Încărcăm partea curentă…

Mulțimi și operații cu mulțimi

Submulțimi

O mulțime A este submulțime a mulțimii B dacă fiecare element al lui A se regăsește și în B. Se scrie A ⊆ B și se citește „A este inclusă în B”.

De exemplu, dacă A = {2, 4} și B = {1, 2, 3, 4, 5}, atunci A ⊆ B, fiindcă atât 2, cât și 4 se află în B. Este de ajuns ca un singur element al lui A să lipsească din B pentru ca incluziunea să nu mai fie adevărată.

Orice mulțime este submulțime a ei însăși, iar mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. De aceea o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi: pentru fiecare element decizi dacă îl iei sau nu.

De ținut minte

A ⊆ B: toate elementele lui A sunt în B
∅ ⊆ A și A ⊆ A
n elemente → 2n submulțimi
  • Semnul ⊆ leagă două mulțimi, iar ∈ leagă un element de o mulțime.
  • Mulțimea {1, 2} are 4 submulțimi: ∅, {1}, {2} și {1, 2}.

Exemplu rezolvat · alte date

Câte submulțimi are {a, b, c}?

  1. 1Pentru fiecare element avem două alegeri: îl includem sau nu.
  2. 2Alegerile sunt independente: 2 × 2 × 2.
  3. 3Sunt 8 submulțimi, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea întreagă.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Mulțimi și operații cu mulțimi: teorie, exemple și exerciții rezolvate

O mulțime grupează obiecte bine determinate. În clasa a VI-a comparăm mulțimi și construim mulțimi noi prin reuniune, intersecție și diferență.

Submulțimi

O mulțime A este submulțime a mulțimii B dacă fiecare element al lui A se regăsește și în B. Se scrie A ⊆ B și se citește „A este inclusă în B”.

De exemplu, dacă A = {2, 4} și B = {1, 2, 3, 4, 5}, atunci A ⊆ B, fiindcă atât 2, cât și 4 se află în B. Este de ajuns ca un singur element al lui A să lipsească din B pentru ca incluziunea să nu mai fie adevărată.

Orice mulțime este submulțime a ei însăși, iar mulțimea vidă este submulțime a oricărei mulțimi. De aceea o mulțime cu n elemente are 2n submulțimi: pentru fiecare element decizi dacă îl iei sau nu.

  • A ⊆ B: toate elementele lui A sunt în B
  • ∅ ⊆ A și A ⊆ A
  • n elemente → 2n submulțimi
  • Semnul ⊆ leagă două mulțimi, iar ∈ leagă un element de o mulțime.
  • Mulțimea {1, 2} are 4 submulțimi: ∅, {1}, {2} și {1, 2}.

Exemplu rezolvat · alte date

Câte submulțimi are {a, b, c}?

  1. Pentru fiecare element avem două alegeri: îl includem sau nu.
  2. Alegerile sunt independente: 2 × 2 × 2.
  3. Sunt 8 submulțimi, inclusiv mulțimea vidă și mulțimea întreagă.

Reuniunea a două mulțimi

Reuniunea mulțimilor A și B este mulțimea formată din toate elementele care aparțin lui A, lui B sau ambelor, fiecare element fiind scris o singură dată. Se notează A ∪ B și se citește „A reunit cu B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, reuniunea este A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}. Elementul 3 apare în ambele mulțimi, dar se scrie o singură dată.

  • A ∪ B = elementele din A sau din B
  • {1, 2, 3} ∪ {3, 4, 5} = {1, 2, 3, 4, 5}
  • Într-o mulțime, un element nu se repetă niciodată.
  • Reuniunea nu depinde de ordine: A ∪ B = B ∪ A.

Exemplu rezolvat · alte date

A = {1, 4, 7}, B = {4, 8, 9}. Determină A ∪ B.

  1. Reuniunea include toate elementele din oricare dintre mulțimi.
  2. Elementul 4 apare în ambele, dar îl scriem o singură dată.
  3. A ∪ B = {1, 4, 7, 8, 9}, cu 5 elemente.

Intersecția a două mulțimi

Intersecția mulțimilor A și B este mulțimea elementelor comune, adică a celor care aparțin în același timp și lui A, și lui B. Se notează A ∩ B și se citește „A intersectat cu B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, intersecția este A ∩ B = {3}. Dacă două mulțimi nu au niciun element comun, intersecția lor este mulțimea vidă, iar mulțimile se numesc disjuncte.

  • A ∩ B = elementele comune
  • {1, 2} ∩ {5, 6} = ∅ → mulțimi disjuncte
  • Intersecția este întotdeauna submulțime a fiecăreia dintre mulțimi.
  • Mulțimea vidă se scrie ∅, nu {∅} și nici {0}.

Exemplu rezolvat · alte date

A = {2, 5, 8}, B = {5, 8, 11}. Determină A ∩ B.

  1. Intersecția păstrează numai elementele comune.
  2. 5 și 8 sunt în ambele mulțimi; 2 și 11 nu sunt comune.
  3. A ∩ B = {5, 8}.

Diferența a două mulțimi

Diferența dintre A și B este mulțimea elementelor care aparțin lui A, dar nu aparțin lui B. Se notează A \ B și se citește „A minus B”.

Pentru A = {1, 2, 3} și B = {3, 4, 5}, avem A \ B = {1, 2}. Atenție: ordinea contează, fiindcă B \ A = {4, 5}, complet diferit de A \ B.

  • A \ B = elementele din A care nu sunt în B
  • A \ B ≠ B \ A, în general
  • Se pornește întotdeauna de la prima mulțime și se elimină ce apare în a doua.
  • Dacă A și B sunt disjuncte, atunci A \ B = A.

Exemplu rezolvat · alte date

A = {2, 5, 8}, B = {5, 8, 11}. Determină A \ B.

  1. Diferența A \ B pornește de la A.
  2. Eliminăm din A elementele care sunt și în B: 5 și 8.
  3. Rămâne {2}; ordinea mulțimilor contează.

Câte elemente are reuniunea

Numărul de elemente al unei mulțimi se numește cardinal și se notează n(A). Dacă aduni pur și simplu n(A) cu n(B), elementele comune sunt numărate de două ori.

De aceea formula corectă este n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B). Ea rezolvă problemele cu elevi care fac două sporturi, cu oameni care vorbesc două limbi sau cu orice altă situație în care unele elemente aparțin ambelor categorii.

  • n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
  • mulțimi disjuncte: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
  • Scade o singură dată elementele comune, nu de două ori.
  • Un desen cu două cercuri care se suprapun face problema mult mai clară.

Exemplu rezolvat

Într-o clasă, 18 elevi joacă fotbal, 12 joacă baschet, iar 5 joacă ambele sporturi. Fiecare elev joacă cel puțin un sport. Câți elevi sunt în clasă?

  1. Adunăm cele două grupe: 18 + 12 = 30.
  2. Cei 5 care joacă ambele au fost numărați de două ori, deci îi scădem o dată: 30 − 5.
  3. În clasă sunt 25 de elevi.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    A = {1, 3, 5}, B = {2, 3, 4}. Care este A ∪ B?

    Vezi rezolvarea
    1. Reuniunea conține toate elementele celor două mulțimi.

    Răspuns: {1, 2, 3, 4, 5}

  2. Exercițiul 2

    Pentru aceleași mulțimi, care este A ∩ B?

    Vezi rezolvarea
    1. Singurul element comun este 3.

    Răspuns: {3}

  3. Exercițiul 3

    Dacă A = {2, 4} și B = {1, 2, 3, 4}, ce relație este adevărată?

    Vezi rezolvarea
    1. 2 și 4 aparțin lui B, deci A este submulțime a lui B.

    Răspuns: A ⊆ B

  4. Exercițiul 4

    A = {a, b, c}, B = {b, d}. Care este A \ B?

    Vezi rezolvarea
    1. Eliminăm b din A și rămân a și c.

    Răspuns: {a, c}

  5. Exercițiul 5

    Dacă n(A) = 8, n(B) = 5 și n(A ∩ B) = 2, calculează n(A ∪ B).

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm 8 + 5, apoi scădem cele 2 elemente numărate de două ori.
    2. n(A ∪ B) = 8 + 5 − 2 = 11.

    Răspuns: 11

  6. Exercițiul 6

    A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5}. Care este A ∩ B?

    Vezi rezolvarea
    1. 3 apare în A și în B.
    2. 4 apare în A și în B.
    3. A ∩ B = {3, 4}.

    Răspuns: {3, 4}

  7. Exercițiul 7

    A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5}. Care este A \ B?

    Vezi rezolvarea
    1. Din A = {1, 2, 3, 4} scoatem elementele care apar și în B.
    2. 3 și 4 sunt în B, deci le scoatem.
    3. A \ B = {1, 2}.

    Răspuns: {1, 2}

  8. Exercițiul 8

    A = {2, 4, 6, 8} și B = {6, 8, 10}. Câte elemente are A ∪ B?

    Vezi rezolvarea
    1. A ∪ B = {2, 4, 6, 8, 10}.
    2. 6 și 8 apar în ambele, dar le scriem o singură dată.
    3. Reuniunea are 5 elemente.

    Răspuns: 5

  9. Exercițiul 9

    Care mulțime este submulțime a lui {a, b, c}?

    Vezi rezolvarea
    1. d nu aparține lui {a, b, c}.
    2. Orice mulțime care conține d nu este submulțime.
    3. {a, c} ⊆ {a, b, c}.

    Răspuns: {a, c}

  10. Exercițiul 10

    Dacă A ∩ B = ∅, atunci A și B:

    Vezi rezolvarea
    1. Intersecția conține elementele comune.
    2. Dacă intersecția este vidă, nu există elemente comune.
    3. Astfel de mulțimi se numesc disjuncte.

    Răspuns: nu au elemente comune

  11. Exercițiul 11

    Câte submulțimi are mulțimea {1, 2}?

    Vezi rezolvarea
    1. Mulțimea vidă ∅ este submulțime a oricărei mulțimi.
    2. Mai avem {1}, {2} și {1, 2}.
    3. În total sunt 4 submulțimi.

    Răspuns: 4

  12. Exercițiul 12

    Într-o clasă, 18 elevi joacă fotbal, 12 joacă baschet, iar 5 joacă ambele. Fiecare elev joacă cel puțin unul dintre sporturi. Câți elevi sunt în clasă?

    Vezi rezolvarea
    1. n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
    2. 18 + 12 − 5.
    3. În clasă sunt 25 de elevi.

    Răspuns: 25

Fișă de consolidare din material (20)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie reuniunea mulțimilor A = {2, 3, 4} și B = {4, 5, 6}.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6}

  2. 2. Dificultate redusă

    Determină intersecția mulțimilor C = {1, 3, 5, 7} și D = {3, 6, 7, 9}.

    Vezi răspunsul

    C ∩ D = {3, 7}

  3. 3. Dificultate redusă

    Verifică dacă mulțimea E = {5, 10} este inclusă în mulțimea F = {5, 10, 15, 20}.

    Vezi răspunsul

    Da, E ⊂ F: și 5, și 10 sunt elemente ale lui F.

  4. 4. Dificultate redusă

    Precizează dacă mulțimile G = {x, y, z} și H = {m, n} au vreun element comun.

    Vezi răspunsul

    Nu: G ∩ H = ∅.

  5. 5. Dificultate redusă

    Din mulțimea M = {10, 20, 30, 40}, elimină elementele care apar și în mulțimea N = {20, 40}. Ce mulțime rezultă?

    Vezi răspunsul

    M \ N = {10, 30}

  6. 6. Dificultate medie

    Fiind date mulțimile A = {2, 4, 6, 8, 10} și B = {3, 6, 9}, află A ∪ B, A ∩ B și A \ B.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}; A ∩ B = {6}; A \ B = {2, 4, 8, 10}.

  7. 7. Dificultate medie

    Notează mulțimea numerelor impare mai mici decât 12 și mulțimea numerelor divizibile cu 5, mai mici decât 12. Ce elemente au în comun?

    Vezi răspunsul

    Impare: {1, 3, 5, 7, 9, 11}; divizibile cu 5: {0, 5, 10}. Elementul comun: 5.

  8. 8. Dificultate medie

    Pentru mulțimile P = {x | x număr natural, x < 9} și Q = {x | x număr natural par, x < 9}, scrie-le prin enumerare, apoi calculează P \ Q.

    Vezi răspunsul

    P = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, Q = {0, 2, 4, 6, 8}; P \ Q = {1, 3, 5, 7}.

  9. 9. Dificultate medie

    Două mulțimi disjuncte, X și Y, au 5, respectiv 6 elemente. Ce cardinal are reuniunea lor?

    Vezi răspunsul

    5 + 6 = 11 (fiind disjuncte, nu au elemente comune).

  10. 10. Dificultate medie

    Se dau mulțimile R = {2, 4, 6} și S = {2, 4, 6, 8, 10}. Verifică dacă R este submulțime a lui S, apoi găsește R ∩ S.

    Vezi răspunsul

    Da, R ⊂ S; R ∩ S = {2, 4, 6}.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Trei mulțimi sunt date astfel: A = {2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7}, C = {5, 6, 7, 8}. Calculează (A ∪ B) ∩ C.

    Vezi răspunsul

    A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, deci (A ∪ B) ∩ C = {5, 6, 7}.

  12. 12. Dificultate ridicată

    O mulțime A conține 12 elemente, o mulțime B conține 9 elemente, iar A ∩ B conține 5 elemente. Ce cardinal are A ∪ B?

    Vezi răspunsul

    12 + 9 − 5 = 16

  13. 13. Dificultate ridicată

    Notează cu A mulțimea divizorilor lui 16, iar cu B mulțimea divizorilor lui 24. Găsește A ∩ B, apoi precizează care este cel mai mare element al acestei mulțimi.

    Vezi răspunsul

    A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}; A ∩ B = {1, 2, 4, 8}, cu cel mai mare element 8.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Fie A = {x | x număr natural par, 2 ≤ x ≤ 24} și B mulțimea multiplilor lui 4, mai mici sau egali cu 24. Scrie cele două mulțimi prin enumerare, apoi determină A ∩ B.

    Vezi răspunsul

    A = {2, 4, 6, …, 24}, B = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24}; A ∩ B = {4, 8, 12, 16, 20, 24}.

  15. 15. Dificultate ridicată

    La un concurs școlar s-au înscris 40 de elevi: 22 la matematică, 20 la informatică, iar 9 dintre ei s-au înscris la ambele discipline. Calculează câți elevi nu s-au înscris la niciuna dintre cele două discipline.

    Vezi răspunsul

    7 elevi: la cel puțin o disciplină sunt 22 + 20 − 9 = 33.

  16. 16. Excelență

    Se dau mulțimile A, B, C, astfel încât A ∩ B = {2, 3}, A ∩ C = {3, 4}, iar B ∩ C = {3, 5}. Ce poți afirma, cu certitudine, despre elementul comun tuturor celor trei mulțimi A ∩ B ∩ C?

    Vezi răspunsul

    A ∩ B ∩ C = {3}: A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) = {2, 3} ∩ {3, 4}.

  17. 17. Excelență

    O mulțime A are un număr de submulțimi egal cu 8. Câte elemente are mulțimea A, știind că o mulțime cu n elemente are exact 2n submulțimi (inclusiv mulțimea vidă și mulțimea însăși)?

    Vezi răspunsul

    3 elemente (23 = 8).

  18. 18. Excelență

    Fie mulțimile A = {x | x este divizor al lui 30} și B = {x | x este divizor al lui 45}. Determină A ∩ B, apoi calculează suma elementelor acestei mulțimi.

    Vezi răspunsul

    A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}, B = {1, 3, 5, 9, 15, 45}; A ∩ B = {1, 3, 5, 15}, cu suma 24.

  19. 19. Excelență

    Într-o școală, 120 de elevi participă la cel puțin unul dintre cluburile Șah și Robotică. 75 de elevi participă la Șah, iar 60 participă la Robotică. Calculează câți elevi participă la ambele cluburi, folosind relația dintre cardinalul reuniunii și cardinalele celor două mulțimi.

    Vezi răspunsul

    75 + 60 − 120 = 15 elevi

  20. 20. Excelență

    Se dau mulțimile A = {x | x număr natural, x ≤ 50, x este multiplu de 4} și B = {x | x număr natural, x ≤ 50, x este multiplu de 6}. Determină A ∩ B, apoi observă și explică legătura dintre elementele acestei intersecții și noțiunea de CMMMC.

    Vezi răspunsul

    A ∩ B = {0, 12, 24, 36, 48}: multiplii comuni ai lui 4 și 6 sunt exact multiplii lui CMMMC(4, 6) = 12.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.