Rombul

Rombul este un paralelogram cu toate laturile egale. Diagonalele sale sunt perpendiculare, se înjumătățesc și bisectează unghiurile rombului.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Diagonalele rombului sunt perpendiculare; aria este d₁·d₂/2.

Ce este un romb și cum îi afli perimetrul

Rombul este un paralelogram cu toate cele patru laturi egale. Păstrează deci toate proprietățile paralelogramului și adaugă altele noi, legate de diagonale.

Fiindcă laturile sunt egale, perimetrul se calculează simplu: P = 4 × a, unde a este latura.

Invers, dacă știi perimetrul, afli latura împărțind la 4.

P = 4 × a

a = P : 4

Orice romb este paralelogram, dar nu orice paralelogram este romb.
Un romb cu un unghi drept este pătrat.

Exemplu rezolvat

Un romb are perimetrul 36 cm. Cât are latura?

1.Rombul are patru laturi egale, deci P = 4 × a.
2.Împărțim perimetrul la 4: 36 : 4.
3.Latura are 9 cm.

Unghiurile rombului și diagonalele ca bisectoare

Ca la orice paralelogram, unghiurile opuse ale rombului sunt egale, iar cele alăturate sunt suplementare: dacă ∢A = 70°, atunci ∢C = 70°, iar ∢B = ∢D = 110°.

În plus, fiecare diagonală a rombului este bisectoarea celor două unghiuri prin care trece: dacă un unghi are 80°, diagonala îl împarte în două unghiuri de câte 40°.

De aici rezultă o proprietate utilă: dacă un unghi al rombului are 60°, triunghiul format de diagonala scurtă cu două laturi este echilateral, deci diagonala este egală cu latura.

∢A = ∢C, ∢A + ∢B = 180°

diagonala bisectează unghiurile

∢ABC = 120° ⇒ BD = latura

Diagonala nu doar taie rombul în două, ci împarte și unghiurile în părți egale.
Cele două diagonale au lungimi diferite, spre deosebire de dreptunghi.

Exemplu rezolvat

În rombul ABCD, ∢ABC = 120°, iar diagonala BD are 10 cm. Cât are latura rombului?

1.Unghiurile alăturate sunt suplementare, deci ∢BAD = 60°.
2.Diagonala BD desparte rombul în două triunghiuri isoscele cu unghiul de 60° la vârf, deci echilaterale.
3.Prin urmare latura este egală cu BD, adică 10 cm.

Diagonalele perpendiculare

Proprietatea specifică rombului este că diagonalele lui sunt perpendiculare: se taie sub un unghi de 90°.

Ca la orice paralelogram, ele se și înjumătățesc reciproc, deci punctul de intersecție O este mijlocul fiecăreia, iar cele patru triunghiuri formate sunt dreptunghice și congruente.

Astfel, dacă diagonalele au d₁ și d₂, fiecare triunghi are catetele d₁ : 2 și d₂ : 2, ceea ce permite aflarea laturii cu teorema lui Pitagora.

diagonalele rombului: AC ⟂ BD

m(∢AOB) = 90°

a² = (d₁:2)² + (d₂:2)²

Perpendicularitatea diagonalelor este semnul distinctiv al rombului.
Cele patru triunghiuri formate de diagonale sunt congruente.

Exemplu rezolvat

Diagonalele rombului ABCD se intersectează în O. Cât măsoară ∢AOB?

1.Într-un romb, diagonalele sunt perpendiculare.
2.Unghiul dintre ele este, prin urmare, drept.
3.Deci m(∢AOB) = 90°.

Aria rombului

Aria rombului se poate calcula în două feluri. Ca la orice paralelogram, A = a × h, cu latura ca bază și înălțimea corespunzătoare.

Fiindcă diagonalele sunt perpendiculare, există și o a doua formulă, mai comodă: A = (d₁ × d₂) : 2, adică jumătate din produsul diagonalelor.

Formula merge și invers: dacă știi aria și o diagonală, o afli pe cealaltă cu d₂ = 2 × A : d₁.

A = a × h

A = (d₁ × d₂) : 2

d₂ = 2 × A : d₁

Alege formula după datele din enunț: laturi și înălțime sau diagonale.
Nu uita împărțirea la 2 la formula cu diagonale.

Exemplu rezolvat

Un romb are aria 48 cm², iar o diagonală de 12 cm. Cât este cealaltă diagonală?

1.Pornim de la A = (d₁ × d₂) : 2, deci 48 = (12 × d₂) : 2.
2.Înmulțim cu 2: 96 = 12 × d₂.
3.Rezultă d₂ = 8 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui romb cu latura de 12 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 12 = 48 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Un romb are diagonalele de 10 cm și 8 cm. Calculează aria, folosind formula cu diagonale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10 × 8 : 2 = 40 cm²
Ex. 3Dificultate redusă
Ce fel de unghi formează diagonalele unui romb la intersecție?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghi drept: diagonalele rombului sunt perpendiculare.
Ex. 4Dificultate redusă
Un romb are perimetrul de 44 cm. Calculează lungimea unei laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
44 : 4 = 11 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Este diagonala unui romb bisectoare a unghiurilor din vârfurile pe care le unește?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: fiecare diagonală a rombului este bisectoarea unghiurilor din vârfurile pe care le unește.
Ex. 6Dificultate medie
Un romb are diagonalele de 14 cm și 18 cm. Calculează aria.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14 × 18 : 2 = 126 cm²
Ex. 7Dificultate medie
Un romb are aria de 120 cm² și o diagonală de 15 cm. Calculează cealaltă diagonală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 2 × 120 : 15 = 16 cm
Ex. 8Dificultate medie
Un romb MNPQ are m(∢M) = 65°. Calculează m(∢N), m(∢P), m(∢Q).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
m(∢N) = m(∢Q) = 180° − 65° = 115°, m(∢P) = 65°.
Ex. 9Dificultate medie
Diagonala MP a unui romb este bisectoarea unghiului M, de 90°. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți ale unghiului M.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45° fiecare
Ex. 10Dificultate medie
Un patrulater are toate cele 4 laturi egale și diagonalele perpendiculare. Ce fel de patrulater este acesta? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Romb: are toate laturile egale (diagonalele perpendiculare sunt o proprietate a rombului). Dacă are și unghi drept, este pătrat.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un paralelogram MNPQ are diagonalele perpendiculare. Demonstrează, folosind proprietatea specifică, că MNPQ este romb.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Într-un paralelogram diagonalele se înjumătățesc. Dacă sunt și perpendiculare, fiecare diagonală este mediatoarea celeilalte, deci laturile alăturate sunt egale. Un paralelogram cu laturile alăturate egale este romb.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un romb are latura de 10 cm, iar o diagonală de 12 cm. Calculează cealaltă diagonală, folosind proprietățile diagonalelor și un triplet numeric potrivit (jumătatea unei diagonale este 6, iar latura este 10 — verifică dacă 6, 8, 10 este un triplet valid).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10², deci 6, 8, 10 este triplet valid. Jumătatea celeilalte diagonale este 8, deci diagonala are 16 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un romb are perimetrul de 80 cm, iar diagonalele sunt în raportul 34. Calculează lungimile celor două diagonale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura are 20 cm, iar jumătățile diagonalelor sunt 3k și 4k, cu ipotenuza 5k = 20. Deci k = 4: diagonalele au 24 cm și 32 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un teren în formă de romb are diagonalele de 60 m și 80 m. Calculează aria terenului, apoi calculează câți metri de gard sunt necesari pentru împrejmuire, folosind jumătățile diagonalelor (30 și 40) într-un triunghi dreptunghic (verifică dacă 30-40-50 este un triplet valid).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria: 60 × 80 : 2 = 2.400 m². 30² + 40² = 2.500 = 50², deci latura are 50 m, iar gardul 4 × 50 = 200 m.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un romb MNPQ are aria de 216 cm², iar raportul dintre diagonale este 34. Calculează lungimile celor două diagonale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d₁ = 3k, d₂ = 4k, iar 3k × 4k : 2 = 216 dă k² = 36, k = 6: diagonalele au 18 cm și 24 cm.
Ex. 16Excelență
Un romb are perimetrul 100 cm. Diagonalele sale sunt în raportul 34. Calculează lungimile diagonalelor, folosind faptul că jumătățile lor formează, împreună cu latura rombului (25 cm), un triunghi dreptunghic (caută un triplet numeric care respectă condițiile).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura are 25 cm; jumătățile diagonalelor sunt 3k și 4k, iar 5k = 25 dă k = 5. Jumătățile au 15 și 20 cm, deci diagonalele au 30 cm și 40 cm.
Ex. 17Excelență
Un romb ABCD are diagonala AC de 2 ori mai mare decât diagonala BD. Dacă aria rombului este 100 cm², calculează lungimile celor două diagonale.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC = 2 × BD, iar aria AC × BD : 2 = BD² = 100: BD = 10 cm, AC = 20 cm.
Ex. 18Excelență
Se dă un romb cu latura de 25 cm și o diagonală de 30 cm. Calculează cealaltă diagonală (jumătatea primeia este 15; caută un triplet dreptunghic care conține 15 și 25).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15² + 20² = 25², deci jumătatea celeilalte diagonale are 20 cm, iar diagonala 40 cm.
Ex. 19Excelență
Un romb și un dreptunghi au aceeași arie, de 144 cm². Dreptunghiul are dimensiunile 16 cm × 9 cm. Dacă rombul are o diagonală de 24 cm, calculează cealaltă diagonală a rombului, folosind formula ariei.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 × d : 2 = 144, deci d = 12 cm.
Ex. 20Excelență
Un teren în formă de romb trebuie împărțit în 4 triunghiuri congruente, prin cele două diagonale. Dacă aria totală a terenului este 600 m², calculează aria unui singur triunghi, apoi explică, folosind proprietățile diagonalelor rombului (perpendiculare, care se înjumătățesc reciproc), de ce toate cele 4 triunghiuri sunt congruente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
600 : 4 = 150 m². Diagonalele sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci cele 4 triunghiuri sunt dreptunghice, cu aceleași catete (jumătățile diagonalelor): sunt congruente (C.C.).