Încărcăm partea curentă…

Pătratul

Pătratul, dreptunghi și romb în același timp

Pătratul este patrulaterul cu toate laturile egale și toate unghiurile de 90°. Practic, este în același timp dreptunghi și romb, deci moștenește proprietățile amândurora.

De la dreptunghi ia diagonalele egale, iar de la romb diagonalele perpendiculare și faptul că ele bisectează unghiurile. Așadar, diagonalele pătratului sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și fac cu laturile unghiuri de 45°.

Din cauza acestor proprietăți, cele patru triunghiuri formate de diagonale sunt dreptunghice isoscele și congruente.

De ținut minte

pătrat = dreptunghi + romb
diagonalele: egale, perpendiculare, bisectoare
unghiul dintre diagonală și latură: 45°
  • Pătratul este singurul patrulater care are toate cele patru proprietăți deodată.
  • Diagonala împarte unghiul de 90° în două unghiuri de 45°.

Exemplu rezolvat

În pătratul ABCD, cât măsoară unghiul dintre diagonala AC și latura AB?

  1. 1Diagonala pătratului este bisectoarea unghiului din vârf.
  2. 2Unghiul din vârful A are 90°, iar diagonala îl împarte în două părți egale.
  3. 3Deci unghiul dintre AC și AB are 45°.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Pătratul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Pătratul este simultan dreptunghi și romb: are toate laturile egale și toate unghiurile drepte. Diagonalele sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și bisectează unghiurile.

Pătratul, dreptunghi și romb în același timp

Pătratul este patrulaterul cu toate laturile egale și toate unghiurile de 90°. Practic, este în același timp dreptunghi și romb, deci moștenește proprietățile amândurora.

De la dreptunghi ia diagonalele egale, iar de la romb diagonalele perpendiculare și faptul că ele bisectează unghiurile. Așadar, diagonalele pătratului sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și fac cu laturile unghiuri de 45°.

Din cauza acestor proprietăți, cele patru triunghiuri formate de diagonale sunt dreptunghice isoscele și congruente.

  • pătrat = dreptunghi + romb
  • diagonalele: egale, perpendiculare, bisectoare
  • unghiul dintre diagonală și latură: 45°
  • Pătratul este singurul patrulater care are toate cele patru proprietăți deodată.
  • Diagonala împarte unghiul de 90° în două unghiuri de 45°.

Exemplu rezolvat

În pătratul ABCD, cât măsoară unghiul dintre diagonala AC și latura AB?

  1. Diagonala pătratului este bisectoarea unghiului din vârf.
  2. Unghiul din vârful A are 90°, iar diagonala îl împarte în două părți egale.
  3. Deci unghiul dintre AC și AB are 45°.

Perimetrul și aria pătratului

Toate laturile fiind egale, perimetrul este P = 4 × a, iar aria este A = a × a = a2.

Formulele merg și invers: din perimetru afli latura împărțind la 4, iar din arie o afli extrăgând rădăcina pătrată: a = √A.

Dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria cea mai mare — de aceea un pătrat și un dreptunghi cu același perimetru nu au aceeași arie.

  • P = 4 × a
  • A = a2
  • a = √A
  • Aria unui pătrat este un pătrat perfect, dacă latura este număr întreg.
  • Din arie afli latura cu rădăcina pătrată, apoi perimetrul.

Exemplu rezolvat · alte date

Un pătrat are perimetrul 28 cm. Află aria.

  1. Patru laturi egale însumează 28: latura este 7 cm.
  2. Aria pătratului este latura la pătrat.
  3. A = 49 cm2.

Diagonala pătratului

Diagonala împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele, cu catetele egale cu latura. Din teorema lui Pitagora rezultă formula diagonalei: d = a√2.

Astfel, un pătrat cu latura 6 cm are diagonala 6√2 cm, iar unul cu latura 5 cm are diagonala 5√2 cm.

Formula merge și invers: din diagonală afli latura împărțind la √2, adică a = d : √2 = d√2 : 2.

  • d = a√2
  • a = d : √2
  • 7√2 : √2 = 7
  • Diagonala este întotdeauna mai lungă decât latura, de aproximativ 1,41 ori.
  • Când diagonala este dată sub forma k√2, latura este chiar k.

Exemplu rezolvat

Diagonala unui pătrat este 7√2 cm. Cât are latura?

  1. Folosim formula d = a√2, deci 7√2 = a√2.
  2. Împărțim ambele părți la √2.
  3. Rezultă a = 7 cm.

Aria calculată din diagonală

Pătratul fiind și romb, aria lui se poate calcula și din diagonale: A = (d × d) : 2 = d2 : 2, fiindcă ambele diagonale au aceeași lungime.

Astfel, un pătrat cu diagonala de 10 cm are aria 100 : 2 = 50 cm2, fără să mai fie nevoie să afli latura.

  • A = d2 : 2
  • d = 10 ⇒ A = 50 cm2
  • Formula scurtează calculul: nu mai treci prin latură.
  • Verificare: din A = a2 și d = a√2 rezultă d2 = 2a2, deci A = d2 : 2.

Exemplu rezolvat

Diagonala unui pătrat este 8 cm. Calculează aria.

  1. Aplicăm formula ariei din diagonală: A = d2 : 2.
  2. Calculăm 82 = 64, apoi împărțim la 2.
  3. Aria este 32 cm2.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Un pătrat are latura 9 cm. Calculează perimetrul.

    Vezi rezolvarea
    1. P = 4 · 9 = 36 cm.

    Răspuns: 36

  2. Exercițiul 2

    Un pătrat are latura 8 cm. Calculează aria.

    Vezi rezolvarea
    1. A = 82 = 64 cm2.

    Răspuns: 64

  3. Exercițiul 3

    Un pătrat are latura 5 cm. Scrie diagonala.

    Vezi rezolvarea
    1. d = 5√2 cm.

    Răspuns: 5√2

  4. Exercițiul 4

    Diagonala unui pătrat este 10 cm. Calculează aria.

    Vezi rezolvarea
    1. A = 102 : 2 = 100 : 2 = 50 cm2.

    Răspuns: 50

  5. Exercițiul 5

    Care afirmație este adevărată pentru diagonalele pătratului?

    Vezi rezolvarea
    1. Pătratul este și dreptunghi, și romb, deci diagonalele sunt egale și perpendiculare.

    Răspuns: Sunt egale și perpendiculare

  6. Exercițiul 6

    Un pătrat are perimetrul 44 cm. Cât are latura, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. a = P : 4.
    2. a = 44 : 4.
    3. a = 11 cm.

    Răspuns: 11

  7. Exercițiul 7

    Un pătrat are aria 81 cm2. Care este perimetrul, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. a2 = 81, deci a = 9 cm.
    2. P = 4 · 9.
    3. P = 36 cm.

    Răspuns: 36

  8. Exercițiul 8

    Un pătrat are latura 6 cm. Diagonala lui este:

    Vezi rezolvarea
    1. d = a√2.
    2. a = 6 cm.
    3. d = 6√2 cm (aproximativ 8,49 cm).

    Răspuns: 6√2 cm

  9. Exercițiul 9

    Diagonala unui pătrat este 8 cm. Calculează aria, în cm2.

    Vezi rezolvarea
    1. d2 = 64.
    2. 64 : 2 = 32.
    3. A = 32 cm2.

    Răspuns: 32

  10. Exercițiul 10

    Diagonala unui pătrat este 7√2 cm. Cât are latura, în centimetri?

    Vezi rezolvarea
    1. d = a√2.
    2. a√2 = 7√2.
    3. a = 7 cm.

    Răspuns: 7

  11. Exercițiul 11

    În pătratul ABCD, cât măsoară unghiul dintre diagonala AC și latura AB, în grade?

    Vezi rezolvarea
    1. ∢BAD = 90°.
    2. AC este bisectoarea lui ∢BAD.
    3. ∢BAC = 45°.

    Răspuns: 45

  12. Exercițiul 12

    Un pătrat are același perimetru ca un dreptunghi de 16 cm pe 4 cm. Cu câți cm2 este mai mare aria pătratului?

    Vezi rezolvarea
    1. P = 2(16 + 4) = 40 cm, deci latura pătratului este 10 cm.
    2. Aria pătratului este 100 cm2, a dreptunghiului 64 cm2.
    3. Diferența este 36 cm2.

    Răspuns: 36

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează perimetrul unui pătrat cu latura de 11 cm.

    Vezi răspunsul

    4 × 11 = 44 cm

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează aria unui pătrat cu latura de 12 cm.

    Vezi răspunsul

    12 × 12 = 144 cm2

  3. 3. Dificultate redusă

    Un pătrat are perimetrul de 36 cm. Calculează lungimea laturii.

    Vezi răspunsul

    36 : 4 = 9 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    Un pătrat are aria de 81 cm2. Calculează lungimea laturii.

    Vezi răspunsul

    √81 = 9 cm

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce proprietăți moștenește pătratul de la romb?

    Vezi răspunsul

    Toate laturile sunt congruente, iar diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor.

  6. 6. Dificultate medie

    Un pătrat are diagonala de 14 cm. Calculează aria, folosind formula A = d2 : 2.

    Vezi răspunsul

    142 : 2 = 196 : 2 = 98 cm2

  7. 7. Dificultate medie

    Un pătrat are latura de 9 cm. Calculează lungimea diagonalei, folosind formula d = l × √2, apoi aproximează rezultatul.

    Vezi răspunsul

    d = 9√2 ≈ 9 × 1,414 ≈ 12,73 cm

  8. 8. Dificultate medie

    Ce proprietăți moștenește pătratul de la dreptunghi?

    Vezi răspunsul

    Toate unghiurile sunt drepte, iar diagonalele sunt congruente.

  9. 9. Dificultate medie

    Un pătrat MNPQ are diagonalele care se intersectează în O. Ce măsură are fiecare dintre cele 4 unghiuri formate de diagonale în O?

    Vezi răspunsul

    90° fiecare: diagonalele pătratului sunt perpendiculare.

  10. 10. Dificultate medie

    Un dreptunghi are toate laturile congruente. Ce fel de patrulater este acesta? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Pătrat: un dreptunghi cu toate laturile congruente.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Un romb are toate unghiurile congruente. Demonstrează că acest romb este, de fapt, un pătrat.

    Vezi răspunsul

    Unghiurile rombului au suma 360°; fiind toate congruente, fiecare are 90°. Un romb cu unghiurile drepte este pătrat.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Aria unui pătrat este 98 cm2. Calculează lungimea diagonalei, folosind formula d2 = 2 × A.

    Vezi răspunsul

    d2 = 2 × 98 = 196, deci d = 14 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un pătrat are perimetrul egal cu perimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile 14 cm și 6 cm. Calculează latura pătratului, apoi compară ariile celor două figuri.

    Vezi răspunsul

    Perimetrul: 2 × (14 + 6) = 40 cm, deci latura pătratului este 10 cm. Ariile: 100 cm2 față de 84 cm2; pătratul are aria mai mare, cu 16 cm2.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Diagonala unui pătrat este bisectoarea unui unghi de 90°. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți rezultate.

    Vezi răspunsul

    90° : 2 = 45° fiecare

  15. 15. Dificultate ridicată

    Un teren pătrat are aria de 400 m2. Se dorește împrejmuirea lui cu gard. Calculează lungimea laturii terenului, apoi lungimea totală a gardului necesar.

    Vezi răspunsul

    Latura: √400 = 20 m; gardul: 4 × 20 = 80 m.

  16. 16. Excelență

    Un pătrat este înscris într-un cerc (toate cele 4 vârfuri ale pătratului se află pe cerc). Diagonala pătratului este egală cu diametrul cercului. Dacă raza cercului este 7 cm, calculează diagonala pătratului, apoi aria pătratului, folosind formula A = d2 : 2.

    Vezi răspunsul

    d = 2 × 7 = 14 cm; A = 142 : 2 = 98 cm2.

  17. 17. Excelență

    Un pătrat are aria egală cu aria unui romb cu diagonalele de 12 cm și 18 cm. Calculează latura pătratului (folosind mai întâi aria rombului, apoi formula A = l2), aproximând rezultatul dacă este necesar.

    Vezi răspunsul

    Aria rombului: 12 × 18 : 2 = 108 cm2. Latura pătratului: √108 = 6√3 ≈ 10,39 cm.

  18. 18. Excelență

    Se dă un pătrat cu perimetrul 60 cm. În interiorul lui se înscrie un romb, ale cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor pătratului. Explică, folosind proprietățile de simetrie, de ce acest romb este, de fapt, tot un pătrat, apoi calculează perimetrul lui (indiciu: latura rombului este diagonala unui pătrat mai mic, cu latura egală cu jumătate din latura pătratului mare).

    Vezi răspunsul

    Latura pătratului mare este 15 cm. Prin rotația de 90° în jurul centrului, pătratul și mijloacele laturilor lui rămân pe loc, deci rombul are și unghiurile egale (90°): este pătrat. Latura lui este diagonala unui pătrat cu latura 7,5 cm, adică 7,5√2 cm, iar perimetrul este 30√2 ≈ 42,43 cm.

  19. 19. Excelență

    Un pătrat cu latura x cm are aria numeric egală cu perimetrul unui alt pătrat cu latura de 8 cm. Scrie ecuația corespunzătoare (x2 = perimetrul celuilalt pătrat) și rezolv-o pentru a afla x.

    Vezi răspunsul

    x2 = 4 × 8 = 32, deci x = √32 = 4√2 ≈ 5,66 cm.

  20. 20. Excelență

    Se dau două pătrate, unul cu latura de 6 cm, celălalt cu latura de 8 cm. Calculează suma ariilor celor două pătrate, apoi verifică dacă această sumă este egală cu aria unui al treilea pătrat, cu latura de 10 cm (observă legătura cu tripletul numeric 6-8-10).

    Vezi răspunsul

    36 + 64 = 100 cm2, exact aria pătratului cu latura 10 cm: da, pentru că 62 + 82 = 102.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.