Încărcăm partea curentă…

Punct, dreaptă și segment

Ordinea punctelor și compararea segmentelor

Dacă trei puncte coliniare A, B și C sunt așezate în această ordine, spunem că B este situat între A și C. Atunci lungimea întregului segment este suma celor două părți: AC = AB + BC.

Din aceeași relație afli și o parte, dacă știi întregul: BC = AC − AB. Aceasta este cea mai folosită formulă din geometria clasei a V-a.

Două segmente se compară prin lungimile lor. Dacă au aceeași lungime, se numesc congruente și se scrie [AB] ≡ [CD]. Înainte de comparare, lungimile trebuie aduse la aceeași unitate: 5 cm și 50 mm sunt egale.

De ținut minte

B între A și C ⇒ AC = AB + BC
BC = AC − AB
[AB] ≡ [CD] ⇔ AB = CD
  • Desenează întotdeauna punctele în ordinea din enunț, pe o dreaptă.
  • Transformă mai întâi unitățile: 1 cm = 10 mm.

Exemplu rezolvat · alte date

Q este între P și R, PR = 27 cm, PQ = 11 cm. Află QR.

  1. 1Segmentul întreg este suma celor două bucăți: PR = PQ + QR.
  2. 2QR = PR − PQ = 27 − 11.
  3. 3QR = 16 cm; verificare: 11 + 16 = 27.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Punct, dreaptă și segment: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Lungimea segmentului AB este distanța dintre punctele A și B; mijlocul îl împarte în două segmente egale.

Ordinea punctelor și compararea segmentelor

Dacă trei puncte coliniare A, B și C sunt așezate în această ordine, spunem că B este situat între A și C. Atunci lungimea întregului segment este suma celor două părți: AC = AB + BC.

Din aceeași relație afli și o parte, dacă știi întregul: BC = AC − AB. Aceasta este cea mai folosită formulă din geometria clasei a V-a.

Două segmente se compară prin lungimile lor. Dacă au aceeași lungime, se numesc congruente și se scrie [AB] ≡ [CD]. Înainte de comparare, lungimile trebuie aduse la aceeași unitate: 5 cm și 50 mm sunt egale.

  • B între A și C ⇒ AC = AB + BC
  • BC = AC − AB
  • [AB] ≡ [CD] ⇔ AB = CD
  • Desenează întotdeauna punctele în ordinea din enunț, pe o dreaptă.
  • Transformă mai întâi unitățile: 1 cm = 10 mm.

Exemplu rezolvat · alte date

Q este între P și R, PR = 27 cm, PQ = 11 cm. Află QR.

  1. Segmentul întreg este suma celor două bucăți: PR = PQ + QR.
  2. QR = PR − PQ = 27 − 11.
  3. QR = 16 cm; verificare: 11 + 16 = 27.

Mijlocul unui segment

Mijlocul unui segment este punctul aflat exact la jumătatea distanței dintre capete. Dacă M este mijlocul lui [AB], atunci M este între A și B, iar AM = MB = AB : 2.

Reciproc, dacă un punct al segmentului împarte segmentul în două părți egale, el este mijlocul. Din AM = 7 cm rezultă AB = 2 × 7 = 14 cm.

  • M mijlocul lui [AB] ⇒ AM = MB = AB : 2
  • AB = 2 × AM
  • Mijlocul unui segment este unic.
  • Dacă mijlocul se ia de două ori (mijlocul jumătății), lungimea se împarte la 4.

Exemplu rezolvat

M este mijlocul lui [AB], iar N este mijlocul lui [AM]. Dacă AB = 16 cm, cât este AN?

  1. M fiind mijlocul lui [AB], avem AM = 16 : 2 = 8 cm.
  2. N fiind mijlocul lui [AM], avem AN = 8 : 2.
  3. Deci AN = 4 cm, adică un sfert din AB.

Probleme cu mai multe segmente pe o dreaptă

Când pe o dreaptă sunt marcate mai multe puncte, lungimile se adună din aproape în aproape: dacă A, B, C și D sunt în această ordine, atunci AD = AB + BC + CD.

Dacă o parte este de câteva ori mai mare decât alta, folosești metoda părților egale: împarți întregul în tot atâtea părți și afli cât valorează una.

Cel mai sigur este să faci un desen și să scrii pe el fiecare lungime cunoscută, înainte de a calcula.

  • AD = AB + BC + CD
  • AB = 2 × BC și AC = AB + BC ⇒ AC = 3 × BC
  • Notează pe desen ce se cere, ca să vezi ce lipsește.
  • Verifică la final: suma părților trebuie să dea întregul din enunț.

Exemplu rezolvat

Pe o dreaptă, A, B și C sunt în această ordine. AC = 30 cm, iar AB este de 2 ori mai mare decât BC. Află BC.

  1. Notăm BC cu o parte; atunci AB are două părți, iar AC are trei părți.
  2. Cele trei părți însumează 30 cm, deci o parte este 30 : 3 = 10 cm.
  3. Deci BC = 10 cm, iar AB = 20 cm. Verificare: 20 + 10 = 30.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    B este între A și C. Dacă AB = 8 cm și BC = 5 cm, află AC.

    Vezi rezolvarea
    1. Folosim AC = AB + BC.
    2. AC = 8 + 5.
    3. AC = 13 cm.

    Răspuns: 13

  2. Exercițiul 2

    M este mijlocul lui PQ și PQ = 26 cm. Află PM.

    Vezi rezolvarea
    1. PM = MQ.
    2. PM = PQ : 2 = 26 : 2.
    3. PM = 13 cm.

    Răspuns: 13

  3. Exercițiul 3

    C este între A și B. Dacă AB = 20 cm și AC = 7 cm, află CB.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = AC + CB.
    2. CB = AB − AC = 20 − 7.
    3. CB = 13 cm.

    Răspuns: 13

  4. Exercițiul 4

    Dacă AM = MB și M aparține segmentului AB, atunci M este:

    Vezi rezolvarea
    1. M aparține segmentului AB.
    2. Distanțele AM și MB sunt egale.
    3. Cele două condiții arată că M este mijlocul.

    Răspuns: Mijlocul segmentului AB

  5. Exercițiul 5

    Pe o dreaptă, A, B, C sunt în această ordine. AB = 9 cm și AC = 21 cm. Află BC.

    Vezi rezolvarea
    1. AC = AB + BC.
    2. BC = AC − AB = 21 − 9.
    3. BC = 12 cm.

    Răspuns: 12

  6. Exercițiul 6

    B este între A și C. AB = 6 cm și BC = 9 cm. Află AC, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. B este între A și C, deci AC = AB + BC.
    2. AC = 6 + 9.
    3. AC = 15 cm.

    Răspuns: 15

  7. Exercițiul 7

    M este mijlocul lui AB și AM = 7 cm. Află AB, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. AM = MB = 7 cm.
    2. AB = AM + MB.
    3. AB = 14 cm.

    Răspuns: 14

  8. Exercițiul 8

    Segmentele AB = 5 cm și CD = 50 mm sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. 50 mm = 5 cm.
    2. AB și CD au aceeași lungime.
    3. Segmentele sunt congruente.

    Răspuns: congruente

  9. Exercițiul 9

    Pe o dreaptă, A, B, C, D sunt în această ordine. AB = 3 cm, BC = 4 cm și CD = 5 cm. Află AD, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. AD = AB + BC + CD.
    2. AD = 3 + 4 + 5.
    3. AD = 12 cm.

    Răspuns: 12

  10. Exercițiul 10

    Pe o dreaptă, A, B, C sunt în această ordine. AC = 30 cm, iar AB este de 2 ori mai mare decât BC. Află BC, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. AB = 2 × BC, deci AC = 3 × BC.
    2. BC = 30 : 3.
    3. BC = 10 cm (și AB = 20 cm).

    Răspuns: 10

  11. Exercițiul 11

    M este mijlocul lui AB, iar N este mijlocul lui AM. Dacă AB = 16 cm, AN este:

    Vezi rezolvarea
    1. AM = 16 : 2 = 8 cm.
    2. AN = 8 : 2 = 4 cm.
    3. AN = 4 cm.

    Răspuns: 4 cm

  12. Exercițiul 12

    Pe o dreaptă, A, B, C sunt în această ordine, AB = 10 cm și BC = 6 cm. M este mijlocul lui AC. Află BM, în centimetri.

    Vezi rezolvarea
    1. AC = 10 + 6 = 16 cm, deci AM = 8 cm.
    2. M este între A și B, pentru că 8 < 10.
    3. BM = AB − AM = 10 − 8 = 2 cm.

    Răspuns: 2

Fișă de consolidare din material (15)

  1. 1. Dificultate redusă

    Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele M, N, P. Dacă MN = 6 cm și NP = 4 cm, calculează MP.

    Vezi răspunsul

    MP = 6 + 4 = 10 cm

  2. 2. Dificultate redusă

    Segmentele [AB] și [CD] au aceeași lungime, de 9 cm. Sunt ele congruente? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Da: segmentele care au aceeași lungime sunt congruente, [AB] ≡ [CD].

  3. 3. Dificultate redusă

    Un segment [MN] are lungimea 14 cm. Dacă P este mijlocul lui, calculează MP și PN.

    Vezi răspunsul

    MP = PN = 14 : 2 = 7 cm

  4. 4. Dificultate redusă

    Compară segmentele [IJ] = 7 cm și [KL] = 10 cm. Care este mai mare?

    Vezi răspunsul

    [KL] este mai mare: 10 cm > 7 cm.

  5. 5. Dificultate redusă

    Ce înseamnă că punctul M este situat între punctele N și P?

    Vezi răspunsul

    N, M, P sunt pe aceeași dreaptă, iar M se află pe segmentul [NP]: NM + MP = NP.

  6. 6. Dificultate medie

    Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, B, C, D. Dacă AB = 5 cm, BC = 2 cm și CD = 6 cm, calculează AD.

    Vezi răspunsul

    AD = 5 + 2 + 6 = 13 cm

  7. 7. Dificultate medie

    Un segment [MN] are lungimea 24 cm, iar P este mijlocul lui. Calculează MP și PN.

    Vezi răspunsul

    MP = PN = 24 : 2 = 12 cm

  8. 8. Dificultate medie

    Pe o dreaptă, punctele A, M, B sunt așezate în această ordine, iar M este mijlocul segmentului [AB]. Dacă AB = 30 cm, calculează AM.

    Vezi răspunsul

    AM = 30 : 2 = 15 cm

  9. 9. Dificultate medie

    Segmentele [AB] și [CD] sunt congruente, iar AB = 2x + 5, unde x = 3. Calculează lungimea segmentului [CD].

    Vezi răspunsul

    CD = AB = 2 × 3 + 5 = 11 cm

  10. 10. Dificultate medie

    Pe o dreaptă sunt punctele A, B, C, în această ordine, cu AC = 28 cm. Dacă AB este de 3 ori mai mare decât BC, află lungimile AB și BC.

    Vezi răspunsul

    BC = 28 : 4 = 7 cm, AB = 3 × 7 = 21 cm.

  11. 11. Dificultate ridicată

    Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, M, N, B, astfel încât M este mijlocul segmentului [AB], iar N este mijlocul segmentului [MB]. Dacă AB = 32 cm, calculează lungimile AM, MN și NB.

    Vezi răspunsul

    AM = 16 cm, MN = 8 cm, NB = 8 cm.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Segmentul [AB] are lungimea 40 cm. Punctul C se află pe segment, între A și B, astfel încât AC este cu 8 cm mai mare decât CB. Află lungimile AC și CB.

    Vezi răspunsul

    CB = (40 − 8) : 2 = 16 cm, AC = 24 cm.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Pe o dreaptă sunt, în această ordine, punctele A, B, C, D, astfel încât B este mijlocul segmentului [AC], iar C este mijlocul segmentului [BD]. Dacă AB = 6 cm, calculează lungimea segmentului [AD].

    Vezi răspunsul

    AD = 18 cm: BC = AB = 6 cm, apoi CD = BC = 6 cm.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un segment [AB] este împărțit de punctul M în două părți, AM și MB, astfel încât AM este cu 5 cm mai mic decât MB, iar AB = 21 cm. Este M mijlocul segmentului [AB]? Justifică prin calcul.

    Vezi răspunsul

    Nu: AM = (21 − 5) : 2 = 8 cm și MB = 13 cm, iar mijlocul ar da două părți egale.

  15. 15. Dificultate ridicată

    Pe o dreaptă sunt punctele A, B, C, D, în această ordine. Se știe că AD = 45 cm, AB = BC = CD (cele trei segmente sunt congruente). Calculează lungimea fiecărui segment, apoi determină dacă B este mijlocul segmentului [AC].

    Vezi răspunsul

    Fiecare are 45 : 3 = 15 cm. Da, B este mijlocul lui [AC], pentru că AB = BC = 15 cm.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.