Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
▱

Teorie înainte de exerciții

Perimetre și arii

Perimetrul măsoară conturul, iar aria măsoară suprafața. Pentru figuri compuse, descompunem desenul în figuri cunoscute și adunăm sau scădem ariile.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

hABCDbB
La trapez, bazele B și b sunt paralele, iar înălțimea h este perpendiculară pe ele.
1

Aria triunghiului

Aria unui triunghi se calculează cu formula A = (bază × înălțime) : 2. Baza este una dintre laturi, iar înălțimea corespunzătoare este segmentul perpendicular dus din vârful opus pe acea latură sau pe prelungirea ei.

Exemplu: un triunghi cu baza de 10 cm și înălțimea de 6 cm are aria (10 × 6) : 2 = 30 cm2.

Formula merge și invers: dacă știi aria și baza, afli înălțimea cu h = 2 × A : b.

A = (b × h) : 2
h = 2 × A : b
b = 2 × A : h
  • Înălțimea trebuie să corespundă bazei alese, adică să fie perpendiculară pe ea.
  • Nu uita împărțirea la 2 — este greșeala cea mai des întâlnită.

Exemplu rezolvat

Aria unui triunghi este 24 cm2, iar baza are 8 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?

  1. 1.Pornim de la formula ariei: 24 = (8 × h) : 2.
  2. 2.Înmulțim ambele părți cu 2: 48 = 8 × h.
  3. 3.Împărțim la 8: h = 6 cm.
2

Perimetrul și aria paralelogramului

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele și egale două câte două. Perimetrul lui este P = 2 × (a + b), unde a și b sunt două laturi alăturate, iar perimetrul oricărei figuri rămâne lungimea conturului ei.

Aria paralelogramului este A = bază × înălțime, unde înălțimea este distanța perpendiculară dintre cele două laturi paralele folosite ca baze.

Un paralelogram cu baza de 8 cm și înălțimea de 5 cm are aria 40 cm2. Atenție: înălțimea nu este latura oblică, ci perpendiculara dintre baze.

P = 2 × (a + b)
A = bază × înălțime
h = A : bază
  • Perimetrul măsoară conturul, aria măsoară suprafața.
  • Latura înclinată a paralelogramului este mai lungă decât înălțimea.

Exemplu rezolvat

Un paralelogram are aria de 72 cm2 și baza de 9 cm. Cât este înălțimea corespunzătoare?

  1. 1.Aria se calculează înmulțind baza cu înălțimea: 72 = 9 × h.
  2. 2.Împărțim ambele părți la 9.
  3. 3.Înălțimea este 8 cm.
3

Aria trapezului

Trapezul este patrulaterul cu exact o pereche de laturi paralele, numite baze: baza mare B și baza mică b. Perimetrul se obține adunând toate cele patru laturi.

Aria trapezului se calculează cu formula A = [(B + b) × h] : 2, unde h este înălțimea, adică distanța perpendiculară dintre baze.

Exemplu: un trapez cu bazele de 12 cm și 8 cm și înălțimea de 5 cm are aria [(12 + 8) × 5] : 2 = 50 cm2.

A = [(B + b) × h] : 2
P = B + b + latura1 + latura2
  • Se adună întâi bazele, apoi se înmulțește cu înălțimea și se împarte la 2.
  • Laturile oblice nu intră în formula ariei, ci doar în perimetru.

Exemplu rezolvat

Un teren în formă de trapez are bazele de 30 m și 20 m, iar înălțimea de 12 m. Câți metri pătrați are?

  1. 1.Adunăm bazele: 30 + 20 = 50 m.
  2. 2.Înmulțim cu înălțimea: 50 × 12 = 600.
  3. 3.Împărțim la 2: aria este 300 m2.
4

Figuri compuse și unități de măsură

Multe probleme cer aria unei figuri din care s-a decupat alta. Atunci calculezi separat cele două arii și o scazi pe cea decupată din cea totală.

Înainte de orice calcul, toate lungimile trebuie aduse la aceeași unitate. Dacă un dreptunghi are laturile de 1,2 m și 50 cm, transformi metrii în centimetri: 1,2 m = 120 cm.

La arii, transformările merg din 100 în 100: 1 m2 = 10 000 cm2.

aria rămasă = aria totală − aria decupată
1 m = 100 cm
1 m2 = 10 000 cm2
  • Scrie unitatea la fiecare pas, ca să observi dacă ai amestecat metri cu centimetri.
  • Desenează figura și marchează ce se scade.

Exemplu rezolvat

Dintr-un dreptunghi de 10 cm pe 6 cm se decupează un triunghi cu baza de 4 cm și înălțimea de 3 cm. Ce arie rămâne?

  1. 1.Aria dreptunghiului este 10 × 6 = 60 cm2.
  2. 2.Aria triunghiului este (4 × 3) : 2 = 6 cm2.
  3. 3.Rămâne 60 − 6 = 54 cm2.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Calculează aria unui triunghi cu baza de 14 cm și înălțimea de 6 cm.

    Vezi răspunsul

    14 × 6 : 2 = 42 cm2

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Calculează perimetrul unui paralelogram cu laturile de 7 cm și 11 cm.

    Vezi răspunsul

    2 × (7 + 11) = 36 cm

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Calculează aria unui paralelogram cu baza de 12 cm și înălțimea de 5 cm.

    Vezi răspunsul

    12 × 5 = 60 cm2

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Calculează aria unui trapez cu bazele de 10 cm și 6 cm, și înălțimea de 5 cm.

    Vezi răspunsul

    (10 + 6) × 5 : 2 = 40 cm2

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Un trapez are laturile 7 cm, 9 cm, bazele 12 cm și 8 cm. Calculează perimetrul.

    Vezi răspunsul

    7 + 9 + 12 + 8 = 36 cm

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Un triunghi are aria de 56 cm2 și baza de 8 cm. Calculează înălțimea corespunzătoare.

    Vezi răspunsul

    h = 2 × 56 : 8 = 14 cm

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Un paralelogram are aria de 90 cm2 și înălțimea de 9 cm. Calculează lungimea bazei.

    Vezi răspunsul

    b = 90 : 9 = 10 cm

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Un trapez are bazele de 18 cm și 12 cm, iar aria de 135 cm2. Calculează înălțimea trapezului.

    Vezi răspunsul

    (18 + 12) × h : 2 = 135, deci 15h = 135 și h = 9 cm.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Un teren dreptunghiular de 24 m × 15 m are, într-un colț, o zonă triunghiulară de 5 m bază și 4 m înălțime, folosită ca depozit. Calculează aria rămasă din teren.

    Vezi răspunsul

    24 × 15 − 5 × 4 : 2 = 360 − 10 = 350 m2

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Un paralelogram are perimetrul de 44 cm, iar una dintre laturi este de 3 ori mai mare decât cealaltă. Calculează lungimea fiecărei laturi.

    Vezi răspunsul

    2 × (a + 3a) = 44, deci a = 5,5 cm; laturile au 5,5 cm și 16,5 cm.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Un teren are forma unui trapez cu bazele de 60 m și 40 m, iar înălțimea de 25 m. Se dorește însămânțarea întregului teren cu gazon, cu excepția unei zone circulare cu raza de 4 m, folosită pentru o fântână. Calculează aria care trebuie însămânțată.

    Vezi răspunsul

    Trapezul: (60 + 40) × 25 : 2 = 1.250 m2. Fântâna: 3,14 × 16 = 50,24 m2. De însămânțat: 1.199,76 m2.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Un paralelogram are aria de 108 cm2, iar baza este cu 3 cm mai mare decât înălțimea. Află lungimea bazei și a înălțimii.

    Vezi răspunsul

    b × (b − 3) = 108, deci b = 12 cm și h = 9 cm (12 × 9 = 108).

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Un trapez isoscel are bazele de 20 cm și 12 cm, iar laturile laterale egale de 6 cm fiecare. Calculează perimetrul trapezului, apoi, dacă înălțimea trapezului este 5 cm, calculează și aria.

    Vezi răspunsul

    P = 20 + 12 + 6 + 6 = 44 cm; A = (20 + 12) × 5 : 2 = 80 cm2.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Se dă un triunghi cu aria de 72 cm2. Dacă baza triunghiului se mărește de 3 ori, iar înălțimea rămâne aceeași, calculează noua arie a triunghiului.

    Vezi răspunsul

    3 × 72 = 216 cm2

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    O grădină are forma unui paralelogram cu baza de 30 m și înălțimea de 14 m. Din grădină se separă o alee în formă de trapez, cu bazele de 6 m și 4 m, și înălțimea de 14 m. Calculează aria grădinii rămase, după separarea aleii.

    Vezi răspunsul

    Grădina: 30 × 14 = 420 m2. Aleea: (6 + 4) × 14 : 2 = 70 m2. Rămân 350 m2.

  16. Ex. 16Excelență

    Un teren are forma unui pentagon obținut dintr-un dreptunghi de 30 m × 20 m, căruia i s-a tăiat un colț triunghiular cu catetele de 6 m și 8 m. Calculează aria terenului rezultat.

    Vezi răspunsul

    30 × 20 − 6 × 8 : 2 = 600 − 24 = 576 m2

  17. Ex. 17Excelență

    Un trapez are aria de 180 cm2, bazele în raport de 32, iar înălțimea de 12 cm. Află lungimile celor două baze, folosind raportul dat și formula ariei trapezului.

    Vezi răspunsul

    (B + b) × 12 : 2 = 180, deci B + b = 30; cu Bb = 32: B = 18 cm și b = 12 cm.

  18. Ex. 18Excelență

    Se dă un paralelogram ABCD cu aria de 150 cm2. O diagonală a paralelogramului îl împarte în două triunghiuri congruente. Calculează aria unui singur triunghi, apoi explică, folosind congruența triunghiurilor, de ce cele două arii sunt egale.

    Vezi răspunsul

    150 : 2 = 75 cm2. Triunghiurile au laturile respectiv egale (laturile opuse ale paralelogramului sunt egale, iar diagonala e comună), deci sunt congruente și au arii egale.

  19. Ex. 19Excelență

    O piesă metalică are forma unui trapez cu bazele de 16 cm și 10 cm, din care se decupează un cerc cu raza de 2 cm. Dacă înălțimea trapezului este 8 cm, calculează aria piesei rămase după decupare, folosind π ≈ 3,14.

    Vezi răspunsul

    Trapezul: (16 + 10) × 8 : 2 = 104 cm2. Cercul: 3,14 × 4 = 12,56 cm2. Rămân 91,44 cm2.

  20. Ex. 20Excelență

    Un teren dreptunghiular de 50 m × 30 m urmează să fie împărțit în 2 loturi de formă trapezoidală, printr-o linie care unește mijlocul unei laturi scurte cu un punct situat pe latura scurtă opusă, la o distanță de 10 m de un colț. Calculează ariile celor două trapeze rezultate, știind că suma lor trebuie să fie egală cu aria totală a terenului (folosește această verificare pentru a confirma calculul).

    Vezi răspunsul

    Laturile scurte (30 m) sunt bazele trapezelor, iar înălțimea este 50 m. Un trapez are bazele 15 m și 10 m: (15 + 10) × 50 : 2 = 625 m2. Celălalt are 15 m și 20 m: 875 m2. Verificare: 625 + 875 = 1.500 = 50 × 30.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.