Punct, dreaptă și segment

Lungimea segmentului AB este distanța dintre punctele A și B; mijlocul îl împarte în două segmente egale.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Pe dreapta d, punctele A, M și B sunt în această ordine. M este mijlocul segmentului AB: AM = MB. Dreapta continuă dincolo de capetele segmentului.

Ordinea punctelor și compararea segmentelor

Dacă trei puncte coliniare A, B și C sunt așezate în această ordine, spunem că B este situat între A și C. Atunci lungimea întregului segment este suma celor două părți: AC = AB + BC.

Din aceeași relație afli și o parte, dacă știi întregul: BC = AC − AB. Aceasta este cea mai folosită formulă din geometria clasei a V-a.

Două segmente se compară prin lungimile lor. Dacă au aceeași lungime, se numesc congruente și se scrie [AB] ≡ [CD]. Înainte de comparare, lungimile trebuie aduse la aceeași unitate: 5 cm și 50 mm sunt egale.

B între A și C ⇒ AC = AB + BC

BC = AC − AB

[AB] ≡ [CD] ⇔ AB = CD

Desenează întotdeauna punctele în ordinea din enunț, pe o dreaptă.
Transformă mai întâi unitățile: 1 cm = 10 mm.

Exemplu rezolvat

C este între A și B. Dacă AB = 20 cm și AC = 7 cm, află CB.

1.Punctul C este între A și B, deci AB = AC + CB.
2.Înlocuim datele: 20 = 7 + CB.
3.Rezultă CB = 20 − 7 = 13 cm.

Mijlocul unui segment

Mijlocul unui segment este punctul aflat exact la jumătatea distanței dintre capete. Dacă M este mijlocul lui [AB], atunci M este între A și B, iar AM = MB = AB : 2.

Reciproc, dacă un punct al segmentului împarte segmentul în două părți egale, el este mijlocul. Din AM = 7 cm rezultă AB = 2 × 7 = 14 cm.

M mijlocul lui [AB] ⇒ AM = MB = AB : 2

AB = 2 × AM

Mijlocul unui segment este unic.
Dacă mijlocul se ia de două ori (mijlocul jumătății), lungimea se împarte la 4.

Exemplu rezolvat

M este mijlocul lui [AB], iar N este mijlocul lui [AM]. Dacă AB = 16 cm, cât este AN?

1.M fiind mijlocul lui [AB], avem AM = 16 : 2 = 8 cm.
2.N fiind mijlocul lui [AM], avem AN = 8 : 2.
3.Deci AN = 4 cm, adică un sfert din AB.

Probleme cu mai multe segmente pe o dreaptă

Când pe o dreaptă sunt marcate mai multe puncte, lungimile se adună din aproape în aproape: dacă A, B, C și D sunt în această ordine, atunci AD = AB + BC + CD.

Dacă o parte este de câteva ori mai mare decât alta, folosești metoda părților egale: împarți întregul în tot atâtea părți și afli cât valorează una.

Cel mai sigur este să faci un desen și să scrii pe el fiecare lungime cunoscută, înainte de a calcula.

AD = AB + BC + CD

AB = 2 × BC și AC = AB + BC ⇒ AC = 3 × BC

Notează pe desen ce se cere, ca să vezi ce lipsește.
Verifică la final: suma părților trebuie să dea întregul din enunț.

Exemplu rezolvat

Pe o dreaptă, A, B și C sunt în această ordine. AC = 30 cm, iar AB este de 2 ori mai mare decât BC. Află BC.

1.Notăm BC cu o parte; atunci AB are două părți, iar AC are trei părți.
2.Cele trei părți însumează 30 cm, deci o parte este 30 : 3 = 10 cm.
3.Deci BC = 10 cm, iar AB = 20 cm. Verificare: 20 + 10 = 30.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele M, N, P. Dacă MN = 6 cm și NP = 4 cm, calculează MP.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MP = 6 + 4 = 10 cm
Ex. 2Dificultate redusă
Segmentele [AB] și [CD] au aceeași lungime, de 9 cm. Sunt ele congruente? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da: segmentele care au aceeași lungime sunt congruente, [AB] ≡ [CD].
Ex. 3Dificultate redusă
Un segment [MN] are lungimea 14 cm. Dacă P este mijlocul lui, calculează MP și PN.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MP = PN = 14 : 2 = 7 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Compară segmentele [IJ] = 7 cm și [KL] = 10 cm. Care este mai mare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[KL] este mai mare: 10 cm > 7 cm.
Ex. 5Dificultate redusă
Ce înseamnă că punctul M este situat între punctele N și P?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
N, M, P sunt pe aceeași dreaptă, iar M se află pe segmentul [NP]: NM + MP = NP.
Ex. 6Dificultate medie
Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, B, C, D. Dacă AB = 5 cm, BC = 2 cm și CD = 6 cm, calculează AD.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD = 5 + 2 + 6 = 13 cm
Ex. 7Dificultate medie
Un segment [MN] are lungimea 24 cm, iar P este mijlocul lui. Calculează MP și PN.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
MP = PN = 24 : 2 = 12 cm
Ex. 8Dificultate medie
Pe o dreaptă, punctele A, M, B sunt așezate în această ordine, iar M este mijlocul segmentului [AB]. Dacă AB = 30 cm, calculează AM.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM = 30 : 2 = 15 cm
Ex. 9Dificultate medie
Segmentele [AB] și [CD] sunt congruente, iar AB = 2x + 5, unde x = 3. Calculează lungimea segmentului [CD].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
CD = AB = 2 × 3 + 5 = 11 cm
Ex. 10Dificultate medie
Pe o dreaptă sunt punctele A, B, C, în această ordine, cu AC = 28 cm. Dacă AB este de 3 ori mai mare decât BC, află lungimile AB și BC.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
BC = 28 : 4 = 7 cm, AB = 3 × 7 = 21 cm.
Ex. 11Dificultate ridicată
Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, M, N, B, astfel încât M este mijlocul segmentului [AB], iar N este mijlocul segmentului [MB]. Dacă AB = 32 cm, calculează lungimile AM, MN și NB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AM = 16 cm, MN = 8 cm, NB = 8 cm.
Ex. 12Dificultate ridicată
Segmentul [AB] are lungimea 40 cm. Punctul C se află pe segment, între A și B, astfel încât AC este cu 8 cm mai mare decât CB. Află lungimile AC și CB.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
CB = (40 − 8) : 2 = 16 cm, AC = 24 cm.
Ex. 13Dificultate ridicată
Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, B, C, D, astfel încât B este mijlocul segmentului [AC], iar C este mijlocul segmentului [BD]. Dacă AB = 6 cm, calculează lungimea segmentului [AD].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
AD = 18 cm: BC = AB = 6 cm, apoi CD = BC = 6 cm.
Ex. 14Dificultate ridicată
Un segment [AB] este împărțit de punctul M în două părți, AM și MB, astfel încât AM este cu 5 cm mai mic decât MB, iar AB = 21 cm. Este M mijlocul segmentului [AB]? Justifică prin calcul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu: AM = (21 − 5) : 2 = 8 cm și MB = 13 cm, iar mijlocul ar da două părți egale.
Ex. 15Dificultate ridicată
Pe o dreaptă sunt punctele A, B, C, D, în această ordine. Se știe că AD = 45 cm, AB = BC = CD (cele trei segmente sunt congruente). Calculează lungimea fiecărui segment, apoi determină dacă B este mijlocul segmentului [AC].
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare are 45 : 3 = 15 cm. Da, B este mijlocul lui [AC], pentru că AB = BC = 15 cm.