Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
ℤ

Teorie înainte de exerciții

Numere naturale și întregi

Numerele întregi extind numerele naturale cu numere negative. Pe axă, valorile cresc de la stânga la dreapta, iar opusul unui număr se află la aceeași distanță de zero.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Numerele întregi negative și mulțimea ℤ

Până acum ai lucrat doar cu numere naturale: 0, 1, 2, 3 și așa mai departe. Există însă situații în care ai nevoie de numere mai mici decât 0 — o temperatură sub zero grade, un etaj sub parter, o datorie. Acestea sunt numerele întregi negative și se scriu cu semnul „−” în față.

Numărul −5 se citește „minus cinci” și poate însemna, de pildă, cinci grade sub zero. Numerele naturale nenule, privite alături de cele negative, se numesc numere întregi pozitive și pot fi scrise și cu semnul „+”: +3 = 3.

Mulțimea numerelor întregi se notează ℤ și cuprinde toate numerele naturale împreună cu opusele lor: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Fiindcă orice număr natural este și întreg, avem ℕ ⊆ ℤ.

ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
ℕ ⊆ ℤ
  • Zero nu este nici pozitiv, nici negativ.
  • Mulțimea ℤ nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element.

Exemplu rezolvat

Care este cel mai mare număr întreg negativ?

  1. 1.Numerele negative sunt …, −3, −2, −1, iar cu cât sunt mai aproape de 0, cu atât sunt mai mari.
  2. 2.Cel mai aproape de 0 dintre ele este −1.
  3. 3.Zero nu se pune la socoteală, fiindcă nu este negativ, deci răspunsul este −1.
2

Opusul unui număr întreg

Opusul unui număr întreg este numărul aflat de cealaltă parte a lui 0 pe axă, la aceeași distanță de origine. Opusul lui 7 este −7, iar opusul lui −4 este 4.

Practic, opusul se obține schimbând semnul. Opusul lui 0 este chiar 0, iar suma dintre un număr și opusul lui este întotdeauna 0: 5 + (−5) = 0.

opusul lui a este −a
a + (−a) = 0
opusul lui −4 este 4
  • Opusul unui număr negativ este pozitiv, nu tot negativ.
  • Două semne minus alăturate se anulează: −(−4) = 4.

Exemplu rezolvat

Scrie opusul numărului −13.

  1. 1.Opusul se află de partea cealaltă a lui 0, la aceeași distanță.
  2. 2.Numărul −13 este la 13 unități la stânga lui 0, deci opusul este la 13 unități la dreapta.
  3. 3.Opusul lui −13 este 13.
3

Compararea numerelor întregi

Regula de pe axă rămâne aceeași: cu cât un număr este mai la dreapta, cu atât este mai mare. Axa se prelungește acum și la stânga lui 0, pentru numerele negative.

De aici ies trei reguli practice: orice număr negativ este mai mic decât 0 și decât orice număr pozitiv; între două numere pozitive este mai mare cel cu valoarea mai mare; între două numere negative este mai mare cel aflat mai aproape de 0.

Astfel, −3 > −8, fiindcă −3 este mai aproape de 0, iar −2 < 5, fiindcă orice negativ este mai mic decât orice pozitiv.

−7 < −3 < 0 < 4
negativ < 0 < pozitiv
−3 > −8
  • La numerele negative, cifra mai mare înseamnă număr mai mic.
  • Când ezitați, desenați axa: ordinea se vede imediat.

Exemplu rezolvat

Care este ordinea crescătoare a numerelor 2, −1, −5 și 0?

  1. 1.Separăm negativele de 0 și de pozitive: negative sunt −5 și −1.
  2. 2.Între negative, mai mic este cel mai departe de 0: −5 < −1.
  3. 3.Ordinea crescătoare este −5 < −1 < 0 < 2.
4

Deplasarea pe axă și problemele cu temperaturi

A merge la dreapta pe axă înseamnă a aduna, iar a merge la stânga înseamnă a scădea. Așa se rezolvă întrebările de tipul „ce număr se află la 6 unități la stânga lui 2”: 2 − 6 = −4.

Aceeași idee funcționează la temperaturi: dacă termometrul arată 4°C și temperatura scade cu 9 grade, noua valoare este 4 − 9 = −5°C.

Ca să afli cu cât s-a schimbat temperatura între două valori, calculezi distanța dintre ele pe axă: de la −8°C la 3°C sunt 8 unități până la 0 plus încă 3, adică 11 grade.

la dreapta cu n: a + n
la stânga cu n: a − n
de la −8 la 3: 8 + 3 = 11
  • Distanța dintre un număr negativ și unul pozitiv se calculează în două bucăți, prin 0.
  • Verifică rezultatul pe axă: are semnul potrivit?

Exemplu rezolvat

Termometrul arăta 4°C, apoi temperatura a scăzut cu 9 grade. Cât arată acum?

  1. 1.Scăderea temperaturii înseamnă deplasare la stânga pe axă.
  2. 2.De la 4 coborâm 4 unități până la 0, apoi încă 5 unități sub 0.
  3. 3.Termometrul arată −5°C.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie opusul numerelor: 6, −3, 0, −9.

    Vezi răspunsul

    −6, 3, 0, 9

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Reprezintă pe axa numerelor: −4, 3, −2, 1.

    Vezi răspunsul

    De la stânga la dreapta: −4, −2, 1, 3; numerele negative stau la stânga lui 0.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Completează cu < sau >: −5 ... 1; −7 ... −3; 0 ... −6.

    Vezi răspunsul

    −5 < 1; −7 < −3; 0 > −6.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Este numărul −2 mai mic sau mai mare decât numărul −9?

    Vezi răspunsul

    Mai mare: −2 > −9.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Scrie mulțimea numerelor întregi cuprinse între −4 și 4.

    Vezi răspunsul

    {−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Ordonează crescător numerele: −3, 5, −6, 0, 2, −8.

    Vezi răspunsul

    −8, −6, −3, 0, 2, 5

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Calculează suma dintre numărul 11 și opusul său.

    Vezi răspunsul

    11 + (−11) = 0

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Un termometru arată −6°C dimineața și 4°C la prânz. Care temperatură este mai mare?

    Vezi răspunsul

    4°C

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Scrie toate numerele întregi al căror opus este mai mic decât 6 și mai mare decât −6.

    Vezi răspunsul

    −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Fie mulțimea B = {−3, −7, 0, 2, −1}. Ordonează elementele acestei mulțimi descrescător.

    Vezi răspunsul

    2, 0, −1, −3, −7

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Un submarin se află la adâncimea de 20 m sub nivelul mării (notată −20), iar un avion zboară la 35 m deasupra nivelului mării (notat +35). Calculează distanța dintre cele două poziții, pe verticală.

    Vezi răspunsul

    35 − (−20) = 55 m

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Un număr întreg y are proprietatea că opusul lui este cu 16 mai mare decât y însuși. Află valoarea lui y.

    Vezi răspunsul

    y = −8: opusul lui este 8, iar 8 = −8 + 16.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Temperaturile înregistrate într-o săptămână au fost: −3°C, 2°C, −6°C, 1°C, 5°C, −2°C, 3°C. Calculează diferența dintre temperatura cea mai mare și cea mai mică din săptămână.

    Vezi răspunsul

    5 − (−6) = 11°C

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Scrie toate numerele întregi x, astfel încât −5 < x < 6, apoi calculează suma lor.

    Vezi răspunsul

    x ∈ {−4, −3, …, 4, 5}; suma este 5 (perechile opuse se anulează).

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un ascensor pornește de la etajul 4 (+4), coboară 9 etaje, apoi urcă 3 etaje. La ce etaj se află ascensorul la final?

    Vezi răspunsul

    4 − 9 + 3 = −2: etajul −2 (al doilea subsol).

  16. Ex. 16Excelență

    Un elicopter zboară la altitudinea +120 m față de nivelul mării. Un submarin se află la adâncimea −85 m. Calculează distanța, pe verticală, dintre elicopter și submarin.

    Vezi răspunsul

    120 + 85 = 205 m

  17. Ex. 17Excelență

    Suma a două numere întregi opuse este întotdeauna 0. Dacă la un număr întreg x se adaugă opusul unui alt număr întreg y, iar x = −8 și y = 5, calculează rezultatul acestei operații.

    Vezi răspunsul

    −8 + (−5) = −13

  18. Ex. 18Excelență

    Un cont bancar are soldul −250 lei (o datorie). Se fac 3 depuneri consecutive de 80 lei, 60 lei și 45 lei. Calculează soldul final al contului și precizează dacă acesta reprezintă o datorie sau o sumă disponibilă.

    Vezi răspunsul

    −250 + 80 + 60 + 45 = −65 de lei: este încă o datorie.

  19. Ex. 19Excelență

    Se dau numerele întregi de la −10 la 10. Câte dintre ele au opusul strict mai mare decât numărul însuși?

    Vezi răspunsul

    10 numere: −10, −9, …, −1 (opusul este mai mare doar la numerele negative).

  20. Ex. 20Excelență

    Un fluid este răcit de la 8°C, scăzând constant cu 3°C la fiecare oră. Calculează temperatura după 5 ore, apoi determină după câte ore complete temperatura devine, pentru prima dată, un număr negativ.

    Vezi răspunsul

    După 5 ore: 8 − 5 × 3 = −7°C. Temperatura devine negativă pentru prima dată după 3 ore (−1°C).

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.