Pătratul

Pătratul este simultan dreptunghi și romb: are toate laturile egale și toate unghiurile drepte. Diagonalele sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și bisectează unghiurile.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Pătratul are patru laturi egale, patru unghiuri drepte și diagonale egale, perpendiculare.

Pătratul, dreptunghi și romb în același timp

Pătratul este patrulaterul cu toate laturile egale și toate unghiurile de 90°. Practic, este în același timp dreptunghi și romb, deci moștenește proprietățile amândurora.

De la dreptunghi ia diagonalele egale, iar de la romb diagonalele perpendiculare și faptul că ele bisectează unghiurile. Așadar, diagonalele pătratului sunt egale, perpendiculare, se înjumătățesc și fac cu laturile unghiuri de 45°.

Din cauza acestor proprietăți, cele patru triunghiuri formate de diagonale sunt dreptunghice isoscele și congruente.

pătrat = dreptunghi + romb

diagonalele: egale, perpendiculare, bisectoare

unghiul dintre diagonală și latură: 45°

Pătratul este singurul patrulater care are toate cele patru proprietăți deodată.
Diagonala împarte unghiul de 90° în două unghiuri de 45°.

Exemplu rezolvat

În pătratul ABCD, cât măsoară unghiul dintre diagonala AC și latura AB?

1.Diagonala pătratului este bisectoarea unghiului din vârf.
2.Unghiul din vârful A are 90°, iar diagonala îl împarte în două părți egale.
3.Deci unghiul dintre AC și AB are 45°.

Perimetrul și aria pătratului

Toate laturile fiind egale, perimetrul este P = 4 × a, iar aria este A = a × a = a².

Formulele merg și invers: din perimetru afli latura împărțind la 4, iar din arie o afli extrăgând rădăcina pătrată: a = √A.

Dintre toate dreptunghiurile cu același perimetru, pătratul are aria cea mai mare — de aceea un pătrat și un dreptunghi cu același perimetru nu au aceeași arie.

P = 4 × a

A = a²

a = √A

Aria unui pătrat este un pătrat perfect, dacă latura este număr întreg.
Din arie afli latura cu rădăcina pătrată, apoi perimetrul.

Exemplu rezolvat

Un pătrat are același perimetru ca un dreptunghi de 16 cm pe 4 cm. Cu câți cm² este mai mare aria pătratului?

1.Perimetrul dreptunghiului este 2 × (16 + 4) = 40 cm, deci latura pătratului este 10 cm.
2.Aria pătratului este 100 cm², iar aria dreptunghiului 16 × 4 = 64 cm².
3.Diferența este 100 − 64 = 36 cm².

Diagonala pătratului

Diagonala împarte pătratul în două triunghiuri dreptunghice isoscele, cu catetele egale cu latura. Din teorema lui Pitagora rezultă formula diagonalei: d = a√2.

Astfel, un pătrat cu latura 6 cm are diagonala 6√2 cm, iar unul cu latura 5 cm are diagonala 5√2 cm.

Formula merge și invers: din diagonală afli latura împărțind la √2, adică a = d : √2 = d√2 : 2.

d = a√2

a = d : √2

7√2 : √2 = 7

Diagonala este întotdeauna mai lungă decât latura, de aproximativ 1,41 ori.
Când diagonala este dată sub forma k√2, latura este chiar k.

Exemplu rezolvat

Diagonala unui pătrat este 7√2 cm. Cât are latura?

1.Folosim formula d = a√2, deci 7√2 = a√2.
2.Împărțim ambele părți la √2.
3.Rezultă a = 7 cm.

Aria calculată din diagonală

Pătratul fiind și romb, aria lui se poate calcula și din diagonale: A = (d × d) : 2 = d² : 2, fiindcă ambele diagonale au aceeași lungime.

Astfel, un pătrat cu diagonala de 10 cm are aria 100 : 2 = 50 cm², fără să mai fie nevoie să afli latura.

A = d² : 2

d = 10 ⇒ A = 50 cm²

Formula scurtează calculul: nu mai treci prin latură.
Verificare: din A = a² și d = a√2 rezultă d² = 2a², deci A = d² : 2.

Exemplu rezolvat

Diagonala unui pătrat este 8 cm. Calculează aria.

1.Aplicăm formula ariei din diagonală: A = d² : 2.
2.Calculăm 8² = 64, apoi împărțim la 2.
3.Aria este 32 cm².

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui pătrat cu latura de 11 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 11 = 44 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează aria unui pătrat cu latura de 12 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 × 12 = 144 cm²
Ex. 3Dificultate redusă
Un pătrat are perimetrul de 36 cm. Calculează lungimea laturii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 : 4 = 9 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Un pătrat are aria de 81 cm². Calculează lungimea laturii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√81 = 9 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Ce proprietăți moștenește pătratul de la romb?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate laturile sunt congruente, iar diagonalele sunt perpendiculare și bisectoare ale unghiurilor.
Ex. 6Dificultate medie
Un pătrat are diagonala de 14 cm. Calculează aria, folosind formula A = d² : 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
14² : 2 = 196 : 2 = 98 cm²
Ex. 7Dificultate medie
Un pătrat are latura de 9 cm. Calculează lungimea diagonalei, folosind formula d = l × √2, apoi aproximează rezultatul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 9√2 ≈ 9 × 1,414 ≈ 12,73 cm
Ex. 8Dificultate medie
Ce proprietăți moștenește pătratul de la dreptunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate unghiurile sunt drepte, iar diagonalele sunt congruente.
Ex. 9Dificultate medie
Un pătrat MNPQ are diagonalele care se intersectează în O. Ce măsură are fiecare dintre cele 4 unghiuri formate de diagonale în O?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° fiecare: diagonalele pătratului sunt perpendiculare.
Ex. 10Dificultate medie
Un dreptunghi are toate laturile congruente. Ce fel de patrulater este acesta? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pătrat: un dreptunghi cu toate laturile congruente.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un romb are toate unghiurile congruente. Demonstrează că acest romb este, de fapt, un pătrat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiurile rombului au suma 360°; fiind toate congruente, fiecare are 90°. Un romb cu unghiurile drepte este pătrat.
Ex. 12Dificultate ridicată
Aria unui pătrat este 98 cm². Calculează lungimea diagonalei, folosind formula d² = 2 × A.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d² = 2 × 98 = 196, deci d = 14 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un pătrat are perimetrul egal cu perimetrul unui dreptunghi cu dimensiunile 14 cm și 6 cm. Calculează latura pătratului, apoi compară ariile celor două figuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Perimetrul: 2 × (14 + 6) = 40 cm, deci latura pătratului este 10 cm. Ariile: 100 cm² față de 84 cm²; pătratul are aria mai mare, cu 16 cm².
Ex. 14Dificultate ridicată
Diagonala unui pătrat este bisectoarea unui unghi de 90°. Calculează măsura fiecăreia dintre cele două jumătăți rezultate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° : 2 = 45° fiecare
Ex. 15Dificultate ridicată
Un teren pătrat are aria de 400 m². Se dorește împrejmuirea lui cu gard. Calculează lungimea laturii terenului, apoi lungimea totală a gardului necesar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura: √400 = 20 m; gardul: 4 × 20 = 80 m.
Ex. 16Excelență
Un pătrat este înscris într-un cerc (toate cele 4 vârfuri ale pătratului se află pe cerc). Diagonala pătratului este egală cu diametrul cercului. Dacă raza cercului este 7 cm, calculează diagonala pătratului, apoi aria pătratului, folosind formula A = d² : 2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
d = 2 × 7 = 14 cm; A = 14² : 2 = 98 cm².
Ex. 17Excelență
Un pătrat are aria egală cu aria unui romb cu diagonalele de 12 cm și 18 cm. Calculează latura pătratului (folosind mai întâi aria rombului, apoi formula A = l²), aproximând rezultatul dacă este necesar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria rombului: 12 × 18 : 2 = 108 cm². Latura pătratului: √108 = 6√3 ≈ 10,39 cm.
Ex. 18Excelență
Se dă un pătrat cu perimetrul 60 cm. În interiorul lui se înscrie un romb, ale cărui vârfuri sunt mijloacele laturilor pătratului. Explică, folosind proprietățile de simetrie, de ce acest romb este, de fapt, tot un pătrat, apoi calculează perimetrul lui (indiciu: latura rombului este diagonala unui pătrat mai mic, cu latura egală cu jumătate din latura pătratului mare).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura pătratului mare este 15 cm. Prin rotația de 90° în jurul centrului, pătratul și mijloacele laturilor lui rămân pe loc, deci rombul are și unghiurile egale (90°): este pătrat. Latura lui este diagonala unui pătrat cu latura 7,5 cm, adică 7,5√2 cm, iar perimetrul este 30√2 ≈ 42,43 cm.
Ex. 19Excelență
Un pătrat cu latura x cm are aria numeric egală cu perimetrul unui alt pătrat cu latura de 8 cm. Scrie ecuația corespunzătoare (x² = perimetrul celuilalt pătrat) și rezolv-o pentru a afla x.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x² = 4 × 8 = 32, deci x = √32 = 4√2 ≈ 5,66 cm.
Ex. 20Excelență
Se dau două pătrate, unul cu latura de 6 cm, celălalt cu latura de 8 cm. Calculează suma ariilor celor două pătrate, apoi verifică dacă această sumă este egală cu aria unui al treilea pătrat, cu latura de 10 cm (observă legătura cu tripletul numeric 6-8-10).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 + 64 = 100 cm², exact aria pătratului cu latura 10 cm: da, pentru că 6² + 8² = 10².