Drepte perpendiculare și paralele

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

1. Exercițiul 1

   Simbolul pentru drepte paralele este:

   Vezi rezolvarea

   1. Simbolul ∥ se citește «paralel cu».
   2. Dreptele au aceeași direcție și nu se intersectează.
   3. Răspunsul este ∥.

   Răspuns: ∥

2. Exercițiul 2

   Dacă a ⟂ b, unghiurile formate la intersecție au:

   Vezi rezolvarea

   1. Dreptele perpendiculare formează unghiuri drepte.
   2. Un unghi drept măsoară 90°.
   3. Toate cele patru unghiuri au 90°.

   Răspuns: 90°

3. Exercițiul 3

   Dacă a ∥ b și o dreaptă c intersectează a, poate c să nu intersecteze b?

   Vezi rezolvarea

   1. a și b sunt două drepte paralele în același plan.
   2. O dreaptă care traversează una dintre ele o traversează și pe cealaltă.
   3. Răspunsul este nu.

   Răspuns: Nu

4. Exercițiul 4

   Dacă a ⟂ c și b ⟂ c, atunci:

   Vezi rezolvarea

   1. a și b sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă c.
   2. În același plan, ele sunt paralele.
   3. Rezultă a ∥ b.

   Răspuns: a ∥ b

5. Exercițiul 5

   Câte perpendiculare pe o dreaptă dată trec printr-un punct dat?

   Vezi rezolvarea

   1. Prin punctul dat putem construi o perpendiculară.
   2. O a doua dreaptă diferită nu ar mai forma aceeași direcție de 90°.
   3. Perpendiculara este unică.

   Răspuns: 1

6. Exercițiul 6

   Simbolul pentru drepte perpendiculare este:

   Vezi rezolvarea

   1. ⟂ înseamnă „este perpendiculară pe”.
   2. ∥ înseamnă „este paralelă cu”.
   3. Pentru perpendiculare folosim ⟂.

   Răspuns: ⟂

7. Exercițiul 7

   Dreptele a și b sunt în același plan și nu au niciun punct comun. Ele sunt:

   Vezi rezolvarea

   1. Dreptele concurente și cele perpendiculare au un punct comun.
   2. Dreptele confundate au toate punctele comune.
   3. Fără niciun punct comun, dreptele sunt paralele.

   Răspuns: paralele

8. Exercițiul 8

   Dreptele a și b sunt perpendiculare. Câte unghiuri drepte se formează la intersecția lor?

   Vezi rezolvarea

   1. La intersecția a două drepte apar 4 unghiuri.
   2. Dacă unul este drept, vecinul lui are 180° − 90° = 90°, și tot așa.
   3. Toate cele 4 unghiuri sunt drepte.

   Răspuns: 4

9. Exercițiul 9

   Câte paralele la dreapta d trec printr-un punct A exterior ei?

   Vezi rezolvarea

   1. Aceasta este o regulă de bază a geometriei.
   2. Orice altă dreaptă prin A ar tăia dreapta d.
   3. Prin A trece o singură paralelă la d.

   Răspuns: una singură

10. Exercițiul 10

    Dacă a ∥ b și dreapta c este perpendiculară pe a, atunci:

    Vezi rezolvarea

    1. Traversa perpendiculară pe o șină este perpendiculară și pe cealaltă șină.
    2. O dreaptă perpendiculară pe una dintre două paralele este perpendiculară și pe cealaltă.
    3. Deci c ⟂ b.

    Răspuns: c ⟂ b

11. Exercițiul 11

    Dreptele a, b și c sunt toate perpendiculare pe dreapta d. Câte perechi de drepte paralele se pot forma din a, b și c?

    Vezi rezolvarea

    1. Oricare două dintre a, b, c sunt paralele.
    2. Perechile sunt a și b, a și c, b și c.
    3. Sunt 3 perechi.

    Răspuns: 3

12. Exercițiul 12

    Care imagine sugerează drepte paralele?

    Vezi rezolvarea

    1. Acele la ora 3 și colțul caietului formează un unghi drept: sunt perpendiculare.
    2. Străzile care se intersectează au un punct comun.
    3. Șinele merg alături fără să se întâlnească: sunt paralele.

    Răspuns: Șinele de cale ferată

Fișă de consolidare din material (15)

1. 1. Dificultate redusă

   Desenează două drepte perpendiculare și notează-le corect, folosind simbolul ⊥.

   Vezi răspunsul

   Două drepte care formează un unghi drept (90°); se notează a ⊥ b.

2. 2. Dificultate redusă

   Desenează două drepte paralele și notează-le corect, folosind simbolul ||.

   Vezi răspunsul

   Două drepte care nu se întâlnesc oricât le-ai prelungi; se notează a ∥ b.

3. 3. Dificultate redusă

   Câte grade are fiecare dintre cele patru unghiuri formate de două drepte perpendiculare?

   Vezi răspunsul

   Toate patru au câte 90°.

4. 4. Dificultate redusă

   Găsește, în clasa ta, două exemple de obiecte ale căror margini formează drepte paralele.

   Vezi răspunsul

   De exemplu, marginile opuse ale tablei, ale caietului, ale băncii sau ale ușii.

5. 5. Dificultate redusă

   Este distanța dintre două drepte paralele aceeași în orice punct, sau variază?

   Vezi răspunsul

   Aceeași în orice punct.

6. 6. Dificultate medie

   Construiește, cu echerul, o dreaptă perpendiculară pe o dreaptă dată d, printr-un punct M care nu se află pe dreaptă.

   Vezi răspunsul

   Pui o catetă a echerului pe d și îl aluneci de-a lungul dreptei până când cealaltă catetă trece prin M. Trasezi dreapta prin M de-a lungul acestei catete: ea este perpendiculara din M pe d.

7. 7. Dificultate medie

   Construiește, cu rigla și echerul, o dreaptă paralelă cu o dreaptă dată d, printr-un punct N care nu se află pe dreaptă.

   Vezi răspunsul

   Pui o catetă a echerului pe d și lipești rigla de cealaltă catetă. Aluneci echerul pe riglă până când latura care era pe d trece prin N și trasezi de-a lungul ei: obții paralela prin N la d.

8. 8. Dificultate medie

   Se dau dreptele a, b, c, astfel încât a || b și b || c. Ce relație există între a și c? Justifică.

   Vezi răspunsul

   a ∥ c: două drepte paralele cu aceeași dreaptă sunt paralele între ele.

9. 9. Dificultate medie

   Se dau dreptele m și n, perpendiculare între ele, formând un unghi de 90° într-un punct O. Dacă se mai desenează o dreaptă p, paralelă cu n, ce relație există între p și m?

   Vezi răspunsul

   p ⊥ m: p este paralelă cu n, iar n este perpendiculară pe m.

10. 10. Dificultate medie

    Explică, cu propriile cuvinte, de ce printr-un punct exterior unei drepte nu se pot construi două drepte paralele diferite cu dreapta dată.

    Vezi răspunsul

    Este axioma paralelelor: printr-un punct exterior unei drepte trece o singură paralelă la acea dreaptă. Dacă ar exista două, prin același punct ar trece două drepte diferite care nu taie dreapta dată, lucru pe care axioma îl exclude.

11. 11. Dificultate ridicată

    Se dau patru drepte a, b, c, d, astfel încât a || b, b || c, iar c ⊥ d. Stabilește toate relațiile posibile (de paralelism sau perpendicularitate) dintre cele patru drepte, justificând fiecare pas.

    Vezi răspunsul

    a ∥ b și b ∥ c, deci a ∥ c. c ⊥ d, iar a și b sunt paralele cu c, deci și a ⊥ d, b ⊥ d.

12. 12. Dificultate ridicată

    Pe o coală de hârtie sunt desenate două drepte perpendiculare, m și n, care se intersectează în punctul O. Se cere construirea unei drepte p, paralelă cu n, la o distanță de 4 cm de aceasta. Descrie pașii de construcție, folosind echerul și rigla.

    Vezi răspunsul

    Trasezi cu echerul o perpendiculară pe n (poate fi chiar m). Pe ea măsori cu rigla 4 cm de la O și marchezi punctul A. Prin A construiești cu echerul perpendiculara pe m: aceasta este p, paralelă cu n și la 4 cm de ea.

13. 13. Dificultate ridicată

    Se dau dreptele a și b, paralele. Dreapta c intersectează dreapta a, formând un unghi de 90°. Dreapta e intersectează dreapta b, formând un unghi de 80°. Este dreapta e perpendiculară pe dreapta a? Justifică.

    Vezi răspunsul

    Nu. e taie b sub un unghi de 80°, iar a ∥ b, deci e taie și a sub același unghi de 80°, nu de 90°.

14. 14. Dificultate ridicată

    Într-un dreptunghi MNPQ, laturile [MN] și [PQ] sunt paralele, la fel și laturile [MQ] și [NP]. Dacă [MN] este perpendicular pe [NP], stabilește ce relație există între [PQ] și [NP], folosind proprietățile învățate.

    Vezi răspunsul

    [PQ] ⊥ [NP]: PQ ∥ MN, iar MN ⊥ NP.

15. 15. Dificultate ridicată

    Se dau trei drepte distincte, a, b, c, toate perpendiculare pe o a patra dreaptă, d. Ce poți afirma despre relația dintre dreptele a, b și c? Justifică folosind proprietățile dreptelor paralele.

    Vezi răspunsul

    a ∥ b ∥ c: două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele între ele.