Poligoane

Un poligon este o linie frântă închisă simplă împreună cu interiorul ei.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Pentagonul ABCDE are cinci laturi. Diagonalele AC și AD îl împart în trei triunghiuri, de aceea suma unghiurilor interioare este 3 · 180° = 540°. Perimetrul adună numai laturile, fără diagonale.

Ce este un poligon și cum se numește

Un poligon este o figură plană închisă, formată din segmente unite cap la cap, care nu se intersectează între ele. Segmentele se numesc laturi, iar punctele în care se unesc se numesc vârfuri. Poligonul se notează cu literele vârfurilor, în ordinea de pe contur: ABCDE.

Poligoanele se denumesc după numărul de laturi: triunghi (3), patrulater (4), pentagon (5), hexagon (6), heptagon (7), octogon (8). Un poligon cu n laturi are tot n vârfuri și n unghiuri.

Unghiurile poligonului sunt cele formate în interior, la fiecare vârf, de cele două laturi care se întâlnesc acolo.

n laturi ⇒ n vârfuri ⇒ n unghiuri

pentagon = 5 laturi, hexagon = 6 laturi

Figura trebuie să fie închisă: dacă rămâne o „poartă”, nu este poligon.
Un poligon este convex dacă toate unghiurile lui sunt mai mici de 180°.

Exemplu rezolvat

Câte laturi are un hexagon și câte vârfuri?

1.Numele vine de la numărul de laturi: „hexa” înseamnă șase.
2.Într-un poligon, numărul de vârfuri este egal cu numărul de laturi.
3.Hexagonul are 6 laturi și 6 vârfuri.

Diagonalele unui poligon

Diagonala este segmentul care unește două vârfuri neconsecutive, adică două vârfuri care nu sunt vecine pe contur. În poligonul ABCDE, segmentul [AC] este diagonală, dar [AB] nu, fiindcă A și B sunt vecine.

Dintr-un vârf pleacă n − 3 diagonale: nu îl poți uni cu el însuși și nici cu cei doi vecini. De aici, dacă știi câte diagonale pleacă dintr-un vârf, afli numărul de laturi adunând 3.

Numărul total de diagonale se obține înmulțind n cu n − 3 și împărțind la 2, fiindcă fiecare diagonală ar fi numărată de două ori, o dată din fiecare capăt.

dintr-un vârf: n − 3 diagonale

în total: n × (n − 3) : 2

Triunghiul nu are diagonale: 3 − 3 = 0.
Pentagonul are 5 × 2 : 2 = 5 diagonale în total.

Exemplu rezolvat

Dintr-un vârf al unui poligon pleacă 4 diagonale. Câte laturi are poligonul?

1.Din fiecare vârf pleacă n − 3 diagonale.
2.Punem condiția n − 3 = 4.
3.Rezultă n = 7, deci poligonul are 7 laturi.

Poligoane regulate și perimetrul

Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru pentagonul ABCDE, P = AB + BC + CD + DE + EA.

Un poligon este regulat dacă are toate laturile egale și toate unghiurile egale — triunghiul echilateral și pătratul sunt exemplele cele mai cunoscute. La un poligon regulat cu n laturi de lungime a, perimetrul se calculează simplu: P = n × a.

Din aceeași formulă afli latura, dacă știi perimetrul: împarți perimetrul la numărul de laturi.

P = suma laturilor

poligon regulat: P = n × a

a = P : n

Perimetrul se exprimă în unități de lungime: cm, m, km.
Toate laturile trebuie aduse la aceeași unitate înainte de adunare.

Exemplu rezolvat

Un hexagon regulat are perimetrul de 48 cm. Cât măsoară o latură?

1.Hexagonul regulat are 6 laturi egale.
2.Împărțim perimetrul la numărul de laturi: 48 : 6.
3.Fiecare latură măsoară 8 cm.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Desenează un hexagon și notează-l corect, folosind 6 litere pentru vârfuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Un poligon cu 6 laturi, cu vârfurile notate în ordine, de exemplu ABCDEF.
Ex. 2Dificultate redusă
Câte laturi are un pentagon? Dar un heptagon?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Pentagonul are 5 laturi, heptagonul 7.
Ex. 3Dificultate redusă
Un patrulater MNPQ are laturile MN = 5 cm, NP = 3 cm, PQ = 5 cm, QM = 3 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Scrie toate diagonalele care se pot trasa într-un pentagon ABCDE.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
[AC], [AD], [BD], [BE], [CE] (5 diagonale)
Ex. 5Dificultate redusă
Este un poligon cu un unghi de 200° convex sau concav?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Concav: are un unghi mai mare de 180°.
Ex. 6Dificultate medie
Un pentagon regulat are latura de 8 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
5 × 8 = 40 cm
Ex. 7Dificultate medie
Un triunghi MNP are perimetrul de 30 cm. Dacă MN = 11 cm și NP = 10 cm, calculează lungimea laturii PM.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
PM = 30 − 11 − 10 = 9 cm
Ex. 8Dificultate medie
Câte diagonale pornesc dintr-un singur vârf al unui heptagon (poligon cu 7 laturi)?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 (7 − 3)
Ex. 9Dificultate medie
Un hexagon regulat (toate laturile egale) are perimetrul de 48 cm. Calculează lungimea unei laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
48 : 6 = 8 cm
Ex. 10Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, diferența dintre un poligon convex și unul concav.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
La un poligon convex toate unghiurile au sub 180°, iar segmentul dintre oricare două puncte ale lui rămâne în interior. Poligonul concav are cel puțin un unghi mai mare de 180°: o „scobitură”.
Ex. 11Dificultate ridicată
Un poligon are toate laturile egale cu 6 cm, iar perimetrul poligonului este 42 cm. Câte laturi are poligonul? Cum se numește acest tip de poligon?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
7 laturi (42 : 6); este un heptagon.
Ex. 12Dificultate ridicată
Un octogon (poligon cu 8 laturi) are 6 laturi egale cu 3 cm fiecare, iar celelalte 2 laturi egale cu 5 cm fiecare. Calculează perimetrul octogonului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 × 3 + 2 × 5 = 18 + 10 = 28 cm
Ex. 13Dificultate ridicată
Într-un pentagon ABCDE, se trasează toate diagonalele posibile dintr-un singur vârf, A. Aceste diagonale împart pentagonul într-un anumit număr de triunghiuri. Desenează situația și numără câte triunghiuri se formează.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3 triunghiuri: diagonalele [AC] și [AD] împart pentagonul în ABC, ACD și ADE.
Ex. 14Dificultate ridicată
Perimetrul unui triunghi este 48 cm. Laturile triunghiului sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5. Află lungimea fiecărei laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
12 cm, 16 cm și 20 cm (48 : 12 = 4)
Ex. 15Dificultate ridicată
Un poligon regulat (toate laturile și unghiurile egale) are un număr de diagonale, pornind dintr-un singur vârf, egal cu 5. Câte laturi are acest poligon? Justifică folosind formula "n − 3".
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
8 laturi (n − 3 = 5, deci n = 8): octogon.