Dreptunghiul

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept; în consecință, toate cele patru unghiuri sunt de 90°. Diagonalele sale sunt egale și se înjumătățesc reciproc.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

În dreptunghi, diagonalele AC și BD sunt egale și se înjumătățesc.

Ce este un dreptunghi

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Fiindcă unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare, dacă unul are 90°, toate au 90°.

Deci dreptunghiul păstrează toate proprietățile paralelogramului — laturi opuse paralele și egale, diagonale care se înjumătățesc — și adaugă una nouă: diagonalele sunt egale între ele.

Această proprietate în plus deosebește dreptunghiul de un paralelogram oarecare: AC = BD.

paralelogram + un unghi de 90° ⇒ dreptunghi

AC = BD

Orice dreptunghi este paralelogram, dar nu orice paralelogram este dreptunghi.
Diagonalele egale sunt semnul distinctiv al dreptunghiului.

Exemplu rezolvat

Ce proprietate are dreptunghiul, dar nu o are orice paralelogram?

1.Într-un paralelogram oarecare, diagonalele se înjumătățesc, dar au lungimi diferite.
2.În dreptunghi, cele două diagonale au aceeași lungime.
3.Deci proprietatea specifică este că diagonalele sunt egale.

Perimetrul și aria

Perimetrul dreptunghiului se calculează cu P = 2 × (L + l), unde L este lungimea și l este lățimea, iar aria cu A = L × l.

Formulele merg și invers: din perimetru și o latură o afli pe cealaltă, iar din arie și o latură afli latura rămasă.

Când problema dă o relație între laturi — de exemplu lungimea de 3 ori mai mare decât lățimea — scrii perimetrul în părți egale: 2 × (3l + l) = 8l.

P = 2 × (L + l)

A = L × l

l = A : L

Perimetrul se măsoară în cm, aria în cm².
Jumătatea perimetrului este suma celor două laturi alăturate.

Exemplu rezolvat

Lungimea unui dreptunghi este de 3 ori mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 48 cm. Calculează aria.

1.Jumătatea perimetrului este 24 cm, adică L + l, unde L = 3l, deci 4l = 24.
2.Rezultă l = 6 cm și L = 18 cm.
3.Aria este 18 × 6 = 108 cm².

Diagonalele dreptunghiului

Diagonalele unui dreptunghi sunt egale și se înjumătățesc reciproc. Din ambele proprietăți rezultă că punctul lor de intersecție se află la aceeași distanță de toate cele patru vârfuri.

Deci, dacă O este intersecția diagonalelor, avem AO = OC = BO = OD = AC : 2 = BD : 2.

Fiecare diagonală împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente.

AC = BD

AO = OC = BO = OD = AC : 2

Jumătatea unei diagonale este egală cu jumătatea celeilalte.
Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul dreptunghiului.

Exemplu rezolvat

În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O și BD = 20 cm. Cât este OC?

1.Diagonalele dreptunghiului sunt egale, deci AC = BD = 20 cm.
2.Ele se înjumătățesc, deci OC = AC : 2.
3.Rezultă OC = 10 cm.

Unghiuri formate de diagonale

O diagonală formează cu laturile dreptunghiului două unghiuri complementare, fiindcă împreună completează unghiul drept al vârfului: dacă diagonala face 35° cu o latură, face 55° cu cealaltă.

Diagonalele împart dreptunghiul în patru triunghiuri isoscele, fiindcă toate jumătățile de diagonală sunt egale. Dacă un unghi dintre diagonale are 60°, triunghiul respectiv devine echilateral, iar latura lui este egală cu jumătatea diagonalei.

unghiurile diagonalei cu laturile: α + β = 90°

AO = BO ⇒ triunghi isoscel

Suma unghiurilor pe care o diagonală le face cu cele două laturi ale unui vârf este 90°.
Un unghi de 60° între diagonale transformă triunghiul în echilateral.

Exemplu rezolvat

În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O, ∢AOB = 60° și AC = 12 cm. Cât este AB?

1.Jumătățile diagonalelor sunt egale: AO = BO = 6 cm, deci triunghiul AOB este isoscel.
2.Unghiul dintre laturile egale are 60°, deci celelalte două unghiuri au tot 60°: triunghiul este echilateral.
3.Rezultă AB = AO = 6 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 18 cm și lățimea de 10 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (18 + 10) = 56 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează aria unui dreptunghi cu lungimea de 12 cm și lățimea de 7 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 × 7 = 84 cm²
Ex. 3Dificultate redusă
Un dreptunghi are diagonala AC = 17 cm. Calculează diagonala BD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BD = AC = 17 cm (diagonalele dreptunghiului sunt congruente)
Ex. 4Dificultate redusă
Diagonalele unui dreptunghi se intersectează în O. Dacă BO = 11 cm, calculează BD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BD = 2 × 11 = 22 cm
Ex. 5Dificultate redusă
Ce proprietate au unghiurile unui dreptunghi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate sunt unghiuri drepte (90°).
Ex. 6Dificultate medie
Un dreptunghi are perimetrul de 56 cm, iar lungimea este de 3 ori mai mare decât lățimea. Calculează lungimea și lățimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (3l + l) = 56, deci l = 7 cm și L = 21 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Un dreptunghi are aria de 108 cm² și lungimea de 12 cm. Calculează lățimea, apoi perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lățimea: 108 : 12 = 9 cm; perimetrul: 2 × (12 + 9) = 42 cm.
Ex. 8Dificultate medie
Diagonalele unui dreptunghi au lungimea de 30 cm fiecare. Calculează distanța de la punctul de intersecție al diagonalelor până la fiecare vârf.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
30 : 2 = 15 cm până la fiecare vârf.
Ex. 9Dificultate medie
Un patrulater are toate cele 4 unghiuri de 90° și laturile opuse egale. Ce fel de patrulater este acesta? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dreptunghi: are laturile opuse egale (paralelogram) și toate unghiurile drepte.
Ex. 10Dificultate medie
Un dreptunghi are lungimea cu 6 cm mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 60 cm. Calculează lungimea și lățimea.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L + l = 30 și L = l + 6: l = 12 cm, L = 18 cm.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un paralelogram MNPQ are diagonalele MP = NQ = 22 cm. Demonstrează, folosind proprietatea specifică, că MNPQ este dreptunghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi; aici MP = NQ = 22 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un dreptunghi are aria de 216 cm², iar raportul dintre lungime și lățime este 43. Calculează lungimea și lățimea dreptunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L = 4k, l = 3k, iar 12k² = 216 dă k = 3√2: L = 12√2 cm, l = 9√2 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un teren dreptunghiular are perimetrul de 120 m. Se dorește împărțirea lui în 2 loturi egale, printr-un gard paralel cu lățimea. Dacă lungimea terenului este 40 m, calculează lățimea terenului, apoi lungimea gardului despărțitor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (40 + l) = 120, deci lățimea este 20 m; gardul, paralel cu lățimea, are tot 20 m.
Ex. 14Dificultate ridicată
Diagonala unui dreptunghi are 13 cm, iar una dintre laturi are 5 cm. Calculează cealaltă latură.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
13² − 5² = √144 = 12 cm
Ex. 15Dificultate ridicată
Un dreptunghi MNPQ are aria de 120 cm², iar diagonalele se intersectează în O, formând 4 triunghiuri. Explică de ce toate cele 4 triunghiuri formate au aceeași arie, egală cu un sfert din aria dreptunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O este mijlocul fiecărei diagonale. De exemplu, △MON și △NOP au baze egale (MO = OP) și aceeași înălțime din N, deci arii egale; la fel pentru celelalte. Fiecare are 120 : 4 = 30 cm².
Ex. 16Excelență
Un dreptunghi are perimetrul 68 cm. Dacă lungimea crește cu 4 cm, iar lățimea scade cu 4 cm, aria noului dreptunghi este cu 60 cm² mai mică decât aria inițială. Calculează dimensiunile dreptunghiului inițial.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
L + l = 34, iar (L + 4)(l − 4) = Ll − 60 dă L − l = 11. Deci L = 22,5 cm și l = 11,5 cm.
Ex. 17Excelență
Un dreptunghi ABCD are AB = 24 cm și BC = 18 cm. Calculează lungimea diagonalei AC (testând, prin încercare, numere naturale care respectă AC² = AB² + BC²).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AC² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900, deci AC = 30 cm.
Ex. 18Excelență
Un dreptunghi este împărțit, printr-o diagonală, în două triunghiuri congruente. Explică, folosind cazul de congruență LLL (laturile dreptunghiului plus diagonala comună), de ce cele două triunghiuri sunt congruente.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
△ABC și △CDA au AB = CD și BC = DA (laturi opuse), iar AC este latură comună: sunt congruente (LLL).
Ex. 19Excelență
Un teren dreptunghiular cu aria de 480 m² este împărțit în 3 loturi dreptunghiulare egale, prin 2 linii paralele cu lățimea. Dacă lungimea terenului este 40 m, calculează lățimea terenului, apoi aria fiecărui lot rezultat.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lățimea: 480 : 40 = 12 m; fiecare lot: 480 : 3 = 160 m².
Ex. 20Excelență
Se dau două dreptunghiuri, unul cu dimensiunile 8 cm × 6 cm, celălalt cu dimensiunile 12 cm × 4 cm. Calculează aria fiecăruia, apoi determină dacă cele două dreptunghiuri au același perimetru sau aceeași arie (unul dintre cele două, sau niciunul).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Ariile: 8 × 6 = 48 cm² și 12 × 4 = 48 cm², deci au aceeași arie. Perimetrele diferă: 28 cm și 32 cm.