Încărcăm partea curentă…

Numere reale

Numere iraționale și mulțimea ℝ

Toate numerele de până acum — naturale, întregi, raționale — pot fi scrise ca fracție ab. Există însă numere care nu pot fi scrise așa: ele se numesc iraționale.

Cele mai cunoscute sunt rădăcinile pătrate ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte: √2, √3, √5. Scrise ca zecimale, au o infinitate de zecimale care nu se repetă după niciun tipar: √2 ≈ 1,41421356…

Mulțimea numerelor reale, notată ℝ, cuprinde toate numerele raționale împreună cu toate cele iraționale, deci ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

De ținut minte

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
√2 ≈ 1,41421356…
  • O fracție dă mereu zecimale finite sau periodice; un irațional, niciodată.
  • √25 = 5 este rațional, deși are radical: contează rezultatul, nu forma scrisă.

Exemplu rezolvat

Care dintre numerele √25 și √2 este rațional?

  1. 1Calculăm √25 = 5, fiindcă 52 = 25, iar 5 se poate scrie 51.
  2. 2Numărul 2 nu este pătrat perfect, deci √2 are zecimale infinite, fără tipar.
  3. 3Prin urmare √25 este rațional, iar √2 este irațional.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Mulțimea numerelor reale reunește numerele raționale și iraționale. Radicalii ne ajută să scriem exact valori care nu au o reprezentare zecimală finită sau periodică.

Numere iraționale și mulțimea ℝ

Toate numerele de până acum — naturale, întregi, raționale — pot fi scrise ca fracție ab. Există însă numere care nu pot fi scrise așa: ele se numesc iraționale.

Cele mai cunoscute sunt rădăcinile pătrate ale numerelor care nu sunt pătrate perfecte: √2, √3, √5. Scrise ca zecimale, au o infinitate de zecimale care nu se repetă după niciun tipar: √2 ≈ 1,41421356…

Mulțimea numerelor reale, notată ℝ, cuprinde toate numerele raționale împreună cu toate cele iraționale, deci ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ.

  • ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ
  • √2 ≈ 1,41421356…
  • O fracție dă mereu zecimale finite sau periodice; un irațional, niciodată.
  • √25 = 5 este rațional, deși are radical: contează rezultatul, nu forma scrisă.

Exemplu rezolvat

Care dintre numerele √25 și √2 este rațional?

  1. Calculăm √25 = 5, fiindcă 52 = 25, iar 5 se poate scrie 51.
  2. Numărul 2 nu este pătrat perfect, deci √2 are zecimale infinite, fără tipar.
  3. Prin urmare √25 este rațional, iar √2 este irațional.

Rădăcina pătrată și pătratele perfecte

Rădăcina pătrată a unui număr a, cu a ≥ 0, este numărul nenegativ care ridicat la pătrat dă a: √a = b, unde b2 = a.

De exemplu, √25 = 5, fiindcă 52 = 25. Numerele a căror rădăcină pătrată este un număr natural se numesc pătrate perfecte: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Ridicarea la pătrat și extragerea rădăcinii se anulează una pe alta: (√5)2 = 5, pentru orice număr nenegativ.

  • √a = b ⇔ b2 = a și b ≥ 0
  • (√a)2 = a
  • pătrate perfecte: 1, 4, 9, 16, 25, …
  • Merită învățate pe de rost pătratele numerelor de la 1 la 15.
  • Nu există rădăcină pătrată dintr-un număr negativ, în mulțimea numerelor reale.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează (√7)2 + √121.

  1. (√7)2 = 7, deoarece radicalul pătrat și pătratul se anulează pentru 7 ≥ 0.
  2. √121 = 11, fiindcă 112 = 121.
  3. Suma este 18.

Aproximarea unei rădăcini pătrate

Dacă numărul de sub radical nu este pătrat perfect, rădăcina lui este irațională și poate fi doar aproximată.

Metoda este încadrarea: cauți cele două pătrate perfecte consecutive între care se află numărul. Pentru √20 observi că 16 < 20 < 25, adică 42 < 20 < 52, deci 4 < √20 < 5.

Ca să vezi de care capăt este mai aproape, compari numărul cu mijlocul intervalului. Cum 20 este mai aproape de 16 decât de 25, √20 ≈ 4,47, mai aproape de 4,5.

  • 16 < 20 < 25 ⇒ 4 < √20 < 5
  • √20 ≈ 4,47
  • Caută pătratele perfecte imediat mai mic și imediat mai mare decât numărul.
  • Rădăcina crește mai încet decât numărul: între 49 și 64 sunt 15 unități, dar rădăcinile diferă doar cu 1.

Exemplu rezolvat · alte date

Între ce naturali consecutivi este √70?

  1. 82 = 64 și 92 = 81.
  2. 64 < 70 < 81.
  3. Rezultă 8 < √70 < 9.

Simplificarea radicalilor

Rădăcina unui produs este produsul rădăcinilor: a × b = √a × √b, pentru numere nenegative. Proprietatea permite scoaterea factorilor de sub radical.

Ca să simplifici √50, descompui numărul într-un produs care conține un pătrat perfect: 50 = 25 × 2, deci √50 = √25 × √2 = 5√2.

Radicalii cu aceeași parte de sub radical se pot aduna, ca termenii asemenea: 3√2 + 2√2 = 5√2. Radicalii cu numere diferite sub radical nu se pot aduna direct.

  • a × b = √a × √b
  • √50 = 5√2
  • 3√2 + 2√2 = 5√2
  • Caută cel mai mare pătrat perfect care divide numărul de sub radical.
  • Înainte să aduni radicali, simplifică-i: poate ajung la aceeași formă.

Exemplu rezolvat · alte date

Simplifică √75 + √12.

  1. √75 = 25·3 = 5√3.
  2. √12 = 4·3 = 2√3.
  3. Suma este 7√3; se adună coeficienții aceluiași radical.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Care dintre numere este irațional?

    Vezi rezolvarea
    1. √2 nu poate fi scris ca fracție de numere întregi.
    2. √9 = 3, iar celelalte două valori sunt raționale.

    Răspuns: √2

  2. Exercițiul 2

    Calculează √121.

    Vezi rezolvarea
    1. 112 = 121, deci √121 = 11.

    Răspuns: 11

  3. Exercițiul 3

    Care relație între mulțimile de numere este corectă?

    Vezi rezolvarea
    1. Numerele naturale sunt întregi, întregii sunt raționali, iar raționalii sunt reali.

    Răspuns: ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ ⊆ ℝ

  4. Exercițiul 4

    Simplifică √75.

    Vezi rezolvarea
    1. √75 = 25 · 3.
    2. Scoatem √25 = 5 și obținem 5√3.

    Răspuns: 5√3

  5. Exercițiul 5

    Între ce numere naturale consecutive se află √30?

    Vezi rezolvarea
    1. 25 < 30 < 36, deci 5 < √30 < 6.

    Răspuns: 5 și 6

  6. Exercițiul 6

    Calculează √144.

    Vezi rezolvarea
    1. 122 = 144.
    2. 12 este nenegativ.
    3. √144 = 12.

    Răspuns: 12

  7. Exercițiul 7

    Calculează √49 − √16.

    Vezi rezolvarea
    1. √49 = 7.
    2. √16 = 4.
    3. 7 − 4 = 3.

    Răspuns: 3

  8. Exercițiul 8

    Care număr este rațional?

    Vezi rezolvarea
    1. 25 = 52, deci √25 = 5.
    2. 5 = 51 este rațional.
    3. √3, √7 și π sunt iraționale.

    Răspuns: √25

  9. Exercițiul 9

    Simplifică √12.

    Vezi rezolvarea
    1. 12 = 4 × 3.
    2. √12 = √4 × √3.
    3. √12 = 2√3.

    Răspuns: 2√3

  10. Exercițiul 10

    Între ce numere naturale consecutive se află √50?

    Vezi rezolvarea
    1. 49 < 50 < 64.
    2. √49 < √50 < √64.
    3. 7 < √50 < 8.

    Răspuns: 7 și 8

  11. Exercițiul 11

    Calculează (√5)2 + √81.

    Vezi rezolvarea
    1. (√5)2 = 5.
    2. √81 = 9.
    3. 5 + 9 = 14.

    Răspuns: 14

  12. Exercițiul 12

    Calculează √18 + √8.

    Vezi rezolvarea
    1. √18 = 9 × 2 = 3√2.
    2. √8 = 4 × 2 = 2√2.
    3. 3√2 + 2√2 = 5√2 (nu √26: radicalii nu se adună sub același semn).

    Răspuns: 5√2

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează: √4, √64, √144.

    Vezi răspunsul

    2, 8, 12

  2. 2. Dificultate redusă

    Este numărul 40 un pătrat perfect? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Nu: 62 = 36 < 40 < 49 = 72, deci nu este pătratul niciunui număr natural.

  3. 3. Dificultate redusă

    Scrie primele 8 pătrate perfecte (de la 12 la 82).

    Vezi răspunsul

    1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64

  4. 4. Dificultate redusă

    Încadrează √15 între două numere naturale consecutive.

    Vezi răspunsul

    3 < √15 < 4 (9 < 15 < 16)

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează: √25 + √49.

    Vezi răspunsul

    5 + 7 = 12

  6. 6. Dificultate medie

    Simplifică: √48.

    Vezi răspunsul

    √48 = 16 · 3 = 4√3

  7. 7. Dificultate medie

    Simplifică: √98.

    Vezi răspunsul

    √98 = 49 · 2 = 7√2

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează: √100 − √36.

    Vezi răspunsul

    10 − 6 = 4

  9. 9. Dificultate medie

    Încadrează √70 între două numere naturale consecutive, apoi estimează o valoare aproximativă cu o zecimală.

    Vezi răspunsul

    8 < √70 < 9. Cu o zecimală: 8,32 = 68,89 < 70 < 70,56 = 8,42, deci √70 ≈ 8,4 (mai exact 8,37).

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează: √9 × √16, apoi verifică rezultatul calculând direct 9 × 16.

    Vezi răspunsul

    √9 × √16 = 3 × 4 = 12; direct: √144 = 12.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Simplifică expresia: √27 + √12.

    Vezi răspunsul

    3√3 + 2√3 = 5√3

  12. 12. Dificultate ridicată

    Calculează: 2√3 × 3√12, simplificând mai întâi √12.

    Vezi răspunsul

    √12 = 2√3, deci 2√3 × 3 × 2√3 = 12 × 3 = 36.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un pătrat are aria de 72 cm2. Calculează lungimea laturii, simplificând rădăcina pătrată obținută.

    Vezi răspunsul

    Latura = √72 = 36 · 2 = 6√2 cm.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Încadrează numărul √150 între două numere naturale consecutive, apoi simplifică radicalul, scoțând factorul pătrat perfect.

    Vezi răspunsul

    12 < √150 < 13 (144 < 150 < 169); √150 = 25 · 6 = 5√6.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Calculează: √180 − √45 + √20, simplificând fiecare radical, apoi reducând termenii asemenea rezultați.

    Vezi răspunsul

    6√5 − 3√5 + 2√5 = 5√5

  16. 16. Excelență

    Simplifică expresia: √8 + √18 − √2, apoi calculează valoarea numerică aproximativă, folosind √2 ≈ 1,41.

    Vezi răspunsul

    2√2 + 3√2 − √2 = 4√2 ≈ 4 × 1,41 = 5,64

  17. 17. Excelență

    Un dreptunghi are lungimea √48 cm și lățimea √3 cm. Calculează aria dreptunghiului, simplificând radicalii înainte de înmulțire.

    Vezi răspunsul

    √48 = 4√3, deci A = 4√3 × √3 = 4 × 3 = 12 cm2.

  18. 18. Excelență

    Calculează: (√5 + √3) × (√5 − √3), folosind formula de calcul prescurtat (a+b)(a−b) = a2 − b2 (chiar dacă formula va fi studiată detaliat ulterior, poți aplica ideea direct pentru radicali).

    Vezi răspunsul

    (√5)2 − (√3)2 = 5 − 3 = 2

  19. 19. Excelență

    Un pătrat are perimetrul numeric egal cu √200 (adică suma laturilor, exprimată ca radical simplificat). Calculează lungimea unei laturi, simplificând mai întâi √200.

    Vezi răspunsul

    √200 = 10√2, deci latura = 10√2 : 4 = 5√22.

  20. 20. Excelență

    Încadrează numărul 5 + √20 între două numere naturale consecutive, simplificând mai întâi radicalul și folosind o aproximare potrivită.

    Vezi răspunsul

    √20 = 2√5 ≈ 4,47, deci 5 + √20 ≈ 9,47: între 9 și 10.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.