Clasa a VI-aGimnaziu⏱ 18–22 min
ℚ

Teorie înainte de exerciții

Numere raționale

Un număr rațional poate fi scris ca fracție ab, unde a și b sunt întregi și b ≠ 0. Fracțiile, numerele întregi și zecimalele finite sau periodice sunt raționale.

Urmează modelul rezolvat pas cu pas, apoi verifică fiecare rezultat înainte să continui.
1

Ce este un număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi scris ca fracție ab, unde a și b sunt numere întregi, iar b este diferit de 0.

În această categorie intră numerele întregi (fiindcă orice întreg a se scrie a1), fracțiile ordinare pozitive sau negative și numerele zecimale finite, pozitive sau negative. Sunt numere raționale 3, −5, 12, −34, 0,7 și −2,5.

Mulțimea numerelor raționale se notează ℚ, iar incluziunile sunt ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ: orice număr natural este întreg, iar orice întreg este rațional.

ℚ = {ab | a, b ∈ ℤ, b ≠ 0}
ℕ ⊆ ℤ ⊆ ℚ
5 = 51
  • Numitorul nu poate fi 0, oricât de simplă ar părea fracția.
  • Pe axă, numerele raționale umplu și spațiile dintre numerele întregi.

Exemplu rezolvat

Câte numere întregi se află între −2,5 și 1,5?

  1. 1.Numerele întregi din acest interval sunt −2, −1, 0 și 1.
  2. 2.Capetele −2,5 și 1,5 nu sunt numere întregi, deci nu se pun la socoteală.
  3. 3.Sunt 4 numere întregi.
2

Din fracție în zecimal și invers

Orice fracție se poate scrie ca număr zecimal, împărțind numărătorul la numitor: 35 = 3 : 5 = 0,6, iar 14 = 0,25.

Invers, un număr zecimal finit se scrie ca fracție cu numitor 10, 100 sau 1 000, apoi se simplifică: 0,2 = 210 = 15.

Este util să știi pe de rost câteva echivalențe: 12 = 0,5, 14 = 0,25, 34 = 0,75, 15 = 0,2 și 110 = 0,1.

35 = 0,6
14 = 0,25
0,2 = 210 = 15
  • Semnul minus se păstrează la orice transformare: −34 = −0,75.
  • Transformarea în zecimale este cea mai rapidă cale de a compara numere raționale.

Exemplu rezolvat

Care fracție este egală cu 0,2?

  1. 1.Numărul are o singură zecimală, deci îl scriem cu numitorul 10: 0,2 = 210.
  2. 2.Simplificăm cu 2: 2 : 2 = 1 și 10 : 2 = 5.
  3. 3.Deci 0,2 = 15.
3

Opusul unui număr rațional

Opusul unui număr rațional se obține schimbând semnul, exact ca la numerele întregi: opusul lui 34 este −34, iar opusul lui −1,8 este 1,8.

Cele două numere se află la aceeași distanță de 0, de o parte și de alta a originii, iar suma lor este 0.

opusul lui ab este −ab
opusul lui −38 este 38
  • Semnul minus se poate scrie în fața fracției: −34 este același lucru cu −34.
  • Opusul opusului este numărul inițial.

Exemplu rezolvat

Care este opusul lui −38?

  1. 1.Opusul se obține schimbând semnul numărului.
  2. 2.Numărul este negativ, deci opusul lui este pozitiv.
  3. 3.Opusul lui −38 este 38.
4

Compararea numerelor raționale

Regulile rămân cele știute, extinse acum la toate numerele raționale: orice număr negativ este mai mic decât orice număr pozitiv; două numere pozitive se compară aducându-le la aceeași formă; iar dintre două numere negative este mai mare cel aflat mai aproape de 0.

Exemplu: pentru −23 și −45 aducem la același numitor: −1015 și −1215. Cum −10 este mai aproape de 0 decât −12, rezultă −23 > −45.

Cel mai simplu, transformă totul în zecimale și compară: −0,75 < −0,5 < 0,25.

−0,75 < −12 < 0,25
−23 > −45
  • La numerele negative, modulul mai mare înseamnă număr mai mic.
  • Scrie toate numerele în aceeași formă înainte să compari.

Exemplu rezolvat

Ordonează crescător −12, 0,25 și −0,75.

  1. 1.Transformăm fracția în zecimal: −12 = −0,5.
  2. 2.Comparăm negativele: −0,75 este mai departe de 0 decât −0,5, deci este mai mic.
  3. 3.Ordinea crescătoare este −0,75 < −12 < 0,25.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 20 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

  1. Ex. 1Dificultate redusă

    Scrie 3 exemple de numere raționale, dintre care unul negativ.

    Vezi răspunsul

    De exemplu 12, 3 și −2,5.

  2. Ex. 2Dificultate redusă

    Este numărul 49 un număr rațional? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Da: este câtul a două numere întregi, 4 și 9, cu împărțitorul diferit de 0.

  3. Ex. 3Dificultate redusă

    Scrie opusul numerelor: 35, −0,9, −4.

    Vezi răspunsul

    −35, 0,9, 4

  4. Ex. 4Dificultate redusă

    Reprezintă aproximativ pe axa numerelor: 14, −14, 32.

    Vezi răspunsul

    −14 la stânga lui 0 și 14 la dreapta, fiecare la un sfert din distanța până la ±1; 32 = 1,5 la jumătatea dintre 1 și 2.

  5. Ex. 5Dificultate redusă

    Completează cu < sau >: −13 ... 13; −5 ... −14.

    Vezi răspunsul

    −13 < 13; −5 < −14.

  6. Ex. 6Dificultate medie

    Compară numerele: −37 și −47.

    Vezi răspunsul

    −37 > −47

  7. Ex. 7Dificultate medie

    Ordonează crescător numerele: −0,25, 2, −3, 0,5, −1,75.

    Vezi răspunsul

    −3, −1,75, −0,25, 0,5, 2

  8. Ex. 8Dificultate medie

    Calculează suma dintre 23 și opusul lui 14.

    Vezi răspunsul

    23 − 14 = 812 − 312 = 512

  9. Ex. 9Dificultate medie

    Fie numărul rațional y = −910. Scrie-l ca număr zecimal, apoi determină opusul său.

    Vezi răspunsul

    y = −0,9; opusul lui este 0,9.

  10. Ex. 10Dificultate medie

    Compară, aducând la aceeași formă: −78 și −0,8.

    Vezi răspunsul

    −78 = −0,875 < −0,8

  11. Ex. 11Dificultate ridicată

    Ordonează descrescător numerele: −25, 0,7, −1, 34, −0,4, 13.

    Vezi răspunsul

    34 > 0,7 > 13 > −25 = −0,4 > −1

  12. Ex. 12Dificultate ridicată

    Un submarinist coboară de la suprafață (0 m) la adâncimea de 18,5 m, exprimată ca număr rațional negativ. Un stol de păsări zboară la înălțimea de 6,75 m deasupra suprafeței. Calculează distanța, pe verticală, dintre cei doi.

    Vezi răspunsul

    6,75 − (−18,5) = 25,25 m

  13. Ex. 13Dificultate ridicată

    Suma dintre un număr rațional x și opusul lui este, mereu, egală cu 0. Dacă x = −78, calculează suma dintre x și opusul unui alt număr rațional, y = 25.

    Vezi răspunsul

    −78 − 25 = −3540 − 1640 = −5140

  14. Ex. 14Dificultate ridicată

    Se dau numerele raționale −94 și −2,1. Care este mai mare? Justifică transformând ambele numere în aceeași formă.

    Vezi răspunsul

    −2,1 este mai mare: −94 = −2,25 < −2,1.

  15. Ex. 15Dificultate ridicată

    Un cont are soldul de −62,30 lei. Se efectuează o plată suplimentară de 15,40 lei. Calculează noul sold al contului, exprimat ca număr rațional negativ.

    Vezi răspunsul

    −62,30 − 15,40 = −77,70 lei

  16. Ex. 16Excelență

    Se dau numerele raționale a = −56 și b = −79. Determină, prin calcul, care dintre cele două este mai aproape de 0, apoi calculează diferența dintre ele.

    Vezi răspunsul

    b = −79 este mai aproape de 0 (56 = 1518, 79 = 1418). Diferența: a − b = −1518 + 1418 = −118.

  17. Ex. 17Excelență

    Un elevator de mină coboară de la suprafață până la adâncimea de −340,5 m, apoi urcă 128,75 m. Calculează poziția finală a elevatorului față de suprafață, exprimată ca număr rațional.

    Vezi răspunsul

    −340,5 + 128,75 = −211,75 m

  18. Ex. 18Excelență

    Un termometru digital arată, în 4 momente diferite ale unei zile de iarnă, temperaturile: −3,5°C, 1,25°C, −0,75°C, −2°C. Ordonează crescător aceste valori, apoi calculează diferența dintre cea mai mare și cea mai mică temperatură.

    Vezi răspunsul

    −3,5 < −2 < −0,75 < 1,25; diferența: 1,25 − (−3,5) = 4,75°C.

  19. Ex. 19Excelență

    Se dă un șir de numere raționale: −74, x, −14, unde x este exact la jumătatea distanței dintre celelalte două, pe axa numerelor. Află valoarea lui x.

    Vezi răspunsul

    x = (−74 + (−14)) : 2 = −2 : 2 = −1

  20. Ex. 20Excelență

    Un cont bancar are soldul −128,40 lei. În decurs de 3 zile, se retrag sume egale de bani, iar soldul final ajunge la −398,40 lei. Calculează suma retrasă în fiecare zi, exprimată ca număr rațional.

    Vezi răspunsul

    90 de lei pe zi: soldul a scăzut cu 398,40 − 128,40 = 270 de lei, iar 270 : 3 = 90.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.