Axa numerelor reale

Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axă. Pentru radicalii care nu sunt pătrate perfecte folosim încadrări și aproximări, iar distanța dintre două puncte se calculează cu modulul diferenței.

Urmează exemplul rezolvat pas cu pas, apoi lucrează fișa progresivă din material.

Axa numerelor reale

Pe axa numerelor reale, fiecărui punct îi corespunde exact un număr real și fiecărui număr real îi corespunde exact un punct. Această potrivire perfectă este posibilă doar cu numerele reale: mulțimea numerelor raționale lasă goluri pe axă, exact acolo unde ar sta numerele iraționale.

Regula rămâne cea știută: cu cât un punct este mai la dreapta, cu atât numărul este mai mare. Numerele negative stau la stânga originii, iar opusul unui număr se află de partea cealaltă, la aceeași distanță.

Radicalii se așază pe axă prin încadrare: cum 4 < 5 < 9, rezultă 2 < √5 < 3, deci punctul lui √5 se află între 2 și 3. Există și o construcție exactă, cu rigla și compasul: diagonala unui pătrat cu latura 1 măsoară exact √2 și poate fi rotită pe axă cu compasul.

fiecărui punct îi corespunde un număr real

4 < 5 < 9 ⇒ 2 < √5 < 3

diagonala pătratului cu latura 1 este √2

Pentru −√5, semnul minus mută punctul în stânga originii: −3 < −√5 < −2.
Între oricare două numere reale există o infinitate de alte numere reale.

Exemplu rezolvat

Între ce numere întregi consecutive se află −√5?

1.Încadrăm mai întâi √5: cum 4 < 5 < 9, avem 2 < √5 < 3.
2.Semnul minus inversează ordinea: −3 < −√5 < −2.
3.Deci −√5 se află între −3 și −2.

Compararea numerelor reale

Ca să compari numere scrise în forme diferite — întregi, fracții, radicali — le aduci la aceeași formă sau le aproximezi zecimal, apoi le așezi pe axă.

Exemplu: comparăm √5 cu 2,3. Cum √5 ≈ 2,236, iar 2,236 < 2,3, rezultă √5 < 2,3.

Pentru radicali există și o cale fără aproximare: ridici ambele numere la pătrat. Ca să compari √10 cu 3, compari 10 cu 9; cum 10 > 9, rezultă √10 > 3.

√5 ≈ 2,236 < 2,3

√10 > 3, fiindcă 10 > 9

52 = 2,5

Compararea prin ridicare la pătrat funcționează doar pentru numere nenegative.
Transformă fracțiile în zecimale înainte de comparație: 43 ≈ 1,33.

Exemplu rezolvat

Cum se compară √10 cu 3?

1.Scriem 3 ca radical: 3 = √9.
2.Comparăm numerele de sub radical: 10 > 9.
3.Rădăcina fiind crescătoare, rezultă √10 > 3.

Distanța dintre două puncte

Distanța dintre punctele de coordonate a și b se calculează cu modulul diferenței: d(a, b) = |a − b|. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă modulul șterge semnul.

Regula funcționează pentru orice numere reale, inclusiv pentru radicali: distanța dintre √2 și 3 este |√2 − 3| = 3 − √2 ≈ 1,59, fiindcă √2 este mai mic decât 3.

d(a, b) = |a − b| = |b − a|

d(−2, 5) = |−2 − 5| = 7

Distanța nu este niciodată negativă.
Între un număr negativ și unul pozitiv, distanța este suma modulelor.

Exemplu rezolvat

Calculează distanța dintre punctele cu coordonatele −6 și −1.

1.Aplicăm formula: d = |−6 − (−1)|.
2.Calculăm în interiorul modulului: −6 + 1 = −5.
3.Distanța este |−5| = 5 unități.

Mijlocul unui segment pe axă

Coordonata mijlocului unui segment este media aritmetică a coordonatelor capetelor: m = (a + b) : 2. Punctul astfel obținut se află la distanțe egale de cele două capete.

Formula merge și invers: dacă știi un capăt și mijlocul, afli celălalt capăt cu b = 2m − a. Practic, de la capăt până la mijloc este tot atât cât de la mijloc până la celălalt capăt.

m = (a + b) : 2

b = 2m − a

Verifică rezultatul: distanțele de la mijloc la cele două capete trebuie să fie egale.
Formula funcționează și cu numere negative, fără nicio schimbare.

Exemplu rezolvat

Punctul A are coordonata 3, iar mijlocul segmentului AB are coordonata 7. Care este coordonata lui B?

1.De la A la mijloc sunt 7 − 3 = 4 unități.
2.De la mijloc la B trebuie să fie tot 4 unități: 7 + 4.
3.Coordonata lui B este 11. Verificare: (3 + 11) : 2 = 7.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Reprezintă aproximativ pe axa numerelor: 1, 2, √3 (aproximat la 1,7).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
În ordine: 1, apoi √3 ≈ 1,7 (între 1 și 2, mai aproape de 2), apoi 2.
Ex. 2Dificultate redusă
Compară: √9 și 3,2.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√9 = 3 < 3,2
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele 2 și 9 pe axa numerelor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
9 − 2 = 7
Ex. 4Dificultate redusă
Este √16 un număr rațional sau irațional? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Rațional: √16 = 4.
Ex. 5Dificultate redusă
Aproximează √12 între două numere naturale consecutive.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 < √12 < 4 (9 < 12 < 16)
Ex. 6Dificultate medie
Compară: √11 și 3, folosind o aproximare a lui √11.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√11 ≈ 3,32 > 3 (sau: 11 > 9 = 3²).
Ex. 7Dificultate medie
Ordonează crescător: 1, √2, 2,2, √5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
1 < √2 < 2,2 < √5 (√2 ≈ 1,41, √5 ≈ 2,24)
Ex. 8Dificultate medie
Calculează distanța dintre √3 și 5 (folosind aproximarea √3 ≈ 1,73).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 − 1,73 = 3,27
Ex. 9Dificultate medie
Compară: 53 și √3. Care este mai mare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√3 este mai mare: (53)² = 259 ≈ 2,78 < 3.
Ex. 10Dificultate medie
Aproximează √22 cu o zecimală, folosind încadrarea între pătrate perfecte consecutive.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 < √22 < 5; 4,6² = 21,16 și 4,7² = 22,09, deci √22 ≈ 4,7.
Ex. 11Dificultate ridicată
Ordonează crescător numerele: √7, 2,8, 114, √5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√5 < √7 < 114 < 2,8
Ex. 12Dificultate ridicată
Calculează distanța dintre √72 (simplificat) și 7, folosind o aproximare potrivită.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√72 = 6√2 ≈ 8,49, deci distanța până la 7 este ≈ 1,49.
Ex. 13Dificultate ridicată
Se dau numerele a = √27 și b = 92. Calculează a + b, aproximativ, folosind o aproximare a lui √27 cu o zecimală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√27 ≈ 5,2, deci a + b ≈ 5,2 + 4,5 = 9,7.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un punct B pe axa numerelor reprezintă valoarea √32 (simplificată și aproximată). Calculează distanța de la punctul B până la punctul care reprezintă numărul 6.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√32 = 4√2 ≈ 5,66, deci distanța până la 6 este ≈ 0,34.
Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau trei numere reale: √28, 112, 5,1. Ordonează-le crescător, aproximând radicalul cu o zecimală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√28 ≈ 5,3: 5,1 < √28 < 112.
Ex. 16Excelență
Trei puncte pe axa numerelor reprezintă valorile √2, √8 și √18. Verifică dacă acestea sunt, în ordine, termeni ai unui șir cu o regulă simplă (de exemplu, multipli ai lui √2), simplificând fiecare radical.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: √2, √8 = 2√2, √18 = 3√2, adică 1, 2 și 3 înmulțiți cu √2.
Ex. 17Excelență
Un punct P se află exact la mijlocul distanței dintre √3 și √27 pe axa numerelor. Simplifică √27, apoi calculează valoarea aproximativă a punctului P (media aritmetică a celor două valori aproximate).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√27 = 3√3; P = (√3 + 3√3) : 2 = 2√3 ≈ 3,46.
Ex. 18Excelență
Se dau numerele √45 și √20. Simplifică ambele expresii, apoi calculează diferența dintre ele (fără aproximare, ca expresie cu radical), și verifică dacă rezultatul este un multiplu întreg al lui √5.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√45 = 3√5, √20 = 2√5; diferența este √5, adică 1 × √5 (multiplu întreg al lui √5).
Ex. 19Excelență
Un dreptunghi are lungimea reprezentată de punctul √50 de pe axa numerelor, iar lățimea de punctul √8. Simplifică ambii radicali, apoi calculează aria dreptunghiului ca produs al celor două expresii simplificate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
√50 = 5√2, √8 = 2√2; aria = 5√2 × 2√2 = 20.
Ex. 20Excelență
Trei numere reale, a = √3, b = √12 și c = √27, par să respecte o regulă de tipul c = k × a și b = m × a, unde k și m sunt numere naturale. Simplifică b și c, apoi determină valorile lui k și m.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
b = √12 = 2√3, deci m = 2; c = √27 = 3√3, deci k = 3.