Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

▱

Încărcăm partea curentă…

Perimetre și arii

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Aria triunghiului

Aria unui triunghi se calculează cu formula A = (bază × înălțime) : 2. Baza este una dintre laturi, iar înălțimea corespunzătoare este segmentul perpendicular dus din vârful opus pe acea latură sau pe prelungirea ei.

Exemplu: un triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea de 6 cm are aria (10 × 6) : 2 = 30 cm².

Formula merge și invers: dacă știi aria și baza, afli înălțimea cu h = 2 × A : b.

De ținut minte

A = (b × h) : 2

h = 2 × A : b

b = 2 × A : h

Înălțimea trebuie să corespundă bazei alese, adică să fie perpendiculară pe ea.
Nu uita împărțirea la 2 — este greșeala cea mai des întâlnită.

Exemplu rezolvat

Aria unui triunghi este 24 cm², iar baza are 8 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?

1Pornim de la formula ariei: 24 = (8 × h) : 2.
2Înmulțim ambele părți cu 2: 48 = 8 × h.
3Împărțim la 8: h = 6 cm.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Perimetre și arii: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Perimetrul măsoară conturul, iar aria măsoară suprafața. Pentru figuri compuse, descompunem desenul în figuri cunoscute și adunăm sau scădem ariile.

Aria triunghiului

Exemplu: un triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea de 6 cm are aria (10 × 6) : 2 = 30 cm².

Formula merge și invers: dacă știi aria și baza, afli înălțimea cu h = 2 × A : b.

A = (b × h) : 2
h = 2 × A : b
b = 2 × A : h

Înălțimea trebuie să corespundă bazei alese, adică să fie perpendiculară pe ea.
Nu uita împărțirea la 2 — este greșeala cea mai des întâlnită.

Exemplu rezolvat

Aria unui triunghi este 24 cm², iar baza are 8 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?

Pornim de la formula ariei: 24 = (8 × h) : 2.
Înmulțim ambele părți cu 2: 48 = 8 × h.
Împărțim la 8: h = 6 cm.

Perimetrul și aria paralelogramului

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele și egale două câte două. Perimetrul lui este P = 2 × (a + b), unde a și b sunt două laturi alăturate, iar perimetrul oricărei figuri rămâne lungimea conturului ei.

Aria paralelogramului este A = bază × înălțime, unde înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele folosite ca baze.

Un paralelogram cu baza de 8 cm și înălțimea de 5 cm are aria 40 cm². Atenție: înălțimea nu este latura oblică, ci perpendiculara dintre baze.

P = 2 × (a + b)
A = bază × înălțime
h = A : bază

Perimetrul măsoară conturul, aria măsoară suprafața.
Latura înclinată a paralelogramului este mai lungă decât înălțimea.

Exemplu rezolvat

Un paralelogram are aria de 72 cm² și baza de 9 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?

Aria se calculează înmulțind baza cu înălțimea: 72 = 9 × h.
Împărțim ambele părți la 9.
Înălțimea este 8 cm.

Aria trapezului

Trapezul este patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele, numite baze: baza mare B și baza mică b. Perimetrul se obține adunând toate cele patru laturi.

Aria trapezului se calculează cu formula A = [(B + b) × h] : 2, unde h este înălțimea, adică distanța perpendiculară dintre baze.

Exemplu: un trapez cu bazele de 12 cm și 8 cm și înălțimea de 5 cm are aria [(12 + 8) × 5] : 2 = 50 cm².

A = [(B + b) × h] : 2
P = B + b + latura₁ + latura₂

Se adună întâi bazele, apoi se înmulțește cu înălțimea și se împarte la 2.
Laturile oblice nu intră în formula ariei, ci doar în perimetru.

Exemplu rezolvat

Un teren în formă de trapez are bazele de 30 m și 20 m, iar înălțimea de 12 m. Câți metri pătrați are?

Adunăm bazele: 30 + 20 = 50 m.
Înmulțim cu înălțimea: 50 × 12 = 600.
Împărțim la 2: aria este 300 m².

Figuri compuse și unități de măsură

Multe probleme cer aria unei figuri din care s-a decupat alta. Atunci calculezi separat cele două arii și o scazi pe cea decupată din cea totală.

Înainte de orice calcul, toate lungimile trebuie aduse la aceeași unitate. Dacă un dreptunghi are laturile de 1,2 m și 50 cm, transformi metrii în centimetri: 1,2 m = 120 cm.

La arii, transformările merg din 100 în 100: 1 m² = 10 000 cm².

aria rămasă = aria totală − aria decupată
1 m = 100 cm
1 m² = 10 000 cm²

Scrie unitatea la fiecare pas, ca să observi dacă ai amestecat metri cu centimetri.
Desenează figura și marchează ce se scade.

Exemplu rezolvat

Dintr-un dreptunghi de 10 cm pe 6 cm se decupează un triunghi cu baza de 4 cm și înălțimea de 3 cm. Ce arie rămâne?

Aria dreptunghiului este 10 × 6 = 60 cm².
Aria triunghiului este (4 × 3) : 2 = 6 cm².
Rămâne 60 − 6 = 54 cm².

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează aria unui triunghi cu baza 10 cm și înălțimea 6 cm.
Vezi rezolvarea
1. A = 10 × 6 : 2 = 30 cm².
Răspuns: 30
Exercițiul 2
Calculează aria unui paralelogram cu baza 12 cm și înălțimea 5 cm.
Vezi rezolvarea
1. A = 12 × 5 = 60 cm².
Răspuns: 60
Exercițiul 3
Un trapez are bazele 14 cm și 8 cm, iar înălțimea 6 cm. Calculează aria.
Vezi rezolvarea
1. A = (14 + 8) × 6 : 2 = 66 cm².
Răspuns: 66
Exercițiul 4
Ce măsoară perimetrul?
Vezi rezolvarea
1. Perimetrul este suma lungimilor laturilor.
Răspuns: Conturul figurii
Exercițiul 5
Un pătrat de latură 8 cm are decupat un pătrat de latură 3 cm. Care este aria rămasă?
Vezi rezolvarea
1. Aria mare este 8² = 64 cm², iar cea mică 3² = 9 cm².
2. 64 − 9 = 55 cm².
Răspuns: 55
Exercițiul 6
Calculează aria unui triunghi cu baza de 9 cm și înălțimea de 4 cm, în cm².
Vezi rezolvarea
1. 9 × 4 = 36.
2. 36 : 2 = 18.
3. A = 18 cm².
Răspuns: 18
Exercițiul 7
Un paralelogram are aria 72 cm² și baza 9 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare, în centimetri?
Vezi rezolvarea
1. 72 = 9 × h.
2. h = 72 : 9.
3. h = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 8
Un trapez are bazele 10 cm și 6 cm, iar înălțimea 5 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. B + b = 16.
2. 16 × 5 = 80.
3. 80 : 2 = 40 cm².
Răspuns: 40
Exercițiul 9
Aria unui triunghi este 24 cm², iar baza are 8 cm. Înălțimea corespunzătoare este:
Vezi rezolvarea
1. b × h = 2 × 24 = 48.
2. h = 48 : 8.
3. h = 6 cm.
Răspuns: 6 cm
Exercițiul 10
Un dreptunghi are laturile de 1,2 m și 50 cm. Calculează aria, în cm².
Vezi rezolvarea
1. 1,2 m = 120 cm.
2. A = 120 × 50.
3. A = 6 000 cm².
Răspuns: 6000
Exercițiul 11
Un teren în formă de trapez are bazele de 30 m și 20 m, iar înălțimea de 12 m. Câți m² are terenul?
Vezi rezolvarea
1. (30 + 20) : 2 = 25.
2. 25 × 12 = 300.
3. Terenul are 300 m².
Răspuns: 300
Exercițiul 12
Dintr-un dreptunghi de 10 cm pe 6 cm se decupează un triunghi cu baza 4 cm și înălțimea 3 cm. Ce arie rămâne, în cm²?
Vezi rezolvarea
1. Aria dreptunghiului: 10 × 6 = 60 cm².
2. Aria triunghiului: 4 × 3 : 2 = 6 cm².
3. Rămâne 60 − 6 = 54 cm².
Răspuns: 54

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Calculează aria unui triunghi cu baza de 14 cm și înălțimea de 6 cm.
Vezi răspunsul
14 × 6 : 2 = 42 cm²
2. Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui paralelogram cu laturile de 7 cm și 11 cm.
Vezi răspunsul
2 × (7 + 11) = 36 cm
3. Dificultate redusă
Calculează aria unui paralelogram cu baza de 12 cm și înălțimea de 5 cm.
Vezi răspunsul
12 × 5 = 60 cm²
4. Dificultate redusă
Calculează aria unui trapez cu bazele de 10 cm și 6 cm, și înălțimea de 5 cm.
Vezi răspunsul
(10 + 6) × 5 : 2 = 40 cm²
5. Dificultate redusă
Un trapez are laturile 7 cm, 9 cm, bazele 12 cm și 8 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsul
7 + 9 + 12 + 8 = 36 cm
6. Dificultate medie
Un triunghi are aria de 56 cm² și baza de 8 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.
Vezi răspunsul
h = 2 × 56 : 8 = 14 cm
7. Dificultate medie
Un paralelogram are aria de 90 cm² și înălțimea de 9 cm. Calculează lungimea bazei.
Vezi răspunsul
b = 90 : 9 = 10 cm
8. Dificultate medie
Un trapez are bazele de 18 cm și 12 cm, iar aria de 135 cm². Calculează înălțimea trapezului.
Vezi răspunsul
(18 + 12) × h : 2 = 135, deci 15h = 135 și h = 9 cm.
9. Dificultate medie
Un teren dreptunghiular de 24 m × 15 m are, într-un colț, o zonă triunghiulară de 5 m bază și 4 m înălțime, folosită ca depozit. Calculează aria rămasă din teren.
Vezi răspunsul
24 × 15 − 5 × 4 : 2 = 360 − 10 = 350 m²
10. Dificultate medie
Un paralelogram are perimetrul de 44 cm, iar una dintre laturi este de 3 ori mai mare decât cealaltă. Calculează lungimea fiecărei laturi.
Vezi răspunsul
2 × (a + 3a) = 44, deci a = 5,5 cm; laturile au 5,5 cm și 16,5 cm.
11. Dificultate ridicată
Un teren are forma unui trapez cu bazele de 60 m și 40 m, iar înălțimea de 25 m. Se dorește însămânțarea întregului teren cu gazon, cu excepția unei zone circulare cu raza de 4 m, folosită pentru o fântână. Calculează aria care trebuie însămânțată.
Vezi răspunsul
Trapezul: (60 + 40) × 25 : 2 = 1.250 m². Fântâna: 3,14 × 16 = 50,24 m². De însămânțat: 1.199,76 m².
12. Dificultate ridicată
Un paralelogram are aria de 108 cm², iar baza este cu 3 cm mai mare decât înălțimea. Află lungimea bazei și a înălțimii.
Vezi răspunsul
b × (b − 3) = 108, deci b = 12 cm și h = 9 cm (12 × 9 = 108).
13. Dificultate ridicată
Un trapez isoscel are bazele de 20 cm și 12 cm, iar laturile laterale egale de 6 cm fiecare. Calculează perimetrul trapezului, apoi, dacă înălțimea trapezului este 5 cm, calculează și aria.
Vezi răspunsul
P = 20 + 12 + 6 + 6 = 44 cm; A = (20 + 12) × 5 : 2 = 80 cm².
14. Dificultate ridicată
Se dă un triunghi cu aria de 72 cm². Dacă baza triunghiului se mărește de 3 ori, iar înălțimea rămâne aceeași, calculează noua arie a triunghiului.
Vezi răspunsul
3 × 72 = 216 cm²
15. Dificultate ridicată
O grădină are forma unui paralelogram cu baza de 30 m și înălțimea de 14 m. Din grădină se separă o alee în formă de trapez, cu bazele de 6 m și 4 m, și înălțimea de 14 m. Calculează aria grădinii rămase, după separarea aleii.
Vezi răspunsul
Grădina: 30 × 14 = 420 m². Aleea: (6 + 4) × 14 : 2 = 70 m². Rămân 350 m².
16. Excelență
Un teren are forma unui pentagon obținut dintr-un dreptunghi de 30 m × 20 m, căruia i s-a tăiat un colț triunghiular cu catetele de 6 m și 8 m. Calculează aria terenului rezultat.
Vezi răspunsul
30 × 20 − 6 × 8 : 2 = 600 − 24 = 576 m²
17. Excelență
Un trapez are aria de 180 cm², bazele în raport de 32, iar înălțimea de 12 cm. Află lungimile celor două baze, folosind raportul dat și formula ariei trapezului.
Vezi răspunsul
(B + b) × 12 : 2 = 180, deci B + b = 30; cu Bb = 32: B = 18 cm și b = 12 cm.
18. Excelență
Se dă un paralelogram ABCD cu aria de 150 cm². O diagonală a paralelogramului îl împarte în două triunghiuri congruente. Calculează aria unui singur triunghi, apoi explică, folosind congruența triunghiurilor, de ce cele două arii sunt egale.
Vezi răspunsul
150 : 2 = 75 cm². Triunghiurile au laturile respectiv egale (laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, iar diagonala e comună), deci sunt congruente și au arii egale.
19. Excelență
O piesă metalică are forma unui trapez cu bazele de 16 cm și 10 cm, din care se decupează un cerc cu raza de 2 cm. Dacă înălțimea trapezului este 8 cm, calculează aria piesei rămase după decupare, folosind π ≈ 3,14.
Vezi răspunsul
Trapezul: (16 + 10) × 8 : 2 = 104 cm². Cercul: 3,14 × 4 = 12,56 cm². Rămân 91,44 cm².
20. Excelență
Un teren dreptunghiular de 50 m × 30 m urmează să fie împărțit în 2 loturi de formă trapezoidală, printr-o linie care unește mijlocul unei laturi scurte cu un punct situat pe latura scurtă opusă, la o distanță de 10 m de un colț. Calculează ariile celor două trapeze rezultate, știind că suma lor trebuie să fie egală cu aria totală a terenului (folosește această verificare pentru a confirma calculul).
Vezi răspunsul
Laturile scurte (30 m) sunt bazele trapezelor, iar înălțimea este 50 m. Un trapez are bazele 15 m și 10 m: (15 + 10) × 50 : 2 = 625 m². Celălalt are 15 m și 20 m: 875 m². Verificare: 625 + 875 = 1.500 = 50 × 30.