Unghiuri

Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.

Unghiul, măsura lui și felurile de unghiuri

Unghiul este figura formată din două semidrepte care au aceeași origine. Semidreptele se numesc laturile unghiului, iar originea lor comună se numește vârf. Se notează cu simbolul ∢ și trei litere, vârful la mijloc: ∢AOB.

Unghiurile se măsoară cu raportorul, iar unitatea de măsură este gradul. Așezi centrul raportorului peste vârf, aliniezi o latură cu linia de 0° și citești unde cade cealaltă latură: m(∢AOB) = 45°.

După măsură, unghiurile sunt: ascuțit, dacă are sub 90°; drept, dacă are exact 90°; obtuz, dacă are între 90° și 180°; alungit, dacă are exact 180°, caz în care laturile formează o dreaptă.

De ținut minte

ascuțit < 90°

drept = 90°

90° < obtuz < 180°

alungit = 180°

Unghiul drept se marchează pe desen cu un pătrățel mic în vârf.
Măsura unui unghi nu depinde de cât de lungi sunt desenate laturile.

Exemplu rezolvat

Ce fel de unghi este unul de 135°?

1Comparăm măsura cu 90°: 135° > 90°, deci nu este ascuțit și nici drept.
2Comparăm cu 180°: 135° < 180°, deci nu este alungit.
3Fiind între 90° și 180°, unghiul este obtuz.

Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Unghiuri: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Un unghi este format de două semidrepte cu aceeași origine, numită vârful unghiului.

Unghiul, măsura lui și felurile de unghiuri

ascuțit < 90°
drept = 90°
90° < obtuz < 180°
alungit = 180°

Unghiul drept se marchează pe desen cu un pătrățel mic în vârf.
Măsura unui unghi nu depinde de cât de lungi sunt desenate laturile.

Exemplu rezolvat

Ce fel de unghi este unul de 135°?

Comparăm măsura cu 90°: 135° > 90°, deci nu este ascuțit și nici drept.
Comparăm cu 180°: 135° < 180°, deci nu este alungit.
Fiind între 90° și 180°, unghiul este obtuz.

Unghiuri complementare

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este 90°. De exemplu, un unghi de 35° și unul de 55° sunt complementare, fiindcă 35° + 55° = 90°.

Complementul unui unghi se află scăzând măsura lui din 90°. Doar unghiurile ascuțite au complement, fiindcă un unghi de 90° sau mai mare ar da o sumă prea mare.

Când problema spune că un unghi este de câteva ori mai mare decât complementul său, împarți cele 90° în tot atâtea părți egale.

complementare: α + β = 90°
complementul lui α = 90° − α

Două unghiuri complementare egale au câte 45° fiecare.
Complementul există numai pentru unghiuri mai mici de 90°.

Exemplu rezolvat

Un unghi este de 2 ori mai mare decât complementul său. Cât măsoară unghiul?

Notăm complementul cu o parte; unghiul are atunci două părți.
Împreună fac 90°, adică 3 părți: o parte este 90° : 3 = 30°.
Unghiul are două părți: 2 × 30° = 60°. Verificare: 60° + 30° = 90°.

Unghiuri suplementare

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este 180°. Un unghi de 110° și unul de 70° sunt suplementare, fiindcă 110° + 70° = 180°.

Suplementul unui unghi se află scăzând măsura lui din 180°. Două unghiuri alăturate care formează împreună un unghi alungit sunt întotdeauna suplementare.

suplementare: α + β = 180°
suplementul lui α = 180° − α

Orice unghi mai mic de 180° are suplement.
Unghiul de 90° este singurul egal cu suplementul său.

Exemplu rezolvat

Suplementul unui unghi este de 4 ori mai mare decât unghiul. Cât măsoară unghiul?

Notăm unghiul cu o parte; suplementul are patru părți.
Împreună fac 180°, adică 5 părți: o parte este 180° : 5 = 36°.
Unghiul are 36°, iar suplementul 144°. Verificare: 36° + 144° = 180°.

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea este semidreapta care pornește din vârful unghiului și îl împarte în două unghiuri de măsuri egale. Fiecare dintre cele două unghiuri obținute are jumătate din măsura unghiului inițial.

Invers, dacă știi măsura unei jumătăți, unghiul întreg are dublul acelei măsuri.

bisectoarea împarte ∢AOB în două unghiuri de m(∢AOB) : 2
unghiul întreg = 2 × jumătate

Bisectoarea pornește întotdeauna din vârf, nu dintr-un punct de pe o latură.
Un unghi are o singură bisectoare.

Exemplu rezolvat

Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri de 35°. Cât măsoară unghiul?

Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale.
Fiecare parte are 35°, deci unghiul întreg are 2 × 35°.
Unghiul măsoară 70°.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

Exercițiul 1
Un unghi de 68° este:
Vezi rezolvarea
1. 68° este mai mare decât 0° și mai mic decât 90°.
2. Acesta este intervalul unghiurilor ascuțite.
3. Unghiul este ascuțit.
Răspuns: ascuțit
Exercițiul 2
Află complementul unui unghi de 24°.
Vezi rezolvarea
1. Unghiurile complementare au suma 90°.
2. 90° − 24° = 66°.
3. Complementul este 66°.
Răspuns: 66
Exercițiul 3
Află suplementul unui unghi de 115°.
Vezi rezolvarea
1. Unghiurile suplementare au suma 180°.
2. 180° − 115° = 65°.
3. Suplementul este 65°.
Răspuns: 65
Exercițiul 4
Bisectoarea unui unghi de 80° îl împarte în două unghiuri de:
Vezi rezolvarea
1. Cele două unghiuri sunt egale.
2. 80° : 2 = 40°.
3. Fiecare măsoară 40°.
Răspuns: 40°
Exercițiul 5
Două unghiuri adiacente formează un unghi alungit. Unul are 72°. Cât are celălalt?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul alungit măsoară 180°.
2. 180° − 72° = 108°.
3. Celălalt unghi are 108°.
Răspuns: 108
Exercițiul 6
Un unghi de 135° este:
Vezi rezolvarea
1. 135° este mai mare decât 90°.
2. 135° este mai mic decât 180°.
3. Unghiul este obtuz.
Răspuns: obtuz
Exercițiul 7
Află complementul unui unghi de 57°. Scrie doar numărul de grade.
Vezi rezolvarea
1. Complementul este 90° − 57°.
2. 90 − 57 = 33.
3. Complementul are 33°.
Răspuns: 33
Exercițiul 8
Află suplementul unui unghi de 38°. Scrie doar numărul de grade.
Vezi rezolvarea
1. Suplementul este 180° − 38°.
2. 180 − 38 = 142.
3. Suplementul are 142°.
Răspuns: 142
Exercițiul 9
Două unghiuri complementare sunt egale. Fiecare are:
Vezi rezolvarea
1. Suma lor este 90°.
2. Sunt egale, deci fiecare are 90° : 2.
3. Fiecare are 45°.
Răspuns: 45°
Exercițiul 10
Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri de 35°. Cât măsoară unghiul, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul este format din două jumătăți egale.
2. 35° + 35° = 70°.
3. Unghiul are 70°.
Răspuns: 70
Exercițiul 11
Un unghi este de 2 ori mai mare decât complementul său. Cât măsoară unghiul, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Complementul este o parte, unghiul două părți.
2. O parte are 90° : 3 = 30°.
3. Unghiul are 2 × 30° = 60°.
Răspuns: 60
Exercițiul 12
Suplementul unui unghi este de 4 ori mai mare decât unghiul. Cât măsoară unghiul, în grade?
Vezi rezolvarea
1. Unghiul este o parte, suplementul 4 părți: 5 părți în total.
2. O parte are 180° : 5 = 36°.
3. Unghiul are 36° (suplementul 144°).
Răspuns: 36

Fișă de consolidare din material (15)

1. Dificultate redusă
Desenează un unghi cu vârful M și laturile care trec prin punctele P și Q. Notează-l corect.
Vezi răspunsul
Unghiul se notează ∠PMQ (sau ∠QMP), cu vârful M în mijlocul notației; laturile sunt [MP și [MQ.
2. Dificultate redusă
Clasifică unghiurile de: 25°, 90°, 135°, 180°.
Vezi răspunsul
25°: ascuțit; 90°: drept; 135°: obtuz; 180°: alungit.
3. Dificultate redusă
Măsoară (cu raportorul, dacă ai unul, sau estimează) un unghi desenat de mâna liberă și precizează tipul lui.
Vezi răspunsul
Depinde de desenul tău: sub 90° este ascuțit, exact 90° drept, între 90° și 180° obtuz, iar 180° alungit.
4. Dificultate redusă
Este un unghi de 170° ascuțit, obtuz sau alungit?
Vezi răspunsul
Obtuz: 90° < 170° < 180°.
5. Dificultate redusă
Un unghi are 85°. Este acesta un unghi ascuțit? Justifică.
Vezi răspunsul
Da: 85° < 90°.
6. Dificultate medie
Calculează complementul unui unghi de 62°.
Vezi răspunsul
90° − 62° = 28°
7. Dificultate medie
Calculează suplementul unui unghi de 108°.
Vezi răspunsul
180° − 108° = 72°
8. Dificultate medie
Două unghiuri sunt complementare. Unul dintre ele are 27°. Care este măsura celuilalt?
Vezi răspunsul
90° − 27° = 63°
9. Dificultate medie
Două unghiuri sunt suplementare. Unul dintre ele are 143°. Care este măsura celuilalt?
Vezi răspunsul
180° − 143° = 37°
10. Dificultate medie
Un unghi este de 4 ori mai mare decât complementul său. Află măsura celor două unghiuri.
Vezi răspunsul
Complementul: 90° : 5 = 18°; unghiul: 4 × 18° = 72°.
11. Dificultate ridicată
Suma măsurilor a două unghiuri complementare este 90°. Dacă diferența dintre cele două unghiuri este 16°, află măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
(90° + 16°) : 2 = 53° și 90° − 53° = 37°.
12. Dificultate ridicată
Un unghi este cu 40° mai mare decât suplementul său. Află măsura celor două unghiuri.
Vezi răspunsul
110° și 70°: suplementul este (180° − 40°) : 2 = 70°.
13. Dificultate ridicată
Trei unghiuri au suma măsurilor egală cu 180°. Al doilea unghi este de 3 ori mai mare decât primul, iar al treilea este de 2 ori mai mare decât primul. Află măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
30°, 90° și 60° (x + 3x + 2x = 180°, deci x = 30°).
14. Dificultate ridicată
Un unghi ascuțit și complementul său diferă cu 32°. Află măsura unghiului ascuțit.
Vezi răspunsul
61° (complementul lui are 29°, iar 61° − 29° = 32°).
15. Dificultate ridicată
Măsurile a două unghiuri suplementare sunt exprimate ca 3x și 2x (unde x reprezintă o măsură necunoscută, comună). Află valoarea lui x, apoi calculează măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsul
3x + 2x = 180°, deci x = 36°; unghiurile au 108° și 72°.