Citește regula și exemplul acestei părți, apoi aplică-le în exerciții. Poți reveni oricând la aceeași explicație.
Clasificarea după laturi
Triunghiul este poligonul cu 3 laturi, 3 vârfuri și 3 unghiuri. Se notează prin vârfurile lui: triunghiul ABC, cu laturile [AB], [BC], [CA].
După lungimea laturilor, triunghiurile sunt: scalen (sau oarecare), cu toate laturile diferite; isoscel, cu două laturi egale, numite laturi congruente, a treia fiind baza; echilateral, cu toate cele trei laturi egale.
Perimetrul unui triunghi este suma laturilor: P = AB + BC + CA. Pentru un triunghi echilateral cu latura a, perimetrul este 3 × a.
🧮 De ținut minte
P = AB + BC + CA
echilateral: P = 3 × a
isoscel: două laturi egale + bază
✓Orice triunghi echilateral este și isoscel, dar nu invers.
✓La un triunghi isoscel, perimetrul este baza plus de două ori latura egală.
✏️Exemplu rezolvat
Un triunghi isoscel are baza de 6 cm, iar fiecare dintre laturile egale are 8 cm. Află perimetrul.
1Laturile triunghiului sunt 8 cm, 8 cm și 6 cm.
2Adunăm: 8 + 8 = 16, apoi 16 + 6.
3Perimetrul este 22 cm.
📖Deschide toată lecțiaÎnchide lecția completăTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare⌄
Toată lecția pe o pagină
Triunghiuri: teorie, exemple și exerciții rezolvate
Triunghiul este poligonul cu trei laturi, trei vârfuri și trei unghiuri.
Clasificarea după laturi
Triunghiul este poligonul cu 3 laturi, 3 vârfuri și 3 unghiuri. Se notează prin vârfurile lui: triunghiul ABC, cu laturile [AB], [BC], [CA].
După lungimea laturilor, triunghiurile sunt: scalen (sau oarecare), cu toate laturile diferite; isoscel, cu două laturi egale, numite laturi congruente, a treia fiind baza; echilateral, cu toate cele trei laturi egale.
Perimetrul unui triunghi este suma laturilor: P = AB + BC + CA. Pentru un triunghi echilateral cu latura a, perimetrul este 3 × a.
P = AB + BC + CA
echilateral: P = 3 × a
isoscel: două laturi egale + bază
•Orice triunghi echilateral este și isoscel, dar nu invers.
•La un triunghi isoscel, perimetrul este baza plus de două ori latura egală.
Exemplu rezolvat
Un triunghi isoscel are baza de 6 cm, iar fiecare dintre laturile egale are 8 cm. Află perimetrul.
Laturile triunghiului sunt 8 cm, 8 cm și 6 cm.
Adunăm: 8 + 8 = 16, apoi 16 + 6.
Perimetrul este 22 cm.
Clasificarea după unghiuri
După măsura unghiurilor, triunghiurile sunt: ascuțitunghice, cu toate cele trei unghiuri mai mici de 90°; dreptunghice, cu un unghi exact de 90°; obtuzunghice, cu un unghi mai mare de 90°.
Într-un triunghi dreptunghic, laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept, cea mai lungă, se numește ipotenuză.
Un triunghi nu poate avea două unghiuri drepte sau două obtuze, fiindcă suma lor ar depăși 180°.
ascuțitunghic: toate unghiurile < 90°
dreptunghic: un unghi = 90°
obtuzunghic: un unghi > 90°
•Clasificarea după laturi și cea după unghiuri se pot combina: există triunghi dreptunghic isoscel.
•Ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă a triunghiului dreptunghic.
Exemplu rezolvat
Un triunghi are unghiurile de 30°, 40° și 110°. Ce fel de triunghi este, după unghiuri?
Verificăm suma: 30 + 40 + 110 = 180°, deci datele sunt corecte.
Unghiul de 110° este mai mare decât 90°.
Triunghiul este obtuzunghic.
Suma unghiurilor unui triunghi
În orice triunghi, suma măsurilor celor trei unghiuri este întotdeauna 180°. De aceea, dacă știi două unghiuri, al treilea se află scăzând din 180°.
Din această regulă rezultă câteva cazuri utile: fiecare unghi al unui triunghi echilateral are 60°, iar într-un triunghi dreptunghic cele două unghiuri ascuțite însumează 90°.
La un triunghi isoscel, unghiurile de la bază sunt egale între ele, deci se află scăzând unghiul de la vârf din 180° și împărțind rezultatul la 2.
m(∢A) + m(∢B) + m(∢C) = 180°
echilateral: fiecare unghi = 60°
dreptunghic: cele două unghiuri ascuțite fac 90°
•Dacă suma unghiurilor date depășește 180°, problema nu are soluție.
•Unghiurile egale se află întotdeauna în fața laturilor egale.
Exemplu rezolvat
Un triunghi isoscel are unghiul dintre laturile egale de 40°. Cât măsoară fiecare unghi de la bază?
Cele două unghiuri de la bază sunt egale între ele.
Împreună au 180° − 40° = 140°.
Fiecare are 140° : 2 = 70°.
Când trei segmente formează un triunghi
Nu orice trei segmente pot fi laturile unui triunghi. Condiția este ca fiecare latură să fie mai mică decât suma celorlalte două — altfel cele două laturi scurte nu ajung să se întâlnească.
Este de ajuns să verifici latura cea mai lungă: dacă ea este mai mică decât suma celorlalte două, triunghiul există. Segmentele de 2 cm, 3 cm și 6 cm nu formează triunghi, fiindcă 2 + 3 = 5 < 6.
a < b + c, b < a + c, c < a + b
2 + 3 < 6 ⇒ nu există triunghi
•Verifică doar latura cea mai mare; celelalte condiții se îndeplinesc automat.
•Dacă suma este exact egală cu latura mare, punctele sunt coliniare, deci tot nu există triunghi.
Exemplu rezolvat · alte date
Pot forma un triunghi segmentele de 4, 7 și 10 cm?
Verificăm că suma celor două lungimi mai mici depășește lungimea cea mai mare.
4 + 7 = 11 > 10.
Da; și celelalte două inegalități sunt satisfăcute: 4 + 10 > 7, 7 + 10 > 4.
Exerciții rezolvate din lecție (12)
Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.
Exercițiul 1
Două unghiuri ale unui triunghi sunt 50° și 60°. Află al treilea unghi.
Vezi rezolvarea
50° + 60° = 110°.
180° − 110° = 70°.
Al treilea unghi este 70°.
Răspuns: 70
Exercițiul 2
Un triunghi cu laturile 5 cm, 5 cm și 8 cm este:
Vezi rezolvarea
Două laturi au lungimea 5 cm.
Un triunghi cu două laturi egale este isoscel.
Răspunsul este isoscel.
Răspuns: isoscel
Exercițiul 3
Un triunghi care are un unghi de 90° este:
Vezi rezolvarea
Un unghi de 90° este drept.
Triunghiul care îl conține este dreptunghic.
Răspunsul este dreptunghic.
Răspuns: dreptunghic
Exercițiul 4
Cât măsoară fiecare unghi al unui triunghi echilateral?
Vezi rezolvarea
180° se împarte în trei unghiuri egale.
180° : 3 = 60°.
Fiecare unghi măsoară 60°.
Răspuns: 60
Exercițiul 5
Pot forma un triunghi segmentele de 2 cm, 3 cm și 6 cm?
Vezi rezolvarea
Verificăm cele două laturi mai mici.
2 + 3 = 5, iar 5 nu este mai mare decât 6.
Segmentele nu pot forma un triunghi.
Răspuns: Nu
Exercițiul 6
Două unghiuri ale unui triunghi au 45° și 75°. Cât măsoară al treilea unghi, în grade?
Vezi rezolvarea
45° + 75° = 120°.
180° − 120° = 60°.
Al treilea unghi are 60°.
Răspuns: 60
Exercițiul 7
Un triunghi are toate laturile de 6 cm. După laturi, el este:
Vezi rezolvarea
Triunghiul cu toate laturile egale este echilateral.
Obtuzunghic și dreptunghic sunt denumiri după unghiuri.
Răspunsul este echilateral.
Răspuns: echilateral
Exercițiul 8
Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de 35°. Cât măsoară celălalt unghi ascuțit, în grade?
Vezi rezolvarea
Suma unghiurilor este 180°, iar unul are 90°.
Celelalte două au împreună 90°.
90° − 35° = 55°.
Răspuns: 55
Exercițiul 9
Un triunghi are unghiurile de 30°, 40° și 110°. După unghiuri, el este:
Vezi rezolvarea
110° este mai mare decât 90°, deci este unghi obtuz.
Un triunghi cu un unghi obtuz este obtuzunghic.
Răspunsul este obtuzunghic.
Răspuns: obtuzunghic
Exercițiul 10
Un triunghi isoscel are unghiul dintre laturile egale de 40°. Cât măsoară fiecare unghi de la bază, în grade?
Vezi rezolvarea
Pentru cele două unghiuri de la bază rămân 180° − 40° = 140°.
Ele sunt egale.
Fiecare are 140° : 2 = 70°.
Răspuns: 70
Exercițiul 11
Un triunghi isoscel are baza de 6 cm, iar fiecare dintre laturile egale are 8 cm. Află perimetrul, în centimetri.
Vezi rezolvarea
Laturile sunt 8 cm, 8 cm și 6 cm.
P = 8 + 8 + 6.
P = 22 cm.
Răspuns: 22
Exercițiul 12
Care trei segmente pot forma un triunghi?
Vezi rezolvarea
5 < 3 + 4, deci 3, 4, 5 formează triunghi.
3 = 1 + 2, 5 > 2 + 2 și 7 > 1 + 4: segmentele nu se pot închide.
Răspunsul este 3 cm, 4 cm, 5 cm.
Răspuns: 3 cm, 4 cm, 5 cm
Fișă de consolidare din material (15)
1. Dificultate redusă
Desenează un triunghi MNP și notează elementele lui (laturi, vârfuri, unghiuri).
Vezi răspunsul
Vârfurile M, N, P; laturile [MN], [NP], [PM]; unghiurile ∠NMP, ∠MNP, ∠MPN.
2. Dificultate redusă
Un triunghi are laturile 6 cm, 6 cm, 6 cm. Ce fel de triunghi este, după laturi?
Vezi răspunsul
Echilateral (toate laturile egale).
3. Dificultate redusă
Un triunghi are unghiurile de 90°, 30°, 60°. Ce fel de triunghi este, după unghiuri?
Vezi răspunsul
Dreptunghic (are un unghi de 90°).
4. Dificultate redusă
Calculează perimetrul unui triunghi cu laturile de 4 cm, 7 cm și 8 cm.
Vezi răspunsul
4 + 7 + 8 = 19 cm
5. Dificultate redusă
Un triunghi are două unghiuri de 55° fiecare. Calculează măsura celui de-al treilea unghi.
Vezi răspunsul
180° − 2 × 55° = 70°
6. Dificultate medie
Un triunghi isoscel are unghiul de la vârf de 50°. Calculează măsurile celorlalte două unghiuri (care sunt egale).
Vezi răspunsul
(180° − 50°) : 2 = 65° fiecare
7. Dificultate medie
Un triunghi dreptunghic are un unghi ascuțit de 42°. Calculează măsura celuilalt unghi ascuțit.
Vezi răspunsul
90° − 42° = 48°
8. Dificultate medie
Un triunghi echilateral are perimetrul de 33 cm. Calculează lungimea unei laturi.
Vezi răspunsul
33 : 3 = 11 cm
9. Dificultate medie
Un triunghi isoscel are perimetrul 38 cm, iar baza are 14 cm. Calculează lungimea celorlalte două laturi (egale).
Vezi răspunsul
(38 − 14) : 2 = 12 cm fiecare
10. Dificultate medie
Un triunghi are laturile exprimate ca x, x + 3 și x + 6, iar perimetrul este 33 cm. Află valoarea lui x și lungimile celor trei laturi.
Vezi răspunsul
3x + 9 = 33, deci x = 8; laturile au 8 cm, 11 cm și 14 cm.
11. Dificultate ridicată
Într-un triunghi ABC, m(∢A) este de 2 ori mai mare decât m(∢B), iar m(∢C) este de 4 ori mai mare decât m(∢B). Află măsurile celor trei unghiuri.
Vezi răspunsul
x + 2x + 4x = 180°, deci m(∢B) = 180°7 ≈ 25,7°, m(∢A) = 360°7 ≈ 51,4°, m(∢C) = 720°7 ≈ 102,9°. Rezultatele nu sunt numere întregi de grade.
12. Dificultate ridicată
Un triunghi isoscel are unghiul de la bază cu 20° mai mare decât unghiul de la vârf. Află măsurile celor trei unghiuri.
Vezi răspunsul
v + 2(v + 20°) = 180°, deci v = 140°3 ≈ 46,7° la vârf și 200°3 ≈ 66,7° la fiecare bază. Rezultatele nu sunt numere întregi de grade.
13. Dificultate ridicată
Perimetrul unui triunghi isoscel este 46 cm. Latura de la bază este cu 5 cm mai mică decât fiecare dintre celelalte două laturi egale. Află lungimile tuturor laturilor.
Vezi răspunsul
17 cm, 17 cm și 12 cm (2x + x − 5 = 46, deci x = 17)
14. Dificultate ridicată
Într-un triunghi dreptunghic, unul dintre unghiurile ascuțite este de 2 ori mai mare decât celălalt unghi ascuțit. Află măsurile tuturor celor trei unghiuri ale triunghiului.
Vezi răspunsul
90°, 60° și 30° (x + 2x = 90°)
15. Dificultate ridicată
Laturile unui triunghi sunt direct proporționale cu numerele 3, 4 și 5, iar perimetrul triunghiului este 60 cm. Află lungimea fiecărei laturi, folosind metoda proporțiilor.