Teorie înainte de exerciții
Drepte perpendiculare și paralele
Două drepte din același plan pot fi secante, paralele sau coincidente; un caz special de secante sunt dreptele perpendiculare.
Figura de referință
Citește desenul înainte de formule
Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.
Drepte perpendiculare
Două drepte sunt perpendiculare dacă se intersectează formând unghiuri drepte, de 90°. Se scrie a ⟂ b și se citește „dreapta a este perpendiculară pe dreapta b”.
La intersecția a două drepte perpendiculare se formează patru unghiuri drepte, nu unul singur: un unghi alungit are 180°, iar 180° : 2 = 90°, deci toate cele patru unghiuri din jurul punctului de intersecție sunt egale.
Perpendiculara se construiește cu echerul: așezi o latură a echerului pe dreapta dată, îl glisezi până când cealaltă latură trece prin punctul dorit și trasezi. Printr-un punct trece o singură perpendiculară pe o dreaptă dată.
- Laturile alăturate ale unei coli de hârtie sunt perpendiculare.
- Perpendicularitatea se marchează pe desen cu un pătrățel în punctul de intersecție.
Exemplu rezolvat
Dreptele a și b sunt perpendiculare. Câte unghiuri drepte se formează la intersecția lor?
- 1.Două drepte care se intersectează formează patru unghiuri în jurul punctului comun.
- 2.Unul dintre ele are 90°, iar unghiurile alăturate lui îl completează până la 180°, deci au tot 90°.
- 3.Se formează 4 unghiuri drepte.
Drepte paralele
Două drepte din același plan sunt paralele dacă nu se intersectează niciodată, oricât ar fi prelungite. Se scrie a ∥ b. Distanța dintre ele rămâne aceeași în orice punct — de aceea șinele de cale ferată sunt exemplul clasic.
Paralela se construiește cu rigla și echerul: pui o latură a echerului pe dreapta dată, sprijini rigla de cealaltă latură, glisezi echerul de-a lungul riglei până ajungi în punctul dorit și trasezi.
Printr-un punct exterior unei drepte se poate construi o singură paralelă la acea dreaptă.
- Două drepte paralele rămân la aceeași distanță, oricât le-ai prelungi.
- Dreptele care se intersectează într-un singur punct se numesc concurente.
Exemplu rezolvat
Câte paralele la dreapta d trec printr-un punct A exterior ei?
- 1.Prin A putem trasa multe drepte, dar aproape toate intersectează dreapta d.
- 2.Doar una dintre ele păstrează aceeași distanță față de d peste tot.
- 3.Prin urmare, prin A trece o singură paralelă la d.
Legături între paralele și perpendiculare
Cele trei proprietăți care rezolvă majoritatea problemelor sunt: dacă două drepte sunt paralele cu o a treia, ele sunt paralele între ele; dacă două drepte sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, ele sunt paralele între ele; dacă o dreaptă este perpendiculară pe una dintre două paralele, atunci este perpendiculară și pe cealaltă.
De aici rezultă și că o dreaptă care intersectează una dintre două paralele le intersectează pe amândouă: dacă nu ar face-o, ar fi paralelă cu ea, ceea ce ar fi o contradicție.
- Toate dreptele perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele, oricâte ar fi.
- Din trei drepte paralele se pot forma 3 perechi de paralele.
Exemplu rezolvat
Dreptele a și b sunt perpendiculare pe dreapta c. Ce relație există între a și b?
- 1.Dreapta a formează un unghi de 90° cu c, la fel și dreapta b.
- 2.Două drepte din același plan, perpendiculare pe aceeași dreaptă, nu se pot intersecta.
- 3.Prin urmare a ∥ b.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Desenează două drepte perpendiculare și notează-le corect, folosind simbolul ⊥.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două drepte care formează un unghi drept (90°); se notează a ⊥ b.
- Ex. 2Dificultate redusă
Desenează două drepte paralele și notează-le corect, folosind simbolul ||.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Două drepte care nu se întâlnesc oricât le-ai prelungi; se notează a ∥ b.
- Ex. 3Dificultate redusă
Câte grade are fiecare dintre cele patru unghiuri formate de două drepte perpendiculare?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Toate patru au câte 90°.
- Ex. 4Dificultate redusă
Găsește, în clasa ta, două exemple de obiecte ale căror margini formează drepte paralele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
De exemplu, marginile opuse ale tablei, ale caietului, ale băncii sau ale ușii.
- Ex. 5Dificultate redusă
Este distanța dintre două drepte paralele aceeași în orice punct, sau variază?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aceeași în orice punct.
- Ex. 6Dificultate medie
Construiește, cu echerul, o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată d, printr-un punct M care nu se află pe dreaptă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pui o catetă a echerului pe d și îl aluneci de-a lungul dreptei până când cealaltă catetă trece prin M. Trasezi dreapta prin M de-a lungul acestei catete: ea este perpendiculara din M pe d.
- Ex. 7Dificultate medie
Construiește, cu rigla și echerul, o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată d, printr-un punct N care nu se află pe dreaptă.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pui o catetă a echerului pe d și lipești rigla de cealaltă catetă. Aluneci echerul pe riglă până când latura care era pe d trece prin N și trasezi de-a lungul ei: obții paralela prin N la d.
- Ex. 8Dificultate medie
Se dau dreptele a, b, c, astfel încât a || b și b || c. Ce relație există între a și c? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a ∥ c: două drepte paralele cu aceeași dreaptă sunt paralele între ele.
- Ex. 9Dificultate medie
Se dau dreptele m și n, perpendiculare între ele, formând un unghi de 90° într-un punct O. Dacă se mai desenează o dreaptă p, paralelă cu n, ce relație există între p și m?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
p ⊥ m: p este paralelă cu n, iar n este perpendiculară pe m.
- Ex. 10Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, de ce printr-un punct exterior unei drepte nu se pot construi două drepte paralele diferite cu dreapta dată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Este axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă. Dacă ar exista două, prin același punct ar trece două drepte diferite care nu taie dreapta dată, lucru pe care axioma îl exclude.
- Ex. 11Dificultate ridicată
Se dau patru drepte a, b, c, d, astfel încât a || b, b || c, iar c ⊥ d. Stabilește toate relațiile posibile (de paralelism sau perpendicularitate) dintre cele patru drepte, justificând fiecare pas.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a ∥ b și b ∥ c, deci a ∥ c. c ⊥ d, iar a și b sunt paralele cu c, deci și a ⊥ d, b ⊥ d.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Pe o coală de hârtie sunt desenate două drepte perpendiculare, m și n, care se intersectează în punctul O. Se cere construirea unei drepte p, paralelă cu n, la o distanță de 4 cm de aceasta. Descrie pașii de construcție, folosind echerul și rigla.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Trasezi cu echerul o perpendiculară pe n (poate fi chiar m). Pe ea măsori cu rigla 4 cm de la O și marchezi punctul A. Prin A construiești cu echerul perpendiculara pe m: aceasta este p, paralelă cu n și la 4 cm de ea.
- Ex. 13Dificultate ridicată
Se dau dreptele a și b, paralele. Dreapta c intersectează dreapta a, formând un unghi de 90°. Dreapta e intersectează dreapta b, formând un unghi de 80°. Este dreapta e perpendiculară pe dreapta a? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Nu. e taie b sub un unghi de 80°, iar a ∥ b, deci e taie și a sub același unghi de 80°, nu de 90°.
- Ex. 14Dificultate ridicată
Într-un dreptunghi MNPQ, laturile [MN] și [PQ] sunt paralele, la fel și laturile [MQ] și [NP]. Dacă [MN] este perpendicular pe [NP], stabilește ce relație există între [PQ] și [NP], folosind proprietățile învățate.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[PQ] ⊥ [NP]: PQ ∥ MN, iar MN ⊥ NP.
- Ex. 15Dificultate ridicată
Se dau trei drepte distincte, a, b, c, toate perpendiculare pe o a patra dreaptă, d. Ce poți afirma despre relația dintre dreptele a, b și c? Justifică folosind proprietățile dreptelor paralele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
a ∥ b ∥ c: două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.