Perimetre și arii

Perimetrul măsoară lungimea conturului, iar aria măsoară suprafața din interiorul unei figuri.

Parcurge exemplul pas cu pas, apoi încearcă exercițiile fără să sari direct la răspuns.

Figura de referință

Citește desenul înainte de formule

Desenul explică relațiile din lecție. La exerciții folosește datele enunțului; nu măsura lungimile pe ecran.

Conturul dreptunghiului dă perimetrul, iar suprafața colorată reprezintă aria.

Perimetrul pătratului și al dreptunghiului

Perimetrul este lungimea conturului unei figuri, adică suma laturilor ei. Pătratul are toate cele patru laturi egale, deci perimetrul lui este de patru ori latura: P = 4 × l.

Dreptunghiul are laturile egale două câte două, o lungime L și o lățime l, deci perimetrul este P = 2 × (L + l).

Formulele merg și invers: dacă știi perimetrul unui pătrat, afli latura împărțind la 4.

P pătrat = 4 × l

P dreptunghi = 2 × (L + l)

l = P : 4

Perimetrul se exprimă în unități de lungime: cm, m, km.
Când problema cere gard, sârmă sau ramă, se calculează perimetrul.

Exemplu rezolvat

Un pătrat are perimetrul de 28 cm. Cât măsoară latura?

1.Pătratul are patru laturi egale, deci P = 4 × l.
2.Înlocuim: 28 = 4 × l.
3.Rezultă l = 28 : 4 = 7 cm.

Aria pătratului și a dreptunghiului

Aria este mărimea suprafeței cuprinse în interiorul figurii, adică numărul de pătrățele de o unitate care încap în ea. Pentru dreptunghi, aria este produsul dintre lungime și lățime: A = L × l.

Pătratul este un dreptunghi cu toate laturile egale, deci aria lui este A = l × l, adică l².

Și aici formulele funcționează invers: dacă știi aria unui dreptunghi și una dintre laturi, împarți aria la acea latură și obții cealaltă latură.

A pătrat = l × l = l²

A dreptunghi = L × l

l = A : L

Aria se exprimă în unități pătrate: cm², m², km².
Când problema cere vopsea, gazon, gresie sau covor, se calculează aria.

Exemplu rezolvat

Un dreptunghi are aria de 48 cm² și lungimea de 8 cm. Cât măsoară lățimea?

1.Pornim de la formula ariei: A = L × l, deci 48 = 8 × l.
2.Împărțim aria la lungime: 48 : 8.
3.Lățimea este 6 cm.

Aria triunghiului

Aria unui triunghi este jumătate din produsul dintre o latură, numită bază, și înălțimea corespunzătoare ei: A = b × h : 2.

Înălțimea este distanța de la vârful opus până la bază, măsurată perpendicular pe bază. Formula se înțelege ușor: orice triunghi este jumătate dintr-un dreptunghi cu aceeași bază și aceeași înălțime.

A triunghi = b × h : 2

b = 2 × A : h

Înălțimea trebuie să fie perpendiculară pe baza aleasă, nu o latură oarecare.
Nu uita împărțirea la 2 — este greșeala cea mai frecventă.

Exemplu rezolvat

Un triunghi are baza de 14 cm și înălțimea corespunzătoare de 5 cm. Află aria.

1.Înmulțim baza cu înălțimea: 14 × 5 = 70.
2.Împărțim rezultatul la 2: 70 : 2.
3.Aria este 35 cm².

Unitățile de măsură și transformările

Perimetrul și aria nu se măsoară la fel: perimetrul se exprimă în unități de lungime, iar aria în unități pătrate. O cameră are perimetrul în metri și aria în metri pătrați.

Înainte de orice calcul, toate lungimile trebuie aduse la aceeași unitate. Dacă un dreptunghi are lungimea de 2 m și lățimea de 50 cm, transformi întâi metrii în centimetri: 2 m = 200 cm.

1 m = 100 cm

1 m² = 10 000 cm²

perimetru în cm, arie în cm²

La arii, o treaptă schimbă valoarea de 100 de ori, nu de 10.
Scrie unitatea la fiecare rezultat; așa observi imediat dacă ai confundat aria cu perimetrul.

Exemplu rezolvat

Un dreptunghi are lungimea de 2 m și lățimea de 50 cm. Află perimetrul, în centimetri.

1.Transformăm lungimea în centimetri: 2 m = 200 cm.
2.Aplicăm formula: P = 2 × (200 + 50) = 2 × 250.
3.Perimetrul este 500 cm, adică 5 m.

Verifică-te singur · cu răspunsuriFișă de consolidare din material · 15 exerciții

Rezolvă pe caiet, apoi apasă „Vezi răspunsul” ca să te verifici.

Ex. 1Dificultate redusă
Calculează perimetrul și aria unui pătrat cu latura de 9 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P = 4 × 9 = 36 cm; A = 9 × 9 = 81 cm².
Ex. 2Dificultate redusă
Calculează perimetrul și aria unui dreptunghi cu lungimea 12 cm și lățimea 5 cm.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P = 2 × (12 + 5) = 34 cm; A = 12 × 5 = 60 cm².
Ex. 3Dificultate redusă
Un pătrat are perimetrul 28 cm. Calculează lungimea laturii.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
28 : 4 = 7 cm
Ex. 4Dificultate redusă
Un dreptunghi are lungimea 14 cm și lățimea 7 cm. Calculează diferența dintre perimetru și arie (fără a compara unitățile de măsură, doar valorile numerice).
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
P = 42, A = 98; aria este mai mare cu 98 − 42 = 56.
Ex. 5Dificultate redusă
Care este unitatea de măsură pentru arie, dacă lungimile sunt exprimate în centimetri?
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Centimetrul pătrat (cm²).
Ex. 6Dificultate medie
Un dreptunghi are aria 54 cm² și lungimea 9 cm. Calculează lățimea și apoi perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lățimea: 54 : 9 = 6 cm; P = 2 × (9 + 6) = 30 cm.
Ex. 7Dificultate medie
Un pătrat are aria 81 cm². Calculează lungimea laturii și perimetrul.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Latura 9 cm (9 × 9 = 81); P = 36 cm.
Ex. 8Dificultate medie
O cameră dreptunghiulară are lungimea 6 m și lățimea 4 m. Calculează câți metri pătrați de gresie sunt necesari pentru pardoseală.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
6 × 4 = 24 m²
Ex. 9Dificultate medie
Un teren dreptunghiular are perimetrul 72 m, iar lungimea este de 2 ori mai mare decât lățimea. Calculează lungimea și lățimea terenului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lățimea 12 m, lungimea 24 m (2 × (2l + l) = 72, deci 6l = 72).
Ex. 10Dificultate medie
Un pătrat și un dreptunghi au aceeași arie, de 48 cm². Dacă dreptunghiul are lungimea 12 cm, calculează lățimea dreptunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
48 : 12 = 4 cm
Ex. 11Dificultate ridicată
O curte dreptunghiulară are lungimea 24 m și lățimea 14 m. În mijlocul ei se amenajează o alee pătrată cu latura de 5 m, pavată cu piatră. Calculează aria curții rămase neacoperită de alee.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
24 × 14 − 5 × 5 = 336 − 25 = 311 m²
Ex. 12Dificultate ridicată
Un teren pătrat este împărțit în 4 loturi dreptunghiulare egale, prin două linii care trec prin mijloacele laturilor opuse. Dacă latura terenului pătrat este 24 m, calculează aria unui singur lot dreptunghiular.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Fiecare lot are 12 m pe 12 m, deci aria 144 m² (576 : 4).
Ex. 13Dificultate ridicată
Perimetrul unui dreptunghi este 42 cm, iar lungimea este cu 7 cm mai mare decât lățimea. Calculează aria dreptunghiului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Lățimea 7 cm, lungimea 14 cm (2l + 7 = 21); A = 98 cm².
Ex. 14Dificultate ridicată
Un gazon dreptunghiular are lungimea 22 m și lățimea 12 m. Se dorește împrejmuirea lui cu gard, cu excepția unei porți late de 3 m, lăsată liberă. Calculează lungimea totală a gardului necesar.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
2 × (22 + 12) − 3 = 68 − 3 = 65 m
Ex. 15Dificultate ridicată
Aria unui pătrat este egală cu aria unui dreptunghi cu lungimea 25 cm și lățimea 4 cm. Calculează latura pătratului, apoi calculează cu cât este mai mare perimetrul dreptunghiului față de perimetrul pătratului.
Vezi răspunsulAscunde răspunsul
Aria = 25 × 4 = 100 cm², deci latura pătratului este 10 cm. Perimetrele: 58 cm și 40 cm, deci cu 18 cm mai mare.