Numere naturale și întregi

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Numerele întregi negative și mulțimea ℤ

Până acum ai lucrat doar cu numere naturale: 0, 1, 2, 3 și așa mai departe. Există însă situații în care ai nevoie de numere mai mici decât 0 — o temperatură sub zero grade, un etaj sub parter, o datorie. Acestea sunt numerele întregi negative și se scriu cu semnul „−” în față.

Numărul −5 se citește „minus cinci” și poate însemna, de pildă, cinci grade sub zero. Numerele naturale nenule, privite alături de cele negative, se numesc numere întregi pozitive și pot fi scrise și cu semnul „+”: +3 = 3.

Mulțimea numerelor întregi se notează ℤ și cuprinde toate numerele naturale împreună cu opusele lor: ℤ = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Fiindcă orice număr natural este și întreg, avem ℕ ⊆ ℤ.

De ținut minte

ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}

ℕ ⊆ ℤ

Zero nu este nici pozitiv, nici negativ.
Mulțimea ℤ nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element.

Exemplu rezolvat · alte date

Compară numerele întregi −8 și −3.

1Pe axă, numărul mai din dreapta este mai mare.
2−3 se află la dreapta lui −8, mai aproape de 0.
3Deci −8 < −3, deși 8 > 3.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Numere naturale și întregi: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Numerele întregi extind numerele naturale cu numere negative. Pe axă, valorile cresc de la stânga la dreapta, iar opusul unui număr se află la aceeași distanță de zero.

Numerele întregi negative și mulțimea ℤ

ℤ = {…, −2, −1, 0, 1, 2, …}
ℕ ⊆ ℤ

Zero nu este nici pozitiv, nici negativ.
Mulțimea ℤ nu are nici cel mai mic, nici cel mai mare element.

Exemplu rezolvat · alte date

Compară numerele întregi −8 și −3.

Pe axă, numărul mai din dreapta este mai mare.
−3 se află la dreapta lui −8, mai aproape de 0.
Deci −8 < −3, deși 8 > 3.

Opusul unui număr întreg

Opusul unui număr întreg este numărul aflat de cealaltă parte a lui 0 pe axă, la aceeași distanță de origine. Opusul lui 7 este −7, iar opusul lui −4 este 4.

Practic, opusul se obține schimbând semnul. Opusul lui 0 este chiar 0, iar suma dintre un număr și opusul lui este întotdeauna 0: 5 + (−5) = 0.

opusul lui a este −a
a + (−a) = 0
opusul lui −4 este 4

Opusul unui număr negativ este pozitiv, nu tot negativ.
Două semne minus alăturate se anulează: −(−4) = 4.

Exemplu rezolvat · alte date

Scrie opusul lui −21 și verifică suma.

Opusul schimbă semnul și are aceeași distanță față de 0.
Opusul lui −21 este 21.
−21 + 21 = 0.

Compararea numerelor întregi

Regula de pe axă rămâne aceeași: cu cât un număr este mai la dreapta, cu atât este mai mare. Axa se prelungește acum și la stânga lui 0, pentru numerele negative.

De aici ies trei reguli practice: orice număr negativ este mai mic decât 0 și decât orice număr pozitiv; între două numere pozitive este mai mare cel cu valoarea mai mare; între două numere negative este mai mare cel aflat mai aproape de 0.

Astfel, −3 > −8, fiindcă −3 este mai aproape de 0, iar −2 < 5, fiindcă orice negativ este mai mic decât orice pozitiv.

−7 < −3 < 0 < 4
negativ < 0 < pozitiv
−3 > −8

La numerele negative, cifra mai mare înseamnă număr mai mic.
Când ezitați, desenați axa: ordinea se vede imediat.

Exemplu rezolvat

Care este ordinea crescătoare a numerelor 2, −1, −5 și 0?

Separăm negativele de 0 și de pozitive: negative sunt −5 și −1.
Între negative, mai mic este cel mai departe de 0: −5 < −1.
Ordinea crescătoare este −5 < −1 < 0 < 2.

Deplasarea pe axă și problemele cu temperaturi

A merge la dreapta pe axă înseamnă a aduna, iar a merge la stânga înseamnă a scădea. Așa se rezolvă întrebările de tipul „ce număr se află la 6 unități la stânga lui 2”: 2 − 6 = −4.

Aceeași idee funcționează la temperaturi: dacă termometrul arată 4°C și temperatura scade cu 9 grade, noua valoare este 4 − 9 = −5°C.

Ca să afli cu cât s-a schimbat temperatura între două valori, calculezi distanța dintre ele pe axă: de la −8°C la 3°C sunt 8 unități până la 0 plus încă 3, adică 11 grade.

la dreapta cu n: a + n
la stânga cu n: a − n
de la −8 la 3: 8 + 3 = 11

Distanța dintre un număr negativ și unul pozitiv se calculează în două bucăți, prin 0.
Verifică rezultatul pe axă: are semnul potrivit?

Exemplu rezolvat

Termometrul arăta 4°C, apoi temperatura a scăzut cu 9 grade. Cât arată acum?

Scăderea temperaturii înseamnă deplasare la stânga pe axă.
De la 4 coborâm 4 unități până la 0, apoi încă 5 unități sub 0.
Termometrul arată −5°C.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Care dintre numere este cel mai mic?
Vezi rezolvarea
1. −9 este cel mai la stânga pe axă.
Răspuns: −9
Exercițiul 2
Scrie opusul numărului −13.
Vezi rezolvarea
1. Opusul lui −13 este 13, deoarece suma lor este 0.
Răspuns: 13
Exercițiul 3
Care este ordinea crescătoare corectă?
Vezi rezolvarea
1. Pe axă avem, de la stânga la dreapta: −5, −1, 0, 2.
Răspuns: −5 < −1 < 0 < 2
Exercițiul 4
Ce număr întreg se află la 6 unități la stânga lui 2?
Vezi rezolvarea
1. 2 − 6 = −4.
Răspuns: −4
Exercițiul 5
Temperatura crește de la −8°C la 3°C. Cu câte grade a crescut?
Vezi rezolvarea
1. Diferența este 3 − (−8) = 3 + 8 = 11°C.
Răspuns: 11
Exercițiul 6
Care număr este cel mai mare?
Vezi rezolvarea
1. Toate numerele sunt negative.
2. Cel mai aproape de 0 este −3.
3. −20 < −12 < −7 < −3.
Răspuns: −3
Exercițiul 7
Scrie opusul numărului 25.
Vezi rezolvarea
1. Opusul lui a este −a.
2. 25 este pozitiv, deci opusul lui este negativ.
3. Opusul lui 25 este −25.
Răspuns: −25
Exercițiul 8
Care afirmație este adevărată?
Vezi rezolvarea
1. −8 este mai la stânga decât −2.
2. Orice număr negativ este mai mic decât 0 și decât orice număr pozitiv.
3. Adevărat este −8 < −2.
Răspuns: −8 < −2
Exercițiul 9
Ce număr întreg se află la 5 unități la dreapta lui −3?
Vezi rezolvarea
1. Spre dreapta numerele cresc.
2. −3 → −2 → −1 → 0 → 1 → 2.
3. Ajungem la 2.
Răspuns: 2
Exercițiul 10
Câte numere întregi sunt strict între −3 și 3?
Vezi rezolvarea
1. Numerele sunt −2, −1, 0, 1, 2.
2. Nu uităm de 0.
3. Sunt 5 numere.
Răspuns: 5
Exercițiul 11
Care este cel mai mare număr întreg negativ?
Vezi rezolvarea
1. Numerele negative sunt −1, −2, −3, …
2. Dintre ele, cel mai la dreapta pe axă este −1.
3. Cel mai mare număr întreg negativ este −1.
Răspuns: −1
Exercițiul 12
Termometrul arăta 4°C, apoi temperatura a scăzut cu 9 grade. Câte grade arată acum termometrul?
Vezi rezolvarea
1. De la 4 la 0 coborâm 4 grade.
2. Mai avem de coborât 9 − 4 = 5 grade sub 0.
3. Termometrul arată −5°C.
Răspuns: −5

Fișă de consolidare din material (20)

1. Dificultate redusă
Scrie opusul numerelor: 6, −3, 0, −9.
Vezi răspunsul
−6, 3, 0, 9
2. Dificultate redusă
Reprezintă pe axa numerelor: −4, 3, −2, 1.
Vezi răspunsul
De la stânga la dreapta: −4, −2, 1, 3; numerele negative stau la stânga lui 0.
3. Dificultate redusă
Completează cu < sau >: −5 ... 1; −7 ... −3; 0 ... −6.
Vezi răspunsul
−5 < 1; −7 < −3; 0 > −6.
4. Dificultate redusă
Este numărul −2 mai mic sau mai mare decât numărul −9?
Vezi răspunsul
Mai mare: −2 > −9.
5. Dificultate redusă
Scrie mulțimea numerelor întregi cuprinse între −4 și 4.
Vezi răspunsul
{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}
6. Dificultate medie
Ordonează crescător numerele: −3, 5, −6, 0, 2, −8.
Vezi răspunsul
−8, −6, −3, 0, 2, 5
7. Dificultate medie
Calculează suma dintre numărul 11 și opusul său.
Vezi răspunsul
11 + (−11) = 0
8. Dificultate medie
Un termometru arată −6°C dimineața și 4°C la prânz. Care temperatură este mai mare?
Vezi răspunsul
4°C
9. Dificultate medie
Scrie toate numerele întregi al căror opus este mai mic decât 6 și mai mare decât −6.
Vezi răspunsul
−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
10. Dificultate medie
Fie mulțimea B = {−3, −7, 0, 2, −1}. Ordonează elementele acestei mulțimi descrescător.
Vezi răspunsul
2, 0, −1, −3, −7
11. Dificultate ridicată
Un submarin se află la adâncimea de 20 m sub nivelul mării (notată −20), iar un avion zboară la 35 m deasupra nivelului mării (notat +35). Calculează distanța dintre cele două poziții, pe verticală.
Vezi răspunsul
35 − (−20) = 55 m
12. Dificultate ridicată
Un număr întreg y are proprietatea că opusul lui este cu 16 mai mare decât y însuși. Află valoarea lui y.
Vezi răspunsul
y = −8: opusul lui este 8, iar 8 = −8 + 16.
13. Dificultate ridicată
Temperaturile înregistrate într-o săptămână au fost: −3°C, 2°C, −6°C, 1°C, 5°C, −2°C, 3°C. Calculează diferența dintre temperatura cea mai mare și cea mai mică din săptămână.
Vezi răspunsul
5 − (−6) = 11°C
14. Dificultate ridicată
Scrie toate numerele întregi x, astfel încât −5 < x < 6, apoi calculează suma lor.
Vezi răspunsul
x ∈ {−4, −3, …, 4, 5}; suma este 5 (perechile opuse se anulează).
15. Dificultate ridicată
Un ascensor pornește de la etajul 4 (+4), coboară 9 etaje, apoi urcă 3 etaje. La ce etaj se află ascensorul la final?
Vezi răspunsul
4 − 9 + 3 = −2: etajul −2 (al doilea subsol).
16. Excelență
Un elicopter zboară la altitudinea +120 m față de nivelul mării. Un submarin se află la adâncimea −85 m. Calculează distanța, pe verticală, dintre elicopter și submarin.
Vezi răspunsul
120 + 85 = 205 m
17. Excelență
Suma a două numere întregi opuse este întotdeauna 0. Dacă la un număr întreg x se adaugă opusul unui alt număr întreg y, iar x = −8 și y = 5, calculează rezultatul acestei operații.
Vezi răspunsul
−8 + (−5) = −13
18. Excelență
Un cont bancar are soldul −250 lei (o datorie). Se fac 3 depuneri consecutive de 80 lei, 60 lei și 45 lei. Calculează soldul final al contului și precizează dacă acesta reprezintă o datorie sau o sumă disponibilă.
Vezi răspunsul
−250 + 80 + 60 + 45 = −65 de lei: este încă o datorie.
19. Excelență
Se dau numerele întregi de la −10 la 10. Câte dintre ele au opusul strict mai mare decât numărul însuși?
Vezi răspunsul
10 numere: −10, −9, …, −1 (opusul este mai mare doar la numerele negative).
20. Excelență
Un fluid este răcit de la 8°C, scăzând constant cu 3°C la fiecare oră. Calculează temperatura după 5 ore, apoi determină după câte ore complete temperatura devine, pentru prima dată, un număr negativ.
Vezi răspunsul
După 5 ore: 8 − 5 × 3 = −7°C. Temperatura devine negativă pentru prima dată după 3 ore (−1°C).