Încărcăm partea curentă…

Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Catetă opusă și catetă alăturată

Într-un triunghi dreptunghic, față de un unghi ascuțit α, cele două catete primesc nume diferite: cateta opusă este cea din fața unghiului, iar cateta alăturată este cea care formează unghiul, împreună cu ipotenuza.

Dacă unghiul drept este în C și α este unghiul din B, atunci cateta opusă lui α este [AC], iar cateta alăturată este [BC]. Ipotenuza rămâne întotdeauna [AB], latura din fața unghiului drept.

Aceleași catete își schimbă rolurile dacă privești celălalt unghi ascuțit — de aceea prima grijă este să stabilești față de ce unghi lucrezi.

De ținut minte

opusă = cateta din fața unghiului
alăturată = cateta care formează unghiul
ipotenuza = latura opusă unghiului drept
  • Ipotenuza nu este niciodată catetă alăturată, deși atinge unghiul.
  • Schimbând unghiul ascuțit, cateta opusă devine alăturată și invers.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă unui unghi α este 6 cm, iar cea alăturată 8 cm. Cât este tg α?

  1. 1Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată.
  2. 2Înlocuim: tg α = 68.
  3. 3Simplificăm: tg α = 34.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Trigonometrie în triunghiul dreptunghic: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Rapoartele trigonometrice compară laturile unui triunghi dreptunghic față de un unghi ascuțit. Mai întâi identificăm ipotenuza, cateta opusă și cateta alăturată; abia apoi alegem formula.

Catetă opusă și catetă alăturată

Într-un triunghi dreptunghic, față de un unghi ascuțit α, cele două catete primesc nume diferite: cateta opusă este cea din fața unghiului, iar cateta alăturată este cea care formează unghiul, împreună cu ipotenuza.

Dacă unghiul drept este în C și α este unghiul din B, atunci cateta opusă lui α este [AC], iar cateta alăturată este [BC]. Ipotenuza rămâne întotdeauna [AB], latura din fața unghiului drept.

Aceleași catete își schimbă rolurile dacă privești celălalt unghi ascuțit — de aceea prima grijă este să stabilești față de ce unghi lucrezi.

  • opusă = cateta din fața unghiului
  • alăturată = cateta care formează unghiul
  • ipotenuza = latura opusă unghiului drept
  • Ipotenuza nu este niciodată catetă alăturată, deși atinge unghiul.
  • Schimbând unghiul ascuțit, cateta opusă devine alăturată și invers.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă unui unghi α este 6 cm, iar cea alăturată 8 cm. Cât este tg α?

  1. Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată.
  2. Înlocuim: tg α = 68.
  3. Simplificăm: tg α = 34.

Sinus, cosinus și tangentă

Cele trei rapoarte trigonometrice se definesc astfel: sin α = catetă opusă : ipotenuză, cos α = catetă alăturată : ipotenuză, tg α = catetă opusă : catetă alăturată.

Rapoartele nu depind de mărimea triunghiului, ci doar de unghi: două triunghiuri dreptunghice asemenea au exact aceleași valori pentru sin, cos și tg.

Fiindcă o catetă este întotdeauna mai mică decât ipotenuza, sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt numere între 0 și 1. Tangenta, în schimb, poate depăși 1.

  • sin α = opusă : ipotenuză
  • cos α = alăturată : ipotenuză
  • tg α = opusă : alăturată
  • Simplifică fracția la final: 513 rămâne așa, dar 510 devine 12.
  • Sinusul și cosinusul sunt mereu subunitare, la un unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat · alte date

Într-un triunghi dreptunghic, cateta opusă lui α este 8, iar ipotenuza 17. Află sin α.

  1. Sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă împărțită la ipotenuză.
  2. Înlocuim lungimile 8 și 17.
  3. sin α = 817; raportul este între 0 și 1.

Valorile unghiurilor de 30°, 45° și 60°

Câteva valori se învață pe de rost, fiindcă apar în aproape orice problemă: sin 30° = 12, cos 60° = 12, sin 45° = cos 45° = √22, iar tg 45° = 1.

De asemenea, sin 60° = cos 30° = √32, tg 30° = √33 și tg 60° = √3.

Aceste valori se recunosc și invers: dacă sin α = 12 și α este ascuțit, atunci α = 30°; dacă tg α = 1, atunci α = 45°.

  • sin 30° = 12
  • sin 45° = cos 45° = √22
  • tg 45° = 1
  • sin 60° = √32
  • Unghiul de 45° apare la triunghiul dreptunghic isoscel, deci sin și cos sunt egale.
  • Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Exemplu rezolvat · alte date

α este ascuțit și sin α = 12. Află α.

  1. Valorile uzuale sunt sin 30° = 12, sin 45° = √22, sin 60° = √32.
  2. Valoarea dată corespunde lui 30°.
  3. α = 30°; pe intervalul unghiurilor ascuțite, sinusul este strict crescător.

Aflarea laturilor cu funcții trigonometrice

Cunoscând un unghi ascuțit și o latură, poți afla celelalte laturi. Alegi raportul care leagă latura cunoscută de cea căutată, apoi rezolvi ecuația.

Cel mai des folosit este cazul unghiului de 30°: cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză, fiindcă sin 30° = 12.

Invers, dacă știi cateta opusă unghiului de 30°, ipotenuza este dublul ei.

  • opusă = ipotenuză × sin α
  • alăturată = ipotenuză × cos α
  • sin 30° = 12 ⇒ ipotenuza = 2 × opusă
  • Scrie întâi raportul potrivit, apoi înlocuiește valorile.
  • Verifică rezultatul: ipotenuza trebuie să iasă mai mare decât fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă lui α are 10 cm, iar α = 30°. Cât este ipotenuza?

  1. Folosim sin α = opusă : ipotenuză, deci sin 30° = 10 : c.
  2. Cum sin 30° = 12, avem 12 = 10 : c.
  3. Rezultă c = 20 cm, adică dublul catetei opuse.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?

    Vezi rezolvarea
    1. AC este singura latură care nu atinge vârful B.

    Răspuns: AC

  2. Exercițiul 2

    Care este formula corectă pentru sin α în triunghiul din desen?

    Vezi rezolvarea
    1. Cateta opusă este AC, iar ipotenuza este AB.

    Răspuns: ACAB

  3. Exercițiul 3

    Care este formula corectă pentru cos α?

    Vezi rezolvarea
    1. Cateta alăturată este BC, iar ipotenuza este AB.

    Răspuns: BCAB

  4. Exercițiul 4

    Care este formula corectă pentru tg α?

    Vezi rezolvarea
    1. tg α = ACBC.

    Răspuns: ACBC

  5. Exercițiul 5

    AB = 14 cm și α = 30°. Cât este cateta opusă?

    Vezi rezolvarea
    1. AC = AB · sin 30° = 14 · 12 = 7 cm.

    Răspuns: 7

  6. Exercițiul 6

    Cateta opusă este 6 cm, iar cea alăturată este 8 cm. Cât este tg α?

    Vezi rezolvarea
    1. tg α = 68 = 34.

    Răspuns: 34

  7. Exercițiul 7

    Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 10 cm, iar cateta alăturată lui α este 5 cm. Cât este cos α?

    Vezi rezolvarea
    1. cos α = 510 = 12.

    Răspuns: 12

  8. Exercițiul 8

    Dacă sin α = 12 și α este ascuțit, care este valoarea uzuală a lui α?

    Vezi rezolvarea
    1. sin 30° = 12.

    Răspuns: 30°

  9. Exercițiul 9

    Cateta opusă lui α este 5 cm, iar ipotenuza 13 cm. Cât este sin α?

    Vezi rezolvarea
    1. Cateta opusă este 5.
    2. Ipotenuza este 13.
    3. sin α = 513.

    Răspuns: 513

  10. Exercițiul 10

    tg α = 1, iar α este ascuțit. Cât este α?

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele sunt egale, deci triunghiul dreptunghic este isoscel.
    2. Unghiurile ascuțite sunt egale: 90° : 2.
    3. α = 45°.

    Răspuns: 45°

  11. Exercițiul 11

    Ipotenuza este 20 cm și α = 60°. Cât este cateta alăturată lui α, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. cos α = cateta alăturatăipotenuză.
    2. cateta alăturată = 20 · 12.
    3. Cateta alăturată are 10 cm.

    Răspuns: 10

  12. Exercițiul 12

    Cateta opusă lui α are 10 cm, iar α = 30°. Cât este ipotenuza, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. sin α = cateta opusăipotenuză.
    2. 12 = 10ipotenuză.
    3. Ipotenuza are 20 cm.

    Răspuns: 20

Fișă de consolidare din material (8)

  1. 1. Dificultate redusă

    Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?

    Vezi răspunsul

    AC: este latura care nu atinge vârful B.

  2. 2. Dificultate redusă

    Care este formula corectă pentru sin α în triunghiul din desen?

    Vezi răspunsul

    sin α = cateta opusă / ipotenuză = ACAB (triunghiul este dreptunghic în C).

  3. 3. Dificultate redusă

    Care este formula corectă pentru cos α?

    Vezi răspunsul

    cos α = cateta alăturată / ipotenuză = BCAB

  4. 4. Dificultate redusă

    Care este formula corectă pentru tg α?

    Vezi răspunsul

    tg α = cateta opusă / cateta alăturată = ACBC

  5. 5. Dificultate redusă

    AB = 14 cm și α = 30°. Cât este cateta opusă?

    Vezi răspunsul

    AC = AB × sin 30° = 14 × 12 = 7 cm

  6. 6. Dificultate medie

    Cateta opusă este 6 cm, iar cea alăturată este 8 cm. Cât este tg α?

    Vezi răspunsul

    tg α = 68 = 34

  7. 7. Dificultate medie

    Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 10 cm, iar cateta alăturată lui α este 5 cm. Cât este cos α?

    Vezi răspunsul

    cos α = 510 = 12

  8. 8. Dificultate medie

    Dacă sin α = 12 și α este ascuțit, care este valoarea uzuală a lui α?

    Vezi răspunsul

    α = 30°

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.