Unghiuri

Un unghi este format de două semidrepte cu aceeași origine, numită vârful unghiului.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Semidreptele OA și OB formează unghiul AOB. Vârful este O, scris la mijlocul numelui. În această figură unghiul este ascuțit; măsura se citește cu raportorul, nu după lungimea laturilor.

Unghiul, măsura lui și felurile de unghiuri

Unghiul este figura formată din două semidrepte care au aceeași origine. Semidreptele se numesc laturile unghiului, iar originea lor comună se numește vârf. Se notează cu simbolul ∢ și trei litere, vârful la mijloc: ∢AOB.

Unghiurile se măsoară cu raportorul, iar unitatea de măsură este gradul. Așezi centrul raportorului peste vârf, aliniezi o latură cu linia de 0° și citești unde cade cealaltă latură: m(∢AOB) = 45°.

După măsură, unghiurile sunt: ascuțit, dacă are sub 90°; drept, dacă are exact 90°; obtuz, dacă are între 90° și 180°; alungit, dacă are exact 180°, caz în care laturile formează o dreaptă.

ascuțit < 90°

drept = 90°

90° < obtuz < 180°

alungit = 180°

Unghiul drept se marchează pe desen cu un pătrățel mic în vârf.
Măsura unui unghi nu depinde de cât de lungi sunt desenate laturile.

Exemplu rezolvat

Ce fel de unghi este unul de 135°?

1.Comparăm măsura cu 90°: 135° > 90°, deci nu este ascuțit și nici drept.
2.Comparăm cu 180°: 135° < 180°, deci nu este alungit.
3.Fiind între 90° și 180°, unghiul este obtuz.

Unghiuri complementare

Două unghiuri sunt complementare dacă suma măsurilor lor este 90°. De exemplu, un unghi de 35° și unul de 55° sunt complementare, fiindcă 35° + 55° = 90°.

Complementul unui unghi se află scăzând măsura lui din 90°. Doar unghiurile ascuțite au complement, fiindcă un unghi de 90° sau mai mare ar da o sumă prea mare.

Când problema spune că un unghi este de câteva ori mai mare decât complementul său, împarți cele 90° în tot atâtea părți egale.

complementare: α + β = 90°

complementul lui α = 90° − α

Două unghiuri complementare egale au câte 45° fiecare.
Complementul există numai pentru unghiuri mai mici de 90°.

Exemplu rezolvat

Un unghi este de 2 ori mai mare decât complementul său. Cât măsoară unghiul?

1.Notăm complementul cu o parte; unghiul are atunci două părți.
2.Împreună fac 90°, adică 3 părți: o parte este 90° : 3 = 30°.
3.Unghiul are două părți: 2 × 30° = 60°. Verificare: 60° + 30° = 90°.

Unghiuri suplementare

Două unghiuri sunt suplementare dacă suma măsurilor lor este 180°. Un unghi de 110° și unul de 70° sunt suplementare, fiindcă 110° + 70° = 180°.

Suplementul unui unghi se află scăzând măsura lui din 180°. Două unghiuri alăturate care formează împreună un unghi alungit sunt întotdeauna suplementare.

suplementare: α + β = 180°

suplementul lui α = 180° − α

Orice unghi mai mic de 180° are suplement.
Unghiul de 90° este singurul egal cu suplementul său.

Exemplu rezolvat

Suplementul unui unghi este de 4 ori mai mare decât unghiul. Cât măsoară unghiul?

1.Notăm unghiul cu o parte; suplementul are patru părți.
2.Împreună fac 180°, adică 5 părți: o parte este 180° : 5 = 36°.
3.Unghiul are 36°, iar suplementul 144°. Verificare: 36° + 144° = 180°.

Bisectoarea unui unghi

Bisectoarea este semidreapta care pornește din vârful unghiului și îl împarte în două unghiuri de măsuri egale. Fiecare dintre cele două unghiuri obținute are jumătate din măsura unghiului inițial.

Invers, dacă știi măsura unei jumătăți, unghiul întreg are dublul acelei măsuri.

bisectoarea împarte ∢AOB în două unghiuri de m(∢AOB) : 2

unghiul întreg = 2 × jumătate

Bisectoarea pornește întotdeauna din vârf, nu dintr-un punct de pe o latură.
Un unghi are o singură bisectoare.

Exemplu rezolvat

Bisectoarea unui unghi îl împarte în două unghiuri de 35°. Cât măsoară unghiul?

1.Bisectoarea împarte unghiul în două părți egale.
2.Fiecare parte are 35°, deci unghiul întreg are 2 × 35°.
3.Unghiul măsoară 70°.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Desenează un unghi cu vârful M și laturile care trec prin punctele P și Q. Notează-l corect.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Unghiul se notează ∠PMQ (sau ∠QMP), cu vârful M în mijlocul notației; laturile sunt [MP și [MQ.
Ex. 2Dificultate redusă
Clasifică unghiurile de: 25°, 90°, 135°, 180°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
25°: ascuțit; 90°: drept; 135°: obtuz; 180°: alungit.
Ex. 3Dificultate redusă
Măsoară (cu raportorul, dacă ai unul, sau estimează) un unghi desenat de mâna liberă și precizează tipul lui.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Depinde de desenul tău: sub 90° este ascuțit, exact 90° drept, între 90° și 180° obtuz, iar 180° alungit.
Ex. 4Dificultate redusă
Este un unghi de 170° ascuțit, obtuz sau alungit?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Obtuz: 90° < 170° < 180°.
Ex. 5Dificultate redusă
Un unghi are 85°. Este acesta un unghi ascuțit? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: 85° < 90°.
Ex. 6Dificultate medie
Calculează complementul unui unghi de 62°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° − 62° = 28°
Ex. 7Dificultate medie
Calculează suplementul unui unghi de 108°.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 108° = 72°
Ex. 8Dificultate medie
Două unghiuri sunt complementare. Unul dintre ele are 27°. Care este măsura celuilalt?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° − 27° = 63°
Ex. 9Dificultate medie
Două unghiuri sunt suplementare. Unul dintre ele are 143°. Care este măsura celuilalt?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 143° = 37°
Ex. 10Dificultate medie
Un unghi este de 4 ori mai mare decât complementul său. Află măsura celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Complementul: 90° : 5 = 18°; unghiul: 4 × 18° = 72°.
Ex. 11Dificultate ridicată
Suma măsurilor a două unghiuri complementare este 90°. Dacă diferența dintre cele două unghiuri este 16°, află măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(90° + 16°) : 2 = 53° și 90° − 53° = 37°.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un unghi este cu 40° mai mare decât suplementul său. Află măsura celor două unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
110° și 70°: suplementul este (180° − 40°) : 2 = 70°.
Ex. 13Dificultate ridicată
Trei unghiuri au suma măsurilor egală cu 180°. Al doilea unghi este de 3 ori mai mare decât primul, iar al treilea este de 2 ori mai mare decât primul. Află măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
30°, 90° și 60° (x + 3x + 2x = 180°, deci x = 30°).
Ex. 14Dificultate ridicată
Un unghi ascuțit și complementul său diferă cu 32°. Află măsura unghiului ascuțit.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
61° (complementul lui are 29°, iar 61° − 29° = 32°).
Ex. 15Dificultate ridicată
Măsurile a două unghiuri suplementare sunt exprimate ca 3x și 2x (unde x reprezintă o măsură necunoscută, comună). Află valoarea lui x, apoi calculează măsura fiecărui unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 2x = 180°, deci x = 36°; unghiurile au 108° și 72°.