Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
|x|

Teorie înainte de exerciții

Modulul unui număr

Modulul unui număr este distanța de la acel număr la zero pe axă. De aceea, modulul este întotdeauna pozitiv sau zero.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Ce este modulul unui număr

Modulul unui număr este distanța de la acel număr până la 0, măsurată pe axa numerelor. Fiindcă o distanță nu poate fi negativă, modulul este întotdeauna pozitiv sau 0. Se notează cu două bare verticale: |x|.

Regulile de calcul sunt scurte: dacă x este pozitiv, |x| = x; dacă x este negativ, |x| este opusul lui, adică numărul fără semnul minus; iar |0| = 0.

Aceleași reguli se aplică și fracțiilor sau numerelor zecimale: |−2,5| = 2,5 și |−710| = 710.

|5| = 5
|−5| = 5
|0| = 0
  • Modulul șterge semnul, nu schimbă valoarea.
  • Barele de modul se calculează înaintea operațiilor din afara lor.

Exemplu rezolvat

Calculează |−14|.

  1. 1.Numărul −14 este negativ.
  2. 2.Modulul lui este distanța până la 0, adică 14 unități.
  3. 3.Deci |−14| = 14.
2

Proprietățile modulului

Prima proprietate: modulul oricărui număr este mai mare sau egal cu 0, deci |x| ≥ 0 întotdeauna.

A doua: un număr și opusul lui au același modul, adică |x| = |−x|. De exemplu, |4| = |−4| = 4, iar numerele întregi cu modulul 6 sunt exact două: −6 și 6.

A treia: dacă modulul unui număr este 0, atunci numărul este chiar 0 — este singurul caz în care distanța până la origine este nulă.

|x| ≥ 0
|x| = |−x|
|x| = 0 ⇔ x = 0
  • Un modul dat, diferit de 0, provine întotdeauna de la două numere opuse.
  • Modulul mai mare înseamnă mai departe de 0, indiferent de semn: |−15| > |9|.

Exemplu rezolvat

Câte numere întregi x verifică |x| < 3?

  1. 1.Condiția cere ca distanța până la 0 să fie mai mică de 3 unități.
  2. 2.Numerele întregi care îndeplinesc condiția sunt −2, −1, 0, 1 și 2.
  3. 3.Sunt 5 numere întregi.
3

Calcule cu module

Într-o expresie, modulele se calculează primele, ca niște paranteze: mai întâi afli valoarea fiecărui modul, apoi efectuezi adunările, scăderile sau înmulțirile.

Așa, |−3| + |−8| = 3 + 8 = 11, iar |7| − |−3| = 7 − 3 = 4. Atenție: modulul unei sume nu este suma modulelor, deci |−3 + 8| nu este același lucru cu |−3| + |8|.

|−3| + |−8| = 11
|7| − |−3| = 4
|−6| × |−2| = 12
  • Barele de modul se comportă ca niște paranteze.
  • Rezultatul unei scăderi de module poate fi negativ: |3| − |−8| = −5.

Exemplu rezolvat

Calculează |−6| × |−2|.

  1. 1.Calculăm fiecare modul: |−6| = 6 și |−2| = 2.
  2. 2.Înmulțim rezultatele: 6 × 2.
  3. 3.Obținem 12.
4

Distanța dintre două numere

Distanța dintre două numere a și b de pe axă se calculează cu modulul diferenței lor: d(a, b) = |a − b|. Ordinea scăderii nu contează, fiindcă modulul șterge semnul.

De exemplu, distanța dintre −3 și 4 este |−3 − 4| = |−7| = 7, același rezultat ca |4 − (−3)| = |7| = 7. Tot așa se află lungimea unui segment ale cărui capete au coordonate date pe axă.

d(a, b) = |a − b| = |b − a|
d(−3, 4) = 7
  • Scăderea unui număr negativ înseamnă adunarea opusului: −3 − (−9) = −3 + 9.
  • Între două numere de semne diferite, distanța este suma modulelor lor.

Exemplu rezolvat

Pe axă, punctul A are coordonata −5, iar B are coordonata 3. Cât este lungimea segmentului AB?

  1. 1.Lungimea segmentului este distanța dintre coordonate: |−5 − 3|.
  2. 2.Calculăm în interiorul modulului: −5 − 3 = −8.
  3. 3.Deci AB = |−8| = 8 unități.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 19 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Calculează: |9|, |−9|, |0|.

    Vezi răspunsul

    9, 9, 0

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Calculează: |27|, |−27|.

    Vezi răspunsul

    27, 27

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Calculează: |−5,6|.

    Vezi răspunsul

    5,6

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Este adevărat că |−11| = |11|? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Da: ambele sunt egale cu 11, distanța de la 11 și de la −11 până la 0.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Calculează distanța dintre numerele 4 și 10, folosind modulul.

    Vezi răspunsul

    |10 − 4| = 6

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Calculează: |−8| + |3| − |−5|.

    Vezi răspunsul

    8 + 3 − 5 = 6

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Calculează distanța dintre numerele −7 și 2, pe axa numerelor.

    Vezi răspunsul

    |2 − (−7)| = 9

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Rezolvă: |x| = 9. Câte valori poate avea x? Scrie-le.

    Vezi răspunsul

    Două valori: x = 9 sau x = −9.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Calculează: |−23| + |14|, aducând la același numitor dacă este necesar.

    Vezi răspunsul

    23 + 14 = 812 + 312 = 1112

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Compară: |−6| și |4|. Care valoare este mai mare?

    Vezi răspunsul

    |−6| = 6 este mai mare decât |4| = 4.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Calculează: |−12| − |−5| + |−3| × |2|, respectând ordinea operațiilor.

    Vezi răspunsul

    12 − 5 + 3 × 2 = 12 − 5 + 6 = 13

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Rezolvă: |x − 3| = 7. Află toate valorile posibile ale lui x.

    Vezi răspunsul

    x − 3 = 7 sau x − 3 = −7, deci x = 10 sau x = −4.

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Distanța de la un punct B la origine este 15 unități, iar B este situat în partea negativă a axei. Care este numărul reprezentat de punctul B?

    Vezi răspunsul

    −15

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Calculează suma |−4| + |−7| + |5| + |−2|, apoi compară rezultatul cu |−4 − 7 + 5 − 2| (calculat direct). Sunt cele două rezultate egale?

    Vezi răspunsul

    Suma modulelor: 4 + 7 + 5 + 2 = 18. Direct: |−8| = 8. Nu sunt egale.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un cicist pornește din punctul cu coordonata −6 (pe o axă gradată în kilometri) și ajunge în punctul cu coordonata 11. Calculează distanța totală parcursă, folosind modulul diferenței celor două coordonate.

    Vezi răspunsul

    |11 − (−6)| = 17 km

  16. Ex. 16Excelență

    Rezolvă: |2x − 4| = 10. Află toate valorile posibile ale lui x.

    Vezi răspunsul

    2x − 4 = 10 sau 2x − 4 = −10, deci x = 7 sau x = −3.

  17. Ex. 17Excelență

    Se dau numerele a = −7 și b = 3. Calculează |a| + |b|, apoi calculează |a + b|. Compară cele două rezultate și explică de ce nu sunt egale.

    Vezi răspunsul

    |a| + |b| = 7 + 3 = 10, iar |a + b| = |−4| = 4. Nu sunt egale: a și b au semne diferite, deci la adunare se anulează parțial.

  18. Ex. 18Excelență

    Un punct P se află pe axa numerelor la o distanță de 8 unități de punctul cu coordonata 3. Află toate coordonatele posibile ale punctului P.

    Vezi răspunsul

    P = 11 sau P = −5 (3 + 8 și 3 − 8).

  19. Ex. 19Excelență

    Calculează suma tuturor numerelor întregi x, care îndeplinesc condiția |x| ≤ 6.

    Vezi răspunsul

    0: x ∈ {−6, …, 6}, iar perechile opuse se anulează.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.