Încărcăm partea curentă…

Operații cu numere naturale

Adunarea și scăderea

Adunarea unește două sau mai multe numere într-unul singur, numit sumă: în a + b = s, numerele a și b se numesc termeni. Ordinea termenilor nu contează (12 + 8 = 8 + 12), gruparea lor nu contează (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2), iar adunarea lui 0 lasă numărul neschimbat.

Scăderea arată cu cât este un număr mai mare decât altul: în a − b = d, numărul a este descăzutul, b este scăzătorul, iar d este diferența. În mulțimea numerelor naturale, scăderea se poate face doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul, deci 8 − 15 nu se poate efectua.

Orice scădere se verifică prin adunare: dacă a − b = d, atunci d + b = a. Pentru 47 − 12 = 35 verificarea este 35 + 12 = 47.

De ținut minte

a + b = b + a
(a + b) + c = a + (b + c)
a − b = d ⇔ d + b = a
  • Adunarea și scăderea se scriu una sub alta, cu ordinele aliniate.
  • La scăderea cu împrumut, verifică întotdeauna rezultatul prin adunare.

Exemplu rezolvat

Calculează 452 − 187 și verifică rezultatul.

  1. 1Scădem unitățile cu împrumut: 12 − 7 = 5, apoi zecile: 14 − 8 = 6.
  2. 2Scădem sutele: 3 − 1 = 2, deci diferența este 265.
  3. 3Verificăm prin adunare: 265 + 187 = 452.
Deschide toată lecțiaTeorie, exemple și exerciții rezolvate · pentru recapitulare

Toată lecția pe o pagină

Operații cu numere naturale: teorie, exemple și exerciții rezolvate

Cele patru operații de bază ne ajută să combinăm, comparăm, repetăm și grupăm cantități.

Adunarea și scăderea

Adunarea unește două sau mai multe numere într-unul singur, numit sumă: în a + b = s, numerele a și b se numesc termeni. Ordinea termenilor nu contează (12 + 8 = 8 + 12), gruparea lor nu contează (5 + 3) + 2 = 5 + (3 + 2), iar adunarea lui 0 lasă numărul neschimbat.

Scăderea arată cu cât este un număr mai mare decât altul: în a − b = d, numărul a este descăzutul, b este scăzătorul, iar d este diferența. În mulțimea numerelor naturale, scăderea se poate face doar dacă descăzutul este mai mare sau egal cu scăzătorul, deci 8 − 15 nu se poate efectua.

Orice scădere se verifică prin adunare: dacă a − b = d, atunci d + b = a. Pentru 47 − 12 = 35 verificarea este 35 + 12 = 47.

  • a + b = b + a
  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • a − b = d ⇔ d + b = a
  • Adunarea și scăderea se scriu una sub alta, cu ordinele aliniate.
  • La scăderea cu împrumut, verifică întotdeauna rezultatul prin adunare.

Exemplu rezolvat

Calculează 452 − 187 și verifică rezultatul.

  1. Scădem unitățile cu împrumut: 12 − 7 = 5, apoi zecile: 14 − 8 = 6.
  2. Scădem sutele: 3 − 1 = 2, deci diferența este 265.
  3. Verificăm prin adunare: 265 + 187 = 452.

Înmulțirea și proprietățile ei

Înmulțirea este o adunare repetată: 6 × 4 înseamnă 6 + 6 + 6 + 6 = 24. În a × b = p, numerele a și b se numesc factori, iar p este produsul.

Ordinea factorilor nu schimbă produsul, gruparea lor nu îl schimbă nici ea, înmulțirea cu 1 lasă numărul neschimbat, iar înmulțirea cu 0 dă întotdeauna 0.

Distributivitatea este proprietatea care ajută cel mai mult la calculul rapid: a × (b + c) = a × b + a × c. Așa poți calcula 48 × 125 ca 48 × 100 + 48 × 25, fără să scrii înmulțirea în coloană.

  • a × b = b × a
  • a × (b + c) = a × b + a × c
  • a × (b − c) = a × b − a × c
  • Înmulțirea cu 10, 100 sau 1 000 adaugă zerouri la dreapta numărului.
  • Descompune un factor în sumă sau diferență ca să calculezi mai ușor: 25 × 12 = 25 × 10 + 25 × 2.

Exemplu rezolvat

Calculează 3 × (4 + 5) în două feluri.

  1. Prima cale: calculăm întâi paranteza, 4 + 5 = 9, apoi 3 × 9 = 27.
  2. A doua cale, prin distributivitate: 3 × 4 + 3 × 5 = 12 + 15.
  3. Ambele dau 27, deci proprietatea se verifică.

Împărțirea exactă

Împărțirea arată de câte ori încape un număr în altul. În a : b = c, numărul a este deîmpărțitul, b este împărțitorul, iar c este câtul. O împărțire este exactă atunci când nu rămâne rest.

Rezultatul se verifică prin înmulțire: 36 : 4 = 9, fiindcă 9 × 4 = 36. Aceeași legătură te ajută să afli un număr necunoscut: dacă x : 7 = 18, atunci x = 18 × 7 = 126.

Împărțirea la 0 nu se poate face niciodată: nu există niciun număr care înmulțit cu 0 să dea un rezultat diferit de 0.

  • a : b = c ⇔ c × b = a
  • x : 7 = 18 → x = 126
  • Împărțirea nu este comutativă: 36 : 4 nu este același lucru cu 4 : 36.
  • Ca să afli deîmpărțitul, înmulțești câtul cu împărțitorul.

Exemplu rezolvat

Calculează 1 728 : 12 și verifică.

  1. Împărțim pe grupe: 17 : 12 = 1, rest 5, coborâm 2 și obținem 52 : 12 = 4, rest 4.
  2. Coborâm ultima cifră: 48 : 12 = 4, deci câtul este 144.
  3. Verificare: 144 × 12 = 1 728.

Împărțirea cu rest

Nu toate împărțirile sunt exacte. Când deîmpărțitul nu se împarte exact, rămâne un rest, iar legătura dintre numere este a = b × c + r, unde restul r este întotdeauna mai mic decât împărțitorul b.

Pentru 29 : 4 căutăm cel mai mare produs al lui 4 care nu depășește 29: 4 × 7 = 28. Câtul este 7, iar restul este 29 − 28 = 1, deci scriem 29 = 4 × 7 + 1.

Aceeași relație se folosește invers: dacă știi împărțitorul, câtul și restul, afli deîmpărțitul înmulțind și adunând.

  • a = b × c + r, cu 0 ≤ r < b
  • 29 = 4 × 7 + 1
  • Dacă restul iese mai mare decât împărțitorul, câtul a fost luat prea mic.
  • Resturile posibile la împărțirea cu 7 sunt doar 0, 1, 2, 3, 4, 5 și 6.

Exemplu rezolvat · alte date

La împărțirea unui număr la 7 obținem câtul 31 și restul 5. Reconstruiește numărul.

  1. Folosim număr = împărțitor × cât + rest.
  2. 7 × 31 + 5 = 217 + 5.
  3. Numărul este 222; restul 5 este mai mic decât 7.

Exerciții rezolvate din lecție (12)

Încearcă singur fiecare exercițiu, apoi deschide rezolvarea ca să te verifici.

  1. Exercițiul 1

    Calculează 28 475 + 6 908.

    Vezi rezolvarea
    1. Adunăm unitățile, zecile, sutele și miile.
    2. 28 475 + 6 908 = 35 383.
    3. Răspunsul este 35 383.

    Răspuns: 35383

  2. Exercițiul 2

    Calculează 70 000 − 28 765.

    Vezi rezolvarea
    1. Efectuăm scăderea pe ordine.
    2. 70 000 − 28 765 = 41 235.
    3. Verificare: 41 235 + 28 765 = 70 000.

    Răspuns: 41235

  3. Exercițiul 3

    Calculează 324 × 25.

    Vezi rezolvarea
    1. Calculăm 324 × 100 = 32 400.
    2. Împărțim la 4: 32 400 : 4 = 8 100.
    3. Rezultatul este 8 100.

    Răspuns: 8100

  4. Exercițiul 4

    La împărțirea lui 95 la 8, câtul și restul sunt:

    Vezi rezolvarea
    1. 8 × 11 = 88, iar 8 × 12 = 96 este prea mare.
    2. 95 − 88 = 7.
    3. Câtul este 11 și restul 7.

    Răspuns: 11 și 7

  5. Exercițiul 5

    Află numărul x dacă x : 7 = 18.

    Vezi rezolvarea
    1. Din x : 7 = 18 rezultă x = 18 × 7.
    2. 18 × 7 = 126.
    3. Verificare: 126 : 7 = 18.

    Răspuns: 126

  6. Exercițiul 6

    Calculează 5 609 − 2 874.

    Vezi rezolvarea
    1. 5 609 − 2 874 = 2 735.
    2. Verificare: 2 735 + 2 874 = 5 609.
    3. Rezultatul este 2 735.

    Răspuns: 2735

  7. Exercițiul 7

    Calculează 48 × 125.

    Vezi rezolvarea
    1. 48 × 125 = 6 × 8 × 125.
    2. 8 × 125 = 1 000.
    3. 6 × 1 000 = 6 000.

    Răspuns: 6000

  8. Exercițiul 8

    Ce egalitate verifică scăderea 452 − 187 = 265?

    Vezi rezolvarea
    1. La scădere, diferența plus scăzătorul dă descăzutul.
    2. 265 + 187 = 452.
    3. Deci scăderea este corectă.

    Răspuns: 265 + 187 = 452

  9. Exercițiul 9

    Calculează 1 728 : 12.

    Vezi rezolvarea
    1. 1 728 : 12 = 144.
    2. Verificare: 144 × 12 = 1 728.
    3. Câtul este 144.

    Răspuns: 144

  10. Exercițiul 10

    La împărțirea lui 100 la 7, restul este:

    Vezi rezolvarea
    1. 7 × 14 = 98 ≤ 100, iar 7 × 15 = 105 > 100.
    2. 100 = 7 × 14 + 2.
    3. Restul este 2 (câtul este 14).

    Răspuns: 2

  11. Exercițiul 11

    Un număr împărțit la 9 dă câtul 23 și restul 4. Care este numărul?

    Vezi rezolvarea
    1. Deîmpărțitul = 9 × 23 + 4.
    2. 9 × 23 = 207.
    3. 207 + 4 = 211.

    Răspuns: 211

  12. Exercițiul 12

    Un magazin primește 36 de cutii a câte 24 de caiete și vinde 500 de caiete. Câte caiete rămân?

    Vezi rezolvarea
    1. Au sosit 36 × 24 = 864 de caiete.
    2. Se vând 500.
    3. Rămân 864 − 500 = 364 de caiete.

    Răspuns: 364

Fișă de consolidare din material (14)

  1. 1. Dificultate redusă

    Calculează: 47 + 36, apoi verifică rezultatul folosind proprietatea comutativității.

    Vezi răspunsul

    83; verificare: 36 + 47 = 83.

  2. 2. Dificultate redusă

    Calculează: 93 − 58. Verifică rezultatul prin adunare.

    Vezi răspunsul

    35; verificare: 35 + 58 = 93.

  3. 3. Dificultate redusă

    Calculează: 8 × 7, apoi scrie înmulțirea ca o adunare repetată.

    Vezi răspunsul

    56 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 (de 8 ori 7).

  4. 4. Dificultate redusă

    Calculează: 63 : 9. Este o împărțire exactă? Justifică.

    Vezi răspunsul

    7; da, este exactă: restul este 0, pentru că 9 × 7 = 63.

  5. 5. Dificultate redusă

    Calculează: 71 : 8. Scrie câtul, restul, și verifică rezultatul.

    Vezi răspunsul

    Câtul 8, restul 7; verificare: 8 × 8 + 7 = 71, iar 7 < 8.

  6. 6. Dificultate medie

    Calculează, aplicând proprietatea distributivității: 5 × (16 + 9).

    Vezi răspunsul

    5 × 16 + 5 × 9 = 80 + 45 = 125

  7. 7. Dificultate medie

    Calculează, aplicând proprietatea distributivității: 7 × (25 − 8).

    Vezi răspunsul

    7 × 25 − 7 × 8 = 175 − 56 = 119

  8. 8. Dificultate medie

    Calculează: (22 + 14) − (9 + 6).

    Vezi răspunsul

    36 − 15 = 21

  9. 9. Dificultate medie

    Un număr împărțit la 8 dă câtul 6 și restul 5. Care este numărul?

    Vezi răspunsul

    8 × 6 + 5 = 53

  10. 10. Dificultate medie

    Calculează: 4 × (17 − 9) + 32 : 4.

    Vezi răspunsul

    4 × 8 + 8 = 32 + 8 = 40

  11. 11. Dificultate ridicată

    Într-un depozit sunt 156 de cutii. Se aduc încă 8 lăzi, fiecare ladă conținând 24 de cutii. Din tot ce este acum în depozit, se scot cutii pentru a umple 15 rafturi a câte 12 cutii fiecare. Câte cutii rămân în depozit?

    Vezi răspunsul

    168 de cutii: 156 + 8 × 24 = 348, iar 348 − 15 × 12 = 348 − 180 = 168.

  12. 12. Dificultate ridicată

    Suma a trei numere naturale consecutive este 249. Află cele trei numere, apoi calculează produsul dintre cel mai mic și cel mai mare dintre ele.

    Vezi răspunsul

    82, 83 și 84 (3 · n + 3 = 249, deci n = 82); produsul: 82 × 84 = 6.888.

  13. 13. Dificultate ridicată

    Un număr natural este împărțit la 9, obținându-se câtul 14 și un anumit rest. Dacă deîmpărțitul este 131, află restul, apoi verifică dacă restul obținut respectă condiția restului la o împărțire cu împărțitorul 9.

    Vezi răspunsul

    Restul este 5: 131 = 9 × 14 + 5 = 126 + 5. Respectă condiția, pentru că 5 < 9.

  14. 15. Dificultate ridicată

    Diferența a două numere naturale este 47. Dacă la numărul mai mare se adună 23, iar la numărul mai mic se scad 15, noua diferență dintre ele devine 85. Verifică dacă această situație este posibilă, efectuând calculul complet.

    Vezi răspunsul

    Da, este posibilă: (a + 23) − (b − 15) = (a − b) + 23 + 15 = 47 + 38 = 85.

Feedback beta

Ce ai găsit?

Reținem singuri pagina pe care ești acum.