Trigonometrie în triunghiul dreptunghic

Rapoartele trigonometrice compară laturile unui triunghi dreptunghic față de un unghi ascuțit. Mai întâi identificăm ipotenuza, cateta opusă și cateta alăturată; abia apoi alegem formula.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Față de α, AC este opusă, BC este alăturată, iar AB este ipotenuza.

Catetă opusă și catetă alăturată

Într-un triunghi dreptunghic, față de un unghi ascuțit α, cele două catete primesc nume diferite: cateta opusă este cea din fața unghiului, iar cateta alăturată este cea care formează unghiul, împreună cu ipotenuza.

Dacă unghiul drept este în A și α este unghiul din B, atunci cateta opusă lui α este [AC], iar cateta alăturată este [AB]. Ipotenuza rămâne întotdeauna [BC], indiferent de unghiul ales.

Aceleași catete își schimbă rolurile dacă privești celălalt unghi ascuțit — de aceea prima grijă este să stabilești față de ce unghi lucrezi.

opusă = cateta din fața unghiului

alăturată = cateta care formează unghiul

ipotenuza = latura opusă unghiului drept

Ipotenuza nu este niciodată catetă alăturată, deși atinge unghiul.
Schimbând unghiul ascuțit, cateta opusă devine alăturată și invers.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă unui unghi α este 6 cm, iar cea alăturată 8 cm. Cât este tg α?

1.Tangenta este raportul dintre cateta opusă și cea alăturată.
2.Înlocuim: tg α = 68.
3.Simplificăm: tg α = 34.

Sinus, cosinus și tangentă

Cele trei rapoarte trigonometrice se definesc astfel: sin α = catetă opusă : ipotenuză, cos α = catetă alăturată : ipotenuză, tg α = catetă opusă : catetă alăturată.

Rapoartele nu depind de mărimea triunghiului, ci doar de unghi: două triunghiuri dreptunghice asemenea au exact aceleași valori pentru sin, cos și tg.

Fiindcă o catetă este întotdeauna mai mică decât ipotenuza, sinusul și cosinusul unui unghi ascuțit sunt numere între 0 și 1. Tangenta, în schimb, poate depăși 1.

sin α = opusă : ipotenuză

cos α = alăturată : ipotenuză

tg α = opusă : alăturată

Simplifică fracția la final: 513 rămâne așa, dar 510 devine 12.
Sinusul și cosinusul sunt mereu subunitare, la un unghi ascuțit.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă lui α este 5 cm, iar ipotenuza 13 cm. Cât este sin α?

1.Sinusul este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză.
2.Înlocuim valorile: sin α = 513.
3.Fracția nu se mai simplifică, deci sin α = 513.

Valorile unghiurilor de 30°, 45° și 60°

Câteva valori se învață pe de rost, fiindcă apar în aproape orice problemă: sin 30° = 12, cos 60° = 12, sin 45° = cos 45° = √22, iar tg 45° = 1.

De asemenea, sin 60° = cos 30° = √32, tg 30° = √33 și tg 60° = √3.

Aceste valori se recunosc și invers: dacă sin α = 12 și α este ascuțit, atunci α = 30°; dacă tg α = 1, atunci α = 45°.

sin 30° = 12

sin 45° = cos 45° = √22

tg 45° = 1

sin 60° = √32

Unghiul de 45° apare la triunghiul dreptunghic isoscel, deci sin și cos sunt egale.
Cateta opusă unghiului de 30° este jumătate din ipotenuză.

Exemplu rezolvat

tg α = 1, iar α este ascuțit. Cât este α?

1.Tangenta este raportul catetelor, deci ele sunt egale.
2.Un triunghi dreptunghic cu catete egale este isoscel, iar unghiurile ascuțite au câte 45°.
3.Deci α = 45°.

Aflarea laturilor cu funcții trigonometrice

Cunoscând un unghi ascuțit și o latură, poți afla celelalte laturi. Alegi raportul care leagă latura cunoscută de cea căutată, apoi rezolvi ecuația.

Cel mai des folosit este cazul unghiului de 30°: cateta opusă lui este jumătate din ipotenuză, fiindcă sin 30° = 12.

Invers, dacă știi cateta opusă unghiului de 30°, ipotenuza este dublul ei.

opusă = ipotenuză × sin α

alăturată = ipotenuză × cos α

sin 30° = 12 ⇒ ipotenuza = 2 × opusă

Scrie întâi raportul potrivit, apoi înlocuiește valorile.
Verifică rezultatul: ipotenuza trebuie să iasă mai mare decât fiecare catetă.

Exemplu rezolvat

Cateta opusă lui α are 10 cm, iar α = 30°. Cât este ipotenuza?

1.Folosim sin α = opusă : ipotenuză, deci sin 30° = 10 : c.
2.Cum sin 30° = 12, avem 12 = 10 : c.
3.Rezultă c = 20 cm, adică dublul catetei opuse.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC: este latura care nu atinge vârful B.
Ex. 2Dificultate redusă
Care este formula corectă pentru sin α în desenul anterior?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = cateta opusă / ipotenuză = ACAB (triunghiul este dreptunghic în C).
Ex. 3Dificultate redusă
Care este formula corectă pentru cos α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = cateta alăturată / ipotenuză = BCAB
Ex. 4Dificultate redusă
Care este formula corectă pentru tg α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
tg α = cateta opusă / cateta alăturată = ACBC
Ex. 5Dificultate redusă
AB = 14 cm și α = 30°. Cât este cateta opusă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = AB × sin 30° = 14 × 12 = 7 cm
Ex. 6Dificultate medie
Cateta opusă este 6 cm, iar cea alăturată este 8 cm. Cât este tg α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
tg α = 68 = 34
Ex. 7Dificultate medie
Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 10 cm, iar cateta alăturată lui α este 5 cm. Cât este cos α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = 510 = 12
Ex. 8Dificultate medie
Dacă sin α = 12 și α este ascuțit, care este valoarea uzuală a lui α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
α = 30°
Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC: cateta opusă unui unghi este latura care nu trece prin vârful lui, iar singura care nu atinge B este AC.
Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Care este formula corectă pentru sin α în desenul anterior?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
sin α = ACAB: sinusul este cateta opusă (AC) împărțită la ipotenuză (AB, latura opusă unghiului drept din C).
Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Care este formula corectă pentru cos α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
cos α = BCAB: cosinusul este cateta alăturată unghiului (BC, care pleacă din B) împărțită la ipotenuză (AB).
Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Care este formula corectă pentru tg α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
tg α = ACBC: tangenta este cateta opusă (AC) împărțită la cateta alăturată (BC).
Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: AB = 14 cm și α = 30°. Cât este cateta opusă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 cm: AB este ipotenuza, deci cateta opusă = AB × sin 30° = 14 × 12.
Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Cateta opusă este 6 cm, iar cea alăturată este 8 cm. Cât este tg α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
34: tg α = cateta opusă / cateta alăturată = 68, simplificat cu 2.
Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Într-un triunghi dreptunghic, ipotenuza este 10 cm, iar cateta alăturată lui α este 5 cm. Cât este cos α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12: cos α = cateta alăturată / ipotenuză = 510.
Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Dacă sin α = 12 și α este ascuțit, care este valoarea uzuală a lui α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
30°: dintre unghiurile ascuțite uzuale, doar sin 30° = 12 (sin 45° = √22, sin 60° = √32).
Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Față de unghiul B = α, care este cateta opusă?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: cateta opusă unui unghi ascuțit este latura care nu trece prin vârful lui. Pentru B, aceasta este AC.
Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Care este formula corectă pentru sin α în desenul anterior?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză. sin α = ACAB.
Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Care este formula corectă pentru cos α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: cosinusul este cateta alăturată supra ipotenuză. cos α = BCAB.
Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Care este formula corectă pentru tg α?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: tangenta este cateta opusă supra cateta alăturată. tg α = ACBC.