Încărcăm partea curentă…

Puteri cu exponent natural

Ce este o putere

Puterea este o scriere prescurtată pentru înmulțirea repetată a aceluiași număr. În loc de 2 × 2 × 2 × 2 scriem 24 și citim „2 la puterea a patra”.

Numărul care se repetă se numește bază, numărul care arată de câte ori se repetă se numește exponent, iar rezultatul înmulțirii se numește valoarea puterii.

De ținut minte

an = a × a × … × a (de n ori)
24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
  • În 24, baza este 2, exponentul este 4, iar valoarea puterii este 16.
  • Exponentul nu se înmulțește cu baza: 24 înseamnă 16, nu 8.

Exemplu rezolvat

Scrie produsul 5 × 5 × 5 ca putere și calculează-i valoarea.

  1. 1Factorul care se repetă este 5, deci baza este 5.
  2. 2Factorul apare de 3 ori, deci exponentul este 3: produsul se scrie 53.
  3. 353 = 5 × 5 × 5 = 125.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Puteri cu exponent natural: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Puterea an este produsul a × a × … × a, în care factorul a apare de n ori.

Ce este o putere

Puterea este o scriere prescurtată pentru înmulțirea repetată a aceluiași număr. În loc de 2 × 2 × 2 × 2 scriem 24 și citim „2 la puterea a patra”.

Numărul care se repetă se numește bază, numărul care arată de câte ori se repetă se numește exponent, iar rezultatul înmulțirii se numește valoarea puterii.

  • an = a × a × … × a (de n ori)
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
  • În 24, baza este 2, exponentul este 4, iar valoarea puterii este 16.
  • Exponentul nu se înmulțește cu baza: 24 înseamnă 16, nu 8.

Exemplu rezolvat

Scrie produsul 5 × 5 × 5 ca putere și calculează-i valoarea.

  1. Factorul care se repetă este 5, deci baza este 5.
  2. Factorul apare de 3 ori, deci exponentul este 3: produsul se scrie 53.
  3. 53 = 5 × 5 × 5 = 125.

Cazuri particulare

Patru situații se rețin ca atare, fiindcă apar în aproape orice calcul cu puteri.

Orice număr la puterea 1 rămâne neschimbat, iar orice număr natural nenul ridicat la puterea 0 dă 1. Baza 0 dă 0 la orice exponent mai mare decât 0, iar baza 1 dă 1 la orice exponent.

  • a1 = a
  • a0 = 1, pentru a ≠ 0
  • 0n = 0, pentru n ≥ 1
  • 1n = 1
  • 71 = 7, 90 = 1, 05 = 0, 17 = 1.
  • Singura excepție este 00, care nu se definește.

Exemplu rezolvat

Calculează 120 + 15 + 03.

  1. 120 = 1, fiindcă baza este un număr nenul.
  2. 15 = 1, fiindcă baza 1 rămâne 1 la orice exponent.
  3. 03 = 0, deci suma este 1 + 1 + 0 = 2.

Pătratul și cubul unui număr

Pătratul unui număr este acel număr ridicat la puterea a doua, iar cubul este numărul ridicat la puterea a treia. Apar atât de des încât au primit denumiri proprii.

Denumirile vin din geometrie: a2 este aria unui pătrat cu latura a, iar a3 este volumul unui cub cu muchia a.

  • a2 = a × a, se citește „a la pătrat”
  • a3 = a × a × a, se citește „a la cub”
  • 62 = 36, iar 43 = 64.
  • Pătratele primelor zece numere se învață pe de rost: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Exemplu rezolvat

Calculează 32 + 23 − 51.

  1. Calculăm fiecare putere: 32 = 3 × 3 = 9.
  2. 23 = 2 × 2 × 2 = 8, iar 51 = 5.
  3. Înlocuim în expresie: 9 + 8 − 5 = 12.

Operații cu puteri cu aceeași bază

Când puterile au aceeași bază, nu mai e nevoie să calculezi fiecare putere: la înmulțire se adună exponenții, iar la împărțire se scad.

La ridicarea unei puteri la altă putere, exponenții se înmulțesc. Toate aceste reguli funcționează numai dacă baza este aceeași.

  • am × an = am+n
  • am : an = am−n, m ≥ n
  • (am)n = amxn
  • 23 × 24 = 27, nu 47: baza rămâne neschimbată.
  • Puterile cu baze diferite se compară calculându-le valorile.

Exemplu rezolvat

Calculează 23 × 24 : 22.

  1. Toate puterile au aceeași bază, 2.
  2. La înmulțire adunăm exponenții, la împărțire îl scădem: 23+4−2.
  3. Rămâne 25 = 32.

Puteri cu exponentul n: scoaterea factorului comun

La examen apar cerințe de tipul „Arată că 3n+2 + 3n se divide cu 10, pentru orice număr natural n”. Nu poți încerca toate valorile lui n, așa că transformi expresia într-un produs din care se vede divizorul.

Regula de bază este an+k = an · ak. Scrii fiecare putere ca produs cu puterea cea mai mică, apoi dai factor comun: 3n+2 + 3n = 3n · 9 + 3n · 1 = 3n · (9 + 1) = 10 · 3n.

Un număr este divizibil cu k dacă se poate scrie ca k înmulțit cu un număr natural. Odată ajuns la 10 · 3n, concluzia e gata: numărul se divide cu 10, oricare ar fi n.

  • an+k = an · ak
  • 3n+2 + 3n = 3n · (9 + 1) = 10 · 3n
  • Scoate în factor puterea cu exponentul cel mai mic.
  • „Divizibil cu k” înseamnă că numărul se scrie k · (număr natural).

Exemplu rezolvat

Arată că 7n+1 + 7n este divizibil cu 8, pentru orice număr natural n.

  1. Scriem 7n+1 = 7n · 7.
  2. Dăm factor comun: 7n · 7 + 7n · 1 = 7n · (7 + 1) = 8 · 7n.
  3. Numărul se scrie 8 · 7n, deci este divizibil cu 8 pentru orice n natural.

Exerciții rezolvate din lecție (17)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 34.

    Vezi rezolvarea
    1. 34 = 3 × 3 × 3 × 3.
    2. 9 × 9 = 81.
    3. Rezultatul este 81.

    Răspuns: 81

  2. Exercițiul 2

    Produsul 5 × 5 × 5 × 5 se scrie:

    Vezi rezolvarea
    1. Factorul repetat este 5.
    2. El apare de 4 ori.
    3. Produsul se scrie 54.

    Răspuns: 54

  3. Exercițiul 3

    Simplifică 73 × 72 sub forma unei singure puteri. Scrie exponentul rezultat.

    Vezi rezolvarea
    1. Bazele sunt egale.
    2. Adunăm exponenții: 3 + 2 = 5.
    3. Rezultă 75, deci exponentul este 5.

    Răspuns: 5

  4. Exercițiul 4

    Calculează 106 : 104.

    Vezi rezolvarea
    1. 106 : 104 = 106−4.
    2. Obținem 102.
    3. 102 = 100.

    Răspuns: 100

  5. Exercițiul 5

    Care este valoarea lui (23)2?

    Vezi rezolvarea
    1. (23)2 = 23x2 = 26.
    2. 26 = 64.
    3. Răspunsul este 64.

    Răspuns: 64

  6. Exercițiul 6

    Calculează 25.

    Vezi rezolvarea
    1. 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2.
    2. 2 × 2 = 4, 4 × 2 = 8, 8 × 2 = 16, 16 × 2 = 32.
    3. 25 = 32.

    Răspuns: 32

  7. Exercițiul 7

    Calculează 103.

    Vezi rezolvarea
    1. 103 = 10 × 10 × 10.
    2. Rezultatul are 3 zerouri.
    3. 103 = 1 000.

    Răspuns: 1000

  8. Exercițiul 8

    Care este valoarea lui 70?

    Vezi rezolvarea
    1. Baza 7 este nenulă.
    2. Orice număr nenul la puterea 0 este 1.
    3. 70 = 1.

    Răspuns: 1

  9. Exercițiul 9

    Scrie 24 × 23 ca o singură putere a lui 2. Scrie exponentul.

    Vezi rezolvarea
    1. Baza este aceeași, 2.
    2. Adunăm exponenții: 4 + 3 = 7.
    3. 24 × 23 = 27.

    Răspuns: 7

  10. Exercițiul 10

    Compară 25 și 52.

    Vezi rezolvarea
    1. 25 = 32.
    2. 52 = 25.
    3. 32 > 25, deci 25 > 52.

    Răspuns: 25 > 52

  11. Exercițiul 11

    Calculează 32 + 42 − 52.

    Vezi rezolvarea
    1. 32 = 9, 42 = 16 și 52 = 25.
    2. 9 + 16 = 25.
    3. 25 − 25 = 0.

    Răspuns: 0

  12. Exercițiul 12

    Calculează (32)3 : 34.

    Vezi rezolvarea
    1. (32)3 = 36.
    2. 36 : 34 = 36−4 = 32.
    3. 32 = 9.

    Răspuns: 9

  13. Exercițiul 13

    Cât este 19 + 04?

    Vezi rezolvarea
    1. 19 = 1, fiindcă baza 1 rămâne 1 la orice exponent.
    2. 04 = 0, fiindcă baza este 0, iar exponentul este mai mare decât 0.
    3. Suma este 1 + 0 = 1.

    Răspuns: 1

  14. Exercițiul 14

    3n+2 + 3n se poate scrie ca:

    Vezi rezolvarea
    1. 3n+2 = 3n · 32 = 3n · 9.
    2. 3n+2 + 3n = 3n · 9 + 3n · 1 = 3n · (9 + 1).
    3. Rezultă 10 · 3n.

    Răspuns: 10 · 3n

  15. Exercițiul 15

    Cu ce număr se divide 2n+3 + 2n+1 + 2n, pentru orice n natural?

    Vezi rezolvarea
    1. 2n+3 = 8 · 2n, iar 2n+1 = 2 · 2n.
    2. Suma devine 2n · (8 + 2 + 1) = 11 · 2n.
    3. Numărul este divizibil cu 11.

    Răspuns: 11

  16. Exercițiul 16

    Cât este 5n+1 − 5n?

    Vezi rezolvarea
    1. 5n+1 = 5 · 5n.
    2. 5 · 5n − 1 · 5n = (5 − 1) · 5n.
    3. Rezultatul este 4 · 5n.

    Răspuns: 4 · 5n

  17. Exercițiul 17

    Arată că numărul 5n+2 + 5n+1 + 5n se divide cu 31, pentru orice număr natural n.

    Vezi rezolvarea
    1. 5n+2 = 5n · 52 = 25 · 5n, iar 5n+1 = 5 · 5n.
    2. Dăm factor comun: 5n · (25 + 5 + 1) = 31 · 5n.
    3. Numărul este 31 înmulțit cu un număr natural, deci se divide cu 31.

Fișă de consolidare din material (15)

  1. 1. Dificultate redusă

    Scrie ca înmulțire repetată și calculează: 26.

    Vezi răspunsul

    2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează: 42, 33, 71.

    Vezi răspunsul

    16, 27, 7

  3. 3. Dificultate redusă

    Calculează: 60, 18, 04.

    Vezi răspunsul

    1, 1, 0

  4. 4. Dificultate redusă

    Care este pătratul numărului 9? Dar cubul numărului 5?

    Vezi răspunsul

    92 = 81; 53 = 125.

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează: 32 + 22.

    Vezi răspunsul

    9 + 4 = 13

  6. 6. Dificultate medie

    Calculează: 52 − 23 + 31.

    Vezi răspunsul

    25 − 8 + 3 = 20

  7. 7. Dificultate medie

    Scrie numărul 64 ca pătrat al unui număr natural, apoi ca cub al unui alt număr natural.

    Vezi răspunsul

    64 = 82 și 64 = 43.

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează: (32 − 4) × 23.

    Vezi răspunsul

    (9 − 4) × 8 = 5 × 8 = 40

  9. 9. Dificultate medie

    Compară, fără să calculezi complet: 34 și 43. Care este mai mare?

    Vezi răspunsul

    34 = 81 este mai mare decât 43 = 64.

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează: 82 − 72 + 05.

    Vezi răspunsul

    64 − 49 + 0 = 15

  11. 11. Dificultate ridicată

    O grădină pătrată are latura de 15 metri. Se amenajează o a doua grădină pătrată, cu latura de 2 ori mai mică decât prima. Calculează aria fiecărei grădini, apoi află de câte ori este mai mică aria celei de-a doua grădini față de prima.

    Vezi răspunsul

    Prima: 152 = 225 m2. A doua are latura 7,5 m, deci aria 7,52 = 56,25 m2. Aria este de 4 ori mai mică (225 : 56,25 = 4).

  12. 12. Dificultate ridicată

    Calculează: 33 − 24 + 52 × 06 + 17, respectând ordinea corectă a operațiilor.

    Vezi răspunsul

    27 − 16 + 25 × 0 + 1 = 27 − 16 + 0 + 1 = 12

  13. 13. Dificultate ridicată

    Suma a două puteri cu exponentul 2 este 61. Dacă una dintre baze este 5, află cealaltă bază.

    Vezi răspunsul

    6: 61 − 52 = 61 − 25 = 36 = 62.

  14. 14. Dificultate ridicată

    Un cub are muchia de 4 cm. Calculează volumul cubului, apoi calculează cu cât crește volumul dacă muchia devine de 3 ori mai mare.

    Vezi răspunsul

    V = 43 = 64 cm3. Cu muchia 12 cm: V = 123 = 1.728 cm3, deci volumul crește cu 1.728 − 64 = 1.664 cm3 (devine de 27 de ori mai mare).

  15. 15. Dificultate ridicată

    Calculează valoarea expresiei E = 23 + 32 − 41 + 09 − 15, precizând la final care termen din expresie are cea mai mare valoare.

    Vezi răspunsul

    E = 8 + 9 − 4 + 0 − 1 = 12; termenul cu cea mai mare valoare este 32 = 9.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.