Rapoarte și procente în contexte reale

Procentele apar în prețuri, taxe, dobânzi și statistici. La modificări succesive, fiecare procent se aplică valorii obținute la pasul anterior.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Reduceri și majorări de preț

În magazine, procentele apar ca reduceri („−20%”) sau ca majorări („+15%”) aplicate unui preț. Le poți calcula în doi pași — afli cât înseamnă procentul, apoi scazi sau aduni — dar există și o cale mai scurtă.

După o reducere de p%, din preț rămâne (100 − p)%, deci preț final = preț inițial × (100 − p) : 100. După o majorare de p%, preț final = preț inițial × (100 + p) : 100.

Exemplu: un produs de 200 de lei cu reducere de 25% costă 200 × 75 : 100 = 150 de lei, iar unul de 150 de lei cu adaos de 20% ajunge la 150 × 120 : 100 = 180 de lei.

preț redus = preț × (100 − p) : 100

preț majorat = preț × (100 + p) : 100

O reducere de 25% înseamnă că plătești 75% din preț.
Calea scurtă cu un singur înmulțit este mai rapidă și greșești mai rar.

Exemplu rezolvat

Un produs de 80 de lei are o reducere de 20%. Care este prețul final?

1.După reducere rămâne 100 − 20 = 80% din preț.
2.Calculăm 80% din 80: 80 × 80 : 100.
3.Prețul final este 64 de lei.

TVA

TVA înseamnă taxa pe valoarea adăugată și este un procent care se adaugă prețului fără TVA, ca să obții prețul plătit la casă.

Formula este preț cu TVA = preț fără TVA × (100 + procent TVA) : 100. Pentru un produs de 100 de lei fără TVA și o cotă de 19%, prețul final este 100 × 119 : 100 = 119 lei.

preț cu TVA = preț fără TVA × (100 + TVA) : 100

100 lei + 19% TVA = 119 lei

TVA-ul se calculează asupra prețului fără TVA, nu invers.
Prețurile afișate în magazine includ deja TVA-ul.

Exemplu rezolvat

Un produs costă 200 de lei fără TVA. Cât costă cu TVA de 19%?

1.Calculăm TVA-ul: 19% din 200 înseamnă 200 × 19 : 100 = 38 de lei.
2.Adunăm taxa la prețul inițial: 200 + 38.
3.Prețul cu TVA este 238 de lei.

Dobânda bancară

Dobânda este o sumă calculată procentual, care se adaugă unei sume depuse la bancă sau unei sume împrumutate. Formula este dobândă = sumă × procent : 100.

Exemplu: la 1 000 de lei depuși cu o dobândă anuală de 3%, dobânda după un an este 1 000 × 3 : 100 = 30 de lei, iar suma din cont ajunge la 1 030 de lei.

dobândă = sumă × p : 100

sumă finală = sumă + dobândă

Procentul anunțat de bancă este, de obicei, pe an.
Dobânda la credit se calculează la fel, dar se adaugă la ce ai de plătit.

Exemplu rezolvat

La un depozit de 1 500 de lei, dobânda anuală este 4%. Cât este dobânda după un an?

1.Aplicăm formula: 1 500 × 4 : 100.
2.Calculăm: 6 000 : 100 = 60.
3.Dobânda este 60 de lei, iar în cont vor fi 1 560 de lei.

Aflarea prețului inițial

Uneori cunoști prețul de după modificare și trebuie să afli prețul de dinainte. Atunci gândești invers: dacă a fost o reducere de 25%, prețul final reprezintă 75% din cel inițial.

De aici, preț inițial = preț final × 100 : (100 − p) pentru o reducere și preț inițial = preț final × 100 : (100 + p) pentru o majorare.

Exemplu: după o reducere de 25%, produsul costă 150 de lei, deci prețul inițial a fost 150 × 100 : 75 = 200 de lei.

preț inițial = preț final × 100 : (100 − p)

preț inițial = preț final × 100 : (100 + p)

Procentul se raportează întotdeauna la prețul inițial, cel necunoscut.
Verifică rezultatul: aplică modificarea și trebuie să obții prețul dat.

Exemplu rezolvat

Un preț a crescut cu 20% și a ajuns la 360 de lei. Care era prețul inițial?

1.Prețul final reprezintă 120% din cel inițial.
2.Împărțim la 120 și înmulțim cu 100: 360 × 100 : 120.
3.Prețul inițial era 300 de lei. Verificare: 300 + 20% din 300 = 360.

Procente aplicate succesiv

Când două procente se aplică unul după altul, al doilea se calculează asupra valorii deja modificate, nu asupra celei inițiale. De aceea două reduceri de câte 10% nu înseamnă o reducere de 20%.

Un produs de 300 de lei redus cu 10% ajunge la 270 de lei; a doua reducere de 10% se aplică la 270 și înseamnă 27 de lei, deci prețul final este 243 de lei — o reducere totală de 19%, nu de 20%.

Tot așa, o creștere de 20% urmată de o scădere de 20% nu te aduce înapoi la prețul inițial, ci puțin sub el.

300 → −10% → 270 → −10% → 243

reducere totală: 19%, nu 20%

Procentele succesive nu se adună niciodată direct.
Calculează pas cu pas, cu prețul obținut la pasul anterior.

Exemplu rezolvat

Un produs de 100 de lei se scumpește cu 20%, apoi se ieftinește cu 20%. Cât costă în final?

1.După scumpire: 100 + 20 = 120 de lei.
2.Reducerea se aplică noului preț: 20% din 120 înseamnă 24 de lei.
3.Prețul final este 120 − 24 = 96 de lei, mai mic decât cel inițial.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Un produs costă 120 lei. Se aplică o reducere de 15%. Calculează prețul final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
120 − 18 = 102 lei (15% din 120 = 18)
Ex. 2Dificultate redusă
Un produs costă 90 lei fără TVA. TVA-ul este 19%. Calculează prețul cu TVA.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90 × 1,19 = 107,10 lei
Ex. 3Dificultate redusă
O sumă de 600 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 3%. Calculează dobânda obținută după un an.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3% din 600 = 18 lei
Ex. 4Dificultate redusă
Un produs costă 180 lei. Se aplică o majorare de 15%. Calculează noul preț.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180 + 27 = 207 lei
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează prețul final al unui produs de 80 lei, după o reducere de 20%.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
80 − 16 = 64 de lei
Ex. 6Dificultate medie
Un produs de 350 lei are, succesiv, o reducere de 10%, apoi încă o reducere de 10%, aplicată noului preț. Calculează prețul final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
350 → 315 → 283,50 lei
Ex. 7Dificultate medie
O sumă de 2500 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 4%. Calculează suma totală după un an.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2.500 + 100 = 2.600 de lei
Ex. 8Dificultate medie
Un produs are prețul fără TVA de 250 lei. Calculează prețul cu TVA, dacă TVA-ul este 19%.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
250 × 1,19 = 297,50 lei
Ex. 9Dificultate medie
Un magazin vinde un produs cu 25% adaos față de prețul de achiziție. Dacă prețul de achiziție a fost 120 lei, calculează prețul de vânzare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
120 × 1,25 = 150 de lei
Ex. 10Dificultate medie
Salariul unui angajat, de 2500 lei, crește cu 10%. Calculează noul salariu.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2.500 + 250 = 2.750 de lei
Ex. 11Dificultate ridicată
Un produs are prețul inițial de 600 lei. Se aplică o reducere de 25%, apoi se adaugă TVA de 19% la prețul redus. Calculează prețul final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
600 × 0,75 = 450 lei, apoi 450 × 1,19 = 535,50 lei.
Ex. 12Dificultate ridicată
O sumă de 4000 lei este depusă la bancă, cu o dobândă anuală de 5%. Calculează suma totală după 2 ani, cu dobândă compusă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4.000 → 4.200 → 4.410 lei
Ex. 13Dificultate ridicată
Prețul unui produs a crescut cu 20%, ajungând la 360 lei. Calculează prețul inițial, înainte de creștere.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
360 : 1,2 = 300 de lei
Ex. 14Dificultate ridicată
Un magazin aplică două reduceri succesive: prima de 20%, a doua de 15%, aplicată noului preț. Calculează ce procent de reducere echivalentă ar produce același rezultat final.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
32%: 0,8 × 0,85 = 0,68, deci rămâne 68% din preț.
Ex. 15Dificultate ridicată
Un produs cu prețul fără TVA de 350 lei este vândut cu TVA de 19%, apoi cumpărătorul beneficiază de o reducere de 15% din prețul cu TVA. Calculează prețul final plătit, apoi calculează cu câți lei este mai mic decât prețul cu TVA inițial.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Cu TVA: 350 × 1,19 = 416,50 lei. După reducere: 416,50 × 0,85 = 354,025 ≈ 354,03 lei, deci cu 62,475 ≈ 62,48 lei mai puțin.
Ex. 16Excelență
Un produs are prețul inițial de 800 lei. În luna ianuarie crește cu 10%, în februarie scade cu 10% din noua valoare, iar în martie crește din nou cu 5% din valoarea din februarie. Calculează prețul final, apoi calculează procentul total de variație față de prețul inițial.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
800 → 880 → 792 → 831,60 lei; față de prețul inițial, o creștere de 3,95%.
Ex. 17Excelență
Un depozit bancar de 10000 lei are o dobândă anuală de 4%, calculată compus, timp de 3 ani. Calculează suma finală după cei 3 ani (dobânda se adaugă la sumă în fiecare an, iar anul următor se calculează la noua sumă).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
10.000 × 1,04³ = 11.248,64 lei
Ex. 18Excelență
Un comerciant cumpără un produs cu 200 lei, aplică un adaos de 40%, apoi vinde produsul cu o reducere de 20% din prețul cu adaos. Calculează prețul final de vânzare, apoi calculează profitul comerciantului (diferența dintre prețul final de vânzare și prețul de achiziție).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
200 × 1,4 = 280 lei, apoi 280 × 0,8 = 224 de lei. Profitul: 224 − 200 = 24 de lei.
Ex. 19Excelență
Populația unui oraș, de 80000 de locuitori, scade cu 3% în primul an, apoi crește cu 5% din noua populație, în al doilea an. Calculează populația finală, după cei 2 ani.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
80.000 × 0,97 = 77.600, apoi 77.600 × 1,05 = 81.480 de locuitori.
Ex. 20Excelență
Un produs cu TVA inclus costă 238 lei, iar TVA-ul aplicat este de 19%. Calculează prețul produsului fără TVA (folosește formula inversă: preț fără TVA = preț cu TVA × 100 / (100 + procent TVA)).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
238 × 100 : 119 = 200 de lei