Încărcăm partea curentă…

Triunghiul dreptunghic pe desen

Cum citim desenul

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul de 90° este marcat pe desen cu un pătrățel mic. El arată imediat care sunt catetele și care este ipotenuza.

Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă lui se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

În triunghiul ABC dreptunghic în C, ipotenuza este AB, iar catetele sunt AC și BC. Nu decide după cum arată desenul: ipotenuza nu este neapărat latura desenată jos sau oblic.

De ținut minte

unghi drept în C ⇒ ipotenuza este AB
catetele sunt AC și BC
  • Pătrățelul de pe desen marchează unghiul de 90°.
  • Ipotenuza este mereu opusă unghiului drept, oricum ar fi rotit desenul.

Exemplu rezolvat · alte date

În triunghiul PQR dreptunghic în R, identifică ipotenuza.

  1. 1Unghiul drept se află în R.
  2. 2Ipotenuza este latura opusă lui R.
  3. 3Ea este PQ; celelalte două laturi sunt catete.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Triunghiul dreptunghic pe desen: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul de 90° ne arată imediat care sunt catetele și care este ipotenuza. Citește întâi desenul, apoi alege formula.

Cum citim desenul

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul de 90° este marcat pe desen cu un pătrățel mic. El arată imediat care sunt catetele și care este ipotenuza.

Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă lui se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

În triunghiul ABC dreptunghic în C, ipotenuza este AB, iar catetele sunt AC și BC. Nu decide după cum arată desenul: ipotenuza nu este neapărat latura desenată jos sau oblic.

  • unghi drept în C ⇒ ipotenuza este AB
  • catetele sunt AC și BC
  • Pătrățelul de pe desen marchează unghiul de 90°.
  • Ipotenuza este mereu opusă unghiului drept, oricum ar fi rotit desenul.

Exemplu rezolvat · alte date

În triunghiul PQR dreptunghic în R, identifică ipotenuza.

  1. Unghiul drept se află în R.
  2. Ipotenuza este latura opusă lui R.
  3. Ea este PQ; celelalte două laturi sunt catete.

Teorema lui Pitagora pe desen

Teorema lui Pitagora leagă cele trei laturi: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, AB2 = AC2 + BC2.

Cunoscând catetele, afli ipotenuza adunând pătratele și extrăgând rădăcina: pentru 3 cm și 4 cm rezultă 5 cm.

Cunoscând ipotenuza și o catetă, o afli pe cealaltă prin scădere: din 13 și 5 rezultă 169 − 25 = 12 cm.

  • AB2 = AC2 + BC2
  • catetă = ipotenuză2 − catetă2
  • Adună pătratele doar când cauți ipotenuza; altfel scazi.
  • Perechile 3-4-5, 6-8-10 și 5-12-13 se rețin, fiindcă apar tot timpul.

Exemplu rezolvat · alte date

În triunghiul PQR dreptunghic în R, PQ = 25 și QR = 7. Află PR.

  1. PQ este ipotenuza, deci PR2 = PQ2 − QR2.
  2. PR2 = 625 − 49 = 576.
  3. PR = 24.

Aria triunghiului dreptunghic

Catetele sunt perpendiculare una pe alta, deci una este baza, iar cealaltă este înălțimea. Aria se calculează cu formula A = (AC × BC) : 2.

Pentru catetele 6 cm și 8 cm, aria este 48 : 2 = 24 cm2.

Ipotenuza nu intră în formula ariei — ea se folosește doar dacă lucrezi cu înălțimea dusă pe ea.

  • A = (AC × BC) : 2
  • 6 × 8 : 2 = 24 cm2
  • Se înmulțesc catetele, nu ipotenuza cu o catetă.
  • Aria se exprimă în cm2, nu în cm.

Exemplu rezolvat · alte date

Un triunghi dreptunghic are catetele 7 și 10. Află aria.

  1. Cele două catete sunt perpendiculare, deci pot fi baza și înălțimea.
  2. Aria este jumătatea produsului lor.
  3. A = 7·102 = 35.

Perimetrul

Perimetrul este suma celor trei laturi: P = AB + AC + BC. Dacă ți se dau doar catetele, afli întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi aduni.

Pentru catetele 8 cm și 15 cm, ipotenuza este 17 cm, deci perimetrul este 8 + 15 + 17 = 40 cm.

  • P = AB + AC + BC
  • 8 + 15 + 17 = 40
  • Perimetrul cere toate cele trei laturi, deci de multe ori ai nevoie întâi de Pitagora.
  • Perimetrul se măsoară în cm, aria în cm2.

Exemplu rezolvat · alte date

Un triunghi dreptunghic are catetele 9 și 40. Află perimetrul.

  1. Ipotenuza este 81 + 1600 = √1681 = 41.
  2. Perimetrul adună toate cele trei laturi.
  3. 9 + 40 + 41 = 90.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    În triunghiul ABC dreptunghic în C, care latură este ipotenuza?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul drept este în C.
    2. Latura opusă vârfului C este AB.
    3. Prin urmare, AB este ipotenuza.

    Răspuns: AB

  2. Exercițiul 2

    Care sunt catetele triunghiului din desen?

    Vezi rezolvarea
    1. Unghiul drept este format de laturile AC și BC.
    2. Aceste două laturi sunt catetele.
    3. AB rămâne ipotenuza.

    Răspuns: AC și BC

  3. Exercițiul 3

    La ce vârf se află unghiul drept?

    Vezi rezolvarea
    1. Marcajul de unghi drept este lângă vârful C.
    2. Așadar, ∢C = 90°.

    Răspuns: C

  4. Exercițiul 4

    AC = 3 cm și BC = 4 cm. Cât măsoară ipotenuza AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = 32 + 42.
    2. AB2 = 9 + 16 = 25.
    3. AB = √25 = 5 cm.

    Răspuns: 5 cm

  5. Exercițiul 5

    AC = 6 cm și BC = 8 cm. Care este aria triunghiului?

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim aria = catetă · catetă2.
    2. A = 6 · 82.
    3. A = 482 = 24 cm2.

    Răspuns: 24 cm2

  6. Exercițiul 6

    AB = 13 cm și AC = 5 cm. Cât măsoară cateta BC?

    Vezi rezolvarea
    1. BC2 = AB2 − AC2.
    2. BC2 = 132 − 52 = 169 − 25 = 144.
    3. BC = √144 = 12 cm.

    Răspuns: 12 cm

  7. Exercițiul 7

    Laturile triunghiului sunt 6 cm, 8 cm și 10 cm. Care este perimetrul?

    Vezi rezolvarea
    1. Perimetrul este suma laturilor.
    2. P = 6 + 8 + 10.
    3. P = 24 cm.

    Răspuns: 24 cm

  8. Exercițiul 8

    Ce formulă calculează aria triunghiului dreptunghic din desen?

    Vezi rezolvarea
    1. AC și BC sunt perpendiculare, deci una poate fi baza și cealaltă înălțimea.
    2. Aria este AC · BC2.

    Răspuns: AC · BC2

  9. Exercițiul 9

    AC = 5 cm și BC = 12 cm. Cât măsoară ipotenuza AB?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = 25 + 144 = 169.
    2. AB = √169.
    3. AB = 13 cm.

    Răspuns: 13 cm

  10. Exercițiul 10

    AB = 10 cm și BC = 8 cm. Cât măsoară cateta AC?

    Vezi rezolvarea
    1. AC2 = 100 − 64 = 36.
    2. AC = √36.
    3. AC = 6 cm.

    Răspuns: 6 cm

  11. Exercițiul 11

    AC = 9 cm și BC = 12 cm. Care este aria triunghiului?

    Vezi rezolvarea
    1. Catetele sunt baza și înălțimea.
    2. 9 · 12 = 108.
    3. 108 : 2 = 54 cm2.

    Răspuns: 54 cm2

  12. Exercițiul 12

    AC = 8 cm și BC = 15 cm. Care este perimetrul triunghiului?

    Vezi rezolvarea
    1. AB2 = 64 + 225 = 289, deci AB = 17 cm.
    2. P = 17 + 8 + 15.
    3. P = 40 cm.

    Răspuns: 40 cm

Exerciții vizuale de consolidare (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Identifică ipotenuza pe trei desene rotite diferit.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept (cea mai lungă), oricum ar fi rotit desenul.

  2. 2. Dificultate redusă

    Numește cele două catete ale unui triunghi dreptunghic ABC.

    Vezi răspunsul

    Catetele sunt laturile care formează unghiul drept. De exemplu, dacă unghiul drept este în A, catetele sunt AB și AC.

  3. 3. Dificultate redusă

    Indică vârful unghiului drept într-un triunghi MNP dreptunghic în N.

    Vezi răspunsul

    Vârful N.

  4. 4. Dificultate redusă

    Explică de ce ipotenuza este cea mai lungă latură.

    Vezi răspunsul

    Este opusă unghiului drept, cel mai mare unghi al triunghiului, iar în orice triunghi latura opusă unghiului mai mare este mai lungă. Din Pitagora, c2 = a2 + b2, deci c2 este mai mare decât a2 și decât b2.

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează ipotenuza pentru catete de 3 cm și 4 cm.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = √25 = 5 cm

  6. 6. Dificultate medie

    Calculează ipotenuza pentru catete de 5 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = √169 = 13 cm

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează o catetă dacă ipotenuza este 10 cm, iar cealaltă catetă 6 cm.

    Vezi răspunsul

    100 − 36 = √64 = 8 cm

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează o catetă dacă ipotenuza este 13 cm, iar cealaltă catetă 5 cm.

    Vezi răspunsul

    169 − 25 = √144 = 12 cm

  9. 9. Dificultate medie

    Calculează aria pentru catete de 7 cm și 10 cm.

    Vezi răspunsul

    7 × 10 : 2 = 35 cm2

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează aria pentru catete de 9 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    9 × 12 : 2 = 54 cm2

  11. 11. Dificultate medie

    Calculează perimetrul triunghiului cu laturile 3 cm, 4 cm și 5 cm.

    Vezi răspunsul

    3 + 4 + 5 = 12 cm

  12. 12. Dificultate medie

    Calculează perimetrul triunghiului cu catetele 5 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 25 + 144 = 13 cm; perimetrul: 5 + 12 + 13 = 30 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Verifică prin reciproca lui Pitagora dacă laturile 8, 15 și 17 formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Da: 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Verifică dacă laturile 6, 8 și 11 formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Nu: 62 + 82 = 100, iar 112 = 121.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are laturile 9 cm și 12 cm. Calculează diagonala.

    Vezi răspunsul

    81 + 144 = √225 = 15 cm

  16. 16. Dificultate ridicată

    Un pătrat are latura 8 cm. Calculează diagonala folosind Pitagora.

    Vezi răspunsul

    d = 64 + 64 = √128 = 8√2 ≈ 11,31 cm

  17. 17. Dificultate ridicată

    Aria unui triunghi dreptunghic este 30 cm2, iar o catetă are 6 cm. Află cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    6 × b : 2 = 30, deci b = 10 cm.

  18. 18. Excelență

    Perimetrul unui triunghi 3–4–5 este mărit de trei ori. Află noile laturi și noua arie.

    Vezi răspunsul

    Laturile se triplează: 9 cm, 12 cm, 15 cm. Aria: 9 × 12 : 2 = 54 cm2 (de 9 ori mai mare decât 6 cm2).

  19. 19. Excelență

    Construiește un triunghi dreptunghic cu aria 24 cm2 și laturi naturale.

    Vezi răspunsul

    De exemplu, catetele 6 cm și 8 cm, cu ipotenuza 10 cm: aria este 6 × 8 : 2 = 24 cm2.

  20. 20. Excelență

    Compune o problemă reală în care o scară, un perete și solul formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    De exemplu: „O scară de 5 m, sprijinită de un perete, are baza la 3 m de perete. La ce înălțime ajunge?” Răspuns: 25 − 9 = 4 m.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.