Modulul unui număr

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Ce este modulul unui număr

Modulul unui număr este distanța de la acel număr până la 0, măsurată pe axa numerelor. Fiindcă o distanță nu poate fi negativă, modulul este întotdeauna pozitiv sau 0. Se notează cu două bare verticale: |x|.

Regulile de calcul sunt scurte: dacă x este pozitiv, |x| = x; dacă x este negativ, |x| este opusul lui, adică numărul fără semnul minus; iar |0| = 0.

Aceleași reguli se aplică și fracțiilor sau numerelor zecimale: |−2,5| = 2,5 și |−710| = 710.

De ținut minte

|5| = 5

|−5| = 5

|0| = 0

Modulul șterge semnul, nu schimbă valoarea.
Barele de modul se calculează înaintea operațiilor din afara lor.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează |−19|.

1Modulul este distanța până la 0, deci este nenegativ.
2−19 este la 19 unități de 0.
3|−19| = 19.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Modulul unui număr: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Modulul unui număr este distanța de la acel număr la zero pe axă. De aceea, modulul este întotdeauna pozitiv sau zero.

Ce este modulul unui număr

Regulile de calcul sunt scurte: dacă x este pozitiv, |x| = x; dacă x este negativ, |x| este opusul lui, adică numărul fără semnul minus; iar |0| = 0.

Aceleași reguli se aplică și fracțiilor sau numerelor zecimale: |−2,5| = 2,5 și |−710| = 710.

|5| = 5
|−5| = 5
|0| = 0

Modulul șterge semnul, nu schimbă valoarea.
Barele de modul se calculează înaintea operațiilor din afara lor.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează |−19|.

Modulul este distanța până la 0, deci este nenegativ.
−19 este la 19 unități de 0.
|−19| = 19.

Proprietățile modulului

Prima proprietate: modulul oricărui număr este mai mare sau egal cu 0, deci |x| ≥ 0 întotdeauna.

A doua: un număr și opusul lui au același modul, adică |x| = |−x|. De exemplu, |4| = |−4| = 4, iar numerele întregi cu modulul 6 sunt exact două: −6 și 6.

A treia: dacă modulul unui număr este 0, atunci numărul este chiar 0 — este singurul caz în care distanța până la origine este nulă.

|x| ≥ 0
|x| = |−x|
|x| = 0 ⇔ x = 0

Un modul dat, diferit de 0, provine întotdeauna de la două numere opuse.
Modulul mai mare înseamnă mai departe de 0, indiferent de semn: |−15| > |9|.

Exemplu rezolvat · alte date

Câte numere întregi verifică |x| < 4?

Condiția este echivalentă cu −4 < x < 4.
Întregii sunt −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3.
Sunt 7 valori; ±4 sunt excluse.

Calcule cu module

Într-o expresie, modulele se calculează primele, ca niște paranteze: mai întâi afli valoarea fiecărui modul, apoi efectuezi adunările, scăderile sau înmulțirile.

Așa, |−3| + |−8| = 3 + 8 = 11, iar |7| − |−3| = 7 − 3 = 4. Atenție: modulul unei sume nu este suma modulelor, deci |−3 + 8| nu este același lucru cu |−3| + |8|.

|−3| + |−8| = 11
|7| − |−3| = 4
|−6| × |−2| = 12

Barele de modul se comportă ca niște paranteze.
Rezultatul unei scăderi de module poate fi negativ: |3| − |−8| = −5.

Exemplu rezolvat · alte date

Calculează |−9| + |4 − 11|.

|−9| = 9.
4 − 11 = −7, deci |4 − 11| = 7.
9 + 7 = 16.

Distanța dintre două numere

Distanța dintre două numere a și b de pe axă se calculează cu modulul diferenței lor: d(a, b) = |a − b|. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă modulul șterge semnul.

De exemplu, distanța dintre −3 și 4 este |−3 − 4| = |−7| = 7, același rezultat ca |4 − (−3)| = |7| = 7. Tot așa se află lungimea unui segment ale cărui capete au coordonate date pe axă.

d(a, b) = |a − b| = |b − a|
d(−3, 4) = 7

Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea opusului: −3 − (−9) = −3 + 9.
Între două numere de semne diferite, distanța este suma modulelor lor.

Exemplu rezolvat

Pe axă, punctul A are coordonata −5, iar B are coordonata 3. Cât este lungimea segmentului AB?

Lungimea segmentului este distanța dintre coordonate: |−5 − 3|.
Calculăm în interiorul modulului: −5 − 3 = −8.
Deci AB = |−8| = 8 unități.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Calculează |−14|.
Vezi rezolvarea
1. Numărul −14 se află la 14 unități de zero.
Răspuns: 14
Exercițiul 2
Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
1. Numerele opuse −5 și 5 au același modul: 5.
Răspuns: |−5| = |5|
Exercițiul 3
Calculează |−3| + |−8|.
Vezi rezolvarea
1. |−3| = 3 și |−8| = 8.
2. 3 + 8 = 11.
Răspuns: 11
Exercițiul 4
Care este distanța dintre −4 și 7?
Vezi rezolvarea
1. |−4 − 7| = |−11| = 11.
Răspuns: 11
Exercițiul 5
Ce numere întregi au modulul egal cu 6?
Vezi rezolvarea
1. Atât −6, cât și 6 sunt la 6 unități de zero.
Răspuns: −6 și 6
Exercițiul 6
Calculează |−27|.
Vezi rezolvarea
1. −27 este negativ, deci |−27| = −(−27).
2. −(−27) = 27.
3. |−27| = 27.
Răspuns: 27
Exercițiul 7
Calculează |7| − |−3|.
Vezi rezolvarea
1. |7| = 7.
2. |−3| = 3.
3. 7 − 3 = 4.
Răspuns: 4
Exercițiul 8
Care număr are modulul cel mai mare?
Vezi rezolvarea
1. Modulele sunt 15, 12, 9 și 14.
2. Cel mai mare modul este 15.
3. Răspunsul este −15.
Răspuns: −15
Exercițiul 9
Calculează |−6| × |−2|.
Vezi rezolvarea
1. |−6| = 6.
2. |−2| = 2.
3. 6 × 2 = 12.
Răspuns: 12
Exercițiul 10
Care este distanța dintre −9 și −2?
Vezi rezolvarea
1. −9 − (−2) = −9 + 2 = −7.
2. |−7| = 7.
3. Distanța este 7.
Răspuns: 7
Exercițiul 11
Pe axă, A are coordonata −5, iar B are coordonata 3. Care este lungimea segmentului AB?
Vezi rezolvarea
1. AB = |3 − (−5)|.
2. 3 − (−5) = 3 + 5 = 8.
3. AB = 8 unități.
Răspuns: 8
Exercițiul 12
Câte numere întregi x verifică |x| < 3?
Vezi rezolvarea
1. Numerele cu distanța până la 0 mai mică decât 3 sunt −2, −1, 0, 1, 2.
2. −3 și 3 au modulul egal cu 3, deci nu intră.
3. Sunt 5 numere.
Răspuns: 5

Fișă de consolidare din material (19)

1. Dificultate redusă
Calculează: |9|, |−9|, |0|.
Vezi răspunsul
9, 9, 0
2. Dificultate redusă
Calculează: |27|, |−27|.
Vezi răspunsul
27, 27
3. Dificultate redusă
Calculează: |−5,6|.
Vezi răspunsul
5,6
4. Dificultate redusă
Este adevărat că |−11| = |11|? Justifică.
Vezi răspunsul
Da: ambele sunt egale cu 11, distanța de la 11 și de la −11 până la 0.
5. Dificultate redusă
Calculează distanța dintre numerele 4 și 10, folosind modulul.
Vezi răspunsul
|10 − 4| = 6
6. Dificultate medie
Calculează: |−8| + |3| − |−5|.
Vezi răspunsul
8 + 3 − 5 = 6
7. Dificultate medie
Calculează distanța dintre numerele −7 și 2, pe axa numerelor.
Vezi răspunsul
|2 − (−7)| = 9
8. Dificultate medie
Rezolvă: |x| = 9. Câte valori poate avea x? Scrie-le.
Vezi răspunsul
Două valori: x = 9 sau x = −9.
9. Dificultate medie
Calculează: |−23| + |14|, aducând la același numitor dacă este necesar.
Vezi răspunsul
23 + 14 = 812 + 312 = 1112
10. Dificultate medie
Compară: |−6| și |4|. Care valoare este mai mare?
Vezi răspunsul
|−6| = 6 este mai mare decât |4| = 4.
11. Dificultate ridicată
Calculează: |−12| − |−5| + |−3| × |2|, respectând ordinea operațiilor.
Vezi răspunsul
12 − 5 + 3 × 2 = 12 − 5 + 6 = 13
12. Dificultate ridicată
Rezolvă: |x − 3| = 7. Află toate valorile posibile ale lui x.
Vezi răspunsul
x − 3 = 7 sau x − 3 = −7, deci x = 10 sau x = −4.
13. Dificultate ridicată
Distanța de la un punct B la origine este 15 unități, iar B este situat în partea negativă a axei. Care este numărul reprezentat de punctul B?
Vezi răspunsul
−15
14. Dificultate ridicată
Calculează suma |−4| + |−7| + |5| + |−2|, apoi compară rezultatul cu |−4 − 7 + 5 − 2| (calculat direct). Sunt cele două rezultate egale?
Vezi răspunsul
Suma modulelor: 4 + 7 + 5 + 2 = 18. Direct: |−8| = 8. Nu sunt egale.
15. Dificultate ridicată
Un cicist pornește din punctul cu coordonata −6 (pe o axă gradată în kilometri) și ajunge în punctul cu coordonata 11. Calculează distanța totală parcursă, folosind modulul diferenței celor două coordonate.
Vezi răspunsul
|11 − (−6)| = 17 km
16. Excelență
Rezolvă: |2x − 4| = 10. Află toate valorile posibile ale lui x.
Vezi răspunsul
2x − 4 = 10 sau 2x − 4 = −10, deci x = 7 sau x = −3.
17. Excelență
Se dau numerele a = −7 și b = 3. Calculează |a| + |b|, apoi calculează |a + b|. Compară cele două rezultate și explică de ce nu sunt egale.
Vezi răspunsul
|a| + |b| = 7 + 3 = 10, iar |a + b| = |−4| = 4. Nu sunt egale: a și b au semne diferite, deci la adunare se anulează parțial.
18. Excelență
Un punct P se află pe axa numerelor la o distanță de 8 unități de punctul cu coordonata 3. Află toate coordonatele posibile ale punctului P.
Vezi răspunsul
P = 11 sau P = −5 (3 + 8 și 3 − 8).
19. Excelență
Calculează suma tuturor numerelor întregi x, care îndeplinesc condiția |x| ≤ 6.
Vezi răspunsul
0: x ∈ {−6, …, 6}, iar perechile opuse se anulează.