Clasa a VII-aGimnaziuEvaluare Națională⏱ 15–18 min
△

Teorie înainte de exerciții

Triunghiul dreptunghic pe desen

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul de 90° ne arată imediat care sunt catetele și care este ipotenuza. Citește întâi desenul, apoi alege formula.

Nu decide după orientarea desenului: ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

ABCABACBC
Unghiul C este drept (90°).
1

Cum citim desenul

Într-un triunghi dreptunghic, unghiul de 90° este marcat pe desen cu un pătrățel mic. El arată imediat care sunt catetele și care este ipotenuza.

Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă lui se numește ipotenuză și este întotdeauna cea mai lungă.

În triunghiul ABC dreptunghic în C, ipotenuza este AB, iar catetele sunt AC și BC. Nu decide după cum arată desenul: ipotenuza nu este neapărat latura desenată jos sau oblic.

unghi drept în C ⇒ ipotenuza este AB
catetele sunt AC și BC
  • Pătrățelul de pe desen marchează unghiul de 90°.
  • Ipotenuza este mereu opusă unghiului drept, oricum ar fi rotit desenul.

Exemplu rezolvat

În triunghiul ABC dreptunghic în C, care latură este ipotenuza?

  1. 1.Unghiul drept se află în vârful C.
  2. 2.Ipotenuza este latura opusă acestui vârf.
  3. 3.Latura opusă lui C este AB, deci AB este ipotenuza.
2

Teorema lui Pitagora pe desen

Teorema lui Pitagora leagă cele trei laturi: pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor, AB2 = AC2 + BC2.

Cunoscând catetele, afli ipotenuza adunând pătratele și extrăgând rădăcina: pentru 3 cm și 4 cm rezultă 5 cm.

Cunoscând ipotenuza și o catetă, o afli pe cealaltă prin scădere: din 13 și 5 rezultă 169 − 25 = 12 cm.

AB2 = AC2 + BC2
catetă = ipotenuză2 − catetă2
  • Adună pătratele doar când cauți ipotenuza; altfel scazi.
  • Perechile 3-4-5, 6-8-10 și 5-12-13 se rețin, fiindcă apar tot timpul.

Exemplu rezolvat

AB = 10 cm și BC = 8 cm. Cât măsoară cateta AC?

  1. 1.AB este ipotenuza, deci scădem: AC2 = 102 − 82.
  2. 2.Calculăm: 100 − 64 = 36.
  3. 3.Deci AC = 6 cm.
3

Aria triunghiului dreptunghic

Catetele sunt perpendiculare una pe alta, deci una este baza, iar cealaltă este înălțimea. Aria se calculează cu formula A = (AC × BC) : 2.

Pentru catetele 6 cm și 8 cm, aria este 48 : 2 = 24 cm2.

Ipotenuza nu intră în formula ariei — ea se folosește doar dacă lucrezi cu înălțimea dusă pe ea.

A = (AC × BC) : 2
6 × 8 : 2 = 24 cm2
  • Se înmulțesc catetele, nu ipotenuza cu o catetă.
  • Aria se exprimă în cm2, nu în cm.

Exemplu rezolvat

AC = 9 cm și BC = 12 cm. Care este aria triunghiului?

  1. 1.Catetele sunt perpendiculare, deci ele sunt baza și înălțimea.
  2. 2.Înmulțim: 9 × 12 = 108.
  3. 3.Împărțim la 2: aria este 54 cm2.
4

Perimetrul

Perimetrul este suma celor trei laturi: P = AB + AC + BC. Dacă ți se dau doar catetele, afli întâi ipotenuza cu teorema lui Pitagora, apoi aduni.

Pentru catetele 8 cm și 15 cm, ipotenuza este 17 cm, deci perimetrul este 8 + 15 + 17 = 40 cm.

P = AB + AC + BC
8 + 15 + 17 = 40
  • Perimetrul cere toate cele trei laturi, deci de multe ori ai nevoie întâi de Pitagora.
  • Perimetrul se măsoară în cm, aria în cm2.

Exemplu rezolvat

AC = 8 cm și BC = 15 cm. Care este perimetrul triunghiului?

  1. 1.Aflăm întâi ipotenuza: AB2 = 64 + 225 = 289, deci AB = 17 cm.
  2. 2.Adunăm cele trei laturi: 8 + 15 + 17.
  3. 3.Perimetrul este 40 cm.
Verifică-te singur · cu răspunsuriExerciții vizuale de consolidare · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Identifică ipotenuza pe trei desene rotite diferit.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza este mereu latura opusă unghiului drept (cea mai lungă), oricum ar fi rotit desenul.

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Numește cele două catete ale unui triunghi dreptunghic ABC.

    Vezi răspunsul

    Catetele sunt laturile care formează unghiul drept. De exemplu, dacă unghiul drept este în A, catetele sunt AB și AC.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Indică vârful unghiului drept într-un triunghi MNP dreptunghic în N.

    Vezi răspunsul

    Vârful N.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Explică de ce ipotenuza este cea mai lungă latură.

    Vezi răspunsul

    Este opusă unghiului drept, cel mai mare unghi al triunghiului, iar în orice triunghi latura opusă unghiului mai mare este mai lungă. Din Pitagora, c2 = a2 + b2, deci c2 este mai mare decât a2 și decât b2.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează ipotenuza pentru catete de 3 cm și 4 cm.

    Vezi răspunsul

    9 + 16 = √25 = 5 cm

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Calculează ipotenuza pentru catete de 5 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    25 + 144 = √169 = 13 cm

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Calculează o catetă dacă ipotenuza este 10 cm, iar cealaltă catetă 6 cm.

    Vezi răspunsul

    100 − 36 = √64 = 8 cm

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Calculează o catetă dacă ipotenuza este 13 cm, iar cealaltă catetă 5 cm.

    Vezi răspunsul

    169 − 25 = √144 = 12 cm

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Calculează aria pentru catete de 7 cm și 10 cm.

    Vezi răspunsul

    7 × 10 : 2 = 35 cm2

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Calculează aria pentru catete de 9 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    9 × 12 : 2 = 54 cm2

  11. Ex. 11Dificultate medie

    Calculează perimetrul triunghiului cu laturile 3 cm, 4 cm și 5 cm.

    Vezi răspunsul

    3 + 4 + 5 = 12 cm

  12. Ex. 12Dificultate medie

    Calculează perimetrul triunghiului cu catetele 5 cm și 12 cm.

    Vezi răspunsul

    Ipotenuza: 25 + 144 = 13 cm; perimetrul: 5 + 12 + 13 = 30 cm.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Verifică prin reciproca lui Pitagora dacă laturile 8, 15 și 17 formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Da: 82 + 152 = 64 + 225 = 289 = 172.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Verifică dacă laturile 6, 8 și 11 formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    Nu: 62 + 82 = 100, iar 112 = 121.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un dreptunghi are laturile 9 cm și 12 cm. Calculează diagonala.

    Vezi răspunsul

    81 + 144 = √225 = 15 cm

  16. Ex. 16Dificultate ridicată

    Un pătrat are latura 8 cm. Calculează diagonala folosind Pitagora.

    Vezi răspunsul

    d = 64 + 64 = √128 = 8√2 ≈ 11,31 cm

  17. Ex. 17Dificultate ridicată

    Aria unui triunghi dreptunghic este 30 cm2, iar o catetă are 6 cm. Află cealaltă catetă.

    Vezi răspunsul

    6 × b : 2 = 30, deci b = 10 cm.

  18. Ex. 18Excelență

    Perimetrul unui triunghi 3–4–5 este mărit de trei ori. Află noile laturi și noua arie.

    Vezi răspunsul

    Laturile se triplează: 9 cm, 12 cm, 15 cm. Aria: 9 × 12 : 2 = 54 cm2 (de 9 ori mai mare decât 6 cm2).

  19. Ex. 19Excelență

    Construiește un triunghi dreptunghic cu aria 24 cm2 și laturi naturale.

    Vezi răspunsul

    De exemplu, catetele 6 cm și 8 cm, cu ipotenuza 10 cm: aria este 6 × 8 : 2 = 24 cm2.

  20. Ex. 20Excelență

    Compune o problemă reală în care o scară, un perete și solul formează un triunghi dreptunghic.

    Vezi răspunsul

    De exemplu: „O scară de 5 m, sprijinită de un perete, are baza la 3 m de perete. La ce înălțime ajunge?” Răspuns: 25 − 9 = 4 m.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.