Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

Încărcăm partea curentă…

Probabilități simple

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Cazuri posibile și cazuri favorabile

Un eveniment aleatoriu este un rezultat al unei experiențe pe care nu îl poți prevedea cu siguranță: aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-un sac, aruncarea unei monede.

Fiecare rezultat care poate apărea se numește caz posibil. La aruncarea unui zar, cazurile posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6, deci sunt 6 cazuri posibile.

Cazurile favorabile sunt acelea care fac evenimentul să se producă. Pentru evenimentul „obțin un număr par”, cazurile favorabile sunt 2, 4 și 6, adică 3 cazuri.

De ținut minte

zar: 6 cazuri posibile

„număr par”: 3 cazuri favorabile

Numără cazurile cu grijă, fără să sari peste vreunul și fără să repeți.
Cazurile favorabile sunt întotdeauna parte din cazurile posibile.

Exemplu rezolvat · alte date

Din 1–30 alegem uniform un număr. Câte sunt multipli de 6?

1Numerele favorabile sunt 6, 12, 18, 24, 30.
2Le numărăm o singură dată pe fiecare.
3Sunt 5 cazuri favorabile din 30 posibile.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Probabilități simple: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Probabilitatea măsoară cât de posibil este un eveniment aleatoriu. Când toate rezultatele sunt la fel de posibile, raportăm cazurile favorabile la toate cazurile posibile.

Cazuri posibile și cazuri favorabile

Un eveniment aleatoriu este un rezultat al unei experiențe pe care nu îl poți prevedea cu siguranță: aruncarea unui zar, extragerea unei bile dintr-un sac, aruncarea unei monede.

Fiecare rezultat care poate apărea se numește caz posibil. La aruncarea unui zar, cazurile posibile sunt 1, 2, 3, 4, 5 și 6, deci sunt 6 cazuri posibile.

Cazurile favorabile sunt acelea care fac evenimentul să se producă. Pentru evenimentul „obțin un număr par”, cazurile favorabile sunt 2, 4 și 6, adică 3 cazuri.

zar: 6 cazuri posibile
„număr par”: 3 cazuri favorabile

Numără cazurile cu grijă, fără să sari peste vreunul și fără să repeți.
Cazurile favorabile sunt întotdeauna parte din cazurile posibile.

Exemplu rezolvat · alte date

Din 1–30 alegem uniform un număr. Câte sunt multipli de 6?

Numerele favorabile sunt 6, 12, 18, 24, 30.
Le numărăm o singură dată pe fiecare.
Sunt 5 cazuri favorabile din 30 posibile.

Tipuri de evenimente

Un eveniment este sigur dacă se produce întotdeauna, adică toate cazurile posibile îi sunt favorabile. La aruncarea unui zar, „obțin un număr mai mic sau egal cu 6” este un eveniment sigur.

Un eveniment este imposibil dacă nu se poate produce niciodată: „obțin 7” la aruncarea unui zar obișnuit.

Între ele stau evenimentele posibile, dar nesigure — cele care se pot întâmpla, dar nu de fiecare dată, cum ar fi „obțin numărul 3”.

eveniment sigur: P = 1
eveniment imposibil: P = 0
eveniment posibil: 0 < P < 1

Probabilitatea este mereu între 0 și 1, deci 1,2 nu poate fi o probabilitate.
Exprimată în procente, probabilitatea este între 0% și 100%.

Exemplu rezolvat

La aruncarea unui zar obișnuit, ce fel de eveniment este „obțin 7”?

Fețele zarului sunt numerotate de la 1 la 6.
Nu există nicio față cu numărul 7, deci nu există niciun caz favorabil.
Evenimentul este imposibil, iar probabilitatea lui este 0.

Formula probabilității

Probabilitatea unui eveniment se calculează împărțind numărul cazurilor favorabile la numărul cazurilor posibile: P(E) = cazuri favorabile : cazuri posibile.

Exemplu: probabilitatea de a obține un număr par la aruncarea zarului este 36 = 12, fiindcă sunt 3 cazuri favorabile din 6 posibile.

Rezultatul se poate scrie ca fracție, ca număr zecimal sau în procente: 12 = 0,5 = 50%.

P(E) = cazuri favorabile : cazuri posibile
P(par) = 36 = 12
0 ≤ P(E) ≤ 1

Simplifică fracția la final, ca răspunsul să fie în forma cea mai simplă.
Dacă rezultatul depășește 1, ai numărat greșit cazurile.

Exemplu rezolvat · alte date

Arunci un zar corect. Care este probabilitatea să obții un număr mai mare decât 4?

Sunt 6 rezultate echiprobabile.
Favorabile sunt 5 și 6: două cazuri.
Probabilitatea este 26 = 13.

Probabilități cu urne și cu două obiecte

La extragerea dintr-o urnă, cazurile posibile sunt toate bilele din urnă, iar cazurile favorabile sunt bilele de culoarea cerută. Dacă sunt 4 bile roșii și 6 albe, totalul este 10, iar P(albă) = 610 = 35.

Când se aruncă două monede sau două zaruri, cazurile posibile se numără pe perechi. La două monede, rezultatele sunt stemă-stemă, stemă-pajură, pajură-stemă și pajură-pajură, deci 4 cazuri posibile.

De aceea probabilitatea de a obține de două ori stema este 14, nu 12: doar una dintre cele patru perechi este favorabilă.

P(albă) = 610 = 35
două monede: 4 cazuri posibile
P(două steme) = 14

Totalul dintr-o urnă se obține adunând toate bilele, indiferent de culoare.
La două obiecte, numără perechile, nu rezultatele fiecărui obiect separat.

Exemplu rezolvat · alte date

Urna are 7 bile albastre și 5 galbene. Află probabilitatea unei bile galbene la o extragere.

În total sunt 12 bile, toate cu aceeași șansă.
Sunt 5 bile favorabile.
Probabilitatea este 512.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
La aruncarea unui zar, care este probabilitatea de a obține 4?
Vezi rezolvarea
1. Un singur rezultat favorabil din 6.
Răspuns: 16
Exercițiul 2
La aruncarea unui zar, evenimentul «obțin un număr mai mic decât 7» este...
Vezi rezolvarea
1. Orice rezultat al zarului este mai mic decât 7.
Răspuns: sigur
Exercițiul 3
O monedă corectă este aruncată o dată. Care este P(pajură)?
Vezi rezolvarea
1. Un caz favorabil din două cazuri posibile.
Răspuns: 12
Exercițiul 4
Într-o urnă sunt 3 bile roșii și 7 albastre. Scrie numărătorul probabilității de a extrage o bilă roșie.
Vezi rezolvarea
1. Cazurile favorabile sunt cele 3 bile roșii.
2. Probabilitatea completă este 310.
Răspuns: 3
Exercițiul 5
Din numerele 1, 2, 3, 4, 5 alegem unul la întâmplare. Care este P(număr par)?
Vezi rezolvarea
1. Sunt 2 cazuri favorabile din 5 posibile.
Răspuns: 25
Exercițiul 6
La aruncarea unui zar, care este probabilitatea de a obține un număr par?
Vezi rezolvarea
1. Cazuri favorabile: 2, 4, 6, adică 3.
2. Cazuri posibile: 6.
3. P = 36 = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 7
La aruncarea unui zar, evenimentul „obțin 7” este...
Vezi rezolvarea
1. Nicio față a zarului nu are 7.
2. Nu există cazuri favorabile.
3. Evenimentul este imposibil, P = 0.
Răspuns: imposibil
Exercițiul 8
Care valoare NU poate fi o probabilitate?
Vezi rezolvarea
1. 0 înseamnă eveniment imposibil, 1 eveniment sigur.
2. 0,75 este între 0 și 1.
3. 1,2 este mai mare decât 1, deci nu poate fi probabilitate.
Răspuns: 1,2
Exercițiul 9
Într-o urnă sunt 4 bile roșii și 6 bile albe. Care este probabilitatea de a extrage o bilă albă?
Vezi rezolvarea
1. Cazuri favorabile: 6 bile albe.
2. Cazuri posibile: 4 + 6 = 10 bile.
3. P = 610 = 35.
Răspuns: 35
Exercițiul 10
Din numerele de la 1 la 20 se alege unul la întâmplare. Câte cazuri favorabile are evenimentul „numărul este multiplu de 5”?
Vezi rezolvarea
1. Multiplii lui 5 sunt 5, 10, 15, 20.
2. Îi numărăm.
3. Sunt 4 cazuri favorabile.
Răspuns: 4
Exercițiul 11
Din numerele de la 1 la 20 se alege unul la întâmplare. Care este probabilitatea ca numărul să fie multiplu de 5?
Vezi rezolvarea
1. Cazuri favorabile: 5, 10, 15, 20, adică 4.
2. Cazuri posibile: 20.
3. P = 420 = 15.
Răspuns: 15
Exercițiul 12
Se aruncă două monede. Care este probabilitatea să obținem de două ori stema?
Vezi rezolvarea
1. Rezultatele posibile sunt SS, SP, PS, PP: 4 cazuri.
2. Doar SS este favorabil.
3. P = 14.
Răspuns: 14

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
La aruncarea unui zar, câte cazuri favorabile are evenimentul "obținerea unui număr impar"?
Vezi răspunsul
3 cazuri favorabile: 1, 3 și 5.
2. Dificultate redusă
Este evenimentul "obținerea unui număr mai mic sau egal cu 6, la aruncarea unui zar" sigur, imposibil sau posibil?
Vezi răspunsul
Sigur: toate fețele zarului au numere de la 1 la 6.
3. Dificultate redusă
Un sac conține 6 bile roșii și 4 bile albastre. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă albastră.
Vezi răspunsul
410 = 25
4. Dificultate redusă
La aruncarea unei monede, calculează probabilitatea de a obține "banul" (partea cu valoarea).
Vezi răspunsul
12
5. Dificultate redusă
Calculează probabilitatea de a obține numărul 3, la aruncarea unui zar.
Vezi răspunsul
16
6. Dificultate medie
Un sac conține 5 bile roșii, 2 bile albastre și 3 bile verzi. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă verde.
Vezi răspunsul
310
7. Dificultate medie
La aruncarea unui zar, calculează probabilitatea de a obține un număr mai mic decât 3.
Vezi răspunsul
26 = 13 (numerele 1 și 2)
8. Dificultate medie
Un sac conține 12 bile, dintre care 5 sunt negre. Calculează probabilitatea de a extrage o bilă care NU este neagră.
Vezi răspunsul
712
9. Dificultate medie
Exprimă ca procent probabilitatea 25.
Vezi răspunsul
40%
10. Dificultate medie
Într-o urnă sunt 25 de bilețele, dintre care 4 sunt câștigătoare. Calculează probabilitatea de a extrage un bilețel câștigător, exprimată ca fracție și ca procent.
Vezi răspunsul
425 = 16100 = 16%
11. Dificultate ridicată
Un sac conține bile roșii și albastre, în total 20 de bile. Probabilitatea de a extrage o bilă roșie este 35. Calculează câte bile roșii sunt în sac.
Vezi răspunsul
12 bile roșii (35 din 20)
12. Dificultate ridicată
La aruncarea a două zaruri simultan, calculează probabilitatea de a obține suma 6 pe cele două zaruri.
Vezi răspunsul
536: perechile (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1).
13. Dificultate ridicată
Un sac conține 10 bile albe și un număr necunoscut de bile negre. Dacă probabilitatea de a extrage o bilă albă este 27, calculează numărul de bile negre din sac.
Vezi răspunsul
25 de bile negre: 1010 + n = 27, deci 10 + n = 35.
14. Dificultate ridicată
Se dau 30 de cartonașe numerotate de la 1 la 30. Calculează probabilitatea de a extrage un cartonaș cu un număr divizibil cu 5.
Vezi răspunsul
630 = 15 (5, 10, 15, 20, 25, 30)
15. Dificultate ridicată
Într-o clasă de 25 de elevi, 10 au ochi căprui, 8 au ochi verzi, iar restul au ochi albaștri. Dacă se alege la întâmplare un elev, calculează probabilitatea ca acesta să aibă ochi albaștri, exprimată ca fracție ireductibilă și ca procent.
Vezi răspunsul
7 elevi au ochi albaștri: 725 = 28%.
16. Excelență
Un sac conține 4 bile roșii, 3 bile albastre și 5 bile verzi. Se extrage o bilă, se notează culoarea, apoi bila este pusă înapoi în sac, și se extrage din nou. Calculează probabilitatea de a extrage, în ambele extrageri, o bilă roșie (înmulțește cele două probabilități individuale, deoarece extragerile sunt independente).
Vezi răspunsul
(412) × (412) = 13 × 13 = 19
17. Excelență
La aruncarea a două zaruri simultan, calculează probabilitatea de a obține un produs al celor două numere mai mare sau egal cu 30 (numără perechile posibile, dintre cele 36 totale, care îndeplinesc condiția).
Vezi răspunsul
336 = 112: perechile (5, 6), (6, 5) și (6, 6).
18. Excelență
Un sac conține bile numerotate de la 1 la 25. Calculează probabilitatea de a extrage un număr care este fie divizibil cu 3, fie divizibil cu 5 (fii atent să nu numeri de două ori numerele divizibile cu ambele, adică cu 15).
Vezi răspunsul
1225: 8 numere divizibile cu 3, 5 divizibile cu 5, dintre care 15 se numără de două ori (8 + 5 − 1 = 12).
19. Excelență
Într-un grup de 40 de persoane, 60% sunt femei. Dintre femei, 25% poartă ochelari. Calculează probabilitatea ca o persoană aleasă la întâmplare din grup să fie o femeie care poartă ochelari.
Vezi răspunsul
640 = 320 (15%): femei sunt 60% din 40 = 24, iar 25% din 24 = 6.
20. Excelență
Un joc constă în extragerea unei bile dintr-un sac cu 50 de bile numerotate de la 1 la 50. Câștigi dacă numărul extras este un pătrat perfect (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49) sau un cub perfect (1, 8, 27), dar fiecare număr se numără o singură dată, chiar dacă este ambele. Calculează probabilitatea de câștig.
Vezi răspunsul
950: 7 pătrate perfecte și 3 cuburi perfecte, iar 1 se numără o singură dată (7 + 3 − 1 = 9).