Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

Încărcăm partea curentă…

Rapoarte și procente în contexte reale

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Reduceri și majorări de preț

În magazine, procentele apar ca reduceri („−20%”) sau ca majorări („+15%”) aplicate unui preț. Le poți calcula în doi pași — afli cât înseamnă procentul, apoi scazi sau aduni — dar există și o cale mai scurtă.

După o reducere de p%, din preț rămâne (100 − p)%, deci preț final = preț inițial × (100 − p) : 100. După o majorare de p%, preț final = preț inițial × (100 + p) : 100.

Exemplu: un produs de 200 de lei cu reducere de 25% costă 200 × 75 : 100 = 150 de lei, iar unul de 150 de lei cu adaos de 20% ajunge la 150 × 120 : 100 = 180 de lei.

De ținut minte

preț redus = preț × (100 − p) : 100

preț majorat = preț × (100 + p) : 100

O reducere de 25% înseamnă că plătești 75% din preț.
Calea scurtă cu un singur înmulțit este mai rapidă și greșești mai rar.

Exemplu rezolvat

Un produs de 80 de lei are o reducere de 20%. Care este prețul final?

1După reducere rămâne 100 − 20 = 80% din preț.
2Calculăm 80% din 80: 80 × 80 : 100.
3Prețul final este 64 de lei.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Rapoarte și procente în contexte reale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Procentele apar în prețuri, taxe, dobânzi și statistici. La modificări succesive, fiecare procent se aplică valorii obținute la pasul anterior.

Reduceri și majorări de preț

După o reducere de p%, din preț rămâne (100 − p)%, deci preț final = preț inițial × (100 − p) : 100. După o majorare de p%, preț final = preț inițial × (100 + p) : 100.

Exemplu: un produs de 200 de lei cu reducere de 25% costă 200 × 75 : 100 = 150 de lei, iar unul de 150 de lei cu adaos de 20% ajunge la 150 × 120 : 100 = 180 de lei.

preț redus = preț × (100 − p) : 100
preț majorat = preț × (100 + p) : 100

O reducere de 25% înseamnă că plătești 75% din preț.
Calea scurtă cu un singur înmulțit este mai rapidă și greșești mai rar.

Exemplu rezolvat

Un produs de 80 de lei are o reducere de 20%. Care este prețul final?

După reducere rămâne 100 − 20 = 80% din preț.
Calculăm 80% din 80: 80 × 80 : 100.
Prețul final este 64 de lei.

TVA

TVA înseamnă taxa pe valoarea adăugată și este un procent care se adaugă prețului fără TVA, ca să obții prețul plătit la casă.

Formula este preț cu TVA = preț fără TVA × (100 + procent TVA) : 100. Pentru un produs de 100 de lei fără TVA și o cotă de 19%, prețul final este 100 × 119 : 100 = 119 lei.

preț cu TVA = preț fără TVA × (100 + TVA) : 100
100 lei + 19% TVA = 119 lei

TVA-ul se calculează asupra prețului fără TVA, nu invers.
Prețurile afișate în magazine includ deja TVA-ul.

Exemplu rezolvat

Un produs costă 200 de lei fără TVA. Cât costă cu TVA de 19%?

Calculăm TVA-ul: 19% din 200 înseamnă 200 × 19 : 100 = 38 de lei.
Adunăm taxa la prețul inițial: 200 + 38.
Prețul cu TVA este 238 de lei.

Dobânda bancară

Dobânda este o sumă calculată procentual, care se adaugă unei sume depuse la bancă sau unei sume împrumutate. Formula este dobândă = sumă × procent : 100.

Exemplu: la 1 000 de lei depuși cu o dobândă anuală de 3%, dobânda după un an este 1 000 × 3 : 100 = 30 de lei, iar suma din cont ajunge la 1 030 de lei.

dobândă = sumă × p : 100
sumă finală = sumă + dobândă

Procentul anunțat de bancă este, de obicei, pe an.
Dobânda la credit se calculează la fel, dar se adaugă la ce ai de plătit.

Exemplu rezolvat

La un depozit de 1 500 de lei, dobânda anuală este 4%. Cât este dobânda după un an?

Aplicăm formula: 1 500 × 4 : 100.
Calculăm: 6 000 : 100 = 60.
Dobânda este 60 de lei, iar în cont vor fi 1 560 de lei.

Aflarea prețului inițial

Uneori cunoști prețul de după modificare și trebuie să afli prețul de dinainte. Atunci gândești invers: dacă a fost o reducere de 25%, prețul final reprezintă 75% din cel inițial.

De aici, preț inițial = preț final × 100 : (100 − p) pentru o reducere și preț inițial = preț final × 100 : (100 + p) pentru o majorare.

Exemplu: după o reducere de 25%, produsul costă 150 de lei, deci prețul inițial a fost 150 × 100 : 75 = 200 de lei.

preț inițial = preț final × 100 : (100 − p)
preț inițial = preț final × 100 : (100 + p)

Procentul se raportează întotdeauna la prețul inițial, cel necunoscut.
Verifică rezultatul: aplică modificarea și trebuie să obții prețul dat.

Exemplu rezolvat

Un preț a crescut cu 20% și a ajuns la 360 de lei. Care era prețul inițial?

Prețul final reprezintă 120% din cel inițial.
Împărțim la 120 și înmulțim cu 100: 360 × 100 : 120.
Prețul inițial era 300 de lei. Verificare: 300 + 20% din 300 = 360.

Procente aplicate succesiv

Când două procente se aplică unul după altul, al doilea se calculează asupra valorii deja modificate, nu asupra celei inițiale. De aceea două reduceri de câte 10% nu înseamnă o reducere de 20%.

Un produs de 300 de lei redus cu 10% ajunge la 270 de lei; a doua reducere de 10% se aplică la 270 și înseamnă 27 de lei, deci prețul final este 243 de lei — o reducere totală de 19%, nu de 20%.

Tot așa, o creștere de 20% urmată de o scădere de 20% nu te aduce înapoi la prețul inițial, ci puțin sub el.

300 → −10% → 270 → −10% → 243
reducere totală: 19%, nu 20%

Procentele succesive nu se adună niciodată direct.
Calculează pas cu pas, cu prețul obținut la pasul anterior.

Exemplu rezolvat

Un produs de 100 de lei se scumpește cu 20%, apoi se ieftinește cu 20%. Cât costă în final?

După scumpire: 100 + 20 = 120 de lei.
Reducerea se aplică noului preț: 20% din 120 înseamnă 24 de lei.
Prețul final este 120 − 24 = 96 de lei, mai mic decât cel inițial.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un produs de 120 lei are reducere 15%. Care este prețul final?
Vezi rezolvarea
1. 120 × 85100 = 102 lei.
Răspuns: 102
Exercițiul 2
Un produs costă 100 lei fără TVA. Cât costă cu TVA 19%?
Vezi rezolvarea
1. 100 × 119100 = 119 lei.
Răspuns: 119
Exercițiul 3
La un depozit de 600 lei, dobânda anuală este 3%. Cât este dobânda după un an?
Vezi rezolvarea
1. 600 × 3100 = 18 lei.
Răspuns: 18
Exercițiul 4
Un preț scade cu 10%, apoi din nou cu 10%. Reducerea totală este...
Vezi rezolvarea
1. După prima reducere rămân 90%, apoi 90% din 90% = 81%.
2. Reducerea totală este 100% − 81% = 19%.
Răspuns: 19%
Exercițiul 5
Un preț a crescut cu 20% și a ajuns la 360 lei. Care era prețul inițial?
Vezi rezolvarea
1. Prețul inițial este 360 × 100 : 120 = 300 lei.
Răspuns: 300
Exercițiul 6
Un produs de 80 de lei are o reducere de 20%. Care este prețul final, în lei?
Vezi rezolvarea
1. 20% din 80 = 16 lei.
2. 80 − 16 = 64.
3. Prețul final este 64 de lei.
Răspuns: 64
Exercițiul 7
Un produs costă 200 de lei fără TVA. Cât costă cu TVA 19%, în lei?
Vezi rezolvarea
1. 19% din 200 = 38 de lei.
2. 200 + 38 = 238.
3. Cu TVA, produsul costă 238 de lei.
Răspuns: 238
Exercițiul 8
La un depozit de 1 500 de lei, dobânda anuală este 4%. Cât este dobânda după un an, în lei?
Vezi rezolvarea
1. 1 500 × 4100.
2. 1 500 : 100 = 15, apoi 15 × 4 = 60.
3. Dobânda este 60 de lei.
Răspuns: 60
Exercițiul 9
Un salariu de 3 000 de lei crește cu 5%. Care este noul salariu, în lei?
Vezi rezolvarea
1. 5% din 3 000 = 150 de lei.
2. 3 000 + 150 = 3 150.
3. Noul salariu este 3 150 de lei.
Răspuns: 3150
Exercițiul 10
După o reducere de 25%, un produs costă 150 de lei. Care era prețul inițial, în lei?
Vezi rezolvarea
1. Au rămas 100% − 25% = 75%.
2. 75% din preț = 150, deci 1% = 2 lei.
3. Prețul inițial era 100 × 2 = 200 de lei.
Răspuns: 200
Exercițiul 11
Un preț crește cu 10%, apoi scade cu 10%. Față de prețul inițial, prețul final este:
Vezi rezolvarea
1. 100 de lei crește cu 10%: 110 lei.
2. 110 lei scade cu 10% din 110, adică 11 lei: 99 de lei.
3. Prețul final este cu 1% mai mic.
Răspuns: mai mic cu 1%
Exercițiul 12
Un produs de 100 de lei se scumpește cu 20%, apoi se ieftinește cu 20%. Cât costă în final, în lei?
Vezi rezolvarea
1. După scumpire: 100 + 20 = 120 de lei.
2. 20% din 120 = 24 de lei.
3. 120 − 24 = 96 de lei.
Răspuns: 96

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Un produs costă 120 lei. Se aplică o reducere de 15%. Calculează prețul final.
Vezi răspunsul
120 − 18 = 102 lei (15% din 120 = 18)
2. Dificultate redusă
Un produs costă 90 lei fără TVA. TVA-ul este 19%. Calculează prețul cu TVA.
Vezi răspunsul
90 × 1,19 = 107,10 lei
3. Dificultate redusă
O sumă de 600 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 3%. Calculează dobânda obținută după un an.
Vezi răspunsul
3% din 600 = 18 lei
4. Dificultate redusă
Un produs costă 180 lei. Se aplică o majorare de 15%. Calculează noul preț.
Vezi răspunsul
180 + 27 = 207 lei
5. Dificultate redusă
Calculează prețul final al unui produs de 80 lei, după o reducere de 20%.
Vezi răspunsul
80 − 16 = 64 de lei
6. Dificultate medie
Un produs de 350 lei are, succesiv, o reducere de 10%, apoi încă o reducere de 10%, aplicată noului preț. Calculează prețul final.
Vezi răspunsul
350 → 315 → 283,50 lei
7. Dificultate medie
O sumă de 2500 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 4%. Calculează suma totală după un an.
Vezi răspunsul
2.500 + 100 = 2.600 de lei
8. Dificultate medie
Un produs are prețul fără TVA de 250 lei. Calculează prețul cu TVA, dacă TVA-ul este 19%.
Vezi răspunsul
250 × 1,19 = 297,50 lei
9. Dificultate medie
Un magazin vinde un produs cu 25% adaos față de prețul de achiziție. Dacă prețul de achiziție a fost 120 lei, calculează prețul de vânzare.
Vezi răspunsul
120 × 1,25 = 150 de lei
10. Dificultate medie
Salariul unui angajat, de 2500 lei, crește cu 10%. Calculează noul salariu.
Vezi răspunsul
2.500 + 250 = 2.750 de lei
11. Dificultate ridicată
Un produs are prețul inițial de 600 lei. Se aplică o reducere de 25%, apoi se adaugă TVA de 19% la prețul redus. Calculează prețul final.
Vezi răspunsul
600 × 0,75 = 450 lei, apoi 450 × 1,19 = 535,50 lei.
12. Dificultate ridicată
O sumă de 4000 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 5%. Calculează suma totală după 2 ani, cu dobândă compusă.
Vezi răspunsul
4.000 → 4.200 → 4.410 lei
13. Dificultate ridicată
Prețul unui produs a crescut cu 20%, ajungând la 360 lei. Calculează prețul inițial, înainte de creștere.
Vezi răspunsul
360 : 1,2 = 300 de lei
14. Dificultate ridicată
Un magazin aplică două reduceri succesive: prima de 20%, a doua de 15%, aplicată noului preț. Calculează ce procent de reducere echivalentă ar produce același rezultat final.
Vezi răspunsul
32%: 0,8 × 0,85 = 0,68, deci rămâne 68% din preț.
15. Dificultate ridicată
Un produs cu prețul fără TVA de 350 lei este vândut cu TVA de 19%, apoi cumpărătorul beneficiază de o reducere de 15% din prețul cu TVA. Calculează prețul final plătit, apoi calculează cu câți lei este mai mic decât prețul cu TVA inițial.
Vezi răspunsul
Cu TVA: 350 × 1,19 = 416,50 lei. După reducere: 416,50 × 0,85 = 354,025 ≈ 354,03 lei, deci cu 62,475 ≈ 62,48 lei mai puțin.
16. Excelență
Un produs are prețul inițial de 800 lei. În luna ianuarie crește cu 10%, în februarie scade cu 10% din noua valoare, iar în martie crește din nou cu 5% din valoarea din februarie. Calculează prețul final, apoi calculează procentul total de variație față de prețul inițial.
Vezi răspunsul
800 → 880 → 792 → 831,60 lei; față de prețul inițial, o creștere de 3,95%.
17. Excelență
Un depozit bancar de 10000 lei are o dobândă anuală de 4%, calculată compus, timp de 3 ani. Calculează suma finală după cei 3 ani (dobânda se adaugă la sumă în fiecare an, iar anul următor se calculează la noua sumă).
Vezi răspunsul
10.000 × 1,04³ = 11.248,64 lei
18. Excelență
Un comerciant cumpără un produs cu 200 lei, aplică un adaos de 40%, apoi vinde produsul cu o reducere de 20% din prețul cu adaos. Calculează prețul final de vânzare, apoi calculează profitul comerciantului (diferența dintre prețul final de vânzare și prețul de achiziție).
Vezi răspunsul
200 × 1,4 = 280 lei, apoi 280 × 0,8 = 224 de lei. Profitul: 224 − 200 = 24 de lei.
19. Excelență
Populația unui oraș, de 80000 de locuitori, scade cu 3% în primul an, apoi crește cu 5% din noua populație, în al doilea an. Calculează populația finală, după cei 2 ani.
Vezi răspunsul
80.000 × 0,97 = 77.600, apoi 77.600 × 1,05 = 81.480 de locuitori.
20. Excelență
Un produs cu TVA inclus costă 238 lei, iar TVA-ul aplicat este de 19%. Calculează prețul produsului fără TVA (folosește formula inversă: preț fără TVA = preț cu TVA × 100100 + procent TVA).
Vezi răspunsul
238 × 100 : 119 = 200 de lei