Axa numerelor reale

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Axa numerelor reale

Pe axa numerelor reale, fiecărui punct îi corespunde exact un număr real și fiecărui număr real îi corespunde exact un punct. Această potrivire perfectă este posibilă doar cu numerele reale: mulțimea numerelor raționale lasă goluri pe axă, exact acolo unde ar sta numerele iraționale.

Regula rămâne cea știută: cu cât un punct este mai la dreapta, cu atât numărul este mai mare. Numerele negative stau la stânga originii, iar opusul unui număr se află de partea cealaltă, la aceeași distanță.

Radicalii se așază pe axă prin încadrare: cum 4 < 5 < 9, rezultă 2 < √5 < 3, deci punctul lui √5 se află între 2 și 3. Există și o construcție exactă, cu rigla și compasul: diagonala unui pătrat cu latura 1 măsoară exact √2 și poate fi rotită pe axă cu compasul.

De ținut minte

fiecărui punct îi corespunde un număr real

4 < 5 < 9 ⇒ 2 < √5 < 3

diagonala pătratului cu latura 1 este √2

Pentru −√5, semnul minus mută punctul în stânga originii: −3 < −√5 < −2.
Între oricare două numere reale există o infinitate de alte numere reale.

Exemplu rezolvat · alte date

Între ce întregi consecutivi este −√13?

13² < 13 < 4², deci 3 < √13 < 4.
2Înmulțirea cu −1 inversează ordinea.
3−4 < −√13 < −3.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Axa numerelor reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Fiecărui număr real îi corespunde un singur punct pe axă. Pentru radicalii care nu sunt pătrate perfecte folosim încadrări și aproximări, iar distanța dintre două puncte se calculează cu modulul diferenței.

Axa numerelor reale

fiecărui punct îi corespunde un număr real
4 < 5 < 9 ⇒ 2 < √5 < 3
diagonala pătratului cu latura 1 este √2

Pentru −√5, semnul minus mută punctul în stânga originii: −3 < −√5 < −2.
Între oricare două numere reale există o infinitate de alte numere reale.

Exemplu rezolvat · alte date

Între ce întregi consecutivi este −√13?

3² < 13 < 4², deci 3 < √13 < 4.
Înmulțirea cu −1 inversează ordinea.
−4 < −√13 < −3.

Compararea numerelor reale

Ca să compari numere scrise în forme diferite — întregi, fracții, radicali — le aduci la aceeași formă sau le aproximezi zecimal, apoi le așezi pe axă.

Exemplu: comparăm √5 cu 2,3. Cum √5 ≈ 2,236, iar 2,236 < 2,3, rezultă √5 < 2,3.

Pentru radicali există și o cale fără aproximare: ridici ambele numere la pătrat. Ca să compari √10 cu 3, compari 10 cu 9; cum 10 > 9, rezultă √10 > 3.

√5 ≈ 2,236 < 2,3
√10 > 3, fiindcă 10 > 9
52 = 2,5

Compararea prin ridicare la pătrat funcționează doar pentru numere nenegative.
Transformă fracțiile în zecimale înainte de comparație: 43 ≈ 1,33.

Exemplu rezolvat · alte date

Compară √17 și 4.

Ambele numere sunt nenegative, deci putem compara pătratele.
17 > 16 = 4².
Rezultă √17 > 4.

Distanța dintre două puncte

Distanța dintre punctele de coordonate a și b se calculează cu modulul diferenței: d(a, b) = |a − b|. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă modulul șterge semnul.

Regula funcționează pentru orice numere reale, inclusiv pentru radicali: distanța dintre √2 și 3 este |√2 − 3| = 3 − √2 ≈ 1,59, fiindcă √2 este mai mic decât 3.

d(a, b) = |a − b| = |b − a|
d(−2, 5) = |−2 − 5| = 7

Distanța nu este niciodată negativă.
Între un număr negativ și unul pozitiv, distanța este suma modulelor.

Exemplu rezolvat · alte date

Află distanța pe axă dintre −9 și 4.

Distanța este modulul diferenței coordonatelor.
|4 − (−9)| = |13|.
Distanța este 13 unități.

Mijlocul unui segment pe axă

Coordonata mijlocului unui segment este media aritmetică a coordonatelor capetelor: m = (a + b) : 2. Punctul astfel obținut se află la distanțe egale de cele două capete.

Formula merge și invers: dacă știi un capăt și mijlocul, afli celălalt capăt cu b = 2m − a. Practic, de la capăt până la mijloc este tot atât cât de la mijloc până la celălalt capăt.

m = (a + b) : 2
b = 2m − a

Verifică rezultatul: distanțele de la mijloc la cele două capete trebuie să fie egale.
Formula funcționează și cu numere negative, fără nicio schimbare.

Exemplu rezolvat · alte date

P are coordonata −1, iar mijlocul PQ are coordonata 5. Află coordonata lui Q.

Media capetelor trebuie să fie 5: −1 + q2 = 5.
−1 + q = 10.
q = 11; verificare: −1 + 112 = 5.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează distanța dintre punctele cu coordonatele 3 și 7.
Vezi rezolvarea
1. d = |3 − 7| = |−4| = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 2
Care comparație este corectă?
Vezi rezolvarea
1. 8 < 9, deci √8 < √9 = 3.
Răspuns: √8 < 3
Exercițiul 3
Care este ordinea crescătoare corectă?
Vezi rezolvarea
1. √3 ≈ 1,73, 52 = 2,5 și √8 ≈ 2,83.
Răspuns: √3 < 2 < 52 < √8
Exercițiul 4
Calculează distanța dintre −2 și 5 pe axă.
Vezi rezolvarea
1. d = |−7| = 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 5
Care este coordonata mijlocului segmentului dintre 2 și 8?
Vezi rezolvarea
1. Coordonata mijlocului este (2 + 8) : 2 = 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 6
Calculează distanța dintre punctele cu coordonatele −6 și −1.
Vezi rezolvarea
1. |−6 − (−1)| = |−5|.
2. |−5| = 5.
3. Distanța este 5.
Răspuns: 5
Exercițiul 7
Care este coordonata mijlocului segmentului dintre −4 și 10?
Vezi rezolvarea
1. (−4 + 10) : 2.
2. 6 : 2 = 3.
3. Mijlocul are coordonata 3.
Răspuns: 3
Exercițiul 8
Cum se compară √10 cu 3?
Vezi rezolvarea
1. 3 = √9.
2. 10 > 9, deci √10 > √9.
3. √10 > 3.
Răspuns: √10 > 3
Exercițiul 9
Între ce numere întregi consecutive se află −√5?
Vezi rezolvarea
1. 4 < 5 < 9, deci 2 < √5 < 3.
2. Înmulțind cu −1, sensul se schimbă: −3 < −√5 < −2.
3. −√5 se află între −3 și −2.
Răspuns: −3 și −2
Exercițiul 10
Care este ordinea crescătoare pentru √2, 1,5 și 43?
Vezi rezolvarea
1. 43 ≈ 1,33.
2. √2 ≈ 1,41.
3. 1,33 < 1,41 < 1,5, deci 43 < √2 < 1,5.
Răspuns: 43 < √2 < 1,5
Exercițiul 11
Punctul A are coordonata 3, iar mijlocul segmentului AB are coordonata 7. Care este coordonata lui B?
Vezi rezolvarea
1. Distanța de la A la mijloc este 7 − 3 = 4.
2. B este cu încă 4 unități la dreapta mijlocului.
3. B are coordonata 7 + 4 = 11.
Răspuns: 11
Exercițiul 12
Câte numere întregi se află pe axă între −√10 și √10?
Vezi rezolvarea
1. 9 < 10 < 16, deci 3 < √10 < 4.
2. Numerele întregi dintre −√10 și √10 sunt −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
3. Sunt 7 numere.
Răspuns: 7

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Reprezintă aproximativ pe axa numerelor: 1, 2, √3 (aproximat la 1,7).
Vezi răspunsul
În ordine: 1, apoi √3 ≈ 1,7 (între 1 și 2, mai aproape de 2), apoi 2.
2. Dificultate redusă
Compară: √9 și 3,2.
Vezi răspunsul
√9 = 3 < 3,2
3. Dificultate redusă
Calculează distanța dintre punctele 2 și 9 pe axa numerelor.
Vezi răspunsul
9 − 2 = 7
4. Dificultate redusă
Este √16 un număr rațional sau irațional? Justifică.
Vezi răspunsul
Rațional: √16 = 4.
5. Dificultate redusă
Aproximează √12 între două numere naturale consecutive.
Vezi răspunsul
3 < √12 < 4 (9 < 12 < 16)
6. Dificultate medie
Compară: √11 și 3, folosind o aproximare a lui √11.
Vezi răspunsul
√11 ≈ 3,32 > 3 (sau: 11 > 9 = 3²).
7. Dificultate medie
Ordonează crescător: 1, √2, 2,2, √5.
Vezi răspunsul
1 < √2 < 2,2 < √5 (√2 ≈ 1,41, √5 ≈ 2,24)
8. Dificultate medie
Calculează distanța dintre √3 și 5 (folosind aproximarea √3 ≈ 1,73).
Vezi răspunsul
5 − 1,73 = 3,27
9. Dificultate medie
Compară: 53 și √3. Care este mai mare?
Vezi răspunsul
√3 este mai mare: (53)² = 259 ≈ 2,78 < 3.
10. Dificultate medie
Aproximează √22 cu o zecimală, folosind încadrarea între pătrate perfecte consecutive.
Vezi răspunsul
4 < √22 < 5; 4,6² = 21,16 și 4,7² = 22,09, deci √22 ≈ 4,7.
11. Dificultate ridicată
Ordonează crescător numerele: √7, 2,8, 114, √5.
Vezi răspunsul
√5 < √7 < 114 < 2,8
12. Dificultate ridicată
Calculează distanța dintre √72 (simplificat) și 7, folosind o aproximare potrivită.
Vezi răspunsul
√72 = 6√2 ≈ 8,49, deci distanța până la 7 este ≈ 1,49.
13. Dificultate ridicată
Se dau numerele a = √27 și b = 92. Calculează a + b, aproximativ, folosind o aproximare a lui √27 cu o zecimală.
Vezi răspunsul
√27 ≈ 5,2, deci a + b ≈ 5,2 + 4,5 = 9,7.
14. Dificultate ridicată
Un punct B pe axa numerelor reprezintă valoarea √32 (simplificată și aproximată). Calculează distanța de la punctul B până la punctul care reprezintă numărul 6.
Vezi răspunsul
√32 = 4√2 ≈ 5,66, deci distanța până la 6 este ≈ 0,34.
15. Dificultate ridicată
Se dau trei numere reale: √28, 112, 5,1. Ordonează-le crescător, aproximând radicalul cu o zecimală.
Vezi răspunsul
√28 ≈ 5,3: 5,1 < √28 < 112.
16. Excelență
Trei puncte pe axa numerelor reprezintă valorile √2, √8 și √18. Verifică dacă acestea sunt, în ordine, termeni ai unui șir cu o regulă simplă (de exemplu, multipli ai lui √2), simplificând fiecare radical.
Vezi răspunsul
Da: √2, √8 = 2√2, √18 = 3√2, adică 1, 2 și 3 înmulțiți cu √2.
17. Excelență
Un punct P se află exact la mijlocul distanței dintre √3 și √27 pe axa numerelor. Simplifică √27, apoi calculează valoarea aproximativă a punctului P (media aritmetică a celor două valori aproximate).
Vezi răspunsul
√27 = 3√3; P = (√3 + 3√3) : 2 = 2√3 ≈ 3,46.
18. Excelență
Se dau numerele √45 și √20. Simplifică ambele expresii, apoi calculează diferența dintre ele (fără aproximare, ca expresie cu radical), și verifică dacă rezultatul este un multiplu întreg al lui √5.
Vezi răspunsul
√45 = 3√5, √20 = 2√5; diferența este √5, adică 1 × √5 (multiplu întreg al lui √5).
19. Excelență
Un dreptunghi are lungimea reprezentată de punctul √50 de pe axa numerelor, iar lățimea de punctul √8. Simplifică ambii radicali, apoi calculează aria dreptunghiului ca produs al celor două expresii simplificate.
Vezi răspunsul
√50 = 5√2, √8 = 2√2; aria = 5√2 × 2√2 = 20.
20. Excelență
Trei numere reale, a = √3, b = √12 și c = √27, par să respecte o regulă de tipul c = k × a și b = m × a, unde k și m sunt numere naturale. Simplifică b și c, apoi determină valorile lui k și m.
Vezi răspunsul
b = √12 = 2√3, deci m = 2; c = √27 = 3√3, deci k = 3.