Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Poligonul regulat înscris și unghiul la centru
Un poligon regulat are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Înscris în cerc, el are toate vârfurile pe cerc, iar fiecare latură a lui este o coardă.
Razele duse către vârfuri împart cercul în n arce egale, deci fiecare unghi la centru are măsura 360° : n.
Formula merge și invers: dacă știi unghiul la centru, numărul de laturi este n = 360° : unghi.
🧮 De ținut minte
unghi la centru = 360° : n
n = 360° : unghi la centru
hexagon: 360° : 6 = 60°
✓Fiecare latură a poligonului înscris este o coardă a cercului.
✓Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât seamănă mai mult cu cercul.
✏️Exemplu rezolvat · alte date
Un poligon regulat înscris are 12 laturi. Află unghiul la centru dintre două vârfuri vecine.
1Cercul complet are 360°.
2Vârfurile împart cercul în 12 arce egale.
3Unghiul este 36012 = 30°.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Poligoane regulate înscrise în cerc: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Un poligon regulat înscris are toate vârfurile pe cerc și toate laturile egale. Centrul cercului împarte figura în n triunghiuri isoscele congruente, unul pentru fiecare latură.
Poligonul regulat înscris și unghiul la centru
Un poligon regulat are toate laturile egale și toate unghiurile egale. Înscris în cerc, el are toate vârfurile pe cerc, iar fiecare latură a lui este o coardă.
Razele duse către vârfuri împart cercul în n arce egale, deci fiecare unghi la centru are măsura 360° : n.
Formula merge și invers: dacă știi unghiul la centru, numărul de laturi este n = 360° : unghi.
unghi la centru = 360° : n
n = 360° : unghi la centru
hexagon: 360° : 6 = 60°
•Fiecare latură a poligonului înscris este o coardă a cercului.
•Cu cât poligonul are mai multe laturi, cu atât seamănă mai mult cu cercul.
Exemplu rezolvat · alte date
Un poligon regulat înscris are 12 laturi. Află unghiul la centru dintre două vârfuri vecine.
Cercul complet are 360°.
Vârfurile împart cercul în 12 arce egale.
Unghiul este 36012 = 30°.
Unghiul interior al unui poligon regulat
Unghiul interior al unui poligon regulat cu n laturi se calculează cu formula [(n − 2) × 180°] : n, fiindcă suma unghiurilor unui poligon cu n laturi este (n − 2) × 180°.
Pentru pătrat, cu n = 4, rezultă (2 × 180°) : 4 = 90°. Pentru hexagonul regulat, cu n = 6, rezultă (4 × 180°) : 6 = 120°.
Unghiul interior și unghiul la centru sunt legate: împreună cu unghiurile triunghiului isoscel format de două raze, ele se completează până la 180°.
suma unghiurilor = (n − 2) × 180°
unghi interior = [(n − 2) × 180°] : n
•Unghiul interior crește odată cu numărul de laturi, dar rămâne sub 180°.
•Nu confunda unghiul interior cu unghiul la centru: la hexagon sunt 120° și 60°.
Exemplu rezolvat
Cât este unghiul interior al unui hexagon regulat?
Suma unghiurilor unui hexagon este (6 − 2) × 180° = 720°.
Toate cele 6 unghiuri sunt egale, deci împărțim: 720 : 6.
Fiecare unghi interior are 120°.
Hexagonul regulat înscris
Hexagonul regulat este cazul cel mai prietenos: latura lui este egală cu raza cercului circumscris.
Motivul este că unghiul la centru are 60°, deci triunghiul format de două raze și o latură este isoscel cu un unghi de 60° la vârf, adică echilateral.
De aici, perimetrul hexagonului regulat este P = 6 × R, iar raza se află împărțind perimetrul la 6.
latura hexagonului = R
P = 6 × R
R = P : 6
•Doar la hexagon latura este egală cu raza; la alte poligoane nu.
•Hexagonul regulat se împarte în 6 triunghiuri echilaterale.
Exemplu rezolvat
Un hexagon regulat are perimetrul 36 cm. Care este raza cercului circumscris?
Hexagonul are 6 laturi egale, deci latura este 36 : 6 = 6 cm.
La hexagonul regulat, latura este egală cu raza cercului circumscris.
Deci raza are 6 cm.
Pătratul înscris în cerc
La pătratul înscris, diagonala trece prin centrul cercului, deci este chiar diametrul: d = 2R.
Cum diagonala pătratului este a√2, rezultă latura: a√2 = 2R, deci a = R√2. Pentru un cerc de rază 4 cm, latura pătratului înscris este 4√2 cm.
Unghiul la centru al pătratului este 360° : 4 = 90°, ceea ce se potrivește cu faptul că diagonalele pătratului sunt perpendiculare.
diagonala pătratului înscris = 2R
a = R√2
unghi la centru = 90°
•Diagonala pătratului înscris este diametrul cercului.
•Pentru orice poligon regulat înscris, vârfurile împart cercul în arce egale.
Exemplu rezolvat · alte date
Un pătrat este înscris într-un cerc cu raza 7 cm. Află diagonala pătratului.
Diagonala unește două vârfuri opuse și trece prin centru.
Ea este diametrul cercului.
Diagonala este 2·7 = 14 cm.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Cât măsoară unghiul la centru al unui hexagon regulat înscris?
Vezi rezolvarea
360° : 6 = 60°.
Răspuns: 60°
Exercițiul 2
Cât este unghiul la centru pentru un octogon regulat?
Vezi rezolvarea
360° : 8 = 45°.
Răspuns: 45°
Exercițiul 3
Cât este unghiul interior al unui pătrat?
Vezi rezolvarea
(4 − 2) · 180° : 4 = 90°.
Răspuns: 90°
Exercițiul 4
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu R = 7 cm. Cât este latura?
Vezi rezolvarea
l = R = 7 cm.
Răspuns: 7
Exercițiul 5
În problema anterioară, cât este perimetrul?
Vezi rezolvarea
P = 6 · 7 = 42 cm.
Răspuns: 42
Exercițiul 6
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază 4 cm. Scrie latura în funcție de radical.
Vezi rezolvarea
l = 4√2 cm.
Răspuns: 4√2
Exercițiul 7
Ce reprezintă fiecare latură a unui poligon înscris?
Vezi rezolvarea
Segmentul dintre două puncte ale cercului este o coardă.
Răspuns: O coardă
Exercițiul 8
Un poligon regulat are unghiul la centru de 30°. Câte laturi are?
Vezi rezolvarea
n = 360° : 30° = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 9
Cât este unghiul la centru al unui pentagon regulat, în grade?
Vezi rezolvarea
Pentagonul are n = 5 laturi.
360 : 5 = 72.
Unghiul la centru are 72°.
Răspuns: 72
Exercițiul 10
Cât este unghiul interior al unui hexagon regulat, în grade?
Vezi rezolvarea
(6 − 2) · 180° = 720°.
720° : 6 = 120°.
Unghiul interior are 120°.
Răspuns: 120
Exercițiul 11
Un hexagon regulat are perimetrul 36 cm. Care este raza cercului circumscris, în centimetri?
Vezi rezolvarea
Latura este 36 : 6 = 6 cm.
l = R pentru hexagon.
R = 6 cm.
Răspuns: 6
Exercițiul 12
Un pătrat este înscris într-un cerc cu diametrul 10 cm. Cât este diagonala pătratului?
Vezi rezolvarea
Diagonala trece prin centrul cercului.
Capetele ei sunt pe cerc.
Deci diagonala este un diametru: 10 cm.
Răspuns: 10 cm
Fișă de consolidare din material (8)
1. Dificultate redusă
Cât măsoară unghiul la centru al unui hexagon regulat înscris?
Vezi răspunsul
360° : 6 = 60°
2. Dificultate redusă
Cât este unghiul la centru pentru un octogon regulat?
Vezi răspunsul
360° : 8 = 45°
3. Dificultate redusă
Cât este unghiul interior al unui pătrat?
Vezi răspunsul
90°
4. Dificultate redusă
Un hexagon regulat este înscris într-un cerc cu R = 7 cm. Cât este latura?
Vezi răspunsul
7 cm: la hexagonul regulat înscris, latura este egală cu raza.
5. Dificultate redusă
În problema anterioară, cât este perimetrul?
Vezi răspunsul
6 × 7 = 42 cm
6. Dificultate medie
Un pătrat este înscris într-un cerc de rază 4 cm. Scrie latura în funcție de radical.
Vezi răspunsul
Diagonala pătratului este diametrul, 8 cm, deci latura este 8√2 = 4√2 cm.
7. Dificultate medie
Ce reprezintă fiecare latură a unui poligon înscris?
Vezi răspunsul
O coardă a cercului.
8. Dificultate medie
Un poligon regulat are unghiul la centru de 30°. Câte laturi are?