Teorie înainte de exerciții
Triunghiuri
Triunghiul este poligonul cu trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri.
Figura de referință
Citește desenul înainte de formule
Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.
Clasificarea după laturi
Triunghiul este poligonul cu 3 laturi, 3 vârfuri și 3 unghiuri. Se notează prin vârfurile lui: triunghiul ABC, cu laturile [AB], [BC], [CA].
După lungimea laturilor, triunghiurile sunt: scalen (sau oarecare), cu toate laturile diferite; isoscel, cu două laturi egale, numite laturi congruente, a treia fiind baza; echilateral, cu toate cele trei laturi egale.
Perimetrul unui triunghi este suma laturilor: P = AB + BC + CA. Pentru un triunghi echilateral cu latura a, perimetrul este 3 × a.
- Orice triunghi echilateral este și isoscel, dar nu invers.
- La un triunghi isoscel, perimetrul este baza plus de două ori latura egală.
Exemplu rezolvat
Un triunghi isoscel are baza de 6 cm, iar fiecare dintre laturile egale are 8 cm. Află perimetrul.
- 1.Laturile triunghiului sunt 8 cm, 8 cm și 6 cm.
- 2.Adunăm: 8 + 8 = 16, apoi 16 + 6.
- 3.Perimetrul este 22 cm.
Clasificarea după unghiuri
După măsura unghiurilor, triunghiurile sunt: ascuțitunghice, cu toate cele trei unghiuri mai mici de 90°; dreptunghice, cu un unghi exact de 90°; obtuzunghice, cu un unghi mai mare de 90°.
Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept, cea mai lungă, se numește ipotenuză.
Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două obtuze, fiindcă suma lor ar depăși 180°.
- Clasificarea după laturi și cea după unghiuri se pot combina: există triunghi dreptunghic isoscel.
- Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă a triunghiului dreptunghic.
Exemplu rezolvat
Un triunghi are unghiurile de 30°, 40° și 110°. Ce fel de triunghi este, după unghiuri?
- 1.Verificăm suma: 30 + 40 + 110 = 180°, deci datele sunt corecte.
- 2.Unghiul de 110° este mai mare decât 90°.
- 3.Triunghiul este obtuzunghic.
Suma unghiurilor unui triunghi
În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este întotdeauna 180°. De aceea, dacă știi două unghiuri, al treilea se află scăzând din 180°.
Din această regulă rezultă câteva cazuri utile: fiecare unghi al unui triunghi echilateral are 60°, iar într-un triunghi dreptunghic cele două unghiuri ascuțite însumează 90°.
La un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale între ele, deci se află scăzând unghiul de la vârf din 180° și împărțind rezultatul la 2.
- Dacă suma unghiurilor date depășește 180°, problema nu are soluție.
- Unghiurile egale se află întotdeauna în fața laturilor egale.
Exemplu rezolvat
Un triunghi isoscel are unghiul dintre laturile egale de 40°. Cât măsoară fiecare unghi de la bază?
- 1.Cele două unghiuri de la bază sunt egale între ele.
- 2.Împreună au 180° − 40° = 140°.
- 3.Fiecare are 140° : 2 = 70°.
Când trei segmente formează un triunghi
Nu orice trei segmente pot fi laturile unui triunghi. Condiția este ca fiecare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două — altfel cele două laturi scurte nu ajung să se întâlnească.
Este de ajuns să verifici latura cea mai lungă: dacă ea este mai mică decât suma celorlalte două, triunghiul există. Segmentele de 2 cm, 3 cm și 6 cm nu formează triunghi, fiindcă 2 + 3 = 5 < 6.
- Verifică doar latura cea mai mare; celelalte condiții se îndeplinesc automat.
- Dacă suma este exact egală cu latura mare, punctele sunt coliniare, deci tot nu există triunghi.
Exemplu rezolvat
Pot forma un triunghi segmentele de 2 cm, 3 cm și 6 cm?
- 1.Cea mai lungă latură este 6 cm.
- 2.Suma celorlalte două este 2 + 3 = 5 cm.
- 3.Cum 5 < 6, laturile nu se pot întâlni, deci triunghiul nu există.
Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții
Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.
- Ex. 1Dificultate redusă
Desenează un triunghi MNP și notează elementele lui (laturi, vârfuri, unghiuri).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Vârfurile M, N, P; laturile [MN], [NP], [PM]; unghiurile ∠NMP, ∠MNP, ∠MPN.
- Ex. 2Dificultate redusă
Un triunghi are laturile 6 cm, 6 cm, 6 cm. Ce fel de triunghi este, după laturi?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Echilateral (toate laturile egale).
- Ex. 3Dificultate redusă
Un triunghi are unghiurile de 90°, 30°, 60°. Ce fel de triunghi este, după unghiuri?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Dreptunghic (are un unghi de 90°).
- Ex. 4Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui triunghi cu laturile de 4 cm, 7 cm și 8 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
4 + 7 + 8 = 19 cm
- Ex. 5Dificultate redusă
Un triunghi are două unghiuri de 55° fiecare. Calculează măsura celui de-al treilea unghi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
180° − 2 × 55° = 70°
- Ex. 6Dificultate medie
Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de 50°. Calculează măsurile celorlalte două unghiuri (care sunt egale).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(180° − 50°) : 2 = 65° fiecare
- Ex. 7Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de 42°. Calculează măsura celuilalt unghi ascuțit.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90° − 42° = 48°
- Ex. 8Dificultate medie
Un triunghi echilateral are perimetrul de 33 cm. Calculează lungimea unei laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
33 : 3 = 11 cm
- Ex. 9Dificultate medie
Un triunghi isoscel are perimetrul 38 cm, iar baza are 14 cm. Calculează lungimea celorlalte două laturi (egale).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
(38 − 14) : 2 = 12 cm fiecare
- Ex. 10Dificultate medie
Un triunghi are laturile exprimate ca x, x + 3 și x + 6, iar perimetrul este 33 cm. Află valoarea lui x și lungimile celor trei laturi.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
3x + 9 = 33, deci x = 8; laturile au 8 cm, 11 cm și 14 cm.
- Ex. 11Dificultate ridicată
Într-un triunghi ABC, m(∢A) este de 2 ori mai mare decât m(∢B), iar m(∢C) este de 4 ori mai mare decât m(∢B). Află măsurile celor trei unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
x + 2x + 4x = 180°, deci m(∢B) = 180°/7 ≈ 25,7°, m(∢A) = 360°/7 ≈ 51,4°, m(∢C) = 720°/7 ≈ 102,9°. Rezultatele nu sunt numere întregi de grade.
- Ex. 12Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel are unghiul de la bază cu 20° mai mare decât unghiul de la vârf. Află măsurile celor trei unghiuri.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
v + 2(v + 20°) = 180°, deci v = 140°/3 ≈ 46,7° la vârf și 200°/3 ≈ 66,7° la fiecare bază. Rezultatele nu sunt numere întregi de grade.
- Ex. 13Dificultate ridicată
Perimetrul unui triunghi isoscel este 46 cm. Latura de la bază este cu 5 cm mai mică decât fiecare dintre celelalte două laturi egale. Află lungimile tuturor laturilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
17 cm, 17 cm și 12 cm (2x + x − 5 = 46, deci x = 17)
- Ex. 14Dificultate ridicată
Într-un triunghi dreptunghic, unul dintre unghiurile ascuțite este de 2 ori mai mare decât celălalt unghi ascuțit. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri ale triunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
90°, 60° și 30° (x + 2x = 90°)
- Ex. 15Dificultate ridicată
Laturile unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5, iar perimetrul triunghiului este 60 cm. Află lungimea fiecărei laturi, folosind metoda proporțiilor.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
15 cm, 20 cm și 25 cm (60 : 12 = 5)