Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
∪

Teorie înainte de exerciții

Mulțimi și operații cu mulțimi

O mulțime grupează obiecte bine determinate. În clasa a VI-a comparăm mulțimi și construim mulțimi noi prin reuniune, intersecție și diferență.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Submulțimi

O mulțime A este submulțime a mulțimii B dacă fiecare element al lui A se regăsește și în B. Se scrie A ⊆ B și se citește „A este inclusă în B”.

De exemplu, dacă A = {2, 4} și B = {1, 2, 3, 4, 5}, atunci A ⊆ B, fiindcă atât 2, cât și 4 se află în B. Este de ajuns ca un singur element al lui A să lipsească din B pentru ca incluziunea să nu mai fie adevărată.

Orice mulțime este submulțime a ei însăși, iar mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. De aceea o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi: pentru fiecare element decizi dacă îl iei sau nu.

A ⊆ B: toate elementele lui A sunt în B
∅ ⊆ A și A ⊆ A
n elemente → 2n submulțimi
  • Semnul ⊆ leagă două mulțimi, iar ∈ leagă un element de o mulțime.
  • Mulțimea {1, 2} are 4 submulțimi: ∅, {1}, {2} și {1, 2}.

Exemplu rezolvat

Câte submulțimi are mulțimea {1, 2}?

  1. 1.Le scriem pe toate: mulțimea vidă, {1}, {2} și mulțimea întreagă {1, 2}.
  2. 2.Verificăm cu formula: mulțimea are 2 elemente, deci 22 submulțimi.
  3. 3.Sunt 4 submulțimi.
2

Reuniunea a două mulțimi

Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea formată din toate elementele care aparțin lui A, lui B sau ambelor, fiecare element fiind scris o singură dată. Se notează A ∪ B și se citește „A reunit cu B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, reuniunea este A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Elementul 3 apare în ambele mulțimi, dar se scrie o singură dată.

A ∪ B = elementele din A sau din B
{1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Într-o mulțime, un element nu se repetă niciodată.
  • Reuniunea nu depinde de ordine: A ∪ B = B ∪ A.

Exemplu rezolvat

A = {2, 4, 6, 8} și B = {6, 8, 10}. Câte elemente are A ∪ B?

  1. 1.Scriem toate elementele: 2, 4, 6, 8 din A și 6, 8, 10 din B.
  2. 2.Elementele 6 și 8 apar de două ori, dar le scriem o singură dată: A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}.
  3. 3.Reuniunea are 5 elemente.
3

Intersecția a două mulțimi

Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea elementelor comune, adică a celor care aparțin în același timp și lui A, și lui B. Se notează A ∩ B și se citește „A intersectat cu B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, intersecția este A ∩ B = {3}. Dacă două mulțimi nu au niciun element comun, intersecția lor este mulțimea vidă, iar mulțimile se numesc disjuncte.

A ∩ B = elementele comune
{1, 2} ∩ {5, 6} = ∅ → mulțimi disjuncte
  • Intersecția este întotdeauna submulțime a fiecăreia dintre mulțimi.
  • Mulțimea vidă se scrie ∅, nu {∅} și nici {0}.

Exemplu rezolvat

A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5}. Care este A ∩ B?

  1. 1.Parcurgem elementele lui A și verificăm care se află și în B.
  2. 2.1 și 2 nu sunt în B, dar 3 și 4 sunt.
  3. 3.Deci A ∩ B = {3, 4}.
4

Diferența a două mulțimi

Diferența dintre A și B este mulțimea elementelor care aparțin lui A, dar nu aparțin lui B. Se notează A \ B și se citește „A minus B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, avem A \ B = {1, 2}. Atenție: ordinea contează, fiindcă B \ A = {4, 5}, complet diferit de A \ B.

A \ B = elementele din A care nu sunt în B
A \ B ≠ B \ A, în general
  • Se pornește întotdeauna de la prima mulțime și se elimină ce apare în a doua.
  • Dacă A și B sunt disjuncte, atunci A \ B = A.

Exemplu rezolvat

A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5}. Care este A \ B?

  1. 1.Pornim de la elementele lui A: 1, 2, 3, 4.
  2. 2.Eliminăm elementele care apar și în B, adică 3 și 4.
  3. 3.Rămâne A \ B = {1, 2}.
5

Câte elemente are reuniunea

Numărul de elemente al unei mulțimi se numește cardinal și se notează n(A). Dacă aduni pur și simplu n(A) cu n(B), elementele comune sunt numărate de două ori.

De aceea formula corectă este n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ea rezolvă problemele cu elevi care fac două sporturi, cu oameni care vorbesc două limbi sau cu orice altă situație în care unele elemente aparțin ambelor categorii.

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
mulțimi disjuncte: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
  • Scade o singură dată elementele comune, nu de două ori.
  • Un desen cu două cercuri care se suprapun face problema mult mai clară.

Exemplu rezolvat

Într-o clasă, 18 elevi joacă fotbal, 12 joacă baschet, iar 5 joacă ambele sporturi. Fiecare elev joacă cel puțin un sport. Câți elevi sunt în clasă?

  1. 1.Adunăm cele două grupe: 18 + 12 = 30.
  2. 2.Cei 5 care joacă ambele au fost numărați de două ori, deci îi scădem o dată: 30 − 5.
  3. 3.În clasă sunt 25 de elevi.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie reuniunea mulțimilor A = {2, 3, 4} și B = {4, 5, 6}.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Determină intersecția mulțimilor C = {1, 3, 5, 7} și D = {3, 6, 7, 9}.

    Vezi răspunsul

    C ∩ D = {3, 7}

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Verifică dacă mulțimea E = {5, 10} este inclusă în mulțimea F = {5, 10, 15, 20}.

    Vezi răspunsul

    Da, E ⊂ F: și 5, și 10 sunt elemente ale lui F.

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Precizează dacă mulțimile G = {x, y, z} și H = {m, n} au vreun element comun.

    Vezi răspunsul

    Nu: G ∩ H = ∅.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Din mulțimea M = {10, 20, 30, 40}, elimină elementele care apar și în mulțimea N = {20, 40}. Ce mulțime rezultă?

    Vezi răspunsul

    M \ N = {10, 30}

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Fiind date mulțimile A = {2, 4, 6, 8, 10} și B = {3, 6, 9}, află A ∪ B, A ∩ B și A \ B.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}; A ∩ B = {6}; A \ B = {2, 4, 8, 10}.

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Notează mulțimea numerelor impare mai mici decât 12 și mulțimea numerelor divizibile cu 5, mai mici decât 12. Ce elemente au în comun?

    Vezi răspunsul

    Impare: {1, 3, 5, 7, 9, 11}; divizibile cu 5: {0, 5, 10}. Elementul comun: 5.

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Pentru mulțimile P = {x | x număr natural, x < 9} și Q = {x | x număr natural par, x < 9}, scrie-le prin enumerare, apoi calculează P \ Q.

    Vezi răspunsul

    P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Q = {0, 2, 4, 6, 8}; P \ Q = {1, 3, 5, 7}.

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Două mulțimi disjuncte, X și Y, au 5, respectiv 6 elemente. Ce cardinal are reuniunea lor?

    Vezi răspunsul

    5 + 6 = 11 (fiind disjuncte, nu au elemente comune).

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Se dau mulțimile R = {2, 4, 6} și S = {2, 4, 6, 8, 10}. Verifică dacă R este submulțime a lui S, apoi găsește R ∩ S.

    Vezi răspunsul

    Da, R ⊂ S; R ∩ S = {2, 4, 6}.

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Trei mulțimi sunt date astfel: A = {2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7, 8}. Calculează (A ∪ B) ∩ C.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, deci (A ∪ B) ∩ C = {5, 6, 7}.

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    O mulțime A conține 12 elemente, o mulțime B conține 9 elemente, iar A ∩ B conține 5 elemente. Ce cardinal are A ∪ B?

    Vezi răspunsul

    12 + 9 − 5 = 16

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Notează cu A mulțimea divizorilor lui 16, iar cu B mulțimea divizorilor lui 24. Găsește A ∩ B, apoi precizează care este cel mai mare element al acestei mulțimi.

    Vezi răspunsul

    A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}; A ∩ B = {1, 2, 4, 8}, cu cel mai mare element 8.

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Fie A = {x | x număr natural par, 2 ≤ x ≤ 24} și B mulțimea multiplilor lui 4, mai mici sau egali cu 24. Scrie cele două mulțimi prin enumerare, apoi determină A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A = {2, 4, 6, …, 24}, B = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; A ∩ B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    La un concurs școlar s-au înscris 40 de elevi: 22 la matematică, 20 la informatică, iar 9 dintre ei s-au înscris la ambele discipline. Calculează câți elevi nu s-au înscris la niciuna dintre cele două discipline.

    Vezi răspunsul

    7 elevi: la cel puțin o disciplină sunt 22 + 20 − 9 = 33.

  16. Ex. 16Excelență

    Se dau mulțimile A, B, C, astfel încât A ∩ B = {2, 3}, A ∩ C = {3, 4}, iar B ∩ C = {3, 5}. Ce poți afirma, cu certitudine, despre elementul comun tuturor celor trei mulțimi A ∩ B ∩ C?

    Vezi răspunsul

    A ∩ B ∩ C = {3}: A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = {2, 3} ∩ {3, 4}.

  17. Ex. 17Excelență

    O mulțime A are un număr de submulțimi egal cu 8. Câte elemente are mulțimea A, știind că o mulțime cu n elemente are exact 2n submulțimi (inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși)?

    Vezi răspunsul

    3 elemente (23 = 8).

  18. Ex. 18Excelență

    Fie mulțimile A = {x | x este divizor al lui 30} și B = {x | x este divizor al lui 45}. Determină A ∩ B, apoi calculează suma elementelor acestei mulțimi.

    Vezi răspunsul

    A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; A ∩ B = {1, 3, 5, 15}, cu suma 24.

  19. Ex. 19Excelență

    Într-o școală, 120 de elevi participă la cel puțin unul dintre cluburile Șah și Robotică. 75 de elevi participă la Șah, iar 60 participă la Robotică. Calculează câți elevi participă la ambele cluburi, folosind relația dintre cardinalul reuniunii și cardinalele celor două mulțimi.

    Vezi răspunsul

    75 + 60 − 120 = 15 elevi

  20. Ex. 20Excelență

    Se dau mulțimile A = {x | x număr natural, x ≤ 50, x este multiplu de 4} și B = {x | x număr natural, x ≤ 50, x este multiplu de 6}. Determină A ∩ B, apoi observă și explică legătura dintre elementele acestei intersecții și noțiunea de CMMMC.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = {0, 12, 24, 36, 48}: multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt exact multiplii lui CMMMC(4, 6) = 12.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.