Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min

ℚ

Încărcăm partea curentă…

Numere raționale

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca fracție ab, unde a și b sunt numere întregi, iar b este diferit de 0.

În această categorie intră numerele întregi (fiindcă orice întreg a se scrie a1), fracțiile ordinare pozitive sau negative și numerele zecimale finite, pozitive sau negative. Sunt numere raționale 3, −5, 12, −34, 0,7 și −2,5.

Mulțimea numerelor raționale se notează ℚ, iar incluziunile sunt ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ: orice număr natural este întreg, iar orice întreg este rațional.

De ținut minte

ℚ = {ab | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}

ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ

5 = 51

Numitorul nu poate fi 0, oricât de simplă ar părea fracția.
Pe axă, numerele raționale umplu și spațiile dintre numerele întregi.

Exemplu rezolvat · alte date

Enumeră întregii din intervalul .

1Căutăm numere fără parte fracționară, strict între capete.
2Acestea sunt −1, 0, 1, 2.
3Sunt 4 numere întregi; capetele zecimale nu se includ.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere raționale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un număr rațional poate fi scris ca fracție ab, unde a și b sunt întregi și b ≠ 0. Fracțiile, numerele întregi și zecimalele finite sau periodice sunt raționale.

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca fracție ab, unde a și b sunt numere întregi, iar b este diferit de 0.

Mulțimea numerelor raționale se notează ℚ, iar incluziunile sunt ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ: orice număr natural este întreg, iar orice întreg este rațional.

ℚ = {ab | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ
5 = 51

Numitorul nu poate fi 0, oricât de simplă ar părea fracția.
Pe axă, numerele raționale umplu și spațiile dintre numerele întregi.

Exemplu rezolvat · alte date

Enumeră întregii din intervalul .

Căutăm numere fără parte fracționară, strict între capete.
Acestea sunt −1, 0, 1, 2.
Sunt 4 numere întregi; capetele zecimale nu se includ.

Din fracție în zecimal și invers

Orice fracție se poate scrie ca număr zecimal, împărțind numărătorul la numitor: 35 = 3 : 5 = 0,6, iar 14 = 0,25.

Invers, un număr zecimal finit se scrie ca fracție cu numitor 10, 100 sau 1 000, apoi se simplifică: 0,2 = 210 = 15.

Este util să știi pe de rost câteva echivalențe: 12 = 0,5, 14 = 0,25, 34 = 0,75, 15 = 0,2 și 110 = 0,1.

35 = 0,6
14 = 0,25
0,2 = 210 = 15

Semnul minus se păstrează la orice transformare: −34 = −0,75.
Transformarea în zecimale este cea mai rapidă cale de a compara numere raționale.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie 0,35 ca fracție ireductibilă.

Două cifre după virgulă dau 35100.
Simplificăm ambele componente prin 5.
0,35 = 720.

Opusul unui număr rațional

Opusul unui număr rațional se obține schimbând semnul, exact ca la numerele întregi: opusul lui 34 este −34, iar opusul lui −1,8 este 1,8.

Cele două numere se află la aceeași distanță de 0, de o parte și de alta a originii, iar suma lor este 0.

opusul lui ab este −ab
opusul lui −38 este 38

Semnul minus se poate scrie în fața fracției: −34 este același lucru cu −34.
Opusul opusului este numărul inițial.

Exemplu rezolvat · alte date

Află opusul lui −712.

Opusul unui număr a este −a.
Schimbăm semnul: −(−712) = 712.
Suma −712 + 712 este 0.

Compararea numerelor raționale

Regulile rămân cele știute, extinse acum la toate numerele raționale: orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv; două numere pozitive se compară aducându-le la aceeași formă; iar dintre două numere negative este mai mare cel aflat mai aproape de 0.

Exemplu: pentru −23 și −45 aducem la același numitor: −1015 și −1215. Cum −10 este mai aproape de 0 decât −12, rezultă −23 > −45.

Cel mai simplu, transformă totul în zecimale și compară: −0,75 < −0,5 < 0,25.

−0,75 < −12 < 0,25
−23 > −45

La numerele negative, modulul mai mare înseamnă număr mai mic.
Scrie toate numerele în aceeași formă înainte să compari.

Exemplu rezolvat

Ordonează crescător −12, 0,25 și −0,75.

Transformăm fracția în zecimal: −12 = −0,5.
Comparăm negativele: −0,75 este mai departe de 0 decât −0,5, deci este mai mic.
Ordinea crescătoare este −0,75 < −12 < 0,25.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care scriere reprezintă un număr rațional?
Vezi rezolvarea
1. 79 este raportul a două numere întregi, cu numitor nenul.
Răspuns: 79
Exercițiul 2
Care este forma zecimală a lui 35?
Vezi rezolvarea
1. 3 : 5 = 0,6.
Răspuns: 0,6
Exercițiul 3
Care număr este mai mare?
Vezi rezolvarea
1. −0,4 este mai aproape de zero și se află mai la dreapta.
Răspuns: −0,4
Exercițiul 4
Scrie opusul numărului 712 folosind semnul minus.
Vezi rezolvarea
1. Opusul lui 712 este −712.
Răspuns: −712
Exercițiul 5
Care este ordinea crescătoare corectă pentru −12, 0,25 și −0,75?
Vezi rezolvarea
1. Valorile sunt −0,75, −0,5 și 0,25.
Răspuns: −0,75 < −12 < 0,25
Exercițiul 6
Care este forma zecimală a lui 14?
Vezi rezolvarea
1. 1 : 4 = 0,25.
2. Sau: 14 = 25100.
3. 14 = 0,25.
Răspuns: 0,25
Exercițiul 7
Care fracție este egală cu 0,2?
Vezi rezolvarea
1. 0,2 = 210.
2. Simplificăm cu 2: 210 = 15.
3. 0,2 = 15.
Răspuns: 15
Exercițiul 8
Care număr este cel mai mic?
Vezi rezolvarea
1. 0 și 0,5 sunt mai mari decât numerele negative.
2. Între −0,8 și −0,3, modulul mai mare îl are −0,8.
3. Cel mai mic este −0,8.
Răspuns: −0,8
Exercițiul 9
Care este opusul lui −38?
Vezi rezolvarea
1. Opusul lui ab este −ab.
2. Opusul unui număr negativ este pozitiv.
3. Opusul lui −38 este 38.
Răspuns: 38
Exercițiul 10
Care este ordinea crescătoare pentru 0,5, −14 și −1?
Vezi rezolvarea
1. −14 = −0,25.
2. Dintre −1 și −0,25, mai mic este −1; 0,5 este pozitiv.
3. Ordinea este −1 < −14 < 0,5.
Răspuns: −1 < −14 < 0,5
Exercițiul 11
Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
1. −3 = −31, deci este rațional.
2. 0,5 = 12 este rațional, dar nu întreg.
3. Adevărat: orice număr întreg este rațional.
Răspuns: orice număr întreg este rațional
Exercițiul 12
Câte numere întregi se află între −2,5 și 1,5?
Vezi rezolvarea
1. −2,5 este între −3 și −2, iar 1,5 este între 1 și 2.
2. Numerele întregi dintre ele sunt −2, −1, 0, 1.
3. Sunt 4 numere întregi.
Răspuns: 4

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Scrie 3 exemple de numere raționale, dintre care unul negativ.
Vezi răspunsul
De exemplu 12, 3 și −2,5.
2. Dificultate redusă
Este numărul 49 un număr rațional? Justifică.
Vezi răspunsul
Da: este câtul a două numere întregi, 4 și 9, cu împărțitorul diferit de 0.
3. Dificultate redusă
Scrie opusul numerelor: 35, −0,9, −4.
Vezi răspunsul
−35, 0,9, 4
4. Dificultate redusă
Reprezintă aproximativ pe axa numerelor: 14, −14, 32.
Vezi răspunsul
−14 la stânga lui 0 și 14 la dreapta, fiecare la un sfert din distanța până la ±1; 32 = 1,5 la jumătatea dintre 1 și 2.
5. Dificultate redusă
Completează cu < sau >: −13 ... 13; −5 ... −14.
Vezi răspunsul
−13 < 13; −5 < −14.
6. Dificultate medie
Compară numerele: −37 și −47.
Vezi răspunsul
−37 > −47
7. Dificultate medie
Ordonează crescător numerele: −0,25, 2, −3, 0,5, −1,75.
Vezi răspunsul
−3, −1,75, −0,25, 0,5, 2
8. Dificultate medie
Calculează suma dintre 23 și opusul lui 14.
Vezi răspunsul
23 − 14 = 812 − 312 = 512
9. Dificultate medie
Fie numărul rațional y = −910. Scrie-l ca număr zecimal, apoi determină opusul său.
Vezi răspunsul
y = −0,9; opusul lui este 0,9.
10. Dificultate medie
Compară, aducând la aceeași formă: −78 și −0,8.
Vezi răspunsul
−78 = −0,875 < −0,8
11. Dificultate ridicată
Ordonează descrescător numerele: −25, 0,7, −1, 34, −0,4, 13.
Vezi răspunsul
34 > 0,7 > 13 > −25 = −0,4 > −1
12. Dificultate ridicată
Un submarinist coboară de la suprafață (0 m) la adâncimea de 18,5 m, exprimată ca număr rațional negativ. Un stol de păsări zboară la înălțimea de 6,75 m deasupra suprafeței. Calculează distanța, pe verticală, dintre cei doi.
Vezi răspunsul
6,75 − (−18,5) = 25,25 m
13. Dificultate ridicată
Suma dintre un număr rațional x și opusul lui este, mereu, egală cu 0. Dacă x = −78, calculează suma dintre x și opusul unui alt număr rațional, y = 25.
Vezi răspunsul
−78 − 25 = −3540 − 1640 = −5140
14. Dificultate ridicată
Se dau numerele raționale −94 și −2,1. Care este mai mare? Justifică transformând ambele numere în aceeași formă.
Vezi răspunsul
−2,1 este mai mare: −94 = −2,25 < −2,1.
15. Dificultate ridicată
Un cont are soldul de −62,30 lei. Se efectuează o plată suplimentară de 15,40 lei. Calculează noul sold al contului, exprimat ca număr rațional negativ.
Vezi răspunsul
−62,30 − 15,40 = −77,70 lei
16. Excelență
Se dau numerele raționale a = −56 și b = −79. Determină, prin calcul, care dintre cele două este mai aproape de 0, apoi calculează diferența dintre ele.
Vezi răspunsul
b = −79 este mai aproape de 0 (56 = 1518, 79 = 1418). Diferența: a − b = −1518 + 1418 = −118.
17. Excelență
Un elevator de mină coboară de la suprafață până la adâncimea de −340,5 m, apoi urcă 128,75 m. Calculează poziția finală a elevatorului față de suprafață, exprimată ca număr rațional.
Vezi răspunsul
−340,5 + 128,75 = −211,75 m
18. Excelență
Un termometru digital arată, în 4 momente diferite ale unei zile de iarnă, temperaturile: −3,5°C, 1,25°C, −0,75°C, −2°C. Ordonează crescător aceste valori, apoi calculează diferența dintre cea mai mare și cea mai mică temperatură.
Vezi răspunsul
−3,5 < −2 < −0,75 < 1,25; diferența: 1,25 − (−3,5) = 4,75°C.
19. Excelență
Se dă un șir de numere raționale: −74, x, −14, unde x este exact la jumătatea distanței dintre celelalte două, pe axa numerelor. Află valoarea lui x.
Vezi răspunsul
x = (−74 + (−14)) : 2 = −2 : 2 = −1
20. Excelență
Un cont bancar are soldul −128,40 lei. În decurs de 3 zile, se retrag sume egale de bani, iar soldul final ajunge la −398,40 lei. Calculează suma retrasă în fiecare zi, exprimată ca număr rațional.
Vezi răspunsul
90 de lei pe zi: soldul a scăzut cu 398,40 − 128,40 = 270 de lei, iar 270 : 3 = 90.