Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Ce este un poligon și cum se numește
Un poligon este o figură plană închisă, formată din segmente unite cap la cap, care nu se intersectează între ele. Segmentele se numesc laturi, iar punctele în care se unesc se numesc vârfuri. Poligonul se notează cu literele vârfurilor, în ordinea de pe contur: ABCDE.
Poligoanele se denumesc după numărul de laturi: triunghi (3), patrulater (4), pentagon (5), hexagon (6), heptagon (7), octogon (8). Un poligon cu n laturi are tot n vârfuri și n unghiuri.
Unghiurile poligonului sunt cele formate în interior, la fiecare vârf, de cele două laturi care se întâlnesc acolo.
🧮 De ținut minte
n laturi ⇒ n vârfuri ⇒ n unghiuri
pentagon = 5 laturi, hexagon = 6 laturi
✓Figura trebuie să fie închisă: dacă rămâne o „poartă”, nu este poligon.
✓Un poligon este convex dacă toate unghiurile lui sunt mai mici de 180°.
✏️Exemplu rezolvat
Câte laturi are un hexagon și câte vârfuri?
1Numele vine de la numărul de laturi: „hexa” înseamnă șase.
2Într-un poligon, numărul de vârfuri este egal cu numărul de laturi.
3Hexagonul are 6 laturi și 6 vârfuri.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Poligoane: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Un poligon este o linie frântă închisă simplă împreună cu interiorul ei.
Ce este un poligon și cum se numește
Un poligon este o figură plană închisă, formată din segmente unite cap la cap, care nu se intersectează între ele. Segmentele se numesc laturi, iar punctele în care se unesc se numesc vârfuri. Poligonul se notează cu literele vârfurilor, în ordinea de pe contur: ABCDE.
Poligoanele se denumesc după numărul de laturi: triunghi (3), patrulater (4), pentagon (5), hexagon (6), heptagon (7), octogon (8). Un poligon cu n laturi are tot n vârfuri și n unghiuri.
Unghiurile poligonului sunt cele formate în interior, la fiecare vârf, de cele două laturi care se întâlnesc acolo.
n laturi ⇒ n vârfuri ⇒ n unghiuri
pentagon = 5 laturi, hexagon = 6 laturi
•Figura trebuie să fie închisă: dacă rămâne o „poartă”, nu este poligon.
•Un poligon este convex dacă toate unghiurile lui sunt mai mici de 180°.
Exemplu rezolvat
Câte laturi are un hexagon și câte vârfuri?
Numele vine de la numărul de laturi: „hexa” înseamnă șase.
Într-un poligon, numărul de vârfuri este egal cu numărul de laturi.
Hexagonul are 6 laturi și 6 vârfuri.
Diagonalele unui poligon
Diagonala este segmentul care unește două vârfuri neconsecutive, adică două vârfuri care nu sunt vecine pe contur. În poligonul ABCDE, segmentul [AC] este diagonală, dar [AB] nu, fiindcă A și B sunt vecine.
Dintr-un vârf pleacă n − 3 diagonale: nu îl poți uni cu el însuși și nici cu cei doi vecini. De aici, dacă știi câte diagonale pleacă dintr-un vârf, afli numărul de laturi adunând 3.
Numărul total de diagonale se obține înmulțind n cu n − 3 și împărțind la 2, fiindcă fiecare diagonală ar fi numărată de două ori, o dată din fiecare capăt.
dintr-un vârf: n − 3 diagonale
în total: n × (n − 3) : 2
•Triunghiul nu are diagonale: 3 − 3 = 0.
•Pentagonul are 5 × 2 : 2 = 5 diagonale în total.
Exemplu rezolvat · alte date
Dintr-un vârf al unui poligon cu 9 laturi, câte diagonale pleacă?
Nu unim vârful cu el însuși și nu numărăm cele două laturi alăturate.
Din cele 9 vârfuri eliminăm aceste 3 cazuri.
9 − 3 = 6 diagonale.
Poligoane regulate și perimetrul
Perimetrul unui poligon este suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru pentagonul ABCDE, P = AB + BC + CD + DE + EA.
Un poligon este regulat dacă are toate laturile egale și toate unghiurile egale — triunghiul echilateral și pătratul sunt exemplele cele mai cunoscute. La un poligon regulat cu n laturi de lungime a, perimetrul se calculează simplu: P = n × a.
Din aceeași formulă afli latura, dacă știi perimetrul: împarți perimetrul la numărul de laturi.
P = suma laturilor
poligon regulat: P = n × a
a = P : n
•Perimetrul se exprimă în unități de lungime: cm, m, km.
•Toate laturile trebuie aduse la aceeași unitate înainte de adunare.
Exemplu rezolvat
Un hexagon regulat are perimetrul de 48 cm. Cât măsoară o latură?
Hexagonul regulat are 6 laturi egale.
Împărțim perimetrul la numărul de laturi: 48 : 6.
Fiecare latură măsoară 8 cm.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Un pentagon are:
Vezi rezolvarea
Pentagonul este poligonul cu cinci laturi.
Are și cinci vârfuri.
Răspunsul este 5 laturi.
Răspuns: 5 laturi
Exercițiul 2
Câte diagonale pleacă dintr-un vârf al unui octogon?
Vezi rezolvarea
Octogonul are 8 vârfuri.
Calculăm 8 − 3 = 5.
Dintr-un vârf pleacă 5 diagonale.
Răspuns: 5
Exercițiul 3
Care figură este un poligon regulat?
Vezi rezolvarea
Triunghiul echilateral are toate laturile egale.
Toate unghiurile sale sunt de 60°.
Este un poligon regulat.
Răspuns: Un triunghi echilateral
Exercițiul 4
Un patrulater are laturile 4 cm, 7 cm, 6 cm și 5 cm. Află perimetrul.
Vezi rezolvarea
P = 4 + 7 + 6 + 5.
P = 22.
Perimetrul este 22 cm.
Răspuns: 22
Exercițiul 5
O diagonală unește:
Vezi rezolvarea
Latura unește vârfuri consecutive.
Diagonala sare peste cel puțin un vârf.
Ea unește două vârfuri neconsecutive.
Răspuns: Două vârfuri neconsecutive
Exercițiul 6
Un hexagon are:
Vezi rezolvarea
Pentagonul are 5 laturi.
Hexagonul are 6 laturi.
Octogonul are 8 laturi.
Răspuns: 6 laturi
Exercițiul 7
Ce poligon are 4 laturi?
Vezi rezolvarea
Triunghiul are 3 laturi.
Patrulaterul are 4 laturi.
Pentagonul are 5, hexagonul 6.
Răspuns: patrulaterul
Exercițiul 8
Câte diagonale pleacă dintr-un vârf al unui hexagon?
Vezi rezolvarea
Hexagonul are n = 6 vârfuri.
Dintr-un vârf nu ducem diagonale spre el însuși și spre cei doi vecini.
6 − 3 = 3 diagonale.
Răspuns: 3
Exercițiul 9
Un pentagon regulat are latura de 7 cm. Află perimetrul, în centimetri.
Vezi rezolvarea
Perimetrul este suma laturilor.
P = 5 × 7.
P = 35 cm.
Răspuns: 35
Exercițiul 10
Un hexagon regulat are perimetrul de 48 cm. Cât măsoară o latură, în centimetri?
Vezi rezolvarea
Hexagonul regulat are 6 laturi egale.
l = 48 : 6.
l = 8 cm.
Răspuns: 8
Exercițiul 11
Dintr-un vârf al unui poligon pleacă 4 diagonale. Câte laturi are poligonul?
Vezi rezolvarea
n − 3 = 4.
n = 4 + 3 = 7.
Poligonul are 7 laturi (heptagon).
Răspuns: 7
Exercițiul 12
Câte diagonale are, în total, un pentagon?
Vezi rezolvarea
Din fiecare vârf pleacă 5 − 3 = 2 diagonale: 5 × 2 = 10.
Fiecare diagonală a fost numărată de la ambele capete.
Sunt 10 : 2 = 5 diagonale.
Răspuns: 5
Fișă de consolidare din material (15)
1. Dificultate redusă
Desenează un hexagon și notează-l corect, folosind 6 litere pentru vârfuri.
Vezi răspunsul
Un poligon cu 6 laturi, cu vârfurile notate în ordine, de exemplu ABCDEF.
2. Dificultate redusă
Câte laturi are un pentagon? Dar un heptagon?
Vezi răspunsul
Pentagonul are 5 laturi, heptagonul 7.
3. Dificultate redusă
Un patrulater MNPQ are laturile MN = 5 cm, NP = 3 cm, PQ = 5 cm, QM = 3 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsul
5 + 3 + 5 + 3 = 16 cm
4. Dificultate redusă
Scrie toate diagonalele care se pot trasa într-un pentagon ABCDE.
Vezi răspunsul
[AC], [AD], [BD], [BE], [CE] (5 diagonale)
5. Dificultate redusă
Este un poligon cu un unghi de 200° convex sau concav?
Vezi răspunsul
Concav: are un unghi mai mare de 180°.
6. Dificultate medie
Un pentagon regulat are latura de 8 cm. Calculează perimetrul.
Vezi răspunsul
5 × 8 = 40 cm
7. Dificultate medie
Un triunghi MNP are perimetrul de 30 cm. Dacă MN = 11 cm și NP = 10 cm, calculează lungimea laturii PM.
Vezi răspunsul
PM = 30 − 11 − 10 = 9 cm
8. Dificultate medie
Câte diagonale pornesc dintr-un singur vârf al unui heptagon (poligon cu 7 laturi)?
Vezi răspunsul
4 (7 − 3)
9. Dificultate medie
Un hexagon regulat (toate laturile egale) are perimetrul de 48 cm. Calculează lungimea unei laturi.
Vezi răspunsul
48 : 6 = 8 cm
10. Dificultate medie
Explică, cu propriile cuvinte, diferența dintre un poligon convex și unul concav.
Vezi răspunsul
La un poligon convex toate unghiurile au sub 180°, iar segmentul dintre oricare două puncte ale lui rămâne în interior. Poligonul concav are cel puțin un unghi mai mare de 180°: o „scobitură”.
11. Dificultate ridicată
Un poligon are toate laturile egale cu 6 cm, iar perimetrul poligonului este 42 cm. Câte laturi are poligonul? Cum se numește acest tip de poligon?
Vezi răspunsul
7 laturi (42 : 6); este un heptagon.
12. Dificultate ridicată
Un octogon (poligon cu 8 laturi) are 6 laturi egale cu 3 cm fiecare, iar celelalte 2 laturi egale cu 5 cm fiecare. Calculează perimetrul octogonului.
Vezi răspunsul
6 × 3 + 2 × 5 = 18 + 10 = 28 cm
13. Dificultate ridicată
Într-un pentagon ABCDE, se trasează toate diagonalele posibile dintr-un singur vârf, A. Aceste diagonale împart pentagonul într-un anumit număr de triunghiuri. Desenează situația și numără câte triunghiuri se formează.
Vezi răspunsul
3 triunghiuri: diagonalele [AC] și [AD] împart pentagonul în ABC, ACD și ADE.
14. Dificultate ridicată
Perimetrul unui triunghi este 48 cm. Laturile triunghiului sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5. Află lungimea fiecărei laturi.
Vezi răspunsul
12 cm, 16 cm și 20 cm (48 : 12 = 4)
15. Dificultate ridicată
Un poligon regulat (toate laturile și unghiurile egale) are un număr de diagonale, pornind dintr-un singur vârf, egal cu 5. Câte laturi are acest poligon? Justifică folosind formula "n − 3".