Teorie înainte de exerciții
Poligoane regulate înscrise în cerc
Un poligon regulat înscris are toate vârfurile pe cerc și toate laturile egale. Centrul cercului împarte figura în n triunghiuri isoscele congruente, unul pentru fiecare latură.
Figura de referință
Citește desenul înainte de formule
Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.
Poligonul regulat înscris și unghiul la centru
Un poligon regulat are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Înscris în cerc, el are toate vârfurile pe cerc, iar fiecare latură a lui este o coardă.
Razele duse către vârfuri împart cercul în n arce egale, deci fiecare unghi la centru are măsura 360° : n.
Formula merge și invers: dacă știi unghiul la centru, numărul de laturi este n = 360° : unghi.
- Fiecare latură a poligonului înscris este o coardă a cercului.
- Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât seamănă mai mult cu cercul.
Exemplu rezolvat
Un poligon regulat are unghiul la centru de 30°. Câte laturi are?
- 1.Unghiurile la centru acoperă împreună 360°.
- 2.Împărțim: 360 : 30.
- 3.Poligonul are 12 laturi.
Unghiul interior al unui poligon regulat
Unghiul interior al unui poligon regulat cu n laturi se calculează cu formula [(n − 2) × 180°] : n, fiindcă suma unghiurilor unui poligon cu n laturi este (n − 2) × 180°.
Pentru pătrat, cu n = 4, rezultă (2 × 180°) : 4 = 90°. Pentru hexagonul regulat, cu n = 6, rezultă (4 × 180°) : 6 = 120°.
Unghiul interior și unghiul la centru sunt legate: împreună cu unghiurile triunghiului isoscel format de două raze, ele se completează până la 180°.
- Unghiul interior crește odată cu numărul de laturi, dar rămâne sub 180°.
- Nu confunda unghiul interior cu unghiul la centru: la hexagon sunt 120° și 60°.
Exemplu rezolvat
Cât este unghiul interior al unui hexagon regulat?
- 1.Suma unghiurilor unui hexagon este (6 − 2) × 180° = 720°.
- 2.Toate cele 6 unghiuri sunt egale, deci împărțim: 720 : 6.
- 3.Fiecare unghi interior are 120°.
Hexagonul regulat înscris
Hexagonul regulat este cazul cel mai prietenos: latura lui este egală cu raza cercului circumscris.
Motivul este că unghiul la centru are 60°, deci triunghiul format de două raze și o latură este isoscel cu un unghi de 60° la vârf, adică echilateral.
De aici, perimetrul hexagonului regulat este P = 6 × R, iar raza se află împărțind perimetrul la 6.
- Doar la hexagon latura este egală cu raza; la alte poligoane nu.
- Hexagonul regulat se împarte în 6 triunghiuri echilaterale.
Exemplu rezolvat
Un hexagon regulat are perimetrul 36 cm. Care este raza cercului circumscris?
- 1.Hexagonul are 6 laturi egale, deci latura este 36 : 6 = 6 cm.
- 2.La hexagonul regulat, latura este egală cu raza cercului circumscris.
- 3.Deci raza are 6 cm.
Pătratul înscris în cerc
La pătratul înscris, diagonala trece prin centrul cercului, deci este chiar diametrul: d = 2R.
Cum diagonala pătratului este a√2, rezultă latura: a√2 = 2R, deci a = R√2. Pentru un cerc de rază 4 cm, latura pătratului înscris este 4√2 cm.
Unghiul la centru al pătratului este 360° : 4 = 90°, ceea ce se potrivește cu faptul că diagonalele pătratului sunt perpendiculare.
- Diagonala pătratului înscris este diametrul cercului.
- Pentru orice poligon regulat înscris, vârfurile împart cercul în arce egale.
Exemplu rezolvat
Un pătrat este înscris într-un cerc cu diametrul 10 cm. Cât este diagonala pătratului?
- 1.Diagonalele pătratului înscris trec prin centrul cercului.
- 2.Deci fiecare diagonală este chiar un diametru al cercului.
- 3.Diagonala are 10 cm.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Cât măsoară unghiul la centru al unui hexagon regulat înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° : 6 = 60°
- Ex. 2Dificultate redusă
Cât este unghiul la centru pentru un octogon regulat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° : 8 = 45°
- Ex. 3Dificultate redusă
Cât este unghiul interior al unui pătrat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°
- Ex. 4Dificultate redusă
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu R = 7 cm. Cât este latura?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 cm: la hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza.
- Ex. 5Dificultate redusă
În problema anterioară, cât este perimetrul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 × 7 = 42 cm
- Ex. 6Dificultate medie
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază 4 cm. Scrie latura în funcție de radical.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Diagonala pătratului este diametrul, 8 cm, deci latura este 8√2 = 4√2 cm.
- Ex. 7Dificultate medie
Ce reprezintă fiecare latură a unui poligon înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O coardă a cercului.
- Ex. 8Dificultate medie
Un poligon regulat are unghiul la centru de 30°. Câte laturi are?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360° : 30° = 12 laturi
- Ex. 9Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Cât măsoară unghiul la centru al unui hexagon regulat înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
60°: cele 6 unghiuri la centru sunt egale și acoperă 360°, deci fiecare are 360° : 6.
- Ex. 10Dificultate medie
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Cât este unghiul la centru pentru un octogon regulat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
45°: cele 8 unghiuri la centru sunt egale și acoperă 360°, deci fiecare are 360° : 8.
- Ex. 11Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Cât este unghiul interior al unui pătrat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°: pătratul are toate unghiurile egale, iar suma lor este 360°, deci fiecare are 360° : 4.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu R = 7 cm. Cât este latura?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 cm: unghiul la centru are 60°, iar triunghiul format de centru și o latură este isoscel cu unghiul de 60°, adică echilateral. Latura este egală cu raza.
- Ex. 13Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: În problema anterioară, cât este perimetrul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
42 cm: hexagonul are 6 laturi de câte 7 cm.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un pătrat este înscris într-un cerc de rază 4 cm. Scrie latura în funcție de radical.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4√2 cm: diagonala pătratului înscris este diametrul (8 cm), iar diagonala unui pătrat este l√2, deci l = 8√2 = 4√2.
- Ex. 15Dificultate ridicată
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Ce reprezintă fiecare latură a unui poligon înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
O coardă: capetele fiecărei laturi sunt vârfuri ale poligonului, iar vârfurile se află pe cerc.
- Ex. 16Excelență
Rezolvă din nou fără indiciu și justifică fiecare pas: Un poligon regulat are unghiul la centru de 30°. Câte laturi are?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 laturi: unghiurile la centru sunt egale și acoperă 360°, deci n = 360° : 30°.
- Ex. 17Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Cât măsoară unghiul la centru al unui hexagon regulat înscris?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: la un poligon regulat cu n laturi, unghiul la centru este 360° : n. Pentru hexagon: 360° : 6 = 60°.
- Ex. 18Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Cât este unghiul la centru pentru un octogon regulat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: unghiul la centru este 360° : n. Pentru octogon: 360° : 8 = 45°.
- Ex. 19Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Cât este unghiul interior al unui pătrat?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: suma unghiurilor unui patrulater este 360°, iar la pătrat toate sunt egale. Deci 360° : 4 = 90°.
- Ex. 20Excelență
Explică în cuvinte regula de care ai nevoie, apoi rezolvă: Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu R = 7 cm. Cât este latura?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Regula: la hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza cercului. Deci latura are 7 cm.