Dreptunghiul

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce este un dreptunghi

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Fiindcă unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare, dacă unul are 90°, toate au 90°.

Deci dreptunghiul păstrează toate proprietățile paralelogramului — laturi opuse paralele și egale, diagonale care se înjumătățesc — și adaugă una nouă: diagonalele sunt egale între ele.

Această proprietate în plus deosebește dreptunghiul de un paralelogram oarecare: AC = BD.

De ținut minte

paralelogram + un unghi de 90° ⇒ dreptunghi

AC = BD

Orice dreptunghi este paralelogram, dar nu orice paralelogram este dreptunghi.
Diagonalele egale sunt semnul distinctiv al dreptunghiului.

Exemplu rezolvat

Ce proprietate are dreptunghiul, dar nu o are orice paralelogram?

1Într-un paralelogram oarecare, diagonalele se înjumătățesc, dar au lungimi diferite.
2În dreptunghi, cele două diagonale au aceeași lungime.
3Deci proprietatea specifică este că diagonalele sunt egale.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Dreptunghiul: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept; în consecință, toate cele patru unghiuri sunt de 90°. Diagonalele sale sunt egale și se înjumătățesc reciproc.

Ce este un dreptunghi

Dreptunghiul este un paralelogram cu un unghi drept. Fiindcă unghiurile alăturate ale unui paralelogram sunt suplementare, dacă unul are 90°, toate au 90°.

Această proprietate în plus deosebește dreptunghiul de un paralelogram oarecare: AC = BD.

paralelogram + un unghi de 90° ⇒ dreptunghi
AC = BD

Orice dreptunghi este paralelogram, dar nu orice paralelogram este dreptunghi.
Diagonalele egale sunt semnul distinctiv al dreptunghiului.

Exemplu rezolvat

Ce proprietate are dreptunghiul, dar nu o are orice paralelogram?

Într-un paralelogram oarecare, diagonalele se înjumătățesc, dar au lungimi diferite.
În dreptunghi, cele două diagonale au aceeași lungime.
Deci proprietatea specifică este că diagonalele sunt egale.

Perimetrul și aria

Perimetrul dreptunghiului se calculează cu P = 2 × (L + l), unde L este lungimea și l este lățimea, iar aria cu A = L × l.

Formulele merg și invers: din perimetru și o latură o afli pe cealaltă, iar din arie și o latură afli latura rămasă.

Când problema dă o relație între laturi — de exemplu lungimea de 3 ori mai mare decât lățimea — scrii perimetrul în părți egale: 2 × (3l + l) = 8l.

P = 2 × (L + l)
A = L × l
l = A : L

Perimetrul se măsoară în cm, aria în cm².
Jumătatea perimetrului este suma celor două laturi alăturate.

Exemplu rezolvat

Lungimea unui dreptunghi este de 3 ori mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 48 cm. Calculează aria.

Jumătatea perimetrului este 24 cm, adică L + l, unde L = 3l, deci 4l = 24.
Rezultă l = 6 cm și L = 18 cm.
Aria este 18 × 6 = 108 cm².

Diagonalele dreptunghiului

Diagonalele unui dreptunghi sunt egale și se înjumătățesc reciproc. Din ambele proprietăți rezultă că punctul lor de intersecție se află la aceeași distanță de toate cele patru vârfuri.

Deci, dacă O este intersecția diagonalelor, avem AO = OC = BO = OD = AC : 2 = BD : 2.

Fiecare diagonală împarte dreptunghiul în două triunghiuri dreptunghice congruente.

AC = BD
AO = OC = BO = OD = AC : 2

Jumătatea unei diagonale este egală cu jumătatea celeilalte.
Punctul de intersecție al diagonalelor este centrul dreptunghiului.

Exemplu rezolvat

În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O și BD = 20 cm. Cât este OC?

Diagonalele dreptunghiului sunt egale, deci AC = BD = 20 cm.
Ele se înjumătățesc, deci OC = AC : 2.
Rezultă OC = 10 cm.

Unghiuri formate de diagonale

O diagonală formează cu laturile dreptunghiului două unghiuri complementare, fiindcă împreună completează unghiul drept al vârfului: dacă diagonala face 35° cu o latură, face 55° cu cealaltă.

Diagonalele împart dreptunghiul în patru triunghiuri isoscele, fiindcă toate jumătățile de diagonală sunt egale. Dacă un unghi dintre diagonale are 60°, triunghiul respectiv devine echilateral, iar latura lui este egală cu jumătatea diagonalei.

unghiurile diagonalei cu laturile: α + β = 90°
AO = BO ⇒ triunghi isoscel

Suma unghiurilor pe care o diagonală le face cu cele două laturi ale unui vârf este 90°.
Un unghi de 60° între diagonale transformă triunghiul în echilateral.

Exemplu rezolvat

În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O, ∢AOB = 60° și AC = 12 cm. Cât este AB?

Jumătățile diagonalelor sunt egale: AO = BO = 6 cm, deci triunghiul AOB este isoscel.
Unghiul dintre laturile egale are 60°, deci celelalte două unghiuri au tot 60°: triunghiul este echilateral.
Rezultă AB = AO = 6 cm.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează perimetrul unui dreptunghi de 14 cm pe 8 cm.
Vezi rezolvarea
1. P = 2(14 + 8) = 44 cm.
Răspuns: 44
Exercițiul 2
Calculează aria unui dreptunghi de 10 cm pe 6 cm.
Vezi rezolvarea
1. A = 10 · 6 = 60 cm².
Răspuns: 60
Exercițiul 3
Dacă AC = 15 cm într-un dreptunghi, cât este BD?
Vezi rezolvarea
1. BD = AC = 15 cm.
Răspuns: 15
Exercițiul 4
Diagonalele se intersectează în O și AO = 9 cm. Cât este AC?
Vezi rezolvarea
1. AC = 2 · AO = 18 cm.
Răspuns: 18
Exercițiul 5
Un paralelogram cu un unghi de 90° este...
Vezi rezolvarea
1. Dacă un unghi al paralelogramului este drept, toate cele patru sunt drepte.
Răspuns: dreptunghi
Exercițiul 6
Un dreptunghi are perimetrul 36 cm și lungimea 11 cm. Cât este lățimea, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. L + l = 18.
2. l = 18 − 11.
3. l = 7 cm.
Răspuns: 7
Exercițiul 7
Un dreptunghi are aria 54 cm² și lățimea 6 cm. Cât este lungimea, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. 54 = L · 6.
2. L = 54 : 6.
3. L = 9 cm.
Răspuns: 9
Exercițiul 8
În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O și BD = 20 cm. Cât este OC, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. AC = BD = 20 cm.
2. O este mijlocul lui AC.
3. OC = 10 cm.
Răspuns: 10
Exercițiul 9
Care proprietate o are dreptunghiul, dar nu o are orice paralelogram?
Vezi rezolvarea
1. Celelalte trei proprietăți sunt ale oricărui paralelogram.
2. Diagonalele egale sunt specifice dreptunghiului.
3. Răspunsul: diagonalele sunt egale.
Răspuns: Diagonalele sunt egale
Exercițiul 10
În dreptunghiul ABCD, diagonala AC formează cu latura AB un unghi de 35°. Cât măsoară unghiul dintre AC și AD, în grade?
Vezi rezolvarea
1. ∢BAC + ∢CAD = ∢BAD = 90°.
2. ∢CAD = 90° − 35°.
3. ∢CAD = 55°.
Răspuns: 55
Exercițiul 11
În dreptunghiul ABCD, diagonalele se intersectează în O, ∢AOB = 60° și AC = 12 cm. Cât este AB, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. OA = OB = 12 : 2 = 6 cm, deci triunghiul AOB este isoscel.
2. Un triunghi isoscel cu un unghi de 60° este echilateral.
3. AB = 6 cm.
Răspuns: 6
Exercițiul 12
Lungimea unui dreptunghi este de 3 ori mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 48 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. 2(3l + l) = 48, deci 8l = 48 și l = 6 cm.
2. L = 18 cm.
3. A = 18 · 6 = 108 cm².
Răspuns: 108

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui dreptunghi cu lungimea de 18 cm și lățimea de 10 cm.
Vezi răspunsul
2 × (18 + 10) = 56 cm
2. Dificultate redusă
Calculează aria unui dreptunghi cu lungimea de 12 cm și lățimea de 7 cm.
Vezi răspunsul
12 × 7 = 84 cm²
3. Dificultate redusă
Un dreptunghi are diagonala AC = 17 cm. Calculează diagonala BD.
Vezi răspunsul
BD = AC = 17 cm (diagonalele dreptunghiului sunt congruente)
4. Dificultate redusă
Diagonalele unui dreptunghi se intersectează în O. Dacă BO = 11 cm, calculează BD.
Vezi răspunsul
BD = 2 × 11 = 22 cm
5. Dificultate redusă
Ce proprietate au unghiurile unui dreptunghi?
Vezi răspunsul
Toate sunt unghiuri drepte (90°).
6. Dificultate medie
Un dreptunghi are perimetrul de 56 cm, iar lungimea este de 3 ori mai mare decât lățimea. Calculează lungimea și lățimea.
Vezi răspunsul
2 × (3l + l) = 56, deci l = 7 cm și L = 21 cm.
7. Dificultate medie
Un dreptunghi are aria de 108 cm² și lungimea de 12 cm. Calculează lățimea, apoi perimetrul.
Vezi răspunsul
Lățimea: 108 : 12 = 9 cm; perimetrul: 2 × (12 + 9) = 42 cm.
8. Dificultate medie
Diagonalele unui dreptunghi au lungimea de 30 cm fiecare. Calculează distanța de la punctul de intersecție al diagonalelor până la fiecare vârf.
Vezi răspunsul
30 : 2 = 15 cm până la fiecare vârf.
9. Dificultate medie
Un patrulater are toate cele 4 unghiuri de 90° și laturile opuse egale. Ce fel de patrulater este acesta? Justifică.
Vezi răspunsul
Dreptunghi: are laturile opuse egale (paralelogram) și toate unghiurile drepte.
10. Dificultate medie
Un dreptunghi are lungimea cu 6 cm mai mare decât lățimea, iar perimetrul este 60 cm. Calculează lungimea și lățimea.
Vezi răspunsul
L + l = 30 și L = l + 6: l = 12 cm, L = 18 cm.
11. Dificultate ridicată
Un paralelogram MNPQ are diagonalele MP = NQ = 22 cm. Demonstrează, folosind proprietatea specifică, că MNPQ este dreptunghi.
Vezi răspunsul
Un paralelogram cu diagonalele congruente este dreptunghi; aici MP = NQ = 22 cm.
12. Dificultate ridicată
Un dreptunghi are aria de 216 cm², iar raportul dintre lungime și lățime este 43. Calculează lungimea și lățimea dreptunghiului.
Vezi răspunsul
L = 4k, l = 3k, iar 12k² = 216 dă k = 3√2: L = 12√2 cm, l = 9√2 cm.
13. Dificultate ridicată
Un teren dreptunghiular are perimetrul de 120 m. Se dorește împărțirea lui în 2 loturi egale, printr-un gard paralel cu lățimea. Dacă lungimea terenului este 40 m, calculează lățimea terenului, apoi lungimea gardului despărțitor.
Vezi răspunsul
2 × (40 + l) = 120, deci lățimea este 20 m; gardul, paralel cu lățimea, are tot 20 m.
14. Dificultate ridicată
Diagonala unui dreptunghi are 13 cm, iar una dintre laturi are 5 cm. Calculează cealaltă latură.
Vezi răspunsul
13² − 5² = √144 = 12 cm
15. Dificultate ridicată
Un dreptunghi MNPQ are aria de 120 cm², iar diagonalele se intersectează în O, formând 4 triunghiuri. Explică de ce toate cele 4 triunghiuri formate au aceeași arie, egală cu un sfert din aria dreptunghiului.
Vezi răspunsul
O este mijlocul fiecărei diagonale. De exemplu, △MON și △NOP au baze egale (MO = OP) și aceeași înălțime din N, deci arii egale; la fel pentru celelalte. Fiecare are 120 : 4 = 30 cm².
16. Excelență
Un dreptunghi are perimetrul 68 cm. Dacă lungimea crește cu 4 cm, iar lățimea scade cu 4 cm, aria noului dreptunghi este cu 60 cm² mai mică decât aria inițială. Calculează dimensiunile dreptunghiului inițial.
Vezi răspunsul
L + l = 34, iar (L + 4)(l − 4) = Ll − 60 dă L − l = 11. Deci L = 22,5 cm și l = 11,5 cm.
17. Excelență
Un dreptunghi ABCD are AB = 24 cm și BC = 18 cm. Calculează lungimea diagonalei AC (testând, prin încercare, numere naturale care respectă AC² = AB² + BC²).
Vezi răspunsul
AC² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900, deci AC = 30 cm.
18. Excelență
Un dreptunghi este împărțit, printr-o diagonală, în două triunghiuri congruente. Explică, folosind cazul de congruență LLL (laturile dreptunghiului plus diagonala comună), de ce cele două triunghiuri sunt congruente.
Vezi răspunsul
△ABC și △CDA au AB = CD și BC = DA (laturi opuse), iar AC este latură comună: sunt congruente (LLL).
19. Excelență
Un teren dreptunghiular cu aria de 480 m² este împărțit în 3 loturi dreptunghiulare egale, prin 2 linii paralele cu lățimea. Dacă lungimea terenului este 40 m, calculează lățimea terenului, apoi aria fiecărui lot rezultat.
Vezi răspunsul
Lățimea: 480 : 40 = 12 m; fiecare lot: 480 : 3 = 160 m².
20. Excelență
Se dau două dreptunghiuri, unul cu dimensiunile 8 cm × 6 cm, celălalt cu dimensiunile 12 cm × 4 cm. Calculează aria fiecăruia, apoi determină dacă cele două dreptunghiuri au același perimetru sau aceeași arie (unul dintre cele două, sau niciunul).
Vezi răspunsul
Ariile: 8 × 6 = 48 cm² și 12 × 4 = 48 cm², deci au aceeași arie. Perimetrele diferă: 28 cm și 32 cm.