = 8 cm.
13. Dificultate ridicată
Un arc de cerc are lungimea de 18,84 cm, iar unghiul la centru corespunzător este 180°. Calculează raza cercului.
Vezi răspunsul
Arcul de 180° este jumătate de cerc: πr = 18,84, deci r = 6 cm.
14. Dificultate ridicată
Se dă un cerc cu raza 12 cm. Calculează, cu π ≈ 3,14, aria sectorului corespunzător unui unghi de 45°, apoi calculează ce fracțiune din aria întregului disc reprezintă acest sector.
Vezi răspunsul
A = 3,14 × 144 × 45 : 360 = 56,52 cm²; sectorul este 45360 = 18 din disc.
15. Dificultate ridicată
Dintr-un punct exterior A, se duc două tangente la un cerc cu raza 12 cm, punctele de tangență fiind T1 și T2. Se știe că AT1 = AT2 = 16 cm. Calculează distanța de la punctul A până la centrul cercului.
Vezi răspunsul
AO = 12² + 16² = √400 = 20 cm
16. Excelență
Un cerc cu raza 10 cm are un sector cu aria de 130,83 cm² (aproximativ o treime din cerc, dacă π ≈ 3,14). Calculează măsura unghiului la centru corespunzător acestui sector, folosind formula ariei rearanjată.
Vezi răspunsul
3,14 × 100 × n : 360 = 130,83, deci n ≈ 150°.
17. Excelență
Două cercuri concentrice au razele de 6 cm și 10 cm. O dreaptă tangentă la cercul mic intersectează cercul mare în două puncte. Calculează lungimea coardei obținute pe cercul mare, folosind teorema lui Pitagora (indiciu: distanța de la centru la coardă este exact raza cercului mic, iar jumătatea coardei este o catetă).
Vezi răspunsul
Jumătatea coardei: 10² − 6² = √64 = 8 cm; coarda are 16 cm.
18. Excelență
Un triunghi echilateral cu latura de 12 cm este înscris într-un cerc. Calculează raza cercului circumscris, știind că, pentru un triunghi echilateral, raza cercului circumscris este egală cu latura împărțită la √3 (aproximează folosind √3 ≈ 1,73).
Vezi răspunsul
R = 12√3 = 4√3 ≈ 6,93 cm
19. Excelență
Un sector de cerc cu unghiul la centru de 72° are aria de 62,8 cm² (π ≈ 3,14). Calculează raza cercului, folosind formula ariei sectorului rearanjată, apoi calculează lungimea arcului corespunzător aceluiași unghi.
Vezi răspunsul
πr² × 72 : 360 = 62,8, deci πr² = 314 și r = 10 cm. Arcul: 2π × 10 : 5 = 4π ≈ 12,56 cm.
20. Excelență
Dintr-un punct A exterior unui cerc cu raza 9 cm, distanța până la centrul O este 15 cm. Se duce tangenta AT. Calculează aria triunghiului OTA (dreptunghic în T), folosind lungimile OT și AT (AT calculat cu teorema lui Pitagora).
Vezi răspunsul
AT = 15² − 9² = √144 = 12 cm; aria lui OTA = 9 × 12 : 2 = 54 cm².