Operații cu numere naturale

Cele patru operații de bază ne ajută să combinăm, comparăm, repetăm și grupăm cantități.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Adunarea și scăderea

Adunarea unește două sau mai multe numere într-unul singur, numit sumă: în a + b = s, numerele a și b se numesc termeni. Ordinea termenilor nu contează (12 + 8 = 8 + 12), gruparea lor nu contează (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2), iar adunarea lui 0 lasă numărul neschimbat.

Scăderea arată cu cât este un număr mai mare decât altul: în a − b = d, numărul a este descăzutul, b este scăzătorul, iar d este diferența. În mulțimea numerelor naturale, scăderea se poate face doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul, deci 8 − 15 nu se poate efectua.

Orice scădere se verifică prin adunare: dacă a − b = d, atunci d + b = a. Pentru 47 − 12 = 35 verificarea este 35 + 12 = 47.

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a − b = d ⇔ d + b = a

Adunarea și scăderea se scriu una sub alta, cu ordinele aliniate.
La scăderea cu împrumut, verifică întotdeauna rezultatul prin adunare.

Exemplu rezolvat

Calculează 452 − 187 și verifică rezultatul.

1.Scădem unitățile cu împrumut: 12 − 7 = 5, apoi zecile: 14 − 8 = 6.
2.Scădem sutele: 3 − 1 = 2, deci diferența este 265.
3.Verificăm prin adunare: 265 + 187 = 452.

Înmulțirea și proprietățile ei

Înmulțirea este o adunare repetată: 6 × 4 înseamnă 6 + 6 + 6 + 6 = 24. În a × b = p, numerele a și b se numesc factori, iar p este produsul.

Ordinea factorilor nu schimbă produsul, gruparea lor nu îl schimbă nici ea, înmulțirea cu 1 lasă numărul neschimbat, iar înmulțirea cu 0 dă întotdeauna 0.

Distributivitatea este proprietatea care ajută cel mai mult la calculul rapid: a × (b + c) = a × b + a × c. Așa poți calcula 48 × 125 ca 48 × 100 + 48 × 25, fără să scrii înmulțirea în coloană.

a × b = b × a

a × (b + c) = a × b + a × c

a × (b − c) = a × b − a × c

Înmulțirea cu 10, 100 sau 1 000 adaugă zerouri la dreapta numărului.
Descompune un factor în sumă sau diferență ca să calculezi mai ușor: 25 × 12 = 25 × 10 + 25 × 2.

Exemplu rezolvat

Calculează 3 × (4 + 5) în două feluri.

1.Prima cale: calculăm întâi paranteza, 4 + 5 = 9, apoi 3 × 9 = 27.
2.A doua cale, prin distributivitate: 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15.
3.Ambele dau 27, deci proprietatea se verifică.

Împărțirea exactă

Împărțirea arată de câte ori încape un număr în altul. În a : b = c, numărul a este deîmpărțitul, b este împărțitorul, iar c este câtul. O împărțire este exactă atunci când nu rămâne rest.

Rezultatul se verifică prin înmulțire: 36 : 4 = 9, fiindcă 9 × 4 = 36. Aceeași legătură te ajută să afli un număr necunoscut: dacă x : 7 = 18, atunci x = 18 × 7 = 126.

Împărțirea la 0 nu se poate face niciodată: nu există niciun număr care înmulțit cu 0 să dea un rezultat diferit de 0.

a : b = c ⇔ c × b = a

x : 7 = 18 → x = 126

Împărțirea nu este comutativă: 36 : 4 nu este același lucru cu 4 : 36.
Ca să afli deîmpărțitul, înmulțești câtul cu împărțitorul.

Exemplu rezolvat

Calculează 1 728 : 12 și verifică.

1.Împărțim pe grupe: 17 : 12 = 1, rest 5, coborâm 2 și obținem 52 : 12 = 4, rest 4.
2.Coborâm ultima cifră: 48 : 12 = 4, deci câtul este 144.
3.Verificare: 144 × 12 = 1 728.

Împărțirea cu rest

Nu toate împărțirile sunt exacte. Când deîmpărțitul nu se împarte exact, rămâne un rest, iar legătura dintre numere este a = b × c + r, unde restul r este întotdeauna mai mic decât împărțitorul b.

Pentru 29 : 4 căutăm cel mai mare produs al lui 4 care nu depășește 29: 4 × 7 = 28. Câtul este 7, iar restul este 29 − 28 = 1, deci scriem 29 = 4 × 7 + 1.

Aceeași relație se folosește invers: dacă știi împărțitorul, câtul și restul, afli deîmpărțitul înmulțind și adunând.

a = b × c + r, cu 0 ≤ r < b

29 = 4 × 7 + 1

Dacă restul iese mai mare decât împărțitorul, câtul a fost luat prea mic.
Resturile posibile la împărțirea cu 7 sunt doar 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6.

Exemplu rezolvat

Un număr împărțit la 9 dă câtul 23 și restul 4. Care este numărul?

1.Folosim relația deîmpărțit = împărțitor × cât + rest.
2.Calculăm 9 × 23 = 207, apoi adunăm restul: 207 + 4 = 211.
3.Verificăm: 211 : 9 = 23, rest 4, iar 4 < 9.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 14 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează: 47 + 36, apoi verifică rezultatul folosind proprietatea comutativității.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
83; verificare: 36 + 47 = 83.
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează: 93 − 58. Verifică rezultatul prin adunare.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
35; verificare: 35 + 58 = 93.
Ex. 3Dificultate redusă
Calculează: 8 × 7, apoi scrie înmulțirea ca o adunare repetată.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
56 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 (de 8 ori 7).
Ex. 4Dificultate redusă
Calculează: 63 : 9. Este o împărțire exactă? Justifică.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7; da, este exactă: restul este 0, pentru că 9 × 7 = 63.
Ex. 5Dificultate redusă
Calculează: 71 : 8. Scrie câtul, restul, și verifică rezultatul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Câtul 8, restul 7; verificare: 8 × 8 + 7 = 71, iar 7 < 8.
Ex. 6Dificultate medie
Calculează, aplicând proprietatea distributivității: 5 × (16 + 9).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 × 16 + 5 × 9 = 80 + 45 = 125
Ex. 7Dificultate medie
Calculează, aplicând proprietatea distributivității: 7 × (25 − 8).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 × 25 − 7 × 8 = 175 − 56 = 119
Ex. 8Dificultate medie
Calculează: (22 + 14) − (9 + 6).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
36 − 15 = 21
Ex. 9Dificultate medie
Un număr împărțit la 8 dă câtul 6 și restul 5. Care este numărul?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 × 6 + 5 = 53
Ex. 10Dificultate medie
Calculează: 4 × (17 − 9) + 32 : 4.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 × 8 + 8 = 32 + 8 = 40
Ex. 11Dificultate ridicată
Într-un depozit sunt 156 de cutii. Se aduc încă 8 lăzi, fiecare ladă conținând 24 de cutii. Din tot ce este acum în depozit, se scot cutii pentru a umple 15 rafturi a câte 12 cutii fiecare. Câte cutii rămân în depozit?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
168 de cutii: 156 + 8 × 24 = 348, iar 348 − 15 × 12 = 348 − 180 = 168.
Ex. 12Dificultate ridicată
Suma a trei numere naturale consecutive este 249. Află cele trei numere, apoi calculează produsul dintre cel mai mic și cel mai mare dintre ele.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
82, 83 și 84 (3 · n + 3 = 249, deci n = 82); produsul: 82 × 84 = 6.888.
Ex. 13Dificultate ridicată
Un număr natural este împărțit la 9, obținându-se câtul 14 și un anumit rest. Dacă deîmpărțitul este 131, află restul, apoi verifică dacă restul obținut respectă condiția restului la o împărțire cu împărțitorul 9.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Restul este 5: 131 = 9 × 14 + 5 = 126 + 5. Respectă condiția, pentru că 5 < 9.
Ex. 15Dificultate ridicată
Diferența a două numere naturale este 47. Dacă la numărul mai mare se adună 23, iar la numărul mai mic se scad 15, noua diferență dintre ele devine 85. Verifică dacă această situație este posibilă, efectuând calculul complet.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Da, este posibilă: (a + 23) − (b − 15) = (a − b) + 23 + 15 = 47 + 38 = 85.